[配套K12]2016届中考数学 2.4 一元二次方程根与系数的关系(1)学案(无答案)
九年级数学一元二次方程的根与系数的关系
九年级数学一元二次方程的根与系数的关系一、一元二次方程的根与系数的关系在我们生活中，有很多问题都可以用一元二次方程来解决。
那么，什么是一元二次方程呢？简单来说，就是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的常数，x 是未知数。
而这个方程的解，就是我们要找的那个未知数x。
那么，如何求解这个方程呢？这就需要我们了解一元二次方程的根与系数的关系。
我们来看一下一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0。
在这个方程中，a、b、c 是已知的常数，而x是未知数。
我们的目标就是求出x的值。
为了实现这个目标，我们需要先了解一下一元二次方程的根与系数的关系。
二、一元二次方程的根与系数的关系1. 根的概念在一元二次方程中，x是未知数，而a、b、c是已知的常数。
我们的目标就是求出x的值。
为了实现这个目标，我们需要先了解一下根的概念。
根是指一个数与其对应的幂次相乘所得的结果等于原方程。
例如，对于方程ax^2+bx+c=0,它的两个根分别是：(1)当b^2-4ac≥0时，有两个实数根，分别为：x_1=(-b±√(b^2-4ac))/2ax_2=(-b±√(b^2-4ac))/2a(2)当b^2-4ac<0时，无实数根。
这里我们需要注意的是，当b^2-4ac<0时，方程没有实数根；而当b^2-4ac≥0时，方程有两个实数根。
这两个实数根分别称为一元二次方程的两个根。
2. 系数的概念在一元二次方程中，a、b、c是已知的常数。
它们分别表示了方程中各项的系数。
具体来说，a表示x^2项的系数，b表示x项的系数，c表示常数项的系数。
在求解一元二次方程时，我们需要关注这些系数之间的关系。
三、一元二次方程的解法及步骤在了解了一元二次方程的根与系数的关系之后，我们就可以运用这些知识来求解一元二次方程了。
下面我们来看一下求解一元二次方程的具体步骤：1. 我们需要判断方程是否有实数根。
根据前面我们学过的知识，当b^2-4ac≥0时，方程有实数根；而当b^2-4ac<0时，方程没有实数根。
人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根与系数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.培养学生的数学建模素养，通过运用根与系数的关系解决实际问题，使学生能够建立数学模型，感受数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：一元二次方程的根与系数的关系，特别是根的判别式Δ=b²-4ac的应用。
-重点内容：
-判别式Δ的物理意义及其与方程根的关系。
-根与系数的关系式x₁+x₂=-b/a和x₁x₂=c/a的推导和应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.能够运用根与系数的关系解决实际问题，如求解二次方程的根、判断根的符号等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索一元二次方程的根与系数的关系，使学生能够运用逻辑推理分析问题，从而提高解决问题的能力。
2.培养学生的数学抽象素养，让学生从具体的方程实例中抽象出根与系数之间的关系，培养学生对数学规律的抽象概括能力。
2.4一元二次方程根与系数的关系.4一元二次方程根与系数的关系教案
第 2 章一元二次方程2.4一元二次方程根与系数的关系课题：2.4一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。
2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。
4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。
教学重点：根与系数的关系的推导及其简单应用。
教学难点：正确理解根与系数的关系。
教学过程：（一）问题引探问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c 的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。
问题2.解方程x2-5x+6=0.先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？问题3.解下列方程：（1）2x2+5x+3=0 （2）3x2-2x-2=0你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________.问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。
分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。
即：如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2=_____ ，x1x2= _______（二）尝试发展试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k 是常数）（1）2x2-3x+1=0 x1+x2= ________ x1x2= _________（2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= __________（3）5x2+x-2=0 x1+x2= _________ x1x2= __________（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= _________尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为，求它的另一个根及k的值。
历年初三数学一元二次方程根与系数之间的关系一及答案
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的关系从暑假开始,我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中的第六章解直角三角形.一、基本内容1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数的次数最高是2的整式方程叫一元二次方程.2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0)3.解法:①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)的形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得:513±=-x 513±=x 351,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x解:1232=-x x 31322=-x x 913191322+=+-x x 94)31(2=-x 3231±=-x 3231±=x 31,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式的推导用这种方法.③公式法:)0(2)0(02≥∆∆±-=≠=++ab x ac bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0的形式,变成两个一元一次方程来解.4.根的判别式:△=b 2-4acb 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根.b 2-4ac<0 方程无实根.b 2-4ac ≥0 方程有实根.有三种应用:①不解方程确定方程的根的情况.②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等)利用Δ建立不等式求m 或k 的取值范围.③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.5.根与系数间的关系,某x 1,x 2是ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根,则ac x x a b x x =⋅-=+2121,. 应用:①不解方程,求方程中m 或k 的值或另一根.②不解方程,求某些代数式的值.③利用两根的关系,求方程中m 或k 的取值范围.④建立一个方程,使它与原方程有某些关系.⑤一些杂题.二、本次练习:(一)填空题:1.关于x 的方程mx mx m x x -=-+2223是一元二次方程,则m=____.2.将方程4x 2-kx+k=2x-1化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是____,常数项是____.3.代数式(x+2)2+(x-2)2的值与8(x 2-2)的值相等,则x=____.4.x x 252-+( )=(x- )2 5.方程2x 2+(k-1)x-6=0的一个根是2,则k=____.6.已知方程3x 2-2x-1=0的两根是x 1,x 2,则2221x x +=____;2112x x x x +=____; 3231x x +=____;2111x x +=____;||21x x -=____. 7.已知2x 2-(2m+1)x+m+1=0的两根之比是2:3,则m=____.8.以3和32-为根的方程是____. 9.以235,235-+为根的方程是____. 10.以2x 2-3x-1=0的两根平方和及倒数和为根的方程是____.11.以2x 2-5x+1=0的两根平方根的方程是____.12.以比3x 2-2x-4=0的两根大3的数为根的方程是____.13.以2x 2-3x-1=0的两根的相反数为根的方程是____.14.已知8x 2-(m-1)x+m-7=0的两根异号,且正根的绝对值大,则m 的取值范围是____.若它的两根互为相反数,则m=____.若m 互为倒数,则m=____.15.关于x 的一元二次方程x 2+2x+m=0的两根差的平方是16,则m=____.16.已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2=1有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.17.关于x 的方程(k-2)x 2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.18.已知方程kx 2-2kx+k=x 2-x+3有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.19.关于x 的方程2x(kx-4)-x 2+6=0无实根,则k 的最小整数值是____.20.已知2x 2+(2m+1)x-m=0的两根平方和是413,则m=____.21.设x 1,x 2是关于x 的方程x 2+4k+3=0的两实根.y 1,y 2是关于y 的方程y 2-k 2y+p=0的根.若x 1-y 1=2,x 2-y 2=2则k=____,p=____.22.已知关于x 的方程2x 2+2x+c=0的根是x 1,x 2,则3||21=-x x ,那么c 的值是____.(二)解下列方程 1.030222=-+x x2.0532=--x x3.)5(2)5(32x x -=-4.8)12(212=-x 5.)(02722用配方法=+-x x6.0432=+-x x7.04)(22=--+ab x b a x 8.013482=--x x 9.)1(2322+=x x10.0)(222=---ab x b a abx11.0)23(22=-+--n n m x m x。
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲一元二次方程根与系数的关系及其应用一元二次方程ax bx c a 200++=≠()的根x x 12、是由系数a 、b 、c 决定的，它们之间有密切的关系。
x x b a x x c a1212+=-=， 这就是根与系数的关系，也称为韦达定理。
反之，一元二次方程的两根也制约着这个方程的系数，当a =1时，有()b x x =-+12，c x x =12，从而有以两个数x x 12、为根的二次项系数为1的一元二次方程是()x x x x x x 212120-++=。
需要指出，韦达定理应该是在判别式大于等于零的前提下使用，即在保证一元二次方程有实数根的条件下使用。
一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系，利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根，求根的代数式的值，构造方程，确定系数等问题，它是中学数学中的一个有用的工具。
例（2002·南京）已知：关于x 的方程x kx 220--= （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x x 12、，如果()21212x x x x +>，求k 的取值范围。
解：（1）证明： ∆=-=+>b ac k 22480 ∴原方程有两个不相等的实数根 （2） x x k x x 12122+==-， 又() 21212x x x x +>∴>-∴>-221k k说明：本题侧重考察对基本知识点的掌握，难度不大，可以说是中考中的送分题，同学们应该把这类题的分数拿到手。
例（2000上海）已知关于x 的一元二次方程()mx m x m m 221200--+-=>()（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根分别为x x 12、，且()()x x m 12335--=，求m 的值。
解：（1）证明：()[]()∆=----21422m m m=-+-+=+441484122m m m m mm m >∴4+>010， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）由()()x x m 12335--= ()x x x x m 12123950-++-=x x m mx x m m1212212+=-=-()∴---+-=m m m mm 2321950 解得：m m 12115==-，经检验m m 12、都是方程的根。
(完整word)一元二次方程根与系数的关系
12。
4一元二次方程的根与系数的关系中考考点1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理).2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数.3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解1．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2=—，x1·x2=。
2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1）（x—x2）=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0 (a≠0）.3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1，x2时,那么x1+x2=—p，x1·x2=q。
反之,以x1，x2为根的一元二次方程是：(x-x1）(x—x2）=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1)已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根,求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
(3）已知一元二次方程，不解方程,可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1，x2，不解方程,求x12+x22的值。
［∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=（x1+x2）2—2x1x2=（)2-2×=]（4)验根、求根、确定根的符号.（5）已知两根,求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程).（6）已知两数和与积,求这两个数.（7)解特殊的方程或方程组.考题评析1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）(A）3,2 （B）-3,—2 （C）3，-2 （D)-3，2考点:一元二次方程的根与系数关系。
初三数学一元二次方程的根与系数的关系
初三数学一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系，就像是一场神秘又有趣的魔法秀。
你看啊，一元二次方程ax²+bx+c = 0（a≠0），它的两个根x1和x2就像两个调皮的小精灵。
而根与系数之间的关系呢，就像是一条神奇的纽带，把它们紧紧地拴在了一起。
韦达定理就像是这个魔法世界的一个秘籍。
x1+x2=-b/a，这就好比是两个小精灵在跳双人舞，它们的舞步总和与这个方程的系数b和a有着一种奇妙的默契。
就好像是它们按照上帝设定好的舞步规则，不管怎么跳，这个总和是固定的，按照-b/a这个节奏来。
再看x1x2=c/a，这就像两个小精灵在分享宝藏。
它们所分享的宝藏数量和方程里的系数c和a又有了这样奇特的联系。
如果把方程想象成一个大宝藏箱，那这两个根小精灵按照这个规则来分配宝藏，简直太有趣了。
有时候我觉得一元二次方程的根就像一对双胞胎，虽然它们各自独立，但又被系数这个“家长”管着。
不管它们怎么折腾，都逃不出根与系数关系这个“家规”。
要是方程的系数是厨师，根就是厨师做出来的菜。
不同的系数组合（厨师的厨艺），就会做出不同的根（菜肴），但这些菜肴（根）的味道（根与系数的关系）总是遵循着韦达定理这个美食菜谱。
当我们去求解一元二次方程的根的时候，就像是在寻找这两个小调皮鬼的藏身之处。
而根与系数的关系呢，就像是它们留下的小线索。
只要我们掌握了这个线索，就像是拥有了魔法棒，能轻松地在方程这个魔法森林里找到它们。
而且这个关系还特别有用。
比如说在一些复杂的数学题里，就像在一个充满迷雾的迷宫里，根与系数的关系就是那根能指引方向的丝线。
我们抓住这根丝线，就能顺利地走出迷宫，找到答案这个宝藏。
它也像一把万能钥匙，不管一元二次方程的题目怎么千变万化，只要我们掏出这把钥匙，就能打开通往正确答案的大门。
这根与系数的关系，真的是一元二次方程这个小世界里最奇妙的魔法规则了。
湘教版九年级数学 2.4 一元二次方程根与系数的关系(学习、上课课件)
感悟新知
知2－练
例3 [中考·来宾]已知实数x1，x2 满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，
则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12＝0
B. x2＋7x＋12＝0
C. x2＋7x－12＝0
D. x2－7x－12＝0来自悟新知知2－练解题秘方：直接用以x1，x2 为根的一元二次方程是x2－ (x1＋x2)x＋x1x2＝0 求解.
第二章 一元二次方程
*2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根与系数的关系
二次项系数为 1 的一元二次方程 的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程根与系数的关系
知1－讲
1. 一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0时，设方程的两个实数根
感悟新知
知1－练
例2 [期末·长沙开福区]已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m ＝ 0(m ＜ 0)． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为 －1，求 m 的值和方程的另一个根．
感悟新知
知1－练
解题秘方：根据两根的和与积分别与系数的等量 关系，列关于未知根的方程求解 .
课堂小结
一元二次方程根与系 数的关系
判定两根的符号
使用条件 两根之和 两根之积
一元二次
意义 方程根与 应用 系数的
关系
已知一根求另一根 及字母的值
求涉根代数式的值
构建以两已知数为 根的一元二次方程
知1－练
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2.4一元二次方程根与系数的关系（1）
【学习目标】
1、发现与了解一元二次方程根与系数的关系；
2、会利用根与系数的关系求有关代数式的值；
3、会利用根与系数的关系解决已知一根求另一根及未知系数的问题. 【前置学习】
1.解方程，求出两个解1x 和2x ，计算两个解的和与积填入下表．
2.观察表格中方程两个解的和，两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论。
【典型例题】
例1、（1）方程2
560x x -+=的两根为121,6x x ==，你认为正确吗？为什么？
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根的和与积。
①0192=-x ②226x x -= ③2
3210x x -+=
例2、已知21x x ，是方程2
2960x x -+=的两个根，求下列各式的值； （1）
2
111x x + （2）2
221x x + （3）12(3)(3)x x -- （4）21x x -
例3、已知关于x 的一元二次方程2
30x mx ++=的一个根是-1，求它的另一个根及m 的值.
变式练习：已知2是关于x 的一元二次方程2
40x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的
值。