上海市洋泾中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 PDF版含答案
2020-2021上海民办洋泾外国语学校高三数学上期中第一次模拟试题(带答案)
2020-2021上海民办洋泾外国语学校高三数学上期中第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．166．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．137．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720208．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．239．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．510．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13711．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++12．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为 ．14．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，73b c +=，则ABC V 的面积为______．15．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．16．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V 的面积为3，则ab =__17．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________. 18．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．19．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin2ABC ∠=3AB BC +的最大值为______.20．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？三、解答题21．在等比数列{}n a 中,()*10a n N >∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.（1）求数列{}n a 的通项公式:（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.22．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <.23．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值. 24．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值． 25．在ABC ∆中，内角,,ABC 的对边分别是,,a b c ，已知2223,3A b c a π=+=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．26．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
上海市上海中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试卷
4. l本题满分 IO 分）已知关寸;x的方程竺二二已二过尘主).
(l)若方程在区间[-1,1]上有实根，求实数a的取值范围；
{e[ a (2)若方程有两个空妇'.'且
点， 10J求实数 的最大值．
-- . l
:
} 5. (本题满分12分）设n是正整数，集合A={a/a=(t"片，... t,. ),tk E{0,1},k=I,2,…，n'
·"
C的值．
2. (本题满分 10 分消吓列不等式：
2
少lx-11 >(豆）
'·2x2 -3x-5 (2) 3x2 -13x+4
�1.
I
3. (本匙满分JO分）为f倡导“节舫减排 ， 绿色生态”，朵企业采用新工艺，把企业生
4产0．0中吨:排:>，f放o展O的多二为�t6壬化0h0碳o吨 "转，化H为处种 理成可本利y用的(兀化）T与产月品处，已理知缸 该仰（单吨位�）旬�乏 月✓�的向_o、o的 处函理数迅关砐少 系可为
�
.
值范围是．
二、选择题（每题 4 分，共 16 分）
]t
-J,
�- ✓2 _, ， l.· 若泸= -1, 则已上已一等于（
' ' '. "一�,
a +a
）
·(A) 2-2✓2
/z (B) 打
伲叶L忙 (C) 2✓2-1
(D) °2✓2�1
2. 用反一一 证．法．．一证明： ” 已知 a,be�, a2 +b2 =0, 求证： a=b=O"时，应假设（
.
a,'b c .
(A} I
2020-2021学年高一上数学期中考试试卷及答案解析
答案C
解析由题意知，不等式ax2＋2ax＋1>0恒成立，
当a＝0时，1>0，不等式恒成立，
当a≠0时，则 解得0<a<1，
综上有0≤a<1，故选C.
7．函数f(x)＝2x＋ (x>1)，则f(x)的最小值为()
A．8 B．6 C．4 D．10
答案D
解析f(x)＝2(x－1)＋ ＋2
答案①③
解析对于①，这是全称量词命题，
因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，
所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称量词命题，
因为当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以③为真命题．
15．正数a，b满足 ＋ ＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．
12．设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素－1,0,1；②若a∈M，则 ∈M.则下列结论正确的是()
A．集合M中至多有2个元素
B．集合M中至多有3个元素
C．集合M中有且仅有4个元素
D．集合M中至少有4个元素
答案D
解析因为a∈M， ∈M，
所以 ＝－ ∈M，
所以 ＝ ∈M，
又因为 ＝a，
所以集合M中必同时含有a，－ ， ， 这4个元素，
答案D
解析依题意可知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；
当4<x≤8时，f(x)＝8；
当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知选D.
11．函数f(x)＝ (x>0)的值域是()
2020-2021高一数学上期中试卷(带答案)
lg 25 lg 32
1 ，则 2x 5z ，故选
D.
点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的
x, y, z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其
是换底公式以及 0 与 1 的对数表示.
7．C
解析：C 【解析】 x⩽1 时,f(x)=−(x−1)2+1⩽1，
，则
a,
b,
c
的大小关系是
A． a b c
B． a c b
C． b a c
D． b c a
12．函数 f (x) x( x 1) 在[m, n] 上的最小值为 1 ，最大值为 2，则 n m 的最大值为 4
（）
A． 5 2
B． 5 2 22
C． 3 2
D．2
二、填空题
13．幂函数 y=xα,当 α 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设 点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα,y=xβ 的图像三等分,即有 BM=MN=NA,那么,αβ 等于_____.
25．某厂生产某产品的年固定成本为 250 万元，每生产 千件，需另投入成本 （万
元），若年产量不足 千件， 的图象是如图的抛物线，此时
的解集为
，且 的最小值是 ，若年产量不小于 千件，
，每千件商品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生产的商
品能全部售完.
（1）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
f3 (x) x ， f4 (x) log2 (x 1) ，有以下结论：
上海市浦东新区统考2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
浦东新区高一期中数学试卷2020.11一. 填空题1. 用∈或∉填空：0 N2.=3. 已知集合{|3}A x x =>，{|5}B x x =>，则A B =4. 关于x 的不等式20ax +<的解集为(1,)+∞，则实数a =5. 不等式2(2)4x -≤的解集为6. 若12(31)x +有意义，则实数x 的取值范围是7. 若关于x 的一元二次不等式2(1)40x k x +-+≤的解集为{2}，则实数k =8. 已知实数x 、y 满足21x y +=，那么xy 的最大值是9. 集合2{|440,}P x ax x x =++=∈R 中只含有1个元素，则实数a 的取值是10. 方程|1||3|2x x -+-=的解集为11. 已知{||1|}A x x a =-≤，若A 只有1个整数元素，则实数a 的取值范围是12. 设P 为非空实数集满足：对任意给定的x y P ∈、（x y 、可以相同），都有x y P +∈，x y P -∈，xy P ∈，则称P 为幸运集.① 集合{2,1,0,1,2}P =--为幸运集； ② 集合{|2,}p x x n n ==∈Z 为幸运集； ③ 若集合1P 、2P 为幸运集，则12P P 为幸运集； ④ 若集合P 为幸运集，则一定有0P ∈； 其中正确结论的序号是二. 选择题13. “260x x --=”是“3x =”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 如果集合{|2,}p x x k k ==∈N ，21{|2,}k M x x k +==∈N ，那么集合P 、M 之间的 关系是（ ）A. M P ⊂B. P M ⊂C. P M =D. P M 、互不包含15. 若b a <，则下列结论正确的是（ ）A. 2ab a <B. 22b a <C. 2b a a b+≥ D. ||||||a b a b +≥+16. 在下列选项中，满足p 与q 等价的是（ ）A. 已知实数x 、y ， 2:1x y p xy +>⎧⎨>⎩和:1q x >，1y > B. 已知实数x 、y ，22:(1)(2)0p x y -+-=和:(1)(2)0q x y --=C. 已知实数x ，1:01p x<<和:1q x > D. 已知1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和不等式 22220a x b x c ++>的实数解集分别为M 和N ，111222:a b c P a b c ==和:q M N =三. 解答题17. 解不等式组321|23|2x x x +⎧≥⎪+⎨⎪-≤⎩.18. 已知集合26{|0}22x A x x x -+=<++，{|()(1)0}B x x a x a =---≤. （1）求集合A 、B ；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围.19. 某生产消毒液企业每天能生产30000瓶消毒液，每瓶消毒液的生产成本为3元钱，由于 受到疫情影响，该生产消毒液企业迅速组织各方面力量扩大生产规模，每天增加生产x （0x >）瓶消毒液，同时每瓶消毒液生产成本增加10000x元，设该企业扩大生产规模后 每天投入的总生产成本为p 元.（1）请用x 的表达式表示出p ；（2）试问该生产消毒液企业每天增加生产多少瓶消毒液，才能使得每天投入的生产成本最小？并求出此时p 的值.20. 命题甲：关于x 的方程240x mx m ++=无实根；命题乙：关于x 的方程2(1)0x m x m -++=有两个不相等的正根，设命题甲、命题乙为真命题时实数m 的取值 分别组成集合A 、B .（1）求集合A 、B ；（2）若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围.21. 已知2(3)y mx m x m =+++.（1）m 取什么实数时，关于x 的不等式：0y <解集为1(,)(2,)2-∞+∞； （2）m 取什么实数时，关于x 的不等式：0y x>在(0,)x ∈+∞恒成立.参考答案一. 填空题1. ∈2. 5223. {|5}x x >4. 2-5. {|04}x x ≤≤6. 1[,)3-+∞7. 3-8.18 9. 0或1 10. [1,3] 11. [0,1) 12. ②④二. 选择题13. B 14. A 15. D 16. C三. 解答题 17. 5[1,]2.18.（1）{|6}A x x =>，{|1}B x a x a =≤≤+；（2）6a >.19.（1）10000(30000)(3)p x x=++；（2）10000x =，min 160000p =. 20.（1）1(0,)4A =，(0,1)(1,)B =+∞；（2）1[,1)(1,)4+∞. 21.（1）67-；（2）[0,)+∞.。
2020-2021上海洋泾中学东校高三数学上期中一模试题(带答案)
22．数列 an 中， a1 1， an1 an 2n 1. （1）求 an 的通项公式；
（2）设 bn
1 4an
1
，求出数列
bn
的前
n
项和.
23．已知数列 an 的首项
a1
2 3
，且当
n
2
时，满足
a1
a2
a3
（1）求数列 an 的通项公式；
an1
1
3 2
an
．
（2）若 bn
19．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗
产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 A ， B 两点间的
距离，现在珊瑚群岛上取两点 C ， D ，测得 CD 80 ， ADB 135 ， BDC DCA 15 ， ACB 120 ，则 A ， B 两点的距离为________．
简变形用基本不等式即可求解。 【详解】
不等式组表示的平面区域如图，由
3x y 6 0
x
y
2
0
得点
B
坐标为
B（4,6）.由图可知当直线 z ax by 经过点 B（4,6）时，Z 取最大值。因为目标函数 z ax by (a 0,b 0) 的最大值为 12，所以 4a 6b 12, 即 2a 3b 6,
1= an-1（an-1+1）②，①-②可得 an= an（an+1）- an-1（an-1+1）∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0
∵an＞0，∴an-an-1-1=0 即 an-an-1=1∴数列{an}为等差数列，a1=1，d=1；∴an=1+（n-1）×1=n 即 an=n 所以
2021-2022学年上海中学高一(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a 2+1）x ＜3的解为 ___ ．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．3.（填空题，3分）设正实数x ，y 满足xy=20，则x+4y 的最小值为 ___ ．4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ． 5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ．11.（填空题，3分）已知a 、b 、c 均为正实数，则 ab+bca 2+b 2+c 2 的最大值为___ ．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1． 13.（单选题，4分）设a ，b ，c ，d 为实数，下列说法正确的是（ ） A.若a ＞b ，则a 2＞b 2B.若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则 ac ＞ bd C.若 √a ＞b ，则a ＞b 2 D.若a ＞b ＞0，则a 2＞ab ＞b 214.（单选题，4分）已知实数a ，b ，则“ a+ba−b ＞0”是“|a|＞|b|”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log1549=（）45A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.2717.（问答题，6分）若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y 的值．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（k为常（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x=3- km+1数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a2+1）x＜3的解为 ___ ．）【正确答案】：[1]（-∞，3a2+1【解析】：根据a²+1＞0，结合不等式性质即可求解．【解答】：解：因为a²+1＞0，，所以该不等式解为x＜3a2+1）．故答案为：（-∞，3a2+1【点评】：本题考查不等式的求解，属于基础题．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．【正确答案】：[1]{x|x=10n-1，（n∈N*）}【解析】：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法写入集合即可．【解答】：解：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法表示为{x|x=10n-1，（n∈N*）}，故答案为：{x|x=10n-1，（n∈N*）}．【点评】：本题考查了进位制以及集合的表示方法，属于基础题．3.（填空题，3分）设正实数x，y满足xy=20，则x+4y的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]8 √5【解析】：由基本不等式，即可得解．【解答】：解：因为x＞0，y＞0，所以x+4y≥2 √x•4y =2 √4×20 =8 √5，当且仅当x=4y，即x=4 √5，y= √5时，等号成立，所以x+4y的最小值为8 √5．故答案为：8 √5 ．【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ．【正确答案】：[1] √ab【解析】：由 √1a 3= a −13 ， (ab )56 = a 56 • b 56 ， √b 3 ）-1= b −13 代入化简即可．【解答】：解： √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1= a −13 • a 56 • b 56b −13= √a • √b = √ab ， 故答案为： √ab ．【点评】：本题考查了有理数指数幂的化简，属于基础题．5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：先把已知的对数式化为指数式，求出a ，b 的值，再利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2a=log 5b= √2 ， ∴a=2 √2 ，b= 5√2 ，∴（ab ） √2 =（2 √2 •5√2 ） √2 =102， ∴lg （ (ab )√2 ）=lg102=2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4，+∞）【解析】：推导出A⊆B ，列出方程组，能求出m 的取值范围．【解答】：解：集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}，A∩B=A ， ∴A⊆B ，∴ {2−m ≤2m −12−m ≤−22m −1≥5 ， 解得m≥4．∴m 的取值范围是[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）．【点评】：本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：采用列举法，列举出A 中的元素，再计算真子集个数．【解答】：解：∵A={（x ，y ）|x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}． ∴A={（1，7），（5，5），（7，1）}共3个元素． ∴A 的真子集有23-1=7个． 故答案为：7．【点评】：用列举法写出A 的所有元素是解答本题的关键．属于易做题． 8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ． 【正确答案】：[1]{0，1，2，3}【解析】：先解一元二次不等式求出集合B ，再根据集合的基本运算即可求解．【解答】：解：∵B={x| x+2x−3＞0，x∈R}={x|（x+2）（x-3）＞0}={x|x ＞3或x ＜-2}，∴∁R B={x|-2≤x≤3}， ∵A=N ，∴A∩（∁R B ）={0，1，2，3}， 故答案为：{0，1，2，3}．【点评】：本题考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ． 【正确答案】：[1]（ 17， 12）【解析】：设y=ax 2+bx-7，ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），得到开口向下，2和7为函数与x 轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a 与b 的关系，化简不等式-7x 2+bx+a ＞0即可求得答案．【解答】：解：因为不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞）， 所以 { a ＜0−ba =2+7−7a=2×7 ，解得 {a =−12b =92 ，则不等式-7x 2+bx+a ＞0即为14x²-9x+1＜0， 解得 17＜x ＜12 ，故-7x 2+bx+a ＞0的解集为（ 17 ， 12 ）． 故答案为：（ 17 ， 12 ）．【点评】：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ． 【正确答案】：[1]- 14【解析】：利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0， ∴ log 2(12log 2x) + 12log 2(14log 2x) + 14 log 2（log 2x ）=0，∴ log 2[12log 2x•(14log 2x)12•(log 2x )14] =0，∴ 12log 2x • 12(log 2x )12 • (log 2x )14 =1，∴ log 2x •(log 2x )12•(log 2x )14 =4，∵log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）= log 2[14log 2x•(12log 2x)14•(log 2x )12] =log2(12)14 = log22−14 =- 14，故答案为：- 14．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．11.（填空题，3分）已知a、b、c均为正实数，则ab+bca2+b2+c2的最大值为___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：根据基本不等式的性质，利用a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，即可求出ab+bca2+b2+c2的最大值．【解答】：解：a、b、c均为正实数，则a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，∴ ab+bc a2+b2+c2 = ab+bc(a2+12b2)+(12b2+c2)≤√2(ab+bc)= √22，当且仅当a=c= √22b 时，等号成立，∴ ab+bc a2+b2+c2的最大值为√22．故答案为：√22【点评】：本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1．【正确答案】：[1]1859【解析】：由2m的最高位为1，得到2m x（210）n的最高位也为1，构成以指数幂为10的周期性，得到前三个数最高位数字为l的数为20，24，27，结合周期性，即可求解．【解答】：解：若2m的最高位为1，由210=1024，其中210的最高位为1，可得2m×（210）n 的最高位也为1，所以构成以指数幂为10的周期性，其中前三个数最高位数字为1的数为20，24，27，即每个周期内有3个最高位为1的数字，又由26190=20×210×619，26194=24×210×619的最高位为1，所以在集合A={1，2，4…，26194}中最高位为1的共有619×3+2=1859个．故答案为：1859．【点评】：本题考查了进位制，周期性，属于中档题．13.（单选题，4分）设a，b，c，d为实数，下列说法正确的是（）A.若a＞b，则a2＞b2B.若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac ＞bdC.若√a＞b，则a＞b2D.若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2【正确答案】：D【解析】：根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可求解．【解答】：解：对于A，令a=1，b=-1，满足a＞b，但a2=b2，故A错误，对于B，令a=2，b=1，c=2，d=1，满足a＞b＞0，c＞d＞0，但ac =bd，故B错误，对于C，令a=1，b=-1，满足√a＞b，但a=b2，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴a-b＞0，a2＞b2，∴a2-ab=a（a-b）＞0，ab-b2=b（a-b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了作差法，以及特殊值法，属于基础题．14.（单选题，4分）已知实数a，b，则“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【正确答案】：C【解析】：由分式不等式转化为整式不等式，结合平方差公式和绝对值不等式，由充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：已知实数a，b，不等式a+ba−b＞0等价为（a+b）（a-b）＞0，即为a2-b2＞0，即a2＞b2，即为|a|＞|b|，所以“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的充要条件．故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log154945=（）A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a【正确答案】：D【解析】：利用对数的运算性质和换底公式求解．【解答】：解：∵a=log35，b=log57，∴ab=log37，∴ log154945=log1549-log1545=2log157-log155-2log153= 2log715 - 1log515- 2log315= 2log73+log75 - 11+log53- 21+log35= 21ab +1b- 11+1a- 21+a= 2ab1+a - a1+a- 21+a= 2ab−a−21+a，故选：D．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质和换底公式的应用，是基础题．16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.27【正确答案】：C【解析】：利用绝对值的性质可知|a|≤3，|b|≤3，|c|≤3，然后取a ，b ，c=±3，不合题意，再取a=3，b=-3，c=0，符合题意，即可得解．【解答】：解：∵6=|a|+|b|+|c|+|a+b+c|≥|（a+b+c ）-a-b+c|=2|c|，∴|c|≤3，同理可得|a|≤3，|b|≤3，若a ，b ，c=±3，显然不可能；若a=3，b=-3，c=0，此时符合题意，则a 2+b 2+c 2=18．故选：C ．【点评】：本题考查代数式最值的求解，考查绝对值的性质及意义，考查运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，6分）若实数x ，y 满足集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等，求x ，y 的值．【正确答案】：【解析】：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}，由此能够求出x ，y 的值．【解答】：解：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，lg （xy ）=0，即xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}．所以 {x =|x |xy =1y =1或 {x =y xy =1|x |=1 ， 解得x=y=1或x=y=-1．当x=y=1时，A=B={0，1，1}，与集合元素互异性矛盾，应舍去；当x=y=-1时，A=B={-1，0，1}，故x=y=-1．【点评】：本题考查集合相等的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意集合中元素互异性的合理运用．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．【正确答案】：【解析】：（1）结合不等式的特征，利用函数的对称性去掉绝对值符号求解不等式即可；（2）将不等式进行变形，然后结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得不等式的解集．时，不等式即：x2-5x+7＜2x-5，【解答】：解：（1）当x≥52整理可得x2-7x+12＜0，解得3＜x＜4，令f（x）=x2-5x+7，g（x）=2x-5对称，注意到函数f（x），g（x）均关于直线x=52时不等式的解集为1＜x＜2，由函数的对称性可得当x＜52综上可得，不等式的解集为（1，2）⋃（3，4）．（2）不等式即√x−1＜−2x+5，不等式有解时，x≥1，注意到函数f(x)=√x−1单调递增，函数g（x）=-2x+5单调递减，且f（2）=g（2）=1，结合函数的定义域可得不等式√x−1＜−2x+5的解集为{x|1≤x＜2}．【点评】：本题主要考查含有绝对值不等式的解法，对称性的应用，函数单调性的应用等知识，属于中等题．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知得4-xy=2x+y ，然后结合基本不等式即可求解；（2）由已知先用y 表示x ，然后代入后结合基本不等式可求．【解答】：解：（1）因为xy+2x+y=4，所以4-xy=2x+y ≥2√2xy ，当且仅当2x=y 时取等号，解得 √xy ≤√6−√2 ，故xy 的最大值8-4 √3 ，此时x= √3−1 ，y=2 √3 -2；（2）因为xy+2x+y=4，所以x= 4−y y+2 =-1+ 6y+2 ，所以x+y=-1+ 6y+2 +y=-3+ 6y+2+y+2 ≥−3+2√(y +2)•6y+2 =-3+2 √6 ， 当且仅当y+2= 6y+2 ，即y= √6 -2，x= √6 -1时取等号，x+y 的最小值-3+2 √6 ．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行合理的配凑基本不等式的应用条件．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m≥0）满足关系式x=3- k m+1 （k 为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k 的值，并将该产品的年利润y （万元）表示为年促销费用m （万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？【正确答案】：【解析】：（1）当m=0时，x=1，求出k的值，从而得到x，然后利用每件产品的销售价格元，列出y的函数关系式即可；为1.5× 8+16xx（2）利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1，则1=3-k，解得k=2，，所以x=3- 2m+1元，因为每件产品的销售价格为1.5× 8+16xx]-（8+16x+m）∴利润函数y=x[1.5× 8+16xx）-m=4+8x-m=4+8（3- 2m+1+（m+1）]+29（m≥0）．=-[ 16m+1+（m+1）]+29（m≥0），（2）因为利润函数y=-[ 16m+1+（m+1）≥2 √16 =8，所以，当m≥0时，16m+1=m+1，即m=3（万元）时，y max=21（万元）．∴y≤-8+29=21，当且仅当16m+1所以，该厂家促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．【点评】：本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据新定义检验即可；（2）利用新定义计算求解可得d的值；（3）设t=−cm x2+cx，由新定义得关于t的方程t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，由二次函数性质求得t的范围，由h（t）min＞0可得c的范围．【解答】：解：（1）若f（x），g（x）是否为一对“太极函救”，由f（x）=x+1=0，得x=-1，所以g（f（-1））=g（0）=1，x=-1不是g（f（x））的零点，所以f（x），g（x）不是一对太极函救；（2）设r为方程的一个根，即f（r）=0，由题设g（f（r））=0，所以g（0）=g（f（r））=d=0；（3）因为d=0，由a=1，f（m）=0得b=−cm，所以f(x)=bx2+cx=−cm x2+cx，g(f(x))=f(x)[f2(x)−cmf(x)+c]，由f（x）=0得x=0或m，易得g（f（x））=0，据题意，g（f（x））的零点均为f（x）的零点，故f2(x)−cmf(x)+c=0无实数根，设t=−cm x2+cx，则t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，c＞0时，t=−cm (x−m2)2+mc4≤mc4，ℎ(t)=t2−cmt+c=(t−c2m)2+c−c24m2，mc 4≤c2m，即0＜m≤√2时，ℎ(t)min=ℎ(mc4)=m2c216−c24+c＞0，解得0＜c＜164−m2，mc 4＞c2m，即m＞√2时，ℎ(t)min=ℎ(c2m)=c−c24m2＞0，0＜c＜4m2，综上，m∈(0，√2]时，c∈(0，164−m2)，m∈(√2，+∞)时，c∈（0，4m2）．【点评】：本题主要考查新定义的理解与应用，函数的最值的求解，分类讨论的数学思想，二次函数的最值等知识，属于中等题．。
2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知12120a a b b ≠，陈述句P ：关于x 的一次不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集；陈述句Q ：“1122a b a b =”；则P 是Q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【分析】本题首先可根据12120a a b b ≠得出10a ≠、20a ≠、10b ≠以及20b ≠，然后判断“不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集”能否证明“1122a b a b =”以及“1122a b a b =”能否证明“不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集”，即可得出结果. 【详解】因为12120a a b b ≠，所以10a ≠，20a ≠，10b ≠，20b ≠， 若不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集，则1a 与2a 同号且1212b b a a -=-， 故不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集可以证得1122a b a b =，P 是Q 的充分条件，因为1122a b a b =无法说明1a 与2a 同号， 所以1122a b a b =无法证得不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集，P 不是Q 的必要条件,综上所述，P 是Q 的充分非必要条件， 故选：A.【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，给出命题若P 则Q ，如果P 可证明Q ，则说明P 是Q 的充分条件，如果Q 可证明P ，则说明P 是Q 的必要条件，考查推理能力，是中档题.2．设lg 2,lg3a b ==，则12log 25的值是（ ） A ．1aa b-+ B ．1aa b-- C ．222aa b-+D ．222aa b-+ 【答案】D【分析】根据对数的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由对数的运算公式，可得()1221lg 2lg 252lg 522log 25lg122lg 2lg 32lg 2lg 32a a b--====+++. 故选：D.3．若a ，b 为非零实数，则以下不等式：①222a b ab +≥；②222()42a b a b ++≤；③2a b ab a b+≥+；④ 2b aa b +≥.其中恒成立的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】①②由基本不等式可得到结果，③④举反例可得结论不成立. 【详解】解：对于①，由重要不等式222a b ab +≥可知①正确；对于②，()2222224a b a b ++=()()222222244a b a b ab ab +++++=≥22()42a b a b ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，故②正确；对于③，当1a b ==-时，不等式的左边为12a b +=-，右边为12ab a b =-+，可知③不正确；对于④，令1,1a b ==-可知④不正确． 故恒成立的个数为2个. 故选：C.4．已知()()()()22221234()4444f x x x c xx c x x c x x c =-+-+-+-+，集合{}{}127()0,,,M x f x x x x Z ===⋯⊆，且1234c c c c ≤≤≤，则41c c -不可能的值是（ ） A ．4 B ．9 C ．16 D ．64【答案】A【分析】先设,i i x y 是方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =的根，4,i i i i i x y x y c +=⋅=，再依题意分析根均为整数，列举根的所有情况，确定44c =和1c 的可能情况，得到41c c -的最小取值和其他可能的情况，即得结果.【详解】设,i i x y 是方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =的根，则由根和系数的关系知4,i i i i i x y x y c +=⋅=，又{}{}127()0,,,M x f x x x x Z ===⋯⊆，说明方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =有一个方程是两个相等的根，其他三个方程是两个不同的根，由于根均为整数且和为4，则方程的根有以下这些情况：…，()()()()()()()()()6,105,9,4,8,3,7,2,6,1,5,0,4,1,3,2,2------，乘积分别为…，-60，-45，-32，-21，-12，-5，0，3，4.因为1234c c c c ≤≤≤，故44c =，123,,c c c 来自于4前面的任意可能三个不同的数字，1c 最小，故当15c =时41c c -最小，等于9，故不可能取4，能取9；当112c =-或160c =-时41c c -可以取16，64. 故选：A.【点睛】本题解题关键是能依据题意分析方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =的根的可能情况，既是整数又满足和为4，判断44c =，再根据1c 的可能情况，确定41c c -的可能结果，以突破难点.二、填空题5．集合{}2020M x R x =∈≤，有下列四个式子：①M π∈；②{}M π⊂；③M π⊂；④{}M π∈，其中正确的是_____（填序号） 【答案】①②【分析】利用元素与集合、集合与集合之间的关系符号表示即可求解. 【详解】由{}2020M x R x =∈≤，①M π∈，正确； ②{}M π⊂，正确；故答案为：①②60)a>化为有理数指数幂的形式为_________.【答案】12a-【分析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.121111333222111aaa a a-====⎛⎫⎛⎫⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答案为：12a-7．陈述句“1x>或1y>”的否定形式是________.【答案】1x≤且1y≤.【分析】含有“或”联结词的否定是“且”.【详解】解：1x>或1y>的否定是：1x≤且1y≤.故答案为：1x≤且1y≤.8．若01,0a s<<<，则s a_____1（填符号“>，≥，<，≤，”）.【答案】>【分析】利用指数函数的单调性即可求解.【详解】xy a=，01a<<，则函数为减函数，由0s<，则01sa a>=.所以1sa>.故答案为：>9．已知集合{}2{,},2,2A x yB x x==，且A B=，则集合A=_____.【答案】1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】根据A B=，分类讨论，结合集合中元素的互异性，即可求解. 【详解】由题意，集合{}2{,},2,2A x yB x x==，且A B=，若2x x=，可得0x=，此时集合B不满足集合中元素的互异性，（舍去）；若22x x=，可得12x=或0x=（舍去），当12x =时，可得2121,22x x ==，即1,12A B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭.故答案为：1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.10．已知集合{}210P x x =-≤≤，非空．．集合{}11S x m x m =-≤≤+，若x P ∈是x S ∈的必要条件，则实数m 的取值范围为______．【答案】[]0,3【分析】由x P ∈是x S ∈的必要条件，得S P ⊆，进一步转化为两集合端点值间的关系求解即可.【详解】∵{}210P x x =-≤≤，非空集合{}11S x m x m =-≤≤+， 若x P ∈是x S ∈的必要条件，则S P ⊆，∴111?2110m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得03m ≤≤， ∴m 的取值范围是[]0,3， 故答案为：[]0,3.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．11．关于x 的不等式|2|6x a a -+<的解集是(1,3)-，则实数a =_____. 【答案】2【分析】先根据绝对值不等式的解法得出不等式的解集为(3,3)a -与已知解集比较可得31a -=-，即可求解.【详解】由|2|6x a a -+<可得626a x a a -<-<-， 解得：33a x -<< ，因为不等式|2|6x a a -+<的解集是(1,3)-， 所以31a -=-，解得：2a = 故答案为：212．直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为_____．【答案】3-【分析】设直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，因为L a b c =++，c =两次运用均值不等式即可求解．【详解】设直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，面积为s ，周长L ＝2，由于a b L +=≥a ＝b 时取等号）≤．∴(2222L 1113S ab ?L 322224⎡⎤--⎢⎥=≤===-⎢⎥⎣⎦故答案为3-【点睛】本题考查了利用均值不等式解决最值问题，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键，属于基础题. 13．若实数a ，b ，m 满足227a b m ==，且112a b+=，则m 的值为______.【答案】【分析】227a b m ==，可以根据指对互化，求出271log ,log 2a mb m ∴==再代入到112a b+=中，我们就能得到一个关于m 的方程，这样就能求出m 的值. 【详解】由条件可知：2270a b m ==>，271log ,log 2a mb m ∴==， 2712log 22log 7log 982log log m m m m m+=+==，所以298m =，即m =故答案为：14．已知正数x ，y 满足49x y xy +=且224x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是______.【答案】(,1)(25,)-∞-⋃+∞【分析】不等式224x y m m +<-有解，即()2min 24x y m m +<-，巧用均值不等式求最值即可. 【详解】由已知得：491y x+=，4949()()131325x y x y x y y x y x +=++=++≥=，当且仅当15,10x y ==时取等号； 由题意：()2min 24x y m m +<-，即22425m m ->， 解得：1m <-或25m >， 故答案为：(,1)(25,)-∞-⋃+∞.【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.15．等式()2(3)0ax x b +-≤对(,0)x ∈-∞恒成立，其中,a b Z ∈，则a b +=______. 【答案】10或4【分析】对b 分类讨论，当0b ≤时，由()2(3)0ax x b +-≤得到30ax +<，由一次函数的图象可知不存在；当0b >时，由()2(3)0ax x b +-≤，利用数形结合的思想得出,a b 的整数解.【详解】当0b ≤时，由()2(3)0ax x b +-≤得到30ax +<在(,0)x ∈-∞恒成立， 则a 不存在；当0b >时，由()2(3)0ax x b +-≤， 可得()3f x ax =+，()2g x x b =-，又()g x 的大致图象可知：3a b a>⎧⎪⎨=⎪⎩，再由,a b Z ∈，得到19a b =⎧⎨=⎩或31a b =⎧⎨=⎩， 所以a b +=10或4. 故答案为：10或4.【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式恒成立求参数值，解题的关键是利用数形结合求出满足的关系式03a b a>⎧⎪⎨=⎪⎩ 分类讨论的思想.16．已知实数a b c >>，且满足：2221,3a b c a b c ++=++=，则s b c =+的取值范围是______.【答案】2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得1+=-b c a ，()2223b c bc a +-=-，从而可得21bc a a =--，将,b c 看为一元二次方程的根，利用0∆>求出a 的范围，再利用反证法求出1a >，即可求解.【详解】由已知可得1+=-b c a ，()2223b c bc a +-=-， 即21bc a a =--，因此，以,b c 为根的方程为()22110x a x a a +-+--=，()()221410a a a ∴∆=---->，解得513a -<<， 故23b c +>-， 同理可得513b -<<，513c -<<， 下面精确a 的下限，假设1a ≤，由a b c >>，由1b a -<<<，1c a -<<<， 所以21a ≤，21b <，21c <， 因此2223a b c ++<，矛盾，故1a >， 所以10b c a +=-< 综上，203b c -<+<， 故答案为：2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式的性质、一元二次不等式的解法，解题的关键是求出a 的取值范围，考查了转化能力、运算能力.三、解答题17．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=，{}222(1)50C x x m x m =+++-=.（1）若A B A ⋃=，求实数a 的值； （2）若AC C =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2a =或3；（2）(,3]-∞-.【分析】（1）先求解出方程2320x x -+=的根，则集合A 可知，再求解出210x ax a -+-=的根，则可确定出集合B ，根据A B A ⋃=得到B A ⊆，从而可求解出1a -的可取值，则a 的值可求； （2）根据AC C =得到C A ⊆，分别考虑当C 为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出a 的取值.【详解】（1）由2320x x -+=得1x =或2，所以{1,2}A =， 由210x ax a -+-=得1x =或1a -，所以1,1B a B ∈-∈， 因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以11a -=或2，所以2a =或3； （2）因为AC C =，所以C A ⊆，当C =∅的时，()224(1)450m m ∆=+--<，解得3m <-，当{}1C =时，()2224(1)45012(1)50m m m m ⎧∆=+--=⎪⎨+++-=⎪⎩，无解，当{}2C =时，()()()2224145044150m m m m ⎧∆=+--=⎪⎨+++-=⎪⎩，解得3m =-，当{}1,2C =时，2122(1)125m m +=-+⎧⎨⋅=-⎩，无解， 综上，实数m 的取值范围是(,3]-∞-.【点睛】结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系： （1）若A B A ⋃=，则有B A ⊆； （2）若AB A =，则有A B ⊆.18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴，为迎接2020年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p （万件）与促销费用x （万元）满足231p x =-+（其中010x ≤≤），已知生产该产品还需投入成本(102)p +万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为204p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求，（1）将该产品的利润y （万元）表示为促销费用x （万元）的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值. 【答案】（1）416(010)1y x x x =--≤≤+；（2）促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，为13万元.【分析】（1）根据题意利润为204(102)y p x p p ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭， 然后再将231p x =-+代入即可.（2）由（1）得到41711x x y ⎛⎫=-++⎪+⎝⎭，再利用基本不等式求解.【详解】（1）由题意得204(102)y p x p p ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭， 把231p x =-+代入得416(010)1y x x x =--≤≤+；（2）417117131y x x ⎛⎫=-++≤-=⎪+⎝⎭， 当且仅当411x x =++，即1x =时取等号， 所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，为13万元.19．（1）设集合{}31,P n n k k N ==+∈，集合{}32,Q n n m m N ==-∈， 求证：集合P 是Q 的真子集；（2）已知0,0,0a b c >>>，当函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为6时， 求证：22222212a b c a b c c b a+++++≥. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）任取n P ∈，得到313(1)2n k k Q =+=+-∈，再根据2,2Q P -∈-∉，即可求解；（2）由绝对值的三角不等式，得到6a b c ++=，再接基本不等式，即可作出证明.【详解】（1）先证P Q ⊆，任取n P ∈，存在1m k N =+∈，使得313(1)232n k k m Q =+=+-=-∈，所以P Q ⊆，又由2,2Q P -∈-∉，所以集合P 是Q 的真子集.（2）因为()|||||()()|6f x x a x b c x a b x c a b c =++-+≥++-+=++=， 由222222222a b c a b c ab ac bc c b a c b a+++++≥++ 2()12ab ac ab bc ac bc a b c cb c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2a b c ===时取等号， 所以22222212a b c a b c c b a+++++≥.20．（1）关于x 的不等式()2216(4)10a x a x ----≥的解集为φ，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式(3)12m x x -≥+； （3）设（1）中a 的整数值构成集合A ，（2）中不等式的解集是B ，若A B 中有且只有三个元素，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12,45⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）34,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【分析】（1）根据题意，分4a =，4a =-和4a ≠±三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；（2）化简不等式为(1)3202m x m x ---≥+，转化为(2)[(1)(32)]0x m x m +--+≥且2x ≠-，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.（3）由（1）得{2,1,0,1,2,3,4}A =--，根据A B 中有且只有三个元素，结合不等式的解集，分类讨论，得出不等式组，即可求解.【详解】（1）当4a =时，不等式可化为10-≥无解，满足题意；当4a =-时，不等式化为810x -≥，解得18x >，不符合题意，舍去； 当4a ≠±时，要使得不等式()2216(4)10a x a x ----≥的解集为φ，则满足()()22216044160a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩，解得1245a -<<， 综上可得，实数a 的取值范围是12,45⎛⎤- ⎥⎝⎦. （2）由不等式(3)12m x x -≥+，可得(3)(1)321022m x m x m x x -----=≥++， 即(2)[(1)(32)]0x m x m +--+≥且2x ≠-，当1m =时，不等式等价于502x -≥+，解得2x <-； 当1m 时，由325(2)011m m m m +--=>--， 不等式32(2)01m x x m +⎛⎫+-≥ ⎪-⎝⎭且2x ≠-的解集为32(,2),1m x m +⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢-⎣⎭，当1m <时，32(2)01m x x m +⎛⎫+-≤ ⎪-⎝⎭且2x ≠-， 当01m <<时，解集为32,21m x m +⎡⎫∈-⎪⎢-⎣⎭， 当0m =时，解集为∅，当0m <时，解集为322,1m x m +⎛⎤∈- ⎥-⎝⎦， 综上，当1m =时，解集为(,2)x ∈-∞-，当1m 时，解集为32(,2),1m x m +⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢-⎣⎭， 当01m <<时，解集为32,21m x m +⎡⎫∈-⎪⎢-⎣⎭， 当0m =时，解集为∅， 当0m <时，解集为322,1m x m +⎛⎤∈- ⎥-⎝⎦. （3）由（1）得{2,1,0,1,2,3,4}A =--，当A B 中有且只有三个元素，显然01m ≤≤不可能，当1m 时，32(,2),1m B m +⎡⎫=-∞-⋃+∞⎪⎢-⎣⎭因为3253311m m m +=+>--，不合题意，舍去， 当0m <时，322,1m B m +⎛⎤=- ⎥-⎝⎦， 因为A B 中有且只有三个元素，所以，032121m m m <⎧⎪+⎨≤<⎪-⎩，解得342m -<≤-， 综上，实数m 的取值范围是34,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.21．已知数集{}()1212,,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的i 、()1j i j n ≤≤≤，i j a a +，与j i a a -两数中至少有一个属于A ．（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （2）证明：10a =，且()122n n na a a a =+++；（3）当5n =时，若22a =，求集合A ．【答案】（1）集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明见解析. （3）{0,2,4,6,8}A =.【分析】（1）利用i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .即可判断出结论. （2）先由0n n a a A =-∈，得出10a =，令“,1j n i =>,由“i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ”可得n i a a -属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,1a 不符合不符合题意,2a 符合.同理可得:令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,倒序相加即可.（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,可得51i a a Ai -∈=51525354550a a a a a a a a a a ->->->->-=,则515533524a a a a a a a a a -=-=-= ,又34245a a a a a +>+=,可得34a a A +∉,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-.可得即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列是首项为0,公差为22a =等差数列.【详解】解：（1）在集合{}0,1,3,4中，设{}0,1,3,4A =①011,101A A +=∈-=∈,具有性质P②033,303A A +=∈-=∈,具有性质P③044,404A A +=∈-=∈,具有性质P④134,312A A +=∈-=∉,具有性质P⑤145,413A A +=∉-=∈,具有性质P⑥347,431A A +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,1,3,4具有性质P ；在集合{}0,2,3,6中，设{}0,2,3,6B =,①022,202B B +=∈-=∈,具有性质P②033,303B B +=∈-=∈,具有性质P③066,606B B +=∈-=∈,具有性质P④235,321B B +=∉-=∉,不具有性质P⑤267,624B B +=∉-=∉,具有性质P⑥368,633B B +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,2,3,6不具有性质P .故集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明:令,1j n i =>由于120n a a a ≤<<<，则n n n a a a +>，故2n a A ∉则0n n a a A =-∈，即10a =i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ,i j a a ∴+不属于A ,n i a a ∴-属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,10a =不符合题意,2a 可以.如果是3a 或者4a ,那么可知31n n a a a --=那么231n n n a a a a a -->-=,只能是等于n a ,矛盾.所以令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,同理,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,∴倒序相加即可得到1232n n n a a a a a +++⋯+=即()122n n na a a a a =+++⋯+（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P ,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,51,2,3,4,5i a a Ai ∴-∈=123451234500a a a a a a a a a a =<<<<=<<<<,51525354550a a a a a a a a a a ∴->->->->-=,则515524a a a a a a -=-=,533a a a -=,从而可得245532a a a a a +==,故2432a a a +=,即433230a a a a a <-=-<,又3424534a a a a a a a A +>+=∴+∈/,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-又54221a a a a a -==-544332212a a a a a a a a a ∴-=-=-=-=,即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列,{0,2,4,6,8}A ∴=【点睛】（1）本问采用举反例的方法证明A 不具有P 性质;（2）采用极端值是证明这类问题的要点,一个数集满足某个性质,则数集中的特殊的元素（比如最大值、最小值）也满足这个性质;本问的第二个要点是集合的元素具有互异性,由互异性及题中给的性质P ,可得出等式;（3）利用在（2）中得到的结论得出12345,,,,a a a a a 之间的关系，再结合A 中元素所具有的P 性质即可得到结论.。