04-06 数值向量和数组,矩阵
矩阵向量和标量
矩阵向量和标量
矩阵、向量和标量是线性代数中的基本概念，它们在许多数学和工程应用中都有重要的作用。
1.标量（Scalar）：一个标量就是一个单独的数，通常用小写的变量名称表示。
标量可以看作是一个
零维数组，因为它只有一个元素。
例如，x 可以是一个标量。
2.向量（Vector）：一个向量是一列数，这些数是有序排列的。
向量可以看作是一维数组，因为它有
一系列的元素，每个元素都有一个索引来标识它的位置。
向量通常用粗体的小写字母表示，例如x。
向量中的每个元素都是一个标量。
例如，x_1 表示向量x 的第一个元素。
3.矩阵（Matrix）：矩阵是一个二维数组，由行和列组成。
矩阵中的每个元素都由两个索引确定，
一个表示行，一个表示列。
矩阵通常用粗体的大写字母表示，例如A。
矩阵可以看作是一个表格，其中的每个元素都是一个标量。
例如，A_ij 表示矩阵 A 的第i 行第j 列的元素。
矩阵、向量和标量之间可以进行各种运算，如加法、减法、乘法和转置等。
这些运算在解决实际问题时非常有用，例如在机器学习、物理、工程和科学计算等领域中。
总的来说，标量、向量和矩阵是线性代数中的基本元素，它们为解决多变量问题提供了强大的工具。
数值线性代数
数值线性代数数值线性代数是一门研究矩阵和向量运算的学科，旨在通过数值方法解决线性代数相关的问题。
它在科学计算、数据科学和工程领域应用广泛。
本文将介绍数值线性代数的基本概念、常见算法和应用领域。
一、矩阵和向量的表示在数值线性代数中，矩阵和向量是最基本的数据结构。
矩阵是一个二维数组，可以用行列式来表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12; a21, a22; a31, a32]其中a11、a12等为矩阵中的元素。
向量是一个一维数组，可以表示为：x = [x1, x2, x3, ..., xn]其中x1、x2等为向量中的元素。
矩阵和向量的运算包括加法、减法、乘法等，这些运算是数值线性代数中的基础。
二、线性方程组的求解线性方程组是数值线性代数中常见的问题，其中包括未知数个数与方程个数相等，且每个方程均为一次方程。
例如：A*x = b其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为已知向量。
求解线性方程组的方法有很多，如高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
这些方法可以通过数值计算来近似求解。
三、矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵分解为若干特定形式的矩阵相乘的过程。
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、奇异值分解等。
矩阵分解可以用于解决线性方程组、最小二乘问题、特征值和特征向量计算等。
四、特征值和特征向量的计算特征值和特征向量是矩阵在变换过程中具有特殊意义的量。
特征向量是指在矩阵变换中仅改变比例而不改变方向的向量，特征值是对应特征向量的比例系数。
计算矩阵的特征值和特征向量可以通过数值方法，如幂法、反迭代法、QR算法等。
五、最小二乘问题的求解最小二乘问题是数值线性代数中的一个重要问题，它是通过最小化观测数据与线性模型预测之间的差异来求解参数的问题。
最小二乘问题可以通过矩阵分解、最小化残差向量等方法求解。
六、应用领域数值线性代数在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于求解量子力学中的薛定谔方程。
矩阵和向量
向量的加法、减法、数乘
向量加法：将两个向量对应元素相加，得到新的向量 向量减法：将两个向量对应元素相减，得到新的向量 向量数乘：将向量的每个元素乘以一个常数，得到新的向量 向量点乘：将两个向量对应元素相乘，得到新的向量 向量叉乘：将两个向量对应元素相乘，得到新的向量
向量的外积、内积和混合积
解最优解
数值分析：使用矩阵和向量进 行数值分析，如数值积分、数
值微分等
在数学建模中的应用
线性方程组求解：利用矩阵和向量的运算，可以快速求解线性方程组 优化问题：矩阵和向量可以用于解决优化问题，如线性规划、非线性规划等 概率统计：矩阵和向量可以用于概率统计中，如随机变量、协方差矩阵等 图论：矩阵和向量可以用于图论中，如最短路径、最小生成树等
矩阵和向量的扩 展知识
矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵中 线性无关的行（或 列）的最大数目
矩阵的秩等于其 行向量组的秩
矩阵的秩等于其 列向量组的秩
矩阵的秩等于其 非零特征表示向 量的长度，是向量 的绝对值
向量的方向：表示 向量的方向，是向 量的指向
向量的模和方向的 关系：模和方向共 同决定了向量的位 置和方向
向量的坐标：向量中每个元素的位置
向量的长度：向量中元素的平方和的平 方根
向量的方向：向量中元素的符号和顺序
向量的基本性质
向量的长度：表示向量的大小，也称为 模
向量的方向：表示向量的方向，也称为 方向余弦
向量的加法：两个向量相加，得到新的 向量
向量的减法：两个向量相减，得到新的 向量
向量的数乘：向量与标量相乘，得到新 的向量
外积：两个向量 的叉乘，结果是 一个向量，其方 向垂直于两个向 量所在的平面
内积：两个向量 的点乘，结果是 一个标量，表示 两个向量的夹角 大小
向量与矩阵的定义及运算
a11 a12
a
21
a22
a
s
1
as2
a1n
a
2
n
a
sn
称 为 数 域 P上 的 s n矩 阵 (m atrix )， 通 常 用 一 个 大 写
黑 体 字 母 如 A或 Asn表 示 ， 有 时 也 记 作 A (aij )sn , 其
中 aij (i 1, 2, , s; j 1, 2, , n)称 为 矩 阵 A的 第 i行 第 j列
注意：和要简写成 必须满足：每项形式完全一样，不一样
的只是求和指标，而且求和指标连续从小到大增加一。 10
例 2证 明 ： 任 意 n维 向 量 (k1,k2, ,kn)是 向 量 组 1(1,0, ,0),2(0,1, ,0), ,n(0, ,0,1)的
一 个 线 性 组 合 。 证明：由向量的线性运算，得
例 子 ： 有 理 数 集 Q 、 实 数 集 R 、 复 数 集 C都 是 数 域 ， 分 别 称 为 有 理 数 域 、 实 数 域 、 复 数 域 。 而 整 数 集 Z不 是 数 域 。 我 们 主 要 用 到 的 是 实 数 域 和 复 数 域 。
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定 义 4 数 域 P中 s n个 数 排 成 的 s行 n列 的 长 方 表 ，
k与 的 数 乘 ， 记 作 k (ka1, ka2 , , kan ).
注 意 ： 同 型 向 量 才 能 进 行 加 法 以 及 比 较 是 否 相 等
4
(4)分 量 全 为 零 的 向 量 (0 ,0 , ,0)称 为 零 向 量 ， 记 作 0 (应 注 意 区 别 数 零 和 零 向 量 )；
元 素(entry )。
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理解数学中的数论与代数
理解数学中的数论与代数数论与代数是数学的两个重要分支，它们在数学体系中各自扮演着不可或缺的角色。
数论主要研究整数的性质和它们之间的关系，而代数则探究结构和变换的性质。
本文将对数论和代数进行详细解析，帮助读者更好地理解数学中的这两个领域。
一、数论数论是研究整数性质和整数之间关系的数学学科。
它起源于远古时代，人们对于数的特性和规律的探索。
数论研究的对象包括素数、约数、质因数分解、同余关系等等。
1.1 素数与合数素数指的是只能被1和本身整除的正整数，如2、3、5、7等。
而合数则是可以被除了1和本身以外的数整除的正整数。
素数是数论中很重要的概念，也是数学中最基础的构成元素之一。
1.2 约数与倍数在数论中，约数是指能够整除某一整数的小于或等于该整数的正整数，如6的约数有1、2、3和6。
而倍数则是某个数的整数倍，如12是6的倍数。
研究约数和倍数的规律能够帮助我们更好地理解数字之间的关系。
1.3 质因数分解与最大公因数质因数分解是将一个正整数写成一组质数相乘的形式。
例如：60=2×2×3×5。
这种分解方法不仅有理论研究的价值，也有实际计算的应用。
最大公因数指的是几个数中最大的公约数，它在解决数论问题和代数问题中都有举足轻重的作用。
二、代数代数是数学中研究数和运算关系的分支学科，它探究数和运算符号的性质以及它们之间的关系。
代数的研究对象包括各种数的集合，如实数、复数和向量，以及各种运算规则和运算法则。
2.1 代数结构代数结构是代数中非常重要的概念，它指的是一个集合和在集合上定义的一组运算所构成的系统。
常见的代数结构包括群、环、域等。
这些结构有着严格的定义和性质，通过研究它们的性质可以深入理解数学的抽象概念。
2.2 方程与等式方程和等式是代数中的基本概念，它们描述了数之间的关系。
方程是含有未知数的等式，通过解方程可以求得未知数的值。
解方程是代数中的重要技巧，它在实际问题的建模和解决中有广泛应用。
r语言数据类型和数据结构
r语言数据类型和数据结构一、引言R语言是一种广泛应用于数据分析和统计建模的编程语言，它具有丰富的数据类型和数据结构。
本文将详细介绍R语言中常见的数据类型和数据结构。
二、基本数据类型1. 数值型（numeric）：表示实数或整数，可以进行算术运算。
2. 字符型（character）：表示文本字符串，用单引号或双引号括起来。
3. 逻辑型（logical）：表示真或假，只有两个取值TRUE和FALSE。
4. 复数型（complex）：由实部和虚部组成的复数。
三、向量向量是R语言中最基本的数据结构，它由相同的数据类型组成。
向量可以通过c()函数创建，例如：x <- c(1, 2, 3, 4) # 创建一个包含四个元素的数值型向量四、矩阵矩阵是二维数组，其中每个元素都具有相同的数据类型。
可以使用matrix()函数创建矩阵，例如：x <- matrix(c(1, 2, 3, 4), nrow = 2, ncol = 2) # 创建一个包含四个元素的矩阵五、数组数组是多维矩阵，其中每个元素都具有相同的数据类型。
可以使用array()函数创建数组，例如：x <- array(c(1, 2, 3, 4), dim = c(2, 2)) # 创建一个包含四个元素的二维数组六、列表列表是一种复合数据类型，其中每个元素可以是不同的数据类型。
可以使用list()函数创建列表，例如：x <- list(name = "Tom", age = 20, gender = "male") # 创建一个包含三个元素的列表七、因子因子是一种用于表示分类变量的数据类型，它将离散变量编码为整数。
可以使用factor()函数创建因子，例如：x <- factor(c("A", "B", "A", "C")) # 创建一个包含四个元素的因子八、数据框数据框是一种二维表格形式的数据结构，其中每列可以有不同的数据类型。
矩阵与向量的关系
矩阵与向量的关系
由m×n个数按一定顺序排成的m行n列的矩形数表称为矩阵，而向量则是由n个有序的数所组成的数组。
故矩阵中的行可以看作是行向量，列可以看作是列向量。
所以，可以说向量是矩阵的一部分。
矩阵和向量都有相应的线性运算，二者都满足交换律和结合律。
矩阵作为线性代数中一种重要的工具，使得向量在运算过程中也大量的应用了矩阵的运算方法。
而且矩阵的秩就等于其相应的行向量的秩，故在向量中与秩有关的相应的诸如极大线性无关组的求法之类的问题都可用矩阵的相应性质来求解。
矩阵等价与向量等价之间没有必然的联系。
两个矩阵等价只需要两矩阵经过初等变换后的秩相等即可，但向量的等价却需要两个向量组可以相互表示。
故就实际运算而言，向量等价的证明是比较麻烦的。
既然二者之间没有必然的联系，那很明显，在证明向量等价的时候没必要用到矩阵等价的关系，同理，在证明矩阵等价的时候也没必要用到向量等价的关系，二者都需按其定义来进行证明。
就实际应用而言，矩阵的用途要比向量大。
矩阵能用来计算统计交通流量，工程等复杂的问题，而向量只可能在矩阵具体应用中起到一定的作用，算是矩阵的一种特殊应用吧。
以上便是我对矩阵和向量关系的认识。
R语言中的vector（向量），array（数组）总结
R语言中的vector（向量），array（数组）总结对于那些有一点编程经验的人来说，vector，matrix，array，list，data.frame就相当于编程语言中的容器，因为只是将R看做数据处理工具所以它们的底层是靠什么实现的，内存怎么处理的具体也不要深究。
R语言很奇怪的是它是面向对象的语言，所以经常会调用系统的方法，而且更奇怪的是总是调用“谓语”的方法，用起来像是写句子一样，记起来真是让人费解。
比如is.vector(),read.table(),as.vector()、、直接开始吧：(由于习惯，大部分用"="代替"<-")一、向量vector，1.是最基本的数据容器，里面的数据必须是同一类型，先看基本用法：a<-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9)或者赋值函数assign，assign（"a",c(1,2,3,4,5,6,7,8,9))> is.vector(a)[1] TRUE> is.matrix(a)[1] FALSE> is.array(a)[1] FALSE> is.list(a)[1] FALSE或者利用随机分布函数，rnrom(n,mean,sd),runif(n,min,max)、、、> b=runif(20,min=1,max=20)> b[1] 2.181016 18.417605 9.748379 2.122849 1.281871 4.099617[7] 14.162348 18.034863 7.464664 9.599227 18.973259 1.900773[13] 8.995223 11.048916 11.667131 3.859275 17.992988 1.089552[19] 13.490061 12.864029或者按照一定的步长：> a=seq(1,20,by=3)> a[1]147****1619或者重复：> s=rep(a,times=3)> s[1] 1 4 7 10 13 16 19 1 4 7 10 13 16 19 1 4 7 10 13 16 19逻辑向量：> b=a>8;b[1] FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE缺失数据用大写NA表示，数据不确定用NaN表示，数据是无穷用Inf表示（一会全大写，一会大写加小写，一会首字母大写，真是醉了），判断是否为空数据用函数is.na()，判断是否不确定用函数is.nan()，数据是否有限用is.finite()，数据是否为无穷用函数is.infinite()：> z=c(1:3,Na);zError: object 'Na' not found> z=c(1:3,NA);z[1] 1 2 3 NA> is.na(z)[1] FALSE FALSE FALSE TRUE将缺失的数据赋值为0：> z[is.na(z)]=0;z[1] 1 2 3 0下面将这几个有问题的数据放在一个向量中：> z=c(0/1,0/0,1/0,NA);z[1] 0 NaN Inf NA> is.na(z)[1] FALSE TRUE FALSE TRUE> is.nan(z)[1] FALSE TRUE FALSE FALSE> is.finite(z)[1] TRUE FALSE FALSE FALSE> is.infinite(z)[1] FALSE FALSE TRUE FALSE2.vector中元素的下标引用.> a=round(runif(9,min=1,max=9))> a[1] 3 8 8 8 2 7 3 5 3可以看见，与容器不同，vector的下标是从1开始的：> a[0]numeric(0)> a[1][1] 3选取第2和第3个数，引用非常方便：> a[c(2,3)][1] 8 8引用除了第一个值的所有数，用了减号"-"：> a[-c[1]][1] 8 8 8 2 7 3 5 33.vector作为R语言工具，需要了解vector的各种运算。
MATLAB数值计算功能(向量、矩阵、数组、稀疏矩阵)
数值计算功能向量及其运算1、向量生成（1）、直接输入向量元素用“ [ ]”括起来,用空格或逗号生成行向量,用分号生成列向量a1=[11 14 17 18]a2=[11,14,17,18]a2=[11;14;17;18]%列向量用“ ’”能够进行向量转置a1=[11 14 17 18]a4=a1'%a1 行向量,a4 列向量也能够用组合方法：A=[1 2 3];B=[7 8 9];C=[A 4 ones(1,2) B]（2）、等差元素向量生成冒号生成法：Vec=Vec0:n:Vecn,此中Vec表示生成地向量,Vec0表示第一个元素,n表示步长,Vecn 表示最后一个元素使用 linespace 函数： Vec=linespace(Vec0,n,Vecn),此中 Vec 表示生成地向量 ,Vec0 表示第一个元素 ,n 表示生成向量元素个数（默认 n=100） ,Vecn 表示最后一个元素vec1=10:5:50vec2=50:-5:10vec3=linspace(10,50,6)2、向量地基本运算（1）、向量与数地四则运算向量中每个元素与数地加减乘除运算（除法运算时,向量只好作为被除数,数只好作为除数）vec1=linspace(10,50,6)vec1+100vec2=logspace(0,10,6) %对数平分向量vec2/100（2）、向量与向量之间地加减运算向量中地每个元素与另一个向量中相对应地元素地加减运算vec1=linspace(10,50,6)vec2=logspace(0,2,6)vec3=vec1+vec2（3）、点积、叉积和混淆机点积： dot 函数 ,注意愿量维数地一致性x1=[11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]sum(x1.*x2) %还能够采纳sum 函数计算向量地址积叉积： cross 函数 ,注意愿量维数地一致性（由几何意义可知,向量维数只好为3）x1=[11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]x3=cross(x1,x2)%报错 ,维数只好为3x1=[11 22 33]x2=[1 2 3]x3=cross(x1,x2)混淆积：结果为一个数,先求 cross,再求 dota=[1 2 3]b=[2 4 3]c=[5 2 1]v=dot(a,cross(b,c))v=cross(a,dot(b,c)) %报错矩阵及其运算MATLAB地基本单位是矩阵,逗号或空格划分同一行不一样元,分号划分不一样行素1、矩阵地生成4 种方法：在command window直接输入；经过语句和函数产生；M 文件中成立；外面数据文件中导入（1）、直接输入：把矩阵元素直接摆列到方括号中 ,每行元素用逗号或空格相隔 ,行与行之间用分号相隔martix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]冒号用法：A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6]B=A(1:2,:)（2）文件导入：*.mat*.txt*.datload 文件名参数直接导入： File—Import Data2、矩阵地基本数值运算（1）、矩阵与是常数地四则运算（除法时,常数只好作为除数）matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m1=100+matrixm2=100-matrixm3=100*matrixm4=matrix/2（2）、矩阵之间地四则运算加减法：矩阵各个元素之间地加减法,一定是同型矩阵matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m2=m1+matrixm3=[11 22 33;1 2 3;4 5 6]m4=matrix-m1m5=m3+m1 %报错 ,非同型矩阵乘法：用 *, 左矩阵地列数需等于右矩阵地行数A=[1111;2222;3333;4444]B=[1592;6357;2589;4563]C=A*BD=[1 5 9;6 3 5;2 5 8]3*3矩阵相乘E=A*D% 报错 ,4*4 矩阵不可以与除法：左除（ AX=B 则 X=A\B,相当于 X=inv(A)*B, 可是左除稳固性好）右除 / （ XA=B 则 X=B/A,相当于 X=B*inv(A)）个人认为：左除相当于逆矩阵左乘,右除相当于逆矩阵右乘%解方程组XA=B地解 ,本列中 A=[2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1] ;B=[1 -1 3;4 3 2] A=[2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1]B=[1 -1 3;4 3 2]X=B/A矩阵能够使用比较运算符：结果矩阵地对应地点为0 或1数据变换：floorceilroundfixrem[n,d]=rat(A)： A 表示为两个整数阵对应元素相除地形式A=n./d 3、矩阵地特点参数运算（1）、乘方与开方乘方： A^p 计算 A 地 p 次方p>0： A 地 p 次方p<0： A 逆矩阵地abs(p)次方A=[1234;4567;4567;891011]B=A^10开方：如有X*X=A,则有sqrtm(A)=XA=magic(5)B=sqrtm(A)B^2 %考证正确性（2）、指数与对数指数： expm(X)=V*diag(exp(diag(D)))/V （ [V,D]=eig(X)）对数： L=logm(A),与指数运算互逆X=rand(4)Y=expm(X)A=randn(4)（3）、逆运算inv函数 ,充要条件：矩阵地队列式不为0A=[1000;1200;2130;1214]B=inv(A)广义逆矩阵（伪逆）：pinv(A)非奇怪矩阵地pinv 与inv 相同（4）、队列式det函数A=[1000;1200;2130;1214]B=inv(A)x=det(A)y=det(B)i=x*y（5）、特点值E=eig(X)：生成由X 地特点值构成地列向量[V,D]=eig(X)： V 是以 X 地特点向量为列向量地矩阵,D 是由矩阵X 地特点值构成地对角阵D=eigs(X)：生成由X 地特点值构成地列向量（eigs 函数使用迭代法求解矩阵地特点值和特点向量 ,X 一定是方阵,最好是大型稀少矩阵）[V,D]=eig(X)： V 是以X 地特点向量为列向量地矩阵,D 是由矩阵X 地特点值构成地对角阵X=magic(3)A=[1 0 0;0 0 3;0 9 0]E=eig(X)[V D]=eig(X)D=eigs(A)[V D]=eigs(A)（6）、矩阵（向量）地范数norm(X) ： 2-范数norm(X,2) ： 2-范数norm(X,1) ： 1-范数norm(X,inf) ：无量范数norm(X,’fro ’)： Frobenius 范数normest(X) ：只好计算2-范数 ,而且是 2-范数地预计值,用于计算norm(X) 比较费时地状况X=hilb(4)norm(4)norm(X)norm(X,2)norm(X,1)norm(X,inf)norm(X,'fro')normest(X)（7）、矩阵地条件数运算矩阵地条件数是判断矩阵“病态”成都地一个胸怀,矩阵 A 地条件数越大,表示 A 越病态 ,反之 ,表示 A 越良态 ,Hilbert矩阵就是闻名地病态矩阵cond(X)：返回对于矩阵X 地 2-范数地条件数cond(X,P)：对于矩阵X 地 P-范数地条件数（P 为 1、 2、 inf rcond(X)：计算矩阵条件数地倒数值,该值越靠近0 就越病态condest(X)：计算对于矩阵X 地 1-范数地条件数地预计值M=magic(3);H=hilb(4);c1=cond(M)c2=cond(M,1)c3=rcond(M)c4=condest(M)h1=cond(H)h2=cond(H,inf)h3=rcond(H)h4=condest(H)或’fro’）,越靠近 1 就越良态由以上结果能够看出,魔术矩阵比较良态,Hilbert矩阵是病态地（8）、秩rank 函数T=rand(6)rank(T) %6,满秩矩阵T1=[1 1 1;2 2 3]r=rank(T1)%r=2,行满秩矩阵（9）、迹trace 函数 ,主对角线上全部元素地和,也是特点值之和M=magic(5)T=trace(M)T1=eig(M)T2=sum(T1)4、矩阵地分解运算（1）、三角分解（lu）非奇怪矩阵 A（ n*n ）,假如其次序主子式均不为 0,则存在独一地单位下三角 L 和上三角阵 U, 进而使得 A=LU[L,U]=lu(X)：产生一个上三角矩阵U 和一个下三角矩阵L,使得 X=LU,X能够不为方阵[L,U,P]=lu(X)：产生一个单位下三角矩阵L、一个上三角矩阵U 和互换矩阵P,PX=LUY=lu(X)：假如 X 是满矩阵 ,将产生一个lapack’s地 dgetrf 和 zgetrf 地输出常式矩阵Y；假如 X 是稀少矩阵 ,产生地矩阵Y 将包含严格地下三角矩阵L 和上三角矩阵U,这两种状况下,都不会有互换矩阵PX=[6 2 1 -1;2 4 1 0;1 1 4 -1;-1 0 -1 3][L U]=lu(X)[L U P]=lu(X)Y=lu(X)（2）、正交分解（qr ）对于矩阵 A（ n*n ）,假如 A 非奇怪 ,则存在正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R,使得 A 知足关系式 A=QR, 而且当 R 地对角元都为正时 ,QR 分解是独一地[Q,R]=qr(A) ：产生一个与 A 维数相同地上三角矩阵R 和一个正交矩阵Q,使得知足A=QR[Q,R,E]=qr(A)：产生一个互换矩阵E、一个上三角矩阵R 和正交阵[Q,R]=qr(A,0) ：对矩阵 A 进行有选择地QR分解 ,当矩阵 A 为 m*n 前 n 列地正交矩阵QR=qr(A)：只产生矩阵R,而且知足R=chol(A’*A)Q,这三者知足 AE=QR 且m>n, 那么只会产生拥有A=[17 3 4;3 1 12;4 12 8] [Q R]=qr(A)[Q R E]=qr(A)[Q R]=qr(A,0)R=qr(A)[Q,R]=qrdelete(A,j)：去除第[Q,R]=qrdelete(A,j,x)：在第j 列求 QR分解j 列插入 x 后求QR分解（3）、特点值分解（eig）[V,D]=eig(X)：V 是以矩阵X 地特点向量作为列向量构成地矩阵,D 是矩阵X 地特点值构成地对角阵 ,知足XV=VD[V,D]=eig(A,B)：对矩阵 A、B 做广义特点值分解 ,使得 AV=BVDA=magic(4)[V D]=eig(A)Z=A*V-V*DB=[17 3 4 2;3 1 12 6;4 12 8 7;1 2 3 4][V D]=eig(A,B)Z=A*V-B*V*D（4）、 Chollesky 分解（ chol）当矩阵A（ n*n ）对称正准时,则存在独一地对角元素为正地上三角矩阵R,使得 A=R’*R,当限定 R 地对角元素为正地时候 ,该分解是独一地当矩阵 A 为非正定阵时 ,会提示犯错A=[4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5]R=chol(A)R'*R %=AA=[0 4 0;3 0 1;0 1 3]R=chol(A) %报错 ,A 为非正定阵（5）奇怪值分解（svd）[U,S,V]=svd(X)：与矩阵 X 维数相同地对角阵 S、正交矩阵 U 和正交矩阵 V,使得知足 X=USV’[U,S,V]=svd(X,0)：X 为 M*N 矩阵 ,当 M>N 时 ,生成地矩阵 U 只有前 N 列元素被计算出来 ,而且 S为 N*N 矩阵X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12ckl[U S V]=svd(X,0)Schur分解（正交阵和schur阵）[U,T]=schur(A)： A=UTU’schur阵是主对角线元素为特点值地三角阵5、矩地一些特别理size(A)：求矩 A 地行数、列数diag(A):求出矩 A 地角元素repmat(A)：将矩 A 作位 ,成 m*n 矩 ,此中每个元素都是cat(k,A,B)： k=1 归并后形如 [A;B]（ A,B 列数相等）； k=1 归并后形如（1）、矩地A 矩[A,B]（ A,B 行数相等）reshape(X,M,N) ：将矩X 地全部元素分派到一个M*N地新矩,当矩X 地元素不是M*N ,返回reshape(X,M,N,P,⋯)：返回由矩X 地元素成地M*N*P*⋯多矩,若果M*N*P*⋯与X 地元素数不一样 ,将返回reshape(X,[M,N,P,⋯]) ：与上一条相同A=rand(4,2)reshape(A,2,4)reshape(A,[2,2,2])用冒号：A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];B=ones(2,6);B(:)=A(:)（2）、矩地向rot90(A) ： A 按逆旋rot90(A,K) ： A 按逆旋filpud(X) ：将 X 上下翻90 度90*K度fliplr(X) ：将X 左右翻flipdim(X,DIM) ：将 X 地第 DIM 翻X=[1 4;2 5;3 6]rot90(X)rot90(X,-1)flipud(X)fliplr(X)flipdim(X,2)%左右翻6、特别矩地生成（1）、零矩和全 1 矩地生成A=zeros(M,N)：生成 M*N 地零矩A=zeros(size(B))：生成与 B 同型地零矩A=zeros(N)：生成 N 零矩仿真全 1 矩地生成与零矩地生成似,使用ones 函数A=zeros(4,5)B=[12345;23456;98765;87654]A=zeros(size(B))A=zeros(5)C=ones(5,6)C=ones(3)（2）、角矩地生成A=diag(V,K)： V 某个向量 ,K 向量 V 偏离主角地列数,K=0 表示 V 主角 ,K>00 表示 V 在主对角线以上,K<0 表示 V 在主对角线以下A=diag(V)：相当于K=0v=[1 9 8 1 6]diag(v,1)diag(v)（3）、随机矩阵地生成rand(N) ：生成 N*N 地随机矩阵 ,元素值在 (0.0,1.0) 之间rand(M,N)randn(N) ：生成 N*N 地随机矩阵 ,元素之听从正态散布N(0,1)randn(M,N)rand(5)randn(5)（4）、范德蒙德矩阵地生成A=vander(V)：有 A(I,j)=v(i)n-jv=[1 3 5 7 9]A=vander(v)（5）、魔术矩阵地生成它是一个方阵 ,方阵地每一行,每一列以及每条主对角线地元素之和都相同（ 2 阶方阵除外）magic(N)：生成N 阶魔术矩阵 ,使得矩阵地每一行,每一列以及每条主对角线元素和相等,N>0（N=2 除外）magic(2)magic(3)magic(4)（6）、 Hilbert 矩阵和反Hilbert 矩阵地生成Hilbert 矩阵地第i 行、第 j 列地元素值为1/(i+j-1), 反 Hilbert 矩阵是 Hilbert 矩阵地逆矩阵hilb(N) ：生成 N 阶地 Hilbert 矩阵invhilb(N) ：生成 N 阶地反 Hilbert 矩阵A=hilb(5)B=invhilb(5)C=A*Brandpem(n)：随机摆列hess(A)： hess矩阵pascal(n)： Pascal矩阵hankel(c)： Hankel 矩阵wilkinson(n)： wilkinson 特点值测试矩阵blkdiag(a,b,c,d)：产生以输入元素为对角线元素地矩阵注： diag 函数地输入参数只好有一个（能够为向量）compan(u)：友矩阵hadamard(n)： hadamard 矩阵toeplitz(c,r)：托布列兹阵数组及其运算1、数组寻址和排序（1）、数组地寻址A=randn(1,10)A(4) %接见 A 地第 4 个元素A(2:6)%接见 A 地第 2 到 6 个元素A(6:-2:1)A([1 3 7 4])%接见 A 中 1、3、 7 和 4 号元素A(4:end) %end 参数表示数组地结尾（2）、数组地排序sort(X)：将数组X 中地元素按升序排序X 是多维数组时 ,sort(X)命令将 X 中地各列元素按升序排序X 是复数时 ,sort(X)命令将 X 中地各个元素地模abs(X)按升序排序X 是一个字符型单元数组,sort(X)命令将 X 中地各列元素按ASCII码升序排序Y=sort(X,DIM,MODE)：DIM 选择用于摆列地维,MODE 决定了排序地方式（’ascend’升序 ,’descend’降序） ,该命令生成地数组Y与 X 是同型地X=[3 7 5;0 4 2]sort(X,1) %纵向升序排序sort(X,2) %横向升序排序sort(2)2、数组地基本数值运算（1）、加减法（与矩阵加减法相同）X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X-YV=X+Y（2）、数组地乘除法乘法用“ .* ”： X、 Y 有相同维数 ,X.*Y 表示 X 和 Y 中单个元素之间地对应乘积除法用“ ./ ”：注意“ ./ ”和“ ”完整不一样X=[10 52 96 12 56]Y=[2 26 3 4 8]Z=[10 52 96 12 56 42]Z1=X.*YZ2=X.*Z%报错 ,维数问题Z3=X./Y%Z3=5,2,32,3,7Z4=X.\Y %Z4=0.2,0.5,0.0313,0.3333,0.1429Z5=X.\Z%报错 ,维数问题（3）、数组地乘方两个数组之间地乘方X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X.^Y乘方运算时指数为标量X=[3 6 9]Z=X.^3乘方运算时底数为标量X=[456789]Z=3.^X数组和矩阵也能够进行exp、 log、 sqrt 等运算 ,是对每个对应元素进行运算3、数组地关系运算小于（ <）,小于等于（ <=） ,大于（ >）,大于等于（ >=） ,等于（ ==） ,不等于（ ~=） ,结果为 1, 则关系式为真 ,结果为 0,则关系式为假%rem(X,n),求余函数 ,X 为被除数 ,n 为除数M=magic(7)N=(rem(M,3))N=(rem(M,3)<=1)N=(rem(M,3)==1)N=(rem(M,3)>=1)4、数组地逻辑运算,非运与（ &）,或（ | ）,非（ ~）,此中与、或能够比较两个标量或许两个同阶数组（或矩阵）算时针对数组（或矩阵中地每一个元素）,当逻辑为真则返回1,当逻辑为假则返回0M=[1 1 0;0 1 0;1 0 0]N=[1 0 1;1 1 1;0 0 0]M|NM&N~Ncat：串接flipdimfliplrflipudkron：积数组permute：重组repmatreshaperot90稀少型矩阵1、稀少矩阵地生成（1）、 speye 函数：生成单位稀少矩阵speye(size(A))speye(M,N) ：维数为M 和N 中较小地一个speye(N)A=eye(10)speye(size(A))speye(7,6)speye(5)（2）、 sprand 函数：生成随机稀少矩阵（元素听从0-1 之间地随机散布）R=sprand(S)：产生与稀少矩阵S 构造相同地稀少矩阵,但它地元素都是0-1 上地随机数Rsprand(M,N,D) ：产生一个M*N 地随机稀少矩阵R,它地非您元素地个数近似为M*N*D, 注意D 地值在 0-1 之间且不要过大v=[3 5 6 2 1 9 6 5 5 6]S=diag(v)R=sprand(S)R=sprand(10,10,0.08)（3）、 sparse 函数S=sparse(X)：将矩阵 X 转变为稀少矩阵SS=sparse(I,j,s,m,n,nzm)：生成 m*n 地稀少矩阵 S,向量 s 地元素散布在以向量i 地对应值和向量 j 地对应值为坐标地地点上 ,此中 nzm=length(s)S=sparse(I,j,s)：生成 m*n 地稀少矩阵S,向量 s 地元素散布在以向量i 地对应值和向量 j 地对应值为坐标地地点上,此中 m=max(i),n=max(j)S=sparse(m,n)：是 sparse([],[],[],m,n,0)地简化形式i=[6 2 7 7 4 1 2 5]j=[1 3 2 7 2 8 3 2]s=[8 3 7 7 1 7 0 2]X=diag(s,-2)S=sparse(X)S1=sparse(i,j,s,10,10,7)%报错 ,nzmax=length(s)S1=sparse(i,j,s,10,10,8)S2=sparse(i,j,s,10,9)%默认 nzmax=length(s)S2=sparse(i,j,s)%m=max(i),n=max(j)2、稀少矩阵地操作（1）、 nnz 函数：用于求非零元素地个数nz=nnz(S)：返回 S总非零元素个数D=nnz(S)/prod(size(S))：表示稀少矩阵S 中非零元素地密度v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,-1)nz=nnz(S)D=nnz(S)/prod(size(S))（2）、 sponse 函数R=sponse(S)：生成一个与稀少矩阵 S 构造相同地稀少矩阵 R,可是在矩阵 S 中地非零元素地地点上用元素 1 替代S=sprandsym(10,0.05)R=spones(S)（3）、 spalloc 函数S=spalloc(m,n,nzm)：生成一个全部元素都为0 地m*n阶稀少矩阵,计算机利用这些空间来存储 nzm 个非零元素n=3;v=sprand(n,1,0.33) s=spalloc(n,n,1*n)%生成%分派3*13*3地稀少列向量地空间 ,最后能够储存 3 个非零元素for j=1:ns(:,j)=(v)%v 为含有一个非零元素地稀少列向量end（4）、 full 函数S=full(X)：将稀少矩阵（三元组表示）变换为满矩阵（矩阵表示）s(6,1)=8;s(4,2)=1;s(5,3)=60;s(6,2)=57;s(1,7)=25;s(3,8)=37;full(s)（5）、 find函数I=find(X)：返回矩阵X 地非零元素地地点,如 I=find(X>100) 返回X 中大于100 地元素地地点[I,J]=find(X) ：返回 X 中非零元素所在地行I 和列 J 地详细数据[I,J,V]=find(X)：除了返回I 和 J,还返回矩阵中非零元素地值V注：find(X) 和 find(X~=0)会产生相同地I 和 J,可是后者会生成一个包含全部非零元素地点地向量S(10,50)=82;S(32,14)=82;S(251,396)=25;I=find(S)[I J]=find(S)[I J V]=find(S)（6）、 issparse 函数issparse(S)：返回值为 1 说明矩阵S 是一个稀少矩阵,返回值为0 时说明矩阵S 不为稀少矩阵v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,2)R=sparse(S)N=issparse(S) %返回 0,不为稀少矩阵Y=issparse(R) %返回 1,为稀少矩阵。
matlab的数组
matlab的数组Matlab中的数组是一个多功能数据结构，可以用来存储和操作多维数值数据。
Matlab中的所有变量都可以被看作是一个数组，包括标量、向量和矩阵等。
Matlab中的数组可以分为两种：数值数组和字符数组。
数值数组包括向量、矩阵和多维数组，可以存储数字、逻辑值和复数等。
字符数组包括字符及字符串，可以存储字符或字符串值。
数值数组可以通过以下方式创建：1.直接定义。
例如，创建一个包含[1,2,3]值的行向量：```。
a=[123];。
```。
2.程序生成。
例如，创建一个包含0-4的行向量：```。
b=0:4;。
```。
3.函数返回值。
例如，使用linspace函数创建一个包含10个等间隔的数的行向量：```。
c = linspace(0, 2*pi, 10);。
```。
4.文件读取。
例如，从文件中读取一个矩阵：```。
d = load('data.txt');。
```。
字符数组可以通过以下方式创建：1.直接定义。
例如，创建一个包含'matlab'字符串的字符数组：```。
text = 'matlab';。
```。
2.函数返回值。
例如，使用sprintf函数生成一个向量字符串：```。
ans = sprintf('The result is: %f', 2.5);。
```。
Matlab提供了大量强大的数组操作函数，可以从数组中选择、排序、过滤等，对数组进行各种变换和计算。
一旦熟悉了Matlab的数组操作函数，会发现Matlab非常适合进行数值计算和处理。
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多项式的四则运算
• 除法
– 在数值计算中，经 常需要用一个多项 式去除另一个多项 式。在MATLAB 7 语言中，使用 decon函数来完成 该项功能。
• • • • • • • • • • >> a=[1 2 3 4],b=[5 6 7 8]; >> c=conv(a,b); >> d=deconv(c,a); >> e=deconv(c,b) >> x=poly2sym(d),y=poly2sym(e) x= 5*x^3+6*x^2+7*x+8 y= x^3+2*x^2+3*x+4 >>
• 在MATLAB 7中，生成向 量最简单的方法就是在命 令窗口中按一定格式直接 输入。输入的格式要求是， 向量元素用“[ ]”括起来， 元素之间用空格、逗号或 者分号相隔。需要注意的 是，用它们相隔生成的向 量形式是不相同的：用空 格或逗号生成行向量；用 分号生成列向量。
• • • • • • • • • • • • • >> a2=[15,21,27,93,101]; >> a1=[15;21;27;93;101]; >> a1 a1 = 15 21 27 93 101 >> a2 a2 = 15 21 27 93 101 >>
(3) 向量与数的四则运算
• 向量与数的加法(减法)： 向量中的每个元素与 数的加法(减法)运算。 • 向量与数的乘法(除法)： 向量中的每个元素与 数的乘法(除法)运算。
• >> vec1=80:-9:10 • vec1 = • 80 71 62 53 44 35 26 17 • >> vec1+101 • ans = • 181 172 163 154 145 136 127 118 • >>
3 多项式运算
多项式表示及其四则运算
1．MATLAB的多项式表示 对多项式：
p( x) an xn an 1xn 1 a1x1 a0
用其系数的行向量p=[an, an-1, …,a1, a0]来表示。注意：如果 x的某次幂 的系数为零，这个零必须列入系数向量中。例如一个一元3次多项式：
1100
1100
(5) 点积、叉积和混合积
• 两个向量的点积等于其中一个向量的模与另一个向量在 这个向量的方向上的投影的乘积 • 叉积的几何意义是指过两个相交向量的交点，并与此两 向量所在平面垂直的向量
• 点积 运算 • >> x1=[11 22 33 44] • >> x2=[1,2,3,4] • >> a=dot(x1,x2) • a= • 330 • >> sum(x1.*x2) • ans = • 330 • >> • 叉积运算 • >> x1=[11 22 33] • x1 = • 11 22 33 • >> x2=[1 2 3] • x2 = • 1 2 3 • >> x3=cross(x1,x2) • x3 = • 0 0 0
多项式拟合与多项式插值
9．多项式拟合函数polyfit( ) 格式：p=polyfit(x,y,n) 功能：利用已知的数据向量x和y所确定的数据点，采用最小二乘法构造出n阶 多项式去逼近已知的离散数据，实现多项式曲线的拟合。其中p是求出的多项式 系数，n阶多项式应该有n+1个系数，故p的长度为n+1。 10．多项式插值 插值和拟合的不同点在于：①插值函数通常是分段的，人们关心的不是函数的表 达式，而是插值出的数据点；②插值函数应通过给定的数据点。 (1)一维插值函数interpl( ) 格式：yi＝interpl (x, y, xi, 'method') 功能：为给定的数据对(x,y)以及x坐标上的插值范围向量xi，用指定所使用的插 值方法method实现插值。yi是插值后的对应数据点集的y坐标。插值的方法method 有以下6种可供选择： nearest(最邻近插值法)、linear(线性插值)、 spline(三次样条 插值)、cubic(立方插值)、pchip(三次Hermite插值)、v5cubic。
多项式的求值
• polyval函数对多项式进 行求值，以数组为计算 单位。
• >> p=[1.0000 -20.0000 16.0000 480.0000 98.0000] • p= • 1 -20 -16 480 98 • >> x=4 • x= • 4 • >> polyval(p,x) • ans = • 738
2. 数组及其运算
（1） 数组寻址
• 通过对数组下表的访 问来实现数组寻址
• >> A=rand(1,5) • A= • 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 • >> • >> A(4) • ans = • 0.4860 • >> >> A(2:3) • ans = • 0.2311 0.6068
多项式的四则运算
• 乘法
– 使用conv函数对多项式 进行乘法运算。 格式 为c=conv(a,b)，其中a 和b为两个多项式的系 数向量，c为相乘所生 成的多项式的系数向量。
• • • • • • • • • • • >> a=[1 2 3 4],b=[5 6 7 8]; >> Y1=poly2sym(a) Y1 = x^3+2*x^2+3*x+4 >> Y2=poly2sym(b) Y2 = 5*x^3+6*x^2+7*x+8 >> c=conv(a,b); >> Y=poly2sym(c) Y= 5*x^6+16*x^5+34*x^4+60 *x^3+61*x^2+52*x+32
ห้องสมุดไป่ตู้
>> P=[3 5 0 1 0 12] P= 3 5 0 1 0 12 >> y=poly2sym(P) y= 3*x^5+5*x^4+x^2+12 >> disp(y) 3*x^5+5*x^4+x^2+12 >>
2．多项式的根 求解多项式的根，即p(x)=0的解。 格式：r=roots(p) 功能：返回多项式p(x)的根。注意，MATLAB按惯例规定，多项式是 行向量，根是列向量。
• • • • • • • • • • >> p=[1 0 3 12 -7] p= 1 0 3 12 -7 >> roots(p) ans = 0.7876 + 2.4351i 0.7876 - 2.4351i -2.0872 0.5121 >>
• 在MATLAB 7语言里，多项式 由一个行向量表示，设为p，它 的系数按降序排列，使用roots 函数可以求出该多项式的根。 其使用格式为roots(p)。
p(x) x 3 2x 5
可表示成行向量：p=[1,0,–2, 5]。
直接输入系数向量创建多项式 • 由于在MATLAB 7中多项式是 以向量的形式存储的，直接输 入向量，MATLAB 7将按降幂 自动把向量的元素分配给多项 式各项的系数。而该向量可以 是行向量，也可以是列向量 。
• • • • • • • • •
多项式的四则运算
• 求导和积分
– 在MATLAB 7语 言中，分别使用 polyder函数和 polyint函数来求 多项式的导数与 积分。
• • • • • • • • • • >> p=[3 1 8 8] p= 3 1 8 8 >> q=polyder(p) q= 9 2 8 >> p1=polyint(q) p1 = 3 1 8 0 >>
（3）数组的关系运算
• 两个数通常可以用6种关系来进行描述：小于(<)、小于等于 (< =)、大于(>)、大于等于(> =)、等于(= =)和不等于(~ =) • 比较两个元素的大小时，如果结果为1，则表明关系式为真； 如果结果为0，则表明关系式为假。例如关系式4+3<=6(数学 语言表示4与3的和小于等于6)，通过上面的叙述可知，此关 系式的结果为0，标明关系式为假。
7．多项式求值函数polyval( ) 利用函数polyval可以求得多项式在某一点的值。 格式：y=polyval(p,x) 功能：返回多项式p在x处的值。其中x可以是复数，也可以是数组。
8．部分分式展开函数residue( ) 格式：[r,p,k]=residue(b,a) 功能：把b(s)/a(s)展开成： r r r b( s ) 1 2 n ks a ( s ) s p1 s p 2 s pn 其中r代表余数数组，p代表极点数组，ks代表部分分式展开的常数项。 当分母多项式的阶次数高于分子多项式的阶次数时ks=0
（4）数组的逻辑运算
• 在各种逻辑运算中，有3种逻辑运算：与(&)、或(|)和非(~)。 “&”和“|”操作符号可以比较两个标量或者两个通解数组(或 矩阵)；对于逻辑非“~”是一个一元操作符。但是对于数组 (矩阵)，逻辑运算是针对于数组(矩阵)中的每一个元素。同 样，当逻辑为真时，返回值为1；当逻辑为假时，返回值为0。 • 在MATLAB 7中，逻辑运算通常可以用来生成只含有元素0 和1的矩阵。
（2）数组的基本数值运算
• 数组的加法(减法) • 数组的乘法(除法) • 数组的乘方
• 加减法 • >> X=[1 4 7]; • >> Y=[2 5 8]; • >> Z=X-Y • Z= • -1 -1 -1 • >> V=X+Y • V= • 3 9 15 • >> • 乘方 • • • • • • • • • >> X=[1 4 7] X= 1 4 7 >> Y=[2 5 8] Y= 2 5 8 >> Z=X.^Y Z= 1 1024 5764801