拓展课：因式分解中的拆项、添项法复习过程
因式分解中的“拆”与“添”
添 项法是技巧性较强 的变形 ， 通过 拆项法 最 终 达 到分 解 因式 的 目的． 或添项 法配成 完全 平方式 或进 行适 当分
解 ： 原 式 ＝（ ： ６ ４ － ￣ ） ＋（ ２ 一 ２ ） 一（ ‰ 一
（ — １） （ ＋ ２ ｘ 一 ８） （ ｘ ＋ １） （ 一１ ） （ ｘ ＋ ４） （ ｘ － ２ ） ．
２ （ １ ） （ １ ） 一 ２ （ １ ＋ ｙ ）
＝
［ （ １ ＋ ， ， ） ＋ （ １ 一 ｙ ） Ｙ 一 ２ ｘ （ １ 一 ｙ ＋ １ ＋ ）
（ ｘ ｍ － ｘ ２ ｙ ＋ ｙ ＋ １） Ｌ
组 分 解 是 常 见 的 思 路 ．而 想 要 做 到 这 ～ ８） ＝ （ 一１） ＋ ２ ｘ （ ： ６ ２ － １ ） ～ ８ （ －１ ）
圈 垒 ｚ
因式分解 中的“ 拆 ＂ 与“ 添＂
一广东省揭西县第一中学 李伟锋
关键词 ： 因式分解 拆项法 添 项 法
解法一 ：
因式 ３ ａ ｂ提 出 ， 含有（ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ） ， 而（ ａ ＋ ｂ）
因式分 解是多项式乘法 的逆 向运 算 ， 是代 数恒等 变形 的基 础 ， 体现 了一种 “ 化 归” 的思想 ． 提 取公 因式 法 、 公式 法 、 二次
三项式 的“ 十字相乘 法” 、 分 组 分 解 法 是 因
原 式 。 ＋ ２ ｘ ＋ ６ ｘ ｚ ＋ １ ７ ｘ ＋ ｌ ０
＝
３ － ｃ 。 中可 以用立 方和公式 展开 ，也 含有
（ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ） ， 即可使本题 简单化．
解： 原 式
＝ ａ ３ ＋３ ａ ２ ｂ ＋３ ａ ｂ ２ ＋ ｂ ３ ＋ ｃ ０ —３ 一３ Ⅱ ６ — ３ ａ ｂ ｃ
拆项添项法及总复习综述
在 ABC 中，三边a,b,c满足
a2 2b2 c2 2ab 2bc 0
求证三角形的形状。
已知 a、b、c 是 ABC的三条边，
且满足
a2 b2 c2 ab bc ac 0
试判断ABC 的形状。
证明：81Leabharlann 279 913能被45整除。
化简：
1 x x(1 x) x(1 x)2 …x(1 x)1995
因式分解是把一个多项式分 解成几个整式乘积的形式， 它和整式乘法互为逆运算， 在初中代数中占有重要的地 位和作用，在其它学科中也 有广泛应用，学习本章知识 时，应注意以下几点
1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的 形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式 都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也 可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形 式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指 在有理数范围内分解；
因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、
三“分”、四“变”的步骤。即首先看 有无公因式可提，其次看能否直接利用 乘法公式；如前两个步骤都不能实施， 可用分组分解法，分组的目的是使得分 组后有公因式可提或可利用公式法继续 分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试 用配方法、换元法、待定系数法、试除 法、拆项（添项）等方法；
口诀：
• 遇题先找公因式 • 然后考虑用公式 • 十字相乘试一试 • 分组分解要合适
x3 2x 3
拆添项法也是分解因式的一种常见方 法，请同学们试拆一次项和常数项， 看看是否可解？
x3 3x2 4
x3 7x 6
在 ABC 中，三边a,b,c满足
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
因式分解—待定系数法、换元法、添项拆项法1. 知识点概述因式分解是初等代数中的基础知识之一。
它指的是将一个多项式表示为两个或多个乘积的形式。
在因式分解过程中，我们可以使用不同的方法，如待定系数法、换元法和添项拆项法。
这些方法在因式分解中起到关键的作用。
本文将介绍待定系数法、换元法和添项拆项法这三种因式分解的方法，并对其应用进行归纳总结。
2. 待定系数法待定系数法是一种常用的因式分解方法，适用于形如ax2+bx+c的二次多项式。
待定系数法的基本思想是假设待分解式可以表示为(px+q)(rx+s)的形式，然后通过比较系数求得未知数 p、q、r 和 s。
具体步骤如下：2.1. 假设分解形式首先假设待分解的多项式为(px+q)(rx+s)。
2.2. 展开并比较系数将假设的分解形式展开，得到prx2+(ps+qr)x+qs，然后将其与原多项式的表达式进行系数比较。
2.3. 求解未知数根据比较系数的结果，列出方程组，并求解未知数 p、q、r 和 s。
最终得到待分解多项式的因式分解形式。
待定系数法的核心是通过比较系数来确定未知数的值，因此需要注意每个系数的对应关系，并合理选择分解形式以便于求解。
3. 换元法换元法是一种通过引入新的变量来进行因式分解的方法。
通过合理选择新的变量，可以将原多项式转化为更易于分解的形式。
具体步骤如下：3.1. 选择合适的变量首先根据多项式的结构和特点，选择一个合适的变量进行替代，使得新的多项式更容易进行因式分解。
3.2. 进行变量替换将选定的变量代入原多项式，进行变量替换。
这样可以得到一个新的多项式。
3.3. 因式分解根据替换后的新多项式的特点和结构，选择合适的因式分解方法进行分解。
换元法的关键在于合理选择变量，通过变量替换将原多项式转化为更易分解的形式，进而进行因式分解。
4. 添项拆项法添项拆项法是一种通过添加或拆分项来进行因式分解的方法。
在这种方法中，我们通过合理地添加或拆分多项式的项，使其具备因式分解的特性。
因式分解复习步骤详解
因式分解复习步骤详解因式分解是数学中常见的一种运算方式，用于将一个多项式拆分成更简单的因子。
以下是因式分解的详细步骤：1. 提取公因数：首先检查多项式中是否存在公共因子，如果有，可将其提取出来。
这样做可以简化表达式，减少计算量。
提取公因数：首先检查多项式中是否存在公共因子，如果有，可将其提取出来。
这样做可以简化表达式，减少计算量。
2. 判定多项式类型：进行因式分解前，需要确定多项式的类型。
常见的类型包括二次多项式、立方多项式等。
不同类型的多项式会使用不同的因式分解方法。
判定多项式类型：进行因式分解前，需要确定多项式的类型。
常见的类型包括二次多项式、立方多项式等。
不同类型的多项式会使用不同的因式分解方法。
3. 观察多项式结构：观察多项式的结构，寻找一些规律或特殊模式。
例如，是否存在平方差、立方差等特点。
这些特点可以帮助我们确定因式分解的起点。
观察多项式结构：观察多项式的结构，寻找一些规律或特殊模式。
例如，是否存在平方差、立方差等特点。
这些特点可以帮助我们确定因式分解的起点。
4. 使用因式分解公式：根据多项式的类型，选择适当的因式分解公式进行分解。
常见的因式分解公式有二次差方公式、立方差方公式等。
使用因式分解公式：根据多项式的类型，选择适当的因式分解公式进行分解。
常见的因式分解公式有二次差方公式、立方差方公式等。
5. 检验分解结果：进行因式分解后，需要检验分解结果是否正确。
可以通过将因子相乘得到原多项式，或借助计算机软件进行验证。
检验分解结果：进行因式分解后，需要检验分解结果是否正确。
可以通过将因子相乘得到原多项式，或借助计算机软件进行验证。
6. 合并同类项：在因式分解完成后，需要合并分解得到的各个因子中的同类项，得到最简形式的多项式。
合并同类项：在因式分解完成后，需要合并分解得到的各个因子中的同类项，得到最简形式的多项式。
通过以上步骤，我们可以在解决数学问题时运用因式分解的方法。
因式分解是数学中的一项基础技能，熟练掌握这一技能可以提高解题的效率。
因式分解之分组分解法及添拆项法
分组分解法及添拆项法【知识要点】1．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的，即22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
例 把多项式am+bn+an+bm 分解因式。
解法一：原式=（am+an ）+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)解法二：原式=（am+bm ）+(bn+an)=m(a+b)+n(a+b)= (a+b)(m+n)（4）对于四项式，在分解时并不一定“二二”分组，有的需要“一三”分组， 例如：2221xy x y --+，在分组分解时，前三项为一组，最后一项为一组。
2221xy x y --+=2221(2)1()(1)(1)x xy y x y x y x y --+=--=+--+【典型例题】例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）432416x x x -+-（3）22244x xy y a -+- （4）27321a b ab a -+-（5）xy y y x x 2)1()1(-++-（6） )()(2222b a cd d c ab +++例2 分组后能直接运用公式的因式分解。
（1）22194m mn n +-+（2）2242x x y y --+例3 添拆项后再分组。
（1）44a +（2）4224a a b b ++（3）51a a ++ (4)1724+-x x(5)22222+++--+y x y x xy y x (6)22412a ax x x -+++例4 已知7,10x y xy +==,求（1）22x y +（2）44x y +的值。
（八年级数学教案）《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
（八年级数学教案）《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳八年级数学教案知识体系梳理添项拆项法有的多项式由于缺项”或并项”因此不能直接分解。
通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。
如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。
待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。
然后再把积乘出来。
用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
换元法所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），贝惟使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。
换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。
（1）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。
（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。
（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式回归”★★典型例题、方法导航方法一：添项拆项法【例1】分解因式：分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。
可考虑添项拆项法分解。
从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成±1 ±2因此我们可猜想分解的结果可能是或或，但的中间项是，因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。
下面请看：解:其结果是我们猜想中的第一种。
此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。
方法二：方法三：方法四：方法五：方法六：（余下过程同学自己完成）方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数有关的因式。
用拆项或添项法分解因式
用拆项或添项法分解因式
让学生们学会运用拆解因式法，来解决许多数学问题是非常重要的。
因为它可以有助于学生们更好地理解不同的数学公式，并且能帮助他们探索解决问题的新方法。
拆解因式法是指将复杂的数学算式分解为若干可处理的部分，并依此解决原算式的问题。
一般来说，拆解因式法需要三个步骤：先确定算式中的变量，比如x和y，然后把数字和变量的乘积分解成可以拆分的项，最后再将算式按顺序分解成几个元部分，明确每一部分的变量和常量。
实际上，拆解因式法也常常被称为添加法，因为它在解决问题时是往减少方向走的，把复杂的算式拆解成简单的部分，然后添加元素。
所以拆解因式法不仅可以广泛应用在解决数学问题，也可以用在日常生活中。
比如，我们想要解决一个假期度假的问题，可以把它分解成三个步骤：安排出行、安排住宿和安排活动，明确每一部分的具体要求，然后再步步实施，把最后的结果通过拆解因式法解决。
运用拆解因式法分解因式可以让学生们更好地理解和应用数学知识，帮助他们完成许多复杂的数学任务。
在日常生活中，我们也可以使用这一方法来解决许多问题，比如，如何解决一个复杂的计划，我们可以先把任务分解成可控制的小任务，进而再一步步去实现。
这有助于我们在聪明、创新的智慧中学会思考问题，并在实践中做出更有效的决策。
初中数学《拆、添项法和十字相乘法》讲义及练习
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求因式分解 了解因式分解，熟悉因式分解掌握因式分解的基本方法，并且能熟练运用因式分解解决题目更深层次的掌握因式分解的其他方法基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.重、难点知识点睛中考要求第五讲拆、添项法和 十字相乘法板块一、拆项与添项Ⅰ：利用配方思想拆项与添项【例1】 分解因式：43221x x x x ++++【解析】43221x x x x ++++423(21)()x x x x =++++222(1)(1)x x x =+++22(1)(1)x x x =+++ 如果分组分得不恰当，因式分解无法进行下去，那么就应当回到分组前的状况，从零开始，考虑新的分组．【巩固】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=【巩固】 (第十五届“希望杯”第二试第12题)分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.【解析】 4322342222222222232()2()()a a b a b ab b a b ab a b a b a b ab ++++=++++=++【例2】 分解因式：⑴4231x x -+；⑵42231x x -+；⑶4224a a b b ++【解析】 ⑴42422222223121(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x -+=-+-=--=---+⑵42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++- ⑶42244224222a a b b a a b b a b ++=++-2222()()a b ab =+-2222()()a ab b a ab b =++-+【巩固】 分解因式： 12631x x -+【解析】12631x x -+1266636321(1)(1)x x x x x x x =-+-=-+--【巩固】 分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=+++-+-【巩固】 分解因式： 4224781x x y y -+重点：理解和掌握因式分解的概念，能说出因式分解的意义，并了解因式分解与整式乘法的区别和联系，了解因式分解的一般步骤，掌握提公因式法（字母的指数是数字）、运用公式法（直接用公式不超过两次）、分组分解法（分组后能直接提公因式或运用公式，无需拆项或添项）这三种分解因式的基本方法，会用这些方法分解不超过四项的多项式．难点：掌握因式分解的其他方法，主要是拆添项法、十字相乘法、换元法等较高层次的方法例题精讲【解析】 42244224222222781188125(95)(95)x x y y x x y y x y x y xy x y xy -+=++-=+-++【例3】 (希望杯试题)已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______. 【解析】 原式422222222010036(10)(6)(610)(610)n n n n n n n n n =++-=+-=-+++.又因为4216100n n -+是质数，且n 是正整数，且26101n n ++≠，故26101n n -+=，3n =.【例4】 分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-【解析】 ()()()222241211y x y x y +-++-()()()222242212114y x y x y x y =+--+--()()22211(2)(1)(1)(1)(1)y x y xy x x x xy y x xy y ⎡⎤=+---=+-------⎣⎦【巩固】 分解因式：42222222()()x a b x a b -++-【解析】 42222224222222222()()2()()4x a b x a b x a b x a b b x -++-=--+-- 222222222222()4(2)(2)x b a b x x b a bx x b a bx =+--=+--+-+()()()()x a b x a b x a b x a b =++--+--+【巩固】 分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++【解析】 33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++33(1)()[(1)(1)](1)x a xy x y a b y b =+--+-+++322322(1)()(1)()a x x y xy b y x y xy =+-++++-2222(1)()(1)()x a x xy y b x xy y =+-+++-+22()()x xy y ax by x y =-++++【例5】 (杭州学军中学)把444x y +分解因式．【解析】 4422224()(2)x y x y +=+使用平方差公式显然是不行的．44422422422422x y x x y y x y +=+⋅⋅+-⋅⋅2222(2)(2)x y xy =+-2222(22)(22)x xy y x xy y =++-+【巩固】 分解因式：464x +【解析】464x +42222222166416(8)(4)(48)(48)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+ 【巩固】 证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．【解析】444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22).m n mn m n mn =+++- 由于在m n 、都大于1时，两个因数中较小的那一个2222222()1m n mn m n n n +-=-+≥>即两个因数都是444m n +的真因数，所以444m n +是合数．Ⅱ：拆项与添项【例6】 分解因式：343a a -+ 【解析】 原式32()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a =---=+---=-+-或原式32222()()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a =-+---=-+---=-+-.【巩固】 分解因式：32265x x x +-- 【解析】 解法(一)32322265266(21)6(1)x x x x x x x x x x x +--=++--=++-+(1)(2)(3)x x x =+-+解法(二)拆二次项222242x x x =-解法(三)拆常数项651-=--及2222x x x =+ 解法(四)22223x x x =-及523x x x -=--【巩固】 分解因式：3234x x +- 【解析】 ⑴把4-拆成13--；⑵添四次项4x ，再减去4x ；⑶添一次项4x ，再减去4x⑷拆22234x x x =-；⑸拆三次项33343x x x =-；2(1)(2)x x -+【巩固】 分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】 分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】 分解因式：243x x -+ 【解析】 2243()(33)(3)(1)x x x x x x x -+=---=--【巩固】 分解因式：398x x -+ 【解析】 332298199(1)(1)9(1)(1)(8)x x x x x x x x x x x -+=--+=-++--=-+-【巩固】(第十四届“希望杯”第1试第2题)若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( ) A.0 B.1- C.1 D.3【解析】 43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++4322342233224642x x y x y xy y x y xy xy x y x y =+++++++++42()()()1x y xy x y xy x y =+++++=【巩固】分解因式：323233332a a a b b b ++++++【解析】 前三项比完全立方公式少l ，四、五、六项的和也比立方公式少l ．如果把2拆为两个l ，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是323233332a a a b b b ++++++3232(331)(331)a a a b b b =++-++++33(1)(1)a b =+++22(2)[(1)(1)(1)(1)]a b a a b b =+++-++++22(2)(1)a b a ab b a b =++-++++【巩固】分解因式：51x x ++ 【解析】 法1：此题既无公因式可提，又无法分组分解，更无法使用什么公式，于是我们想到要添项.不妨试试4x ，55444411(1)(1)x x x x x x x x x ++=+++-=++-无法进行下去. 那么试试4x -，554411x x x x x x ++=-+++显然也无法进行下去. 开始尝试3x ，如下：55333343311(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x ++=-+++=+-+++=+-++，无法分解下去.这样尝试下去，可分解如下：552211x x x x x x ++=-+++222(1)(1)1x x x x x x =-+++++232(1)(1)x x x x =++-+.法2：也可以这样解：5543243211x x x x x x x x x x ++=+++++---32(1)(1)x x x =+++-22(x x + 3221)(1)(1)x x x x x +=-+++.只要我们能够用心地思考，大胆地尝试，我们会发现很多非常巧妙的想法！【巩固】 分解因式：541a a ++ 【解析】 原式5433322321(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a =++-+=++--++=-+++【巩固】 分解因式：3333a b c abc ++-.【解析】3333a b c abc ++- 332232233333a b a b ab c a b ab abc =++++--- 33()3()a b c ab a b c =++-++222()(2)3()a b c a b ab c ac bc ab a b c =+++++---++222()()a b c a b c ab bc ca =++++---.也可添加23b c ，23bc 或者23c a ，23ca .板块二、十字相乘法十字相乘法： 一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解【例7】 分解因式： ⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++ 【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +- 【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例8】 分解因式：2376a a -- 【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x -- 【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +- 【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】2273320(94)(35)x x x x --=+-【例9】 分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+- 【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例10】 分解因式：2214425x y xy +- 【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+ 【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y -- 【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例11】 分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+- 【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+ 【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【巩固】 分解因式：633619216x x y y --【解析】 6336333319216(27)(8)x x y y x y x y --=-+2222(2)(3)(24)(39)x y x y x xy y x xy y =+--+++【巩固】 分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++ 【解析】 22(64)(2)x x x +++【巩固】 分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++ 【解析】 229(1)(41)x x x +++【巩固】 分解因式：222()14()24x x x x +-++【解析】(2)(1)(3)(4)x x x x +--+板块三：双十字相乘双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。
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拓展课：
因式分解中的拆项、添项法
教学目标： 1、掌握用拆项和添项法对多项式进行因式分解，掌握这两种方法的技巧。
2、 在因式分解方法的选择中，培养思维的有序性，分析问题的逻辑性和
注重解题策略的良好思维品质.渗透整体思想和化归思想.
3、学会分析问题解决问题，培养观察、归纳、总结能力.
教学重点：拆项和添项的技巧。
教学难点：通过对题目特点的观察，灵活变换。
合理、有效的选择因式分 解的方法.
教学过程：
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简
常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为
零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，
即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合
相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式
能用分组分解法进行因式分解．
例1 分解因式：
)22)(22()
22)(22(4)2(4444
)1(22222
222
244+-++=-+++=-+=-++=+x x x x x x x x x x x x x x 试一试：444
1y x + 例2 分解因式：
x 3-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，
注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将一次项-9x 拆成-x-8x ．
原式=x 3-x-8x+8=(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8)．
解法2 添加两项-x 2+x 2．
原式=x 3-9x+8=x 3-x 2+x 2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8)．
解法3 将常数项8拆成-1+9．
原式=x 3-9x-1+9
=(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)．
解法4 将三次项x 3拆成9x 3-8x 3．
原式=9x 3-8x 3-9x+8=(9x 3-9x)+(-8x 3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)．
注： 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 练习：1、1724+-x x
2、 343+-a a
自主评价和小结：
分解因式 3、4224b b a a ++
4、12234++++x x x x
；
、；
、作业：
132412444+-+x x y x。