数学中考真题汇编三角形(填空+选择50题)

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2022年全国中考数学真题分类汇编专题11：三角形

A． B．2 C．2D．4
17．（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）
A．60°B．70°C．80°D．90°
18．（2022•十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（）
24．（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．
25．（2022•深圳）已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2 ，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为．
9．（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（）
A．∠ADC＝90°B．DE＝DFC．AD＝BCD．BD＝CD
10．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（）
A．三角形B．平行四边形C．长方形D．正方形
26．（2022•贵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6cm，∠ACB＝∠ADB＝90°．若BE＝2AD，则△ABE的面积是cm2，∠AEB＝度．
27．（2022•广安）若（a﹣3）2 0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．
28．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短

八年级数学全等三角形中考真题汇编[解析版]

八年级数学全等三角形中考真题汇编[解析版]一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【详解】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）．∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH==5．∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．故答案为5．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.故答案为10.3．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，∠=︒，在x轴或y轴上取点C，使得ABC∆为等腰三角形，符合条件的C点有ABO36__________个．【答案】8【解析】【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．【详解】解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个与点A 重合，故此时符合条件的点有3个；线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．4．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=︒，50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______．【答案】10︒【解析】【分析】延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ≅，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =，等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．【详解】如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =∴ACD FDB ≅∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠∵AC BE =， 70C ︒∠=， 50CAD ︒∠=∴BE BF =， 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为：10︒【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出下列四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③EF=AB ；④12ABC AEPF S S ∆=四边形，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE=∠CPF ，∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，∴∠PAE=∠PCF，在△APE与△CPF中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC∠=∠=∠=∠，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=12S△ABC，①②④正确；而AP=12BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．6．如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB的中垂线可得BAD∠，再根据AC的中垂线可得EAC∠，再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD.【详解】根据AB的中垂线可得BAD∠=B根据AC的中垂线可得EAC∠=C∠18012654B C︒︒︒∠+∠=-=又126BAD DAE EAC BAC︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE︒∴∠∠∠=72DAE︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.7．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆，连接BF ，则BF 的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG ，利用△BDF ≌△GDE ，转换BF=GE ，然后即可求得其最小值.【详解】以BD 为边作等边三角形BDG ，连接GE ，如图所示：∵等边三角形BDG ，等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG ，DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD ，即∠BDF=∠GDE∴△BDF ≌△GDE （SAS ）∴BF=GE当GE ⊥AC 时，GE 有最小值，如图所示GE′，作DH ⊥GE′∴BF=GE= CD+12DG=2+1=3故答案为：3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.8．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。

2019年山东省中考数学真题分类汇编专题04 三角形 (解析版)

专题04 三角形一、选择题1．（2019山东枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°【答案】C ．【解析】解：如图，∵∠ACD ＝90°、∠F ＝45°， ∴∠CGF ＝∠DGB ＝45°，则∠α＝∠D +∠DGB ＝30°+45°＝75°，故选：C ．2．（2019山东淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（）A ．2aB ．52a C ．3a D ．72a 【答案】C ．【解析】解：∵∠CAD ＝∠B ，∠ACD ＝∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴2()ACD BCAS AC SAB =，即14BCA a S =，解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．3．（2019山东青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A．【解析】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故选：A．4．（2019山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B．【解析】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，∴△ADE ≌△CFE （AAS ）， ∴AD ＝CF ＝3，∵AB ＝4，∴DB ＝AB ﹣AD ＝4﹣3＝1．故选：B ．5．（2019山东枣庄）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A ′B ′C ′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′＝1，则A ′D 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B ．【解析】解：∵S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9，且AD 为BC 边的中线， ∴S △A ′DE ＝12S △A ′EF ＝92，S △ABD ＝12S △ABC ＝8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '， ∴A ′E ∥AB ， ∴△DA ′E ∽△DAB ，则2()A DE ABDS A D AD S''=，即2992()1816A D A D '=='+，解得A ′D ＝3或A ′D ＝﹣37（舍），故选：B ．6．（2019山东泰安）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（）km ．A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝，如图，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝，AB＝30km，∴AE＝BE＝2在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，BE＝，∴CE＝3∴AC＝AE+CE＝∴A，C两港之间的距离为（km，故选：B．7．（2019山东聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF BC D．S四边形AEOF＝12S△ABC【答案】C．【解析】解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝12S△ABC，选项D正确．故选：C．8．（2019山东淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34；如图2，当CD ＝13AC 时，tan α2＝512；如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724；……依此类推，当CD ＝11n +AC （n 为正整数）时，tan αn ＝．【答案】22122n n n++．【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，2(21)12n +-，2(21)12n ++中的中间一个．∴tan αn ＝221(21)12n n ++-＝22122n n n++．故答案为：22122n n n++．9．（2019山东滨州）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＞OC ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC ＝BD ；②∠AMB ＝40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝40°， ∴∠AOB +∠AOD ＝∠COD +∠AOD ，即∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选：B．二、填空题10．（2019山东枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】9.5．【解析】解：过D作DE⊥AB，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°， ∴∠ADE ＝53°，∵BC ＝DE ＝6m ， ∴AE ＝DE •tan53°≈6×1.33≈7.98m ，∴AB ＝AE +BE ＝AE +CD ＝7.98+1.5＝9.48m ≈9.5m ，故答案为：9.511．（2019山东德州）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO =70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO =50°，那么AC 的长度约为米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【答案】1.02．【解析】解：由题意可得： ∵∠ABO =70°，AB =6m ，∴sin70°=6AO AOAB ≈0.94，解得：AO =5.64（m ），∵∠CDO =50°，DC =6m ，∴sin50°=6CO≈0.77，解得：CO =4.62（m ），则AC =5.64-4.62=1.02（m ），答：AC 的长度约为1.02米．故答案为：1.02．12．（2019山东临沂）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC 的面积是．【答案】【解析】解：∵DC ⊥BC ，∴∠BCD ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝30°，延长CD 到H 使DH ＝CD ， ∵D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ， ∴△ADH ≌△BCD （SAS ），∴AH ＝BC ＝4，∠H ＝∠BCD ＝90°，∵∠ACH ＝30°，∴CH ＝，∴CD ＝，∴△ABC 的面积＝2S △BCD ＝2×12×4×＝，故答案为：13．（2019山东枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB ＝2，则CD ＝．．【解析】解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ，在Rt △ABC 中，∠B ＝45°，∴BC AB＝，BF＝AF＝AB，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF∴CD＝BF+DF﹣BC﹣，．14．（2019山东聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝12BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为．【答案】92 a．【解析】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2a，AC．∵DE是中位线，∴CE＝2a．在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，∴∠FEC＝30°．∴∠A＝∠AEM＝30°，∴EM＝AM．△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝92 a．故答案为92 a．三、解答题15．（2019山东淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E ＝∠C ．【答案】见解析【解析】证明：∵∠BAE ＝∠DAC ∴∠BAE +∠CAE ＝∠DAC +∠CAE ∴∠CAB ＝∠EAD ，且AB ＝AD ，AC ＝AE ∴△ABC ≌△ADE （SAS ）． ∴∠C ＝∠E ．16．（2019山东菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．【答案】（﹣）海里．【解析】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意，得：∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AC ＝80，在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，∴tan60°＝BDAD，∴AD在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴AC＝AD+CDBD＝80，∴BD＝120﹣∴BC BC＝﹣，答：BC的距离是（）海里．17．（2019山东聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A 处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00 1.41≈1.73）【答案】17米．【解析】解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝20，∴BE＝x﹣20，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣20），∴2（x﹣20）＝x，解得：x＝40（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝40≈17（米），∴CD＝CE﹣DE＝40﹣3答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．18．（2019山东临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．【答案】km．【解析】解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD＝km，即BD的长是km．19．（2019山东潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【答案】【解析】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1∴tan∠ABE3=，∴∠ABE＝30°，∴AE＝12AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴14CEDE=，即8014ED=，解得，ED＝320，∴CD=答：斜坡CD的长是20．（2019山东青岛）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，co s42°≈34，tan42°≈9 10）【答案】134米．【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，则CE∥DF，∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°•BD＝80×1720≈68，BF＝sin32°•BD＝80×1732≈852，∴BE＝EF﹣BF＝1552，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE•tan42°＝68×910＝3065，∴AB＝AE+BE＝1552+3065≈134m，答：木栈道AB的长度约为134m．21．（2019山东威海）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝35，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．【答案】不会触碰到汽车货厢顶部，理由见解析．【解析】解：∵BH＝0.6米，sinα＝35，∴AB＝0.613sin5BHα==米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．22．（2019山东菏泽）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝，AD＝3，求△PDE的面积．【答案】（1）见解析；（2）910．【解析】解：（1）∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°．∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAC ﹣∠EAF ＝∠EAD ﹣∠EAF ，即∠BAE ＝∠DAC ， ∴△ABE ≌△ADC （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠ACD ，∵∠ABE +∠AFB ＝∠ABE +∠CFP ＝90°， ∴∠CPF ＝90°， ∴BP ⊥CD ；（2）在△ABE 与△ACD 中，90AE ADEAB CAB AB AC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠ACD ，BE ＝CD ， ∵∠PDB ＝∠ADC ， ∴∠BPD ＝∠CAB ＝90°， ∴∠EPD ＝90°， ∵BC ＝，AD ＝3， ∴DE ＝，AB ＝6， ∴BD ＝6﹣3＝3，CD=∵△BDP ∽△CDA ， ∴BD PD PBCD AD AC ==，36PD PB==， ∴PDPB∴PE ＝，∴△PDE 的面积＝1925510⨯⨯=． 23．（2019山东枣庄）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且∠BMN ＝90°，当∠AMN ＝30°，AB ＝2时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且∠EDF ＝90°，求证：BE ＝AF ；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且∠BMN ＝90°，求证：AB +AN AM ．【答案】（1；（2）证明见解析；（3）见解析．【解析】（1）解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD ＝BD ＝DC ，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∠BAD ＝∠CAD ＝45°，∵AB ＝2，∴AD ＝BD ＝DC ，∵∠AMN ＝30°，∴∠BMD ＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠MBD ＝30°，∴BM ＝2DM ，由勾股定理得，BM 2﹣DM 2＝BD 2，即（2DM ）2﹣DM 2）2，解得，DM ＝3，∴AM ＝AD ﹣DM ﹣3；（2）证明：∵AD ⊥BC ，∠EDF ＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，∴△BME≌△AMN（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE AM．。

人教版数学八年级上册全册全套试卷中考真题汇编[解析版]

人教版数学八年级上册全册全套试卷中考真题汇编[解析版]一、八年级数学三角形填空题（难）1．已知三角形的两边的长分别为2cm和8cm，设第三边中线的长为x cm，则x的取值范围是_______【答案】3＜x＜5【解析】【分析】延长AD至M使DM=AD，连接CM，先说明△ABD≌△CDM，得到CM=AB=8，再求出2AD的范围，最后求出AD的范围.【详解】解：如图：AB=8，AC=2，延长AD至M使DM=AD，连接CM在△ABD和△CDM中，AD MDADB MDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△MCD（SAS），∴CM=AB=8．在△ACM中：8-2＜2x＜8+2，解得：3＜x＜5．故答案为：3＜x＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解答的关键在于画出图形，数形结合完成解答.2．如图，1BA和1CA分别是ABC∆的内角平分线和外角平分线，2BA是1A BD∠的角平分线，2CA是1A CD∠的角平分线，3BA是2A BD∠的角平分线，3CA是2A CD∠的角平分线，若1Aα∠=，则2018A∠=_____________【答案】20172α【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∴12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1， ∴∠A 1=12∠A ， ∵∠A 1=α．同理理可得∠A 2=12∠A 1=12α，∠A 3=12∠A 2=212α， ……， ∴∠A 2018=20172α，故答案为20172α．【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．3．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．【答案】720°．【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．4．一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s．【答案】160.【解析】试题分析：该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．试题解析：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m，则所用时间是：48÷0.3=160s．考点：多边形内角与外角．5．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是__________ ．【答案】γ=2α+β．【解析】【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【点睛】此题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．6．如图，小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30°，再沿直线前进50米，又向左转30°，…照这样下去，小新第一次回到出发地A点时，一共走了__米．【答案】600【解析】【分析】【详解】解：根据题意可知：小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30º，再沿直线前进50米，又向左转30º，……照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,小新走的路线围成一个正多边形,且这个多边形的外角等于30º，所以这个正多边形的边数是12，小新一共走了12×50=600米，故答案为：600．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，∠ABC =∠ACB ，BD 、CD 分别平分△ABC 的内角∠ABC 、外角∠ACP ，BE平分外角∠MBC 交 DC 的延长线于点 E ，以下结论：①∠BDE =12∠BAC ；② DB⊥BE ；③∠BDC +∠ACB= 90︒；④∠BAC + 2∠BEC = 180︒ .其中正确的结论有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、判断即可．【详解】① ∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，∴∠ACP=2∠DCP，∠ABC=2∠DBC，又∵∠ACP=∠BAC+∠ABC，∠DCP=∠DBC+∠BDC，∴∠BAC=2∠BDE，∴∠BDE =12∠BAC∴①正确；②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥DB，故②正确，③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确，④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确，即正确的有4个，故选D【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定理8．已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|＋|a－7|的结果为（）A．2a－10B．10－2aC．4D．－4【答案】C【解析】试题分析：已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则根据三角形的三边关系：可得：a-1>4-2，a-1<2+4即a>3，a<7.所以a－3>0，a-7<0. |a－3|＋|a－7|=a-3+（7-a）=4.故选C点睛：本题主要考查考生三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

武汉市武珞路中学数学三角形填空选择中考真题汇编[解析版]

武汉市武珞路中学数学三角形填空选择中考真题汇编[解析版]一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是_____．【答案】30【解析】【分析】由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC．【详解】解：∵BD=2DC，∴S△ABD=2S△ACD，∴S△ABC=3S△ACD．∵E是AC的中点，∴S△AGE=S△CGE．又∵S△GEC=3，S△GDC=4，∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30．故答案为30．【点睛】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．2．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形．【答案】10【解析】【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.【详解】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．【点睛】本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏.3．如图，ABC 中，点D 在AC 的延长线上，E 、F 分别在边AC 和AB 上，BFE ∠与BCD ∠的平分线相交于点P ，若ABC ∠=70°FEC ∠=80°，则P ∠=______．【答案】85°【解析】【分析】根据四边形内角和等于360°，在四边形FECB 中∠B +∠BFE +∠FEC +∠BCE =360°，结合角平分线的定义计算即可得∠1-∠2=15°；再在四边形EFPC 中求出∠1-∠2+∠P =110°即可解答．【详解】解：∵∠BFE =2∠1，∠BCD =2∠2，又∵∠BFE +∠ABC +∠FEC +∠BCE =360°，ABC ∠=70°，FEC ∠=80°，∴2∠1+（180°-2∠2）+70°+80°=360°，∴∠1-∠2=15°；∵在四边形EFPC 中，∠PFE +∠FEC +∠P +∠PCE =360°，∴∠1+80°+（180°-∠2）+∠P =360°，∴∠1-∠2+∠P =100°，∴∠P=85°，故答案为：85°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和四边形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°和四边形内角和等于360°是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_______°.【答案】65【解析】如图，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠1=12∠DAC，∠2=12∠ACF，∴∠1+∠2=12（∠DAC+∠ACF），又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠BAC+∠ACB），且∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°，∴∠1+∠2=12（360°-130°）=115°，∴在△ACE中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°.5．如图，在∆ABC中，∠A=80︒，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A7BC与∠A7CD的平分线相交于点A8，得∠A8，则∠A8的度数为_________.. 【答案】516 【解析】【分析】利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求∠A 1=12∠A ，再依此类推得，∠A 2=212∠A ，……，∠A 8= 812∠A ，即可求解. 【详解】解：根据三角形的外角得：∠ACD=∠A+∠ABC.又∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴1111222A ABC A ABC ∠+∠=∠+∠ ∴∠A 1=12∠A 依此类推得，∠A 2= 212∠A ，……，∠A 8= 812∠A=180256⨯=516 故答案为516. 【点睛】本题考查三角形外角、角平分线的性质，解答的关键是弄清楚角之间的关系..6．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB =____．【答案】105°．【解析】【分析】先根据直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图，∠ECD=45°，∠BDC=60°，∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°．故答案为：105°．【点睛】此题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数．8．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x=________.【答案】3【解析】①当x+1=2x+3时，解得x=−2(不合题意,舍去)；②当x+1=9时，解得x=8，则等腰三角形的三边为:9、19、9，因为9+9=18<19，不能构成三角形，故舍去；③当2x+3=9时，解得x=3，则等腰三角形的三边为:4、9、9，能构成三角形。

(易错题精选)初中数学三角形真题汇编附答案

（易错题精选）初中数学三角形真题汇编附答案一、选择题1．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】试题解析：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′=22'+=22BC BD+=5．故选B．342．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠OAC等于()A．65°B．95°C．45°D．85°【答案】B【解析】【分析】根据OA＝OB，OC＝OD证明△ODB≌△OCA，得到∠OAC=∠OBD，再根据∠O＝50°，∠D＝35°即可得答案.【详解】解：OA ＝OB ，OC ＝OD ，在△ODB 和△OCA 中，OB OA BOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ODB ≌△OCA （SAS ）,∠OAC=∠OBD=180°-50°-35°=95°，故B 为答案.【点睛】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.3．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，且AD ＝AE ，连接DE 并延长交BC 的延长线于点F ，若DF ＝BD ，则∠A 的度数为（）A ．30B ．36C ．45D ．72【答案】B【解析】【分析】由CA=CB ，可以设∠A=∠B=x ．想办法构建方程即可解决问题；【详解】解：∵CA=CB ，∴∠A=∠B ，设∠A=∠B=x ．∵DF=DB ，∴∠B=∠F=x ，∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x ，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】【分析】先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，23AD =∴243AB AD ==∴226BD AB AD =-=∵四边形ABCD 是平行四边形∴132OB OD BD ===，12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中，23AD =3OD = ∴2221OA AD OD += ∴21OC OA ==故选：C【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．5．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．7cm ，4cm ，2cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．3cm ，3cm ，4cm【答案】D【解析】【详解】A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误；B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误；C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误；D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．故选D ．6．如图，11∥l 2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为( )A ．50°B ．55°C ．65°D ．70°【答案】B【解析】【分析】如图，延长l 2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．【详解】如图，延长l 2，交∠1的边于一点，∵11∥l 2，∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k y x x=>的图象上，若1AB =，则k 的值为（）A ．1B ．22C ．2D ．2【答案】A【解析】【分析】根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的值，本题得以解决．【详解】Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA ⊥x 轴，1AB =，45BAC BAO ︒∴∠=∠=，2OA OB ∴==，2AC =， ∴点C 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝，Q 点C 在函数()0k y x x=>的图象上， 2212k ∴=⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】D【解析】从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，故选D ．9．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC 于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【解析】【分析】根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.【详解】∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD.又∵∠A＝∠DEB＝90°，BD是公共边，∴△ABD≌△EBD (AAS)，∴AD＝ED，AB＝BE，∴△DEC的周长是DE＋EC＋DC＝AD＋DC＋EC＝AC＋EC＝AB＋EC＝BE＋EC＝BC＝10 cm.故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．4,1, 点D的坐标为10．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为()()0,1，则菱形ABCD的周长等于（）A ．5B ．43C ．45D ．20【答案】C【解析】【分析】如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图，连接AC 、BD ，交于点E∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB又∵B ()4,1，D ()0,1∴E(2，1)∴A(2，0)∴AD=()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为：45故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.11．如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，则这个条件是( )A ．∠A ＝∠DB ．BC ＝EF C ．∠ACB ＝∠FD ．AC ＝DF【答案】D【解析】解：∵∠B =∠DEF ，AB =DE ，∴添加∠A =∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加BC =EF ，利用SAS 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加∠ACB =∠F ，利用AAS 可得△ABC ≌△DEF ；故选D ．点睛：本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS 、ASA 、SAS 、AAS 和HL 是解题的关键．12．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．14．满足下列条件的是直角三角形的是（）A ．4BC =，5AC =，6AB =B ．13BC =，14AC =，15AB = C ．::3:4:5BC AC AB =D ．::3:4:5A B C ∠∠∠= 【答案】C【解析】【分析】要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【详解】A ．若BC=4，AC=5，AB=6，则BC 2+AC 2≠AB 2，故△ABC 不是直角三角形； B.若13BC =，14AC =，15AB =，则AC 2+AB 2≠CB 2，故△ABC 不是直角三角形； C ．若BC ：AC ：AB=3：4：5，则BC 2+AC 2=AB 2，故△ABC 是直角三角形；D ．若∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，则∠C ＜90°，故△ABC 不是直角三角形；故答案为：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．15．如图：AD AB ⊥，AE AC ⊥，AD AB =，AE AC =，连接BE 与DC 交于M ，则：①DAC BAE ∠=∠；②DAC BAE ∆∆≌；③DC BE ⊥；正确的有（）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】利用垂直的定义得到90DAB EAC ∠=∠=︒，则ADC BAE ∠=∠，于是可对①进行判断；利用“SAS ”可证明DAC BAE ∆≅∆，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到ADC ABE ∠=∠，则根据三角形内角和和对顶角相等得到90DMB DAB ∠=∠=︒，于是可对③进行判断．【详解】解：AD AB ⊥Q ，AE AC ⊥，90DAB ∴∠=︒，90EAC ∠=︒，DAB BAC EAC BAC ∴∠+=∠+∠，即ADC BAE ∠=∠，所以①正确；在DAC ∆和BAE ∆中，DA AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC BAE SAS ∴∆≅∆，所以②正确；ADC ABE ∴∠=∠，∵∠AFD=∠MFB ，90DMB DAB ∴∠=∠=︒，DC BE ∴⊥，所以③正确．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．16．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定．．．是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【答案】A【解析】【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK所以，是等腰三角形的有△CDK，△CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.故选：A【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.17．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍【答案】B【解析】设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到原来的2倍，故选B.18．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】【详解】要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，故选C.19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为( )A．30°B．45°C．36°D．72°【答案】A【解析】∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2∠A+2∠A=180°，即5∠A=180°，∴∠A=36°.故选A.20．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB ，则EFGH 的面积是( )A ．6B ．8C ．9D ．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC ＝∠ACD ＝45°，由四边形EFGH 是正方形，推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形，于是得到DE ＝22EH ＝22EF ，EF ＝22AE ，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝AB ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∵四边形EFGH 为正方形，∴EH ＝EF ，∠AFE ＝∠FEH ＝90°，∴∠AEF ＝∠DEH ＝45°，∴AF ＝EF ，DE ＝DH ，∵在Rt △AEF 中，AF 2＋EF 2＝AE 2，∴AF ＝EF ＝22AE ，同理可得：DH ＝DE ＝22EH 又∵EH ＝EF ，∴DE ＝2EF ＝2×2AE ＝12AE ， ∵AD ＝AB ＝6，∴DE ＝2，AE ＝4，∴EH DE ＝，∴EFGH 的面积为EH 2＝（）2＝8，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．。

全国各地中考数学真题汇编三角形(填空选择50题)-人教版初中九年级全册数学试题

三角形(填空+选择50题)一、选择题1.(2018某某滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A2.(2018某某宿迁)如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（）。

A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°【答案】B3.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）海里海里海里海里【答案】B4.若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）。

A. 12B. 10C. 8 D . 6【答案】B5.在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（）A. B.C.D.【答案】C6.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。

A.45°B.60°C.75°D.85°【答案】C7.在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（）。

.4C【答案】C8.如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（）A. B.C.D.【答案】A9.如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）。

2019年四川省中考数学真题汇编专题05 三角形

∵AD：DC＝1：2，
∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S 四边形 CDOE＝7S，
∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，
D．2：3
∴
.
故选：B．
6．（2019 四川自贡）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点 C、F 分别是直线 x＝﹣5 和 x 轴上的动点，CF＝10，点 D 是线段 CF 的中点，连接 AD 交 y 轴于点 E，当△ABE 面积取得最小值时，tan∠BAD 的值是（）
∵tan∠EAO＝
，
∴
，
∴OE＝，
∴AE＝
，
作 EH⊥AB 于 H． ∵S△ABE＝ •AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH＝
，
∴AH＝
，
∴tan∠BAD＝
，
故选：B．
二、填空题
7．（2019 四川广安）等腰三角形的两边长分别为 6cm，13cm，其周长为
cm．
【答案】32．
【解析】解：由题意知，应分两种情况：
∴∠BAC＝2∠BAD＝80°
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣80°＝70°
故选：C．
3．（2019 四川南充）如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，
若 BC＝6，AC＝5，则△ACE 的周长为（）
A．8
B．11
【答案】B．
【解析】解：∵DE 垂直平分 AB，
故选：C．
2．（2019 四川眉山）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B＝30°，∠ADC
＝70°，则∠C 的度数是（）
A．50°
B．60°

2023年湖南省中考数学真题分类汇编：三角形(含答案)

;2023年湖南省中考数学真题分类汇编：三角形一、选择题1．（2023·衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm2．（2023·长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6 3．（2023·张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A．πB．3πC．2πD．2π―3 4．（2023·怀化）下列说法错误的是（）A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B．一元二次方程x2+x+3=0有两个相等的实数根C．任意多边形的外角和等于360°D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心5．（2023·张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD=14 AB，反比例函数y=k x(k>0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM 的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题6．（2023·岳阳）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以大DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB=60°，则∠AOC= °．于127．（2023·长沙）如图，已知∠ABC=50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数是度．8．（2023·张家界）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形A B′O′C′，且∠OA C′=100°，则四边形ABOC旋转的角度是．9．（2023·常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2，当OA=2，∠AOB=90°时，|l―s|= ．（结果保留一OA位小数）10．（2023·郴州）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3cm ，∠B =60°．将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得到△A B ′C ′，若点B 的对应点B ′恰好落在线段BC 上，则点C 的运动路径长是　　cm （结果用含π的式子表示）．11．（2023·株洲）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān ），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A =1矩，∠B =1欘，则∠C = 度．12．（2023·衡阳）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6．以点C 为圆心，r 为半径作圆，当所作的圆与斜边AB 所在的直线相切时，r 的值为．13．（2023·邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△A B′P，连接C B′，则在点P的运动过程中，线段C B′的最小值为．三、作图题14．（2023·郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形四、综合题15．（2023·长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．（1）求点A离地面的高度AO；（2）求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1km/s，参考数据：3≈1.73) 16．（2023·长沙）如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE=6，CD=8，求BD的长．17．（2023·常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A(―1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1．5（1）求二次函数的表达式；（2）求四边形ACDB的面积；（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．18．（2023·株洲）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．（1）求证：四边形DEFG为平行四边形（2）DG⊥BH，BD=3，EF=2，求线段BG的长度．19．（2023·岳阳）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．（1）你添加的条件是（填序号）；（2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．20．（2023·怀化）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）证明：△BOF≌△DOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．21．（2023·郴州）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．22．（2023·邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x2+x+c经过点A(―2，0)和点B(4，0)，且与直线l：y=―x―1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．23．（2023·岳阳）如图1，在△ABC中，AB=AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN．（1）初步尝试：MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．（2）特例研讨：如图2，若∠BAC=90°，BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．①求∠BCF的度数；②求CD的长．（3）深入探究：若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．24．（2023·衡阳）如图，已知抛物线y=a x2―2ax+3与x轴交于点A(―1，0)和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．（1）求a的值．（2）将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】307．【答案】658．【答案】75°9．【答案】0.110．【答案】3π11．【答案】22.512．【答案】24513．【答案】11―214．【答案】（1）解：如图所示，MN即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CAE=∠ACF，如图：设EF与AC交于点O，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，EF ⊥AC ，∵∠AOE =∠COF ，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE =OF ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 为菱形．15．【答案】（1）解：在Rt △AOC 中，∵∠AOC =90°，∠ACO =30°，AC =8km ，∴AO =12AC =12×8=4(km)，（2）解：在Rt △AOC 中，∵∠AOC =90°，∠ACO =30°，AC =8km ，∴OC =32AC =43(km)，在Rt △BOC 中，∵∠BOC =90°，∠BCO =45°，∴∠BCO =∠OBC =45°，∴OB =OC =43km ，∴AB =OB ―OA =(43―4)km ，∴飞船从A 处到B 处的平均速度=43―410≈0.3(km /s)．16．【答案】（1）证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠AEB =∠ADC =90°，在△ABE 和△ACD 中，∠AEB =∠ADC ∠BAE =∠CAD AB =AC，∴△ABE≌△ACD(AAS)；（2）解：∵△ABE≌△ACD ，∴AD =AE =6，在Rt △ACD 中，AC =AD 2+CD 2=62+82=10，∵AB =AC =10，∴BD =AB ―AD =10―6=4．17．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x 轴交于A(―1，0)，B(5，0)两点．∴设二次函数的表达式为y =a(x +1)(x ―5)∵AO =1，tan ∠ACO =15，∴OC =5，即C 的坐标为(0，5)则5=a(0+1)(0―5)，得a =―1∴二次函数的表达式为y =―(x +1)(x ―5)；（2）解：y =―(x +1)(x ―5)=―(x ―2)2+9∴顶点的坐标为(2，9)过D 作DN ⊥AB 于N ，作DM ⊥OC 于M ，四边形ACDB 的面积=S △AOC +S 矩形OMDN ―S △CDM +S △DNB=12×1×5+2×9―12×2×(9―5)+12×(5―2)×9=30；（3）解：如图，P 是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO =∠PBC 时，连接PB ，过C 作CE ⊥BC 交BP 于E ，过E 作EF ⊥OC 于F ，∵OC =OB =5，则△OCB 为等腰直角三角形，∠OCB =45°．由勾股定理得：CB =52，∵∠ACO =∠PBC ，∴tan ∠ACO =tan ∠PBC ，即15=CE CB =CE 52，∴CE =2由CH ⊥BC ，得∠BCE =90°，∴∠ECF =180°―∠BCE ―∠OCB =180°―90°―45°=45°．∴△EFC 是等腰直角三角形∴FC =FE =1∴E 的坐标为(1，6)所以过B 、E 的直线的解析式为y =―32x +152令y =―32x +152y =―(x +1)(x ―5)解得x =5y =0，或x =12y =274所以BE 直线与抛物线的两个交点为B(5，0)，P(12，274)即所求P 的坐标为P(12，274)18．【答案】（1）证明：∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，∵点G 、F 分别为BH 、CH 的中点．∴GF ∥BC ，GF =12BC ，∴GF ∥DE ，GF =DE ，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF=2，∵DG⊥BH，∴∠DGB=90°，∵BD=3，∴BG=BD2―DG2=32―22=5．19．【答案】（1）答案不唯一，①或②（2）解：添加条件①，▱ABCD为矩形，理由如下：在▱ABCD中AB=CD，AB∥CD，在△ABM和△DCM中AB=CD ∠1=∠2 BM=CM，∴△ABM≌△DCM∴∠A=∠D，又∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°，∴▱ABCD为矩形；添加条件②，▱ABCD为矩形，理由如下：在▱ABCD中AB=CD，AB∥CD，在△ABM和△DCM中AB=CD AM=DM BM=CM，∴△ABM≌△DCM∴∠A=∠D，又∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°，∴▱ABCD为矩形20．【答案】（1）证明：如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵O是BD的中点，∴BO=DO，在△BOF与△DOE中∠1=∠2∠3=∠4，BO=DO∴△BOF≌△DOE(AAS)；（2）解：∵△BOF≌△DOE∴ED=BF，又∵ED∥BF∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD∴四边形EBFD是菱形．21．【答案】（1）解：CF=1BD，理由如下：2∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，过点D作DG∥BC，交AC于点G，∴∠ADG=∠ABC=60°，∠AGD=∠ACB=60°，∠GDF=∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD=AG=DG，∵AD=CE，AB―AD=AC―AG，∴DG=CE，BD=CG，又∠DFG=∠CFE，∴△DGF≌△ECF(AAS)，CG，∴CF=FG=12BD；∴CF=12（2）解：①成立，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，∴∠ADG=∠ABC=60°，∠AGD=∠ACB=60°，∠GDF=∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD=AG=DG，∵AD=CE，AD―AB=AG―AC，∴DG=CE，BD=CG，又∠DFG=∠CFE，∴△DGF≌△ECF(AAS)，CG，∴CF=FG=12BD；∴CF=12②过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，由①知：△ADG 为等边三角形，△DGF≌△ECF(AAS)，CF =FG =12BD ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC =BC =4，BH =CH =12BC =2，∴AH =AB 2―BH 2=23，∵∠AEB =∠DEB ，EH =EH ，∠AHE =∠MHE =90°∴△AEH≌△MEH ，∴MH =AH =23，∴AM =2AH =43，∵△DGF≌△ECF(AAS)，∴∠CEF =∠MDN ，DG =CE ，∴∠AEH =∠MDN ，∴tan ∠AEH =tan ∠MDN ，∴AH EH =MN DN，设MN =y ，DG =CE =x ，则：EH =CE +CH =2+x ，DN =12DG =12x ，∴23x +2=y x 2①，∵DG ∥BC ，∴△ABC ∽△ADG ，∴BC DG =AH AN=AH AM +MN ，即：4x =2343+y ②，联立①②可得：x =42+4（负值已舍去），经检验x =42+4是原方程的根，∴DG =CE =42+4，DN =22+2，CF =FG =12(x ―4)=22，∴AN =26+23，∴S △ACE =12CE ⋅AH =12(42+4)⋅23=46+43，∵S △ACE S △CEF=AC CF =422，∴S △CEF =22(46+43)=43+26，∴四边形BDFC 的面积为S △ADG ―S △ABC ―S △DFG =S △ADG ―S △ABC ―S △CEF=12(42+4)(26+23)―12×4×23―43―26=43+66．22．【答案】（1）解：∵抛物线y =a x 2+x +c 经过点A(―2，0)和点B(4，0)，∴4a ―2+c =016a +4+c =0，解得：a =―12c =4，∴抛物线解析式为：y =―12x 2+x +4；（2）解：∵抛物线y =―12x 2+x +4与直线l ：y =―x ―1交于D 、E 两点，（点D 在点E 的右侧）联立y =―12x 2+x +4y =―x ―1，解得：x =2+14y =―3―14或x =2―14y =―3+14，∴D(2+14，―14―3)，E(2―14，14―3)，∴x D ―x E =(2+14)―(2―14)=214，∵点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．则M(t ，―t ―1)，N(t ，―12t 2+t +4)，∴MN =―12t 2+t +4―(―t ―1)=―12t 2+2t +5=―12(t ―2)2+7，当t =2时，MN 取得最大值为7，∵S △END =12(x D ―x E )×MN ，∴当MN 取得最大值时，S △END 最大，∴S △END =12×214×7=714，∴△NED 面积的最大值714；（3）解：∵抛物线与y 轴交于点C ，∴y =―12x 2+x +4，当x =0时，y =4，即C(0，4)，∵B(4，0)，M(t ，―t ―1)∴BC =42+42=42，B M 2=(4―t)2+(―t ―1)2=2t 2―6t +17，C M 2=t 2+(t +5)2=2t 2+10t +25，①当BC 为对角线时，MB =CM ，∴2t 2―6t +17=2t 2+10t +25，解得：t =―12，∴M(―12，―12)，∵BC ，MR 的中点重合，∴R x ―12=4R y ―12=4，解得：R x =92R y =92，∴R(92，92)，②当BC 为边时，当四边形BMRC 为菱形，BM =BC∴2t 2―6t +17=(42)2，解得：t =3―392或t =3+392，∴―t ―1=―3―392―1=―5+392或―t ―1=―3+392―1=―5―392，∴M(3―392，―5+392)或M(3+392，―39―52)，由CM ，BR 的中点重合，∴R x +4=3―392+0R y +0=―5+392+4或R x +4=3+392+0R y +0=―5―392+4，解得：R x =―5―392R y =3+392或R x =―5+392R y =3―392，∴R(―5―392，3+392)或R(―5+392，3―392)，当BC =MC 时；如图所示，即四边形CMRB 是菱形，点R 的坐标即为四边形BMRC 为菱形时，M 的坐标，∴R 点为R(3―392，―5+392)或R(3+392，―39―52)，综上所述，R 点为R(3―392，―5+392)或R(3+392，―39―52)或R(―5―392，3+392)或R(―5+392，3―392)或R(92，92)．23．【答案】（1）MN=12AC；MN//AC （2）解： ①如图所示，连接EM ，MN ，MF ，∵MN 是△BAC 的中位线，∴MN ∥AC ，∴∠BMN =∠BAC =90°∵将△BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF ，∴BE =BM ，BF =BN ；∠BEF =∠BMN =90°∵点A ，E ，F 在同一直线上时，∴∠AEB =∠BEF =90°又∵在Rt △ABE 中，M 是斜边AB 的中点，∴ME =12AB =MB ∴BM =ME =BE∴△BME 是等边三角形，∴∠ABE =60°，即旋转角α=60°∴∠NBF =60°，BN =BF∴△BNF 是等边三角形，又∵BN =NC ，BN =NF ，∴NF =NC ，∴∠NCF =∠NFC ，∴∠BNF =∠NCF +∠NFC =2∠NFC =60°，∴∠FCB =30°，②如图所示，连接AN ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，BC =42，∴AB =22BC =4，∠ACB =∠ABC =45°，∵∠ADN =∠BDE ，∠ANB =∠BED =90°，∴△ADN ∽△BDE ，∴DN DE =AN BE =222=2，设DE =x ，则DN =2x ，在Rt △ABE 中，BE =2，AE =23，则AD =23―x ，在Rt △ADN 中，A D 2=D N 2+A N 2，∴(23―x)2=(2x)2+(22)2，解得：x =4―23或x =―23―4（舍去）∴CD =DN +CN =2x +22=62―26，（3）解：如图所示，当点C ，E ，F 在同一直线上时，且点E 在FC 上时，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，设∠ABC=∠ACB=θ，则∠BAC=180°―2θ，∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥AC∴∠MNB=∠MBN=θ，∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，∴△EBF≌△MBN，∠MBE=∠NBF=α，∴∠EBF=∠EFB=θ∴∠BEF=180°―2θ，∵点C，E，F在同一直线上，∴∠BEC=2θ∴∠BEC+∠BAC=180°，∴A，B，E，C在同一个圆上，∴∠EAC=∠EBC=α―θ∴∠BAE=∠BAC―∠EAC=(180°―2θ)―(α―θ)=180°―α―θ∵∠ABF=α+θ，∴∠BAE+∠ABF=180°；如图所示，当F在EC上时，∵∠BEF =∠BAC ，BC =BC∴A ，B ，E ，C 在同一个圆上，设∠ABC =∠ACB =θ，则∠BAC =∠BEF =180°―2θ，将△BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到△BEF ，设∠NBF =β，则∠EBM =β，则α+β=360°，∴∠ABF =θ―β，∵∠BFE =∠EBF =θ，∠EFB =∠FBC +∠FCB∴∠ECB =∠FCB =∠EFB ―∠FBC =θ―β，∵EB =EB∴∠EAB =∠ECB =θ―β∴∠BAE =∠ABF综上所述，∠BAE =∠ABF 或∠BAE +∠ABF =180°24．【答案】（1）解：抛物线y =a x 2―2ax +3与x 轴交于点A(―1，0)，得a +2a +3=0，解得：a =―1；（2）解：存在D (―12，154)，理由如下：设B ′C ′与y 轴交于点G ，由（1）中结论a =―1，得抛物线的解析式为y =―x 2+2x +3，当y =0时，x 1=―1，x 2=3，即A (―1，0)，B (3，0)，C (0，3)，OB =OC ，∠BOC =90°，即△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BCO =45°，∵B ′C ′∥BC ，∴∠BCO =∠B ′GO =45°，设D (t ，―t 2+2t +3)，过点D 作DE ∥y 轴交B ′C ′于点E ，作DF ⊥B ′C ′于点F ，∴∠DEF =∠B ′GO =45°，即△DEF 是等腰直角三角形，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，代入B (3，0)，C (0，3)，得3k +b =0b =3，解得k =―1b =3，故直线BC 的解析式为y =―x +3，将直线BC 向下平移m(m >0)个单位长度，得直线B ′C ′的解析式为y =―x +3―m ，∴E (t ，―t +3―m )，DE =―t 2+2t +3―(―t +3―m )=―t 2+3t +m =―(t ―32)2+94+m ，当t =32时，DE 有最大值94+m ，此时DF =22DE 也有最大值，D (32，154)；（3）解：存在P (―23，119)或P (2，3)，理由如下：当点P 在直线BC 下方时，在y 轴上取点H (0，1)，作直线BH 交抛物线于（异于点B ）点P ，由（2）中结论，得∠OBC =45°，∴OH =OA =1，OB =OC ，∠BOH =∠COA =90°，∴△BOH≌△COA (SAS )，∴∠OBH =∠AOC ，∴∠PBC +∠ACO =∠PBC +∠OBH =∠OBC =45°，设直线BP的解析式为y=k1x+b1，代入点B(3，0)，H(0，1)，得3k1+b1=0b1=1，解得k1=―13b1=1，故设直线BP的解析式为y=―13x+1，联立y=―13x+1y=―x2+2x+3，解得x1=3y1=0（舍）x2=―23y2=119，故P(―23，119)；当点P在直线BC上方时，如图，在x轴上取点I，连接CI，过点P作BP∥CI抛物线于点P，∠PBC=∠BCI，OI=OA=1，OC=OC，∠COI=∠COA=90°，∴△COI≌△COA(SAS)，∴∠OCI=∠AOC，∴∠PBC+∠ACO=∠BCI+∠OCI=∠OCB=45°，设直线CI的解析式为y=k2x+b2，代入点I(1，0)，C(0，3)，得k2+b2=0b2=3，解得k2=―3b2=3，故设直线CI的解析式为y=―3x+3，BP∥CI，且过点B(3，0)，故设直线BP的解析式为y=―3x+9，联立y=―3x+9y=―x2+2x+3，解得x1=2y1=3，x2=3y2=0（舍），故P(2，3)，综上所述：P(―23，119)或P(2，3)。

全等三角形中考真题汇编[解析版]

故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
2．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，2），点P是y轴正半轴上的一点，且△AOP为等腰三角形，则点P的坐标为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可．
全等三角形中考真题汇编[解析版]
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
由A点坐标可得OA=2 ，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.
∵点∵AP=OP，
∴∠OAP=∠AOP=45°，
∴∠OPA=90°，
∴OP=2，
∴P点坐标为（2，0）.
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA＝2 ，
∴OA＝OP＝2 ，
∴P的坐标是（﹣2 ，0）．
综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2 ，0）或（﹣2 ，0）．
【解析】
【分析】
先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.
【详解】
解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，

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三角形(填空+选择50题)一、选择题1.(2018山东滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A2.(2018江苏宿迁)如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（）。

A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°【答案】B3.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里 D. 6.21海里【答案】B4.若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC 的周长是（）。

A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】B5.在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（）A. B.C.D.【答案】C6.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。

A.45°B.60°C.75°D.85°【答案】C7.在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（）。

A.5B.4C.3D.2【答案】C8.如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（）A. B.C.D.【答案】A9.如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC =2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）。

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D10.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】D11.欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax=b2的方程的图解法是；画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= 。

则该方程的一个正根是（）A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长【答案】B12.如图，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是( )①；②；③若，则平分；④若，则A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④【答案】B13.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（）A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°【答案】C14.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP= ，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A.B.C. 6D. 3【答案】D15.如图，，且. 、是上两点，，.若，，，则的长为（）A. B.C.D.【答案】D16.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。

A.B. 2C.D. 4【答案】A17.如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为（）A. 5B.C. 7D.【答案】D18.如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A.B.C.D.【答案】D19.如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（）A. B.C.D.【答案】C20.如图，等边三角形的边长为4,点是△的中心，.绕点旋转,分别交线段于D、E两点，连接,给出下列四个结论:① ;②;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C21.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1， S2，（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D22.如图，已知点P矩形ABCD内一点（不含边界），设，，，，若，，则（）A.B.C.D.【答案】A二、填空题23.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=________．【答案】100°24.等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为________．【答案】80°25.等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为________。

【答案】30°或110°26.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O，则AB=________.【答案】27.等腰三角形中，顶角为，点在以为圆心，长为半径的圆上，且，则的度数为________．【答案】或28.如图，在直角中，，，，、分别为边、上的两个动点，若要使是等腰三角形且是直角三角形，则________．【答案】或29.在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,AD、BE相交于点F，且AF=4,EF= ,则AC=________．【答案】30.如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x 轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.【答案】+ π31.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为________。

【答案】32.有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是________．【答案】33.已知，，是的三边长，，满足，为奇数，则________．【答案】734.矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数________.【答案】3或1.235.如图。

在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点. 的顶点都在格点上,则的正弦值是________．【答案】36.如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为________．【答案】37.如图, 为的平分线. , . .则点到射线的距离为________．【答案】338.如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为________．【答案】39.如图，五边形是正五边形，若，则________．【答案】7240.在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=________．【答案】41.如图，在中，用直尺和圆规作、的垂直平分线，分别交、于点、，连接.若，则________ ．【答案】42.如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（－10,0），对角线AC和OB相交于点D且AC·OB=160.若反比例函数y= (x＜0）的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E,则S△OCE ∶S△OAB=________ .【答案】1:543.如图，在等腰中，，点的坐标为，若直线：把分成面积相等的两部分，则的值为________．【答案】44.如图，四边形中，平分，，、分别为、的中点，，则的度数为________.(用含的式子表示)【答案】270°-3α45.已知的三边、、满足，则的外接圆半径________.【答案】46.已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为整数，则第三边的长为________. 【答案】547.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为________．【答案】48.如图，在矩形中，，点为线段上的动点，将沿折叠，使点落在矩形内点处.下列结论正确的是________. （写出所有正确结论的序号）①当为线段中点时，；②当为线段中点时，；③当三点共线时，；④当三点共线时，.【答案】①③④49.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为________．【答案】250.如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，将线段分成等份，分点分别为，，，… ，过每个分点作轴的垂线分别交直线于点，，，…，用，，，…，分别表示，，…，的面积，则________.【答案】。