通用版2020版高考数学大一轮复习第16讲 定积分与微积分基本定理 学案(理数)人教A版 含答案
2020高考理科数学一轮复习学案：3.4 定积分与微积分基本定理
3．4 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n)作和式∑i ＝1nb －anf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作______________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )．其中f (x )称为______________，x 称为______________，f (x )dx 称为______________，[a ，b ]为______________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝_____________________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作___________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝___________＝___________. 4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________. (3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g(x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g(x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝____________(其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)． 5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________. (2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________. (3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠： 1．(1)⎠⎛a b f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F (b )－F (a ) F (x )|b a F (b )－F (a ) F (x )|b a 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x(2017·西安调研)定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为 ( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1解：∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e.故选C .(教材改编题)汽车以v ＝(3t ＋2)m /s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 解：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m )．故选A.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 ( )A.2π5B.43C.32D.π2解：根据图象可知，二次函数f (x )＝－(x ＋1)(x－1)＝1－x 2.所以所求面积S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.故选B.⎠⎛－111－x 2 dx ＝________.解：⎠⎛－111－x 2 dx 的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以⎠⎛－111－x 2 dx ＝π2.故填π2.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________.解：⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋lne ＝43.故填43.类型一 计算简单函数的定积分(1)∫π20sin 2x2d x ＝________.解：∫π20sin 2x2dx ＝∫π201－cos x 2dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12.故填π4－12. (2)若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a ＝________.解：∫π20(sin x －a cos x )dx ＝(－cos x －a sin x )|π20＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，所以a ＝－1.故填－1.(3)(2018·河北五校联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0， f [f (1)]＝1，则a ＝________.解：因为f (1)＝lg1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1得a 3＝1，a ＝1.故填1.点 拨：求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．(1)下列值等于1的是 ( )A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 解：⎠⎛011d x ＝x |10＝1.故选C.(2)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2(a >1)，则a ＝________.解：由题意知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2，解得a ＝2.故填2.(3)设a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中x 的系数为 ( )A ．240B ．193C ．7D ．－6解：a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝22ππ-⎰(cos x －sin x )d x ＝22ππ-⎰cos x d x －22ππ-⎰sin x d x ＝2，⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中x 的系数为C 2624(－1)2＝240.故选A.类型二 计算分段函数的定积分(1)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.解：⎠⎛－22|x 2－2x |dx ＝⎠⎛－20(x 2－2x )dx ＋⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 33|20＝83＋4＋4－83＝8.故填8.(2)(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]， 则∫20f (x )dx 等于 ( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.故选C .点 拨：对分段函数f (x )求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x 求解．(1)定积分⎠⎛02|x －1|d x ＝________.解：⎠⎛02|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22|10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1.故填1. (2)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x |≤2，1＋x 2，2＜x ≤4 在区间[－2，4]上的定积分．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x )|2－2＋⎝⎛⎭⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)，且当x ∈[0，2]时，4x ≥x 3，所以所求面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.故选D.(2)(2017·江西九校联考)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝________.解：⎠⎛011－x 2dx 表示单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2dx ＝π4.又因为⎠⎛012xdx ＝x 2|10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝⎠⎛012xdx ＋⎠⎛011－x 2dx＝1＋π4.故填1＋π4.点 拨：用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(1)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －112x 3|20＝2⎝⎛⎭⎫2－812＝83.故选C. (2)给出如下命题：①⎠⎛b a 1d x ＝⎠⎛ab 1d t ＝b －a (a 、b 为常数，且a <b )；②⎠⎛－101－x 2d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4；③⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x (a >0)． 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：由于⎠⎛b a 1d x ＝a －b ，⎠⎛ab 1d t ＝b －a ，①错误；由定积分的几何意义知，⎠⎛－11－x 2 d x 和⎠⎛011－x 2d x 都表示单位圆面积的14，所以都等于π4，②正确；只有当函数f (x )为偶函数时，才有⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ，③错误．故选B.类型四 定积分在物理中的简单应用一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是 ( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2 解：令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，所以汽车行驶的距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）|40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.故选C .点 拨：物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ，力的单位：N )． 解：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从 x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J )．故填342.1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则反向求F (x )． 2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．1．定积分⎠⎛013x d x 的值为 ( )A ．3B ．1 C.32 D.12解：⎠⎛013x d x ＝32x 2|10＝32.故选C. 2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )dx 等于( )A.⎠⎛－11x 2d xB.⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD.⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，所以⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.3．由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.16 B.13 C.56 D.23解：在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，由x 2＋2x ＝x ，得交点坐标为(－1，－1)和(0，0)，故所求面积为S ＝ ⎠⎛－1[x －(x 2＋2x )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2|0－1＝－13＋12＝16.故选A.4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力的单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A.233 J B. 3 J C.433 J D ．2 3 J解：⎠⎛12F (x )cos30°d x ＝32⎠⎛12(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3|21＝433， 所以F (x )做的功为433J ．故选C.5．(2016·湖南四校联考)已知S 1＝⎠⎛12x d x ， S 2＝⎠⎛12e x d x ，S 3＝⎠⎛12x 2d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 ( ) A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 1＜S 3＜S 2 C ．S 3＜S 2＜S 1 D ．S 2＜S 3＜S 1 解：S 1＝12x 2|21＝12(4－1)＝32， S 3＝13x 3|21＝13(8－1)＝73＞32，S 2＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)＞e ＞73.故选B. 6．若函数f (x )，g(x )满足⎠⎛－11f (x )g(x )dx ＝0，则称f (x )，g(x )为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f (x )＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由①得f (x )g (x )＝sin 12x cos 12x ＝12sin x ，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11(x 2－1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 1－1＝－43≠0，所以②不是区间[－1，1]上的正交函数；由③得f (x )g (x )＝x 3，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以③是区间[－1，1]上的正交函数．故选C.7．(2018·山西临汾质检)若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2dx 的最小值为________． 解：f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋4x |m 1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．故填－1.8．(2018·湖北八校联考)考虑函数y ＝e x 与函数y ＝ln x 的图象关系，计算：∫e 21ln x d x ＝____________.解：y ＝e x 与y ＝ln x 的图象关于直线y ＝x 对称，∫e 21ln x d x 即表示y ＝0，y ＝ln x ，x ＝e 2围成封闭区域的面积，由对称性知∫e 21ln x d x ＝2e 2－⎠⎛02e x d x ＝e 2＋1.故填e 2＋1.9．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫π2，0，B ⎝⎛⎭⎫π2，1，C (0，1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解：阴影部分的面积为∫π20(1－sin x )d x ＝π2－1，矩形的面积是π2×1＝π2，所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π.10．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31＝23＋16＋43＝136.11．在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解：S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－∫t 0x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝∫1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23. 所以当t ＝12时，S (t)最小，且最小值为14.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解： 以梯形的底边为x轴，底边的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a ＝225，即抛物线方程为y ＝225x 2，故抛物线与直线y ＝2所围成的图形的面积为2∫50⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫2x －275x 3|50＝403，梯形的面积为10＋62×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为16403＝4840＝1.2.故填1.2.3．4 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n)作和式∑i ＝1nb －anf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作______________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )．其中f (x )称为______________，x 称为______________，f (x )dx 称为______________，[a ，b ]为______________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝_____________________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作___________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝___________＝___________. 4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________. (3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g(x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g(x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝____________(其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)． 5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________. (2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________. (3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠： 1．(1)⎠⎛a b f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F (b )－F (a ) F (x )|b a F (b )－F (a ) F (x )|b a 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x(2017·西安调研)定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为 ( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1解：∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e.故选C .(教材改编题)汽车以v ＝(3t ＋2)m /s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 解：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m )．故选A.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 ( )A.2π5B.43C.32D.π2解：根据图象可知，二次函数f (x )＝－(x ＋1)(x－1)＝1－x 2.所以所求面积S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.故选B.⎠⎛－111－x 2 dx ＝________.解：⎠⎛－111－x 2 dx 的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以⎠⎛－111－x 2 dx ＝π2.故填π2.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________.解：⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋lne ＝43.故填43.类型一 计算简单函数的定积分(1)∫π20sin 2x2d x ＝________.解：∫π20sin 2x2dx ＝∫π201－cos x 2dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12.故填π4－12. (2)若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a ＝________.解：∫π20(sin x －a cos x )dx ＝(－cos x －a sin x )|π20＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，所以a ＝－1.故填－1.(3)(2018·河北五校联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0， f [f (1)]＝1，则a ＝________.解：因为f (1)＝lg1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1得a 3＝1，a ＝1.故填1.点 拨：求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．(1)下列值等于1的是 ( )A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 解：⎠⎛011d x ＝x |10＝1.故选C.(2)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2(a >1)，则a ＝________.解：由题意知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2，解得a ＝2.故填2.(3)设a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中x 的系数为 ( )A ．240B ．193C ．7D ．－6解：a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝22ππ-⎰(cos x －sin x )d x ＝22ππ-⎰cos x d x －22ππ-⎰sin x d x ＝2，⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中x 的系数为C 2624(－1)2＝240.故选A.类型二 计算分段函数的定积分(1)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.解：⎠⎛－22|x 2－2x |dx ＝⎠⎛－20(x 2－2x )dx ＋⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 33|20＝83＋4＋4－83＝8.故填8.(2)(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]， 则∫20f (x )dx 等于 ( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.故选C .点 拨：对分段函数f (x )求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x 求解．(1)定积分⎠⎛02|x －1|d x ＝________.解：⎠⎛02|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22|10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1.故填1. (2)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x |≤2，1＋x 2，2＜x ≤4 在区间[－2，4]上的定积分．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x )|2－2＋⎝⎛⎭⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)，且当x ∈[0，2]时，4x ≥x 3，所以所求面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.故选D.(2)(2017·江西九校联考)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝________.解：⎠⎛011－x 2dx 表示单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2dx ＝π4.又因为⎠⎛012xdx ＝x 2|10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝⎠⎛012xdx ＋⎠⎛011－x 2dx＝1＋π4.故填1＋π4.点 拨：用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(1)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －112x 3|20＝2⎝⎛⎭⎫2－812＝83.故选C. (2)给出如下命题：①⎠⎛b a 1d x ＝⎠⎛ab 1d t ＝b －a (a 、b 为常数，且a <b )；②⎠⎛－101－x 2d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4；③⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x (a >0)． 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：由于⎠⎛b a 1d x ＝a －b ，⎠⎛ab 1d t ＝b －a ，①错误；由定积分的几何意义知，⎠⎛－11－x 2 d x 和⎠⎛011－x 2d x 都表示单位圆面积的14，所以都等于π4，②正确；只有当函数f (x )为偶函数时，才有⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ，③错误．故选B.类型四 定积分在物理中的简单应用一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是 ( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2 解：令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，所以汽车行驶的距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）|40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.故选C .点 拨：物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ，力的单位：N )． 解：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从 x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J )．故填342.1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则反向求F (x )． 2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．1．定积分⎠⎛013x d x 的值为 ( )A ．3B ．1 C.32 D.12解：⎠⎛013x d x ＝32x 2|10＝32.故选C. 2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )dx 等于( )A.⎠⎛－11x 2d xB.⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD.⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，所以⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.3．由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.16 B.13 C.56 D.23解：在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，由x 2＋2x ＝x ，得交点坐标为(－1，－1)和(0，0)，故所求面积为S ＝ ⎠⎛－1[x －(x 2＋2x )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2|0－1＝－13＋12＝16.故选A.4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力的单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A.233 J B. 3 J C.433 J D ．2 3 J解：⎠⎛12F (x )cos30°d x ＝32⎠⎛12(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3|21＝433， 所以F (x )做的功为433J ．故选C.5．(2016·湖南四校联考)已知S 1＝⎠⎛12x d x ， S 2＝⎠⎛12e x d x ，S 3＝⎠⎛12x 2d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 ( ) A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 1＜S 3＜S 2 C ．S 3＜S 2＜S 1 D ．S 2＜S 3＜S 1 解：S 1＝12x 2|21＝12(4－1)＝32， S 3＝13x 3|21＝13(8－1)＝73＞32，S 2＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)＞e ＞73.故选B. 6．若函数f (x )，g(x )满足⎠⎛－11f (x )g(x )dx ＝0，则称f (x )，g(x )为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f (x )＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由①得f (x )g (x )＝sin 12x cos 12x ＝12sin x ，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11(x 2－1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 1－1＝－43≠0，所以②不是区间[－1，1]上的正交函数；由③得f (x )g (x )＝x 3，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以③是区间[－1，1]上的正交函数．故选C.7．(2018·山西临汾质检)若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2dx 的最小值为________． 解：f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋4x |m 1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．故填－1.8．(2018·湖北八校联考)考虑函数y ＝e x 与函数y ＝ln x 的图象关系，计算：∫e 21ln x d x ＝____________.解：y ＝e x 与y ＝ln x 的图象关于直线y ＝x 对称，∫e 21ln x d x 即表示y ＝0，y ＝ln x ，x ＝e 2围成封闭区域的面积，由对称性知∫e 21ln x d x ＝2e 2－⎠⎛02e x d x ＝e 2＋1.故填e 2＋1.9．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫π2，0，B ⎝⎛⎭⎫π2，1，C (0，1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解：阴影部分的面积为∫π20(1－sin x )d x ＝π2－1，矩形的面积是π2×1＝π2，所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π.10．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31＝23＋16＋43＝136.11．在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解：S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－∫t 0x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝∫1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23. 所以当t ＝12时，S (t)最小，且最小值为14.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解： 以梯形的底边为x轴，底边的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a ＝225，即抛物线方程为y ＝225x 2，故抛物线与直线y ＝2所围成的图形的面积为2∫50⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫2x －275x 3|50＝403，梯形的面积为10＋62×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为16403＝4840＝1.2.故填1.2.3．4 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n)作和式∑i ＝1nb －anf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作______________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )．其中f (x )称为______________，x 称为______________，f (x )dx 称为______________，[a ，b ]为______________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝_____________________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作___________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝___________＝___________. 4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________. (3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g(x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g(x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝____________(其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)． 5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________. (2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________. (3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠： 1．(1)⎠⎛a b f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F (b )－F (a ) F (x )|b a F (b )－F (a ) F (x )|b a 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x(2017·西安调研)定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为 ( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1解：∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e.故选C .(教材改编题)汽车以v ＝(3t ＋2)m /s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 解：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m )．故选A.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 ( )A.2π5B.43C.32D.π2解：根据图象可知，二次函数f (x )＝－(x ＋1)(x－1)＝1－x 2.所以所求面积S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.故选B.⎠⎛－111－x 2 dx ＝________.解：⎠⎛－111－x 2 dx 的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以⎠⎛－111－x 2 dx ＝π2.故填π2.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________.解：⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋lne ＝43.故填43.类型一 计算简单函数的定积分(1)∫π20sin 2x2d x ＝________.解：∫π20sin 2x2dx ＝∫π201－cos x 2dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12.故填π4－12. (2)若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a ＝________.解：∫π20(sin x －a cos x )dx ＝(－cos x －a sin x )|π20＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，所以a ＝－1.故填－1.(3)(2018·河北五校联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0， f [f (1)]＝1，则a ＝________.解：因为f (1)＝lg1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1得a 3＝1，a ＝1.故填1.点 拨：求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．(1)下列值等于1的是 ( )A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 解：⎠⎛011d x ＝x |10＝1.故选C.(2)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2(a >1)，则a ＝________.解：由题意知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2，解得a ＝2.故填2.(3)设a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中x 的系数为 ( )A ．240B ．193C ．7D ．－6解：a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝22ππ-⎰(cos x －sin x )d x ＝22ππ-⎰cos x d x －22ππ-⎰sin x d x ＝2，⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中x 的系数为C 2624(－1)2＝240.故选A.类型二 计算分段函数的定积分(1)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.解：⎠⎛－22|x 2－2x |dx ＝⎠⎛－20(x 2－2x )dx ＋⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 33|20＝83＋4＋4－83＝8.故填8.(2)(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]， 则∫20f (x )dx 等于 ( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.故选C .点 拨：对分段函数f (x )求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x 求解．(1)定积分⎠⎛02|x －1|d x ＝________.解：⎠⎛02|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22|10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1.故填1. (2)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x |≤2，1＋x 2，2＜x ≤4 在区间[－2，4]上的定积分．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x )|2－2＋⎝⎛⎭⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)，且当x ∈[0，2]时，4x ≥x 3，所以所求面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.故选D.(2)(2017·江西九校联考)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝________.解：⎠⎛011－x 2dx 表示单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2dx ＝π4.又因为⎠⎛012xdx ＝x 2|10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝⎠⎛012xdx ＋⎠⎛011－x 2dx＝1＋π4.故填1＋π4.点 拨：用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(1)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －112x 3|20＝2⎝⎛⎭⎫2－812＝83.故选C. (2)给出如下命题：①⎠⎛b a 1d x ＝⎠⎛ab 1d t ＝b －a (a 、b 为常数，且a <b )；②⎠⎛－101－x 2d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4；③⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x (a >0)． 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：由于⎠⎛b a 1d x ＝a －b ，⎠⎛ab 1d t ＝b －a ，①错误；。
2020届高三理数一轮讲义：3.3-定积分与微积分基本定理(含答案)
第3节 定积分与微积分基本定理最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.知 识 梳 理1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝在⎠⎛a b f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式. (2)定积分的几何意义(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x . (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a ＜c ＜b ). 3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪ba ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba )＝F (b )－F (a ).[微点提醒]函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .( )(2)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( ) (3)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x轴下方.( )(4)定积分⎠⎛a b f (x )d x 一定等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积.( )(5)加速度对时间的积分是路程.( )解析 (2)y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x －x 2)d x .(3)若⎠⎛ab f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形在x 轴下方的面积比在x 轴上方的面积大.(4)定积分⎠⎛a b f (x )d x 等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成图形的面积的代数和.(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.(选修2－2P50A5改编)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 ⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1.答案 A3.(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A.10t 20 B.5t 20C.103t 20 D.53t 20 解析 S ＝⎠⎛0t 0v d t ＝⎪⎪⎪⎠⎛0t010t d t ＝5t 2t 0＝5t 20. 答案B4.(2018·青岛月考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积S ，正确的是( ) A.S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d xB.S ＝⎠⎛02(x 3－4x )d xC.S ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫3y －y 4d yD.S ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4－3y d y解析 两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x 积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x ≥x 3，故直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫同理对y 积分时S ＝⎠⎛08⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －y 4d y .答案 A5.(2019·安阳模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <c C.c <b <aD.c <a <b解析 由微积分基本定理a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4⎪⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪20＝1－cos 2<2，则c <a <b .答案 D6.(2019·昆明诊断)若⎠⎛a 0x 2d x ＝9，则常数a 的值为________. 解析 ⎠⎛a0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪0a ＝－13a 3＝9，∴a 3＝－27，a ＝－3.答案 －3考点一 定积分的计算【例1】 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. (2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________. 解析 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝83＋4＋4－83＝8.答案 (1)π (2)8规律方法 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分. 【训练1】 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.不存在 (2)定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.解析 (1)如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.(2)⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案 (1)C (2)23考点二 定积分的几何意义多维探究角度1 利用定积分的几何意义计算定积分【例2－1】 (1)计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.(2)若⎠⎛－2m －x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________.解析 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛011－x 2 d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，所以⎠⎛011－x 2 d x ＝π4，又⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝π4＋1.(2)根据定积分的几何意义⎠⎛－2m －x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又⎠⎛－2m －x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 答案 (1)π4＋1 (2)－1 角度2 利用定积分计算平面图形的面积【例2－2】 (一题多解)由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________.解析 如图所示，解方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和，即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二 选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18. 答案 18规律方法 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).【训练2】 (1)计算：⎠⎛133＋2x －x 2 d x ＝________.(2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.解析 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛133＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴⎠⎛133＋2x －x 2 d x ＝14×π×4＝π.(2)由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝k 32－13k 3＝43，则k 3＝8，∴k ＝2.答案 (1)π (2)2考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( ) A.3B.4C.5D.6(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ，力的单位：N).解析 (1)因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t .所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2＝5.整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.(2)变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为 W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J).答案 (1)C (2)342规律方法 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【训练3】 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A.1＋25ln 5 B.8＋25ln113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 答案 C[思维升华]1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.2.⎠⎛a b f (x )d x 、⎠⎛a b |f (x )|d x 与|⎠⎛a b f (x )d x |在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f (x )在闭区间[a ，b ]上可正可负，也就是它的图象可以在x 轴上方、也可以在x 轴下方、还可以在x 轴的上下两侧，所以⎠⎛ab f (x )d x 表示由x 轴、函数f (x )的曲线及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和；而|f (x )|是非负的，所以⎠⎛ab |f (x )|d x 表示在区间[a ，b ]上所有以|f (x )|为曲边的正曲边梯形的面积；而|⎠⎛a b f (x )d x |则是⎠⎛a b f (x )d x 的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的. [易错防范]1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.答案 C2.已知⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝3－e 2，则m 的值为( )A.e －14e B.12 C.－12D.－1解析 由微积分基本定理得⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝(ln x －mx )⎪⎪⎪e1)＝m ＋1－m e ，结合题意得m ＋1－m e ＝3－e 2，解得m ＝12. 答案 B3.(2019·郑州模拟)汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.132m B.6 mC.152m D.7 m解析 s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m).答案 A4.π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.0B.π4－12C.π4－14D.π2－1 解析π20⎰sin 2x2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x π20|＝π4－12.答案 B5.定积分⎠⎛02|x －1|d x 等于( )A.1B.－1C.0D.2解析 ⎠⎛02|x －1|d x ＝⎠⎛01|x －1|d x ＋⎠⎛12|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝1.答案 A6.如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( )A.8ln 3B.8C.9ln 3D.9解析 设指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，因为其过点E (2，9)，所以a 2＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛023xd x ＝3xln 3⎪⎪⎪20＝8ln 3.答案 A7.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f [f (1)]＝1，则a 的值为( )A.1B.2C.－1D.－2解析 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1，得a 3＝1，a ＝1. 答案 A8.由y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的图形的面积为( )A.43B.34C.2D.1解析 如图所示，阴影部分的面积为 S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－112x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3⎪⎪⎪21 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－112＋2－112×23－1＋112＝43.答案 A 二、填空题9.已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x ＝________.解析 原式＝⎠⎛－60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为原函数为偶函数，所以在y 轴两侧的图象对称，所以对应面积相等，即8×2＝16. 答案 1610.如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________.解析 由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，解得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪2＝－83＋4＝43.答案4311.(2019·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案4912.(2019·广州调研)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1），x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为________.解析 ⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 答案π2＋43能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(一题多解)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3 B.S 2<S 1<S 3 C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析 法一 S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3. 答案 B14.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，则f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13. 答案 B15.一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________ J. 解析 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J).答案 3616.(2019·长春模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝⎠⎛01πx 2d x ＝π3x 3⎪⎪⎪10＝π3.据此类比：将曲线y ＝2 ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝________.解析 类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y2)2＝πe y ，积分变量为y ，积分区间为[0，1]，即V ＝⎠⎛01πe y d y ＝πe y ⎪⎪⎪10＝π(e－1).答案 π(e－1)。
1_定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案]B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案]C[解析]图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2 [答案]C[解析]令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以与时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1D.2π [答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案]D[解析]2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案]3[解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192 [解析]由已知得a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12 [答案]C [解析]因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案]A[解析]由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](e －1)2[解析]由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析](1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析]f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案]B[解析]22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32 [答案]D[解析]由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析]∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． [答案]33[解析]⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
2020届高三理数一轮讲义：3.3-定积分与微积分基本定理(含答案)
[思维升华] 1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而 与积分变量用什么字母表示无关. 2.错误!f(x)dx、错误!|f(x)|dx 与|错误!f(x)dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函
数 f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图象可以在 x 轴上方、也可以在 x 轴下方、还可以在 x 轴的上下两侧，所以 错误!f(x)dx 表示由 x 轴、函数 f(x)的曲线
4 角度 2 利用定积分计算平面图形的面积 【例 2－2】 (一题多解)由抛物线 y2＝2x 与直线 y＝x－4 围成的平面图形的面积 为________.
y2＝2x，
解析 如图所示，解方程组
得两交点为(2，－2)，(8，4).
y＝x－4，
法一 选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之 和，即 S＝2错误! 2xdx＋错误!( 2x－x＋4)dx＝18.
角度 1 利用定积分的几何意义计算定积分
【例 2－1】 (1)计算：错误!(2x＋ 1－x2)dx＝________.
(2)若错误! －x2－2x dx＝π，则 m＝________. 4
解析 (1)由定积分的几何意义知，错误! 1－x2 dx 表示以原点为圆心，以 1 为半
| 径的圆的面积的1，所以错误! 1－x2 dx＝π，又 错误!2xdx＝x2
曲边梯形的面积
2.定积分的性质
(1)错误!kf(x)dx＝k错误!f(x)dx(k 为常数).
(2)错误![f1(x)±f2(x)]dx＝错误!f1(x)dx±错误!f2(x)dx.
(3)错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx(其中 a＜c＜b).
高三第一轮复习课件——第十六讲定积分与微积分基本定理
（7）bexdxex a
|baeb
ea
第21页
课堂小结：
定积分的计算（利用微积分基本定理）
（1）求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数
f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互
为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变
形。
（2）计算简单定积分的步骤
①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函
由 此 得 到 N 个 点 (xi , yi )(i 1, 2,…,N) ， 再 数 出 其 中 满 足
yi f (xi )(i 1, 2,…,N) 的 点 数 N1 ， 那 么 由 随 机 模 拟 方 案 可 得 积 分
1
0
f
(
x)dx
的近似值为
。
第20页
常见函数的定积分运算：
（1）a bkdxkx|bak(ba)（k是常数）
a
a
a
(2)定积分性质②可推广到任意有限个函数的情况.
第8页
2.微积分基本定理
一般地,如果f(x)在区间[a,b]上连续,且F'(x)=f(x),那
么
b
f(x )d x F(b)F(a).
a
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布
尼茨公式.
也可表示为
bf(x)dxF
a
(x)
b a
.
第9页
注意:(1)①用定义求定积分的方法:分割､近似代替､求和､取 极限,要借助于求曲边梯形的面积､变力作功等案例,体会定 积分的基本思想方法.
3
．
y 3x2
任取一个点 M x, y ，则点 M
取自阴影部分的概率为
2020版高考数学定积分与微积分基本定理课件理北师大版
π
D.2+2
π
思考怎样求曲线围成的平面图形的面积?
-17考点1
考点2
考点3
考点4
解析:易知 y=sin x 与 y=π x 均为奇函数,当 x=2 时,sin 2 =1,π × 2 =1,故已 知的两曲线在第一象限的交点坐标为
π π 2
2
π
π
2
π
,1 ,根据对称性,已知的两
π 2
曲线在第三象限的交点坐标为 - 2 ,-1 , 故两曲线所围成的封闭图形的面积为 2 =2 -cos������π 4 ������ 2 π
1 0
1 1 2 1-������ dx=4π,∴ -π
f(x)dx=4 -2,故选 D.
π
-16考点1
考点2
考点3
考点4
利用定积分求图形面积(多考向) 考向1 求曲线围成的平面图形的面积
例 3 曲线 y=sin x 与 y= x 围成的封闭图形的面积为( B ) π A.1-4
π
2
B.2-2
π
C.2
������ ������ ������ f(x)dx; ������ ������
������ ������
;
f(x)dx
;
������ ������
f(x)dx-
������ ������
g(x)dx=
[f(x)-g(x)]dx.
-6知识梳理
考点自诊
1. 判断下列结论是否正确, 正确的画“√”, 错误的画“×”.
3.(2018河南六市联考一,4)汽车以v=(3t+2)m/s作变速运动时,在第1 s至2 s之间的1 s内经过的路程是 ( D )
通用版高考数学大一轮复习第16讲定积分与微积分基本定理课件理新人教A版
(2)[2018· 湖北咸宁重点高中联考] 若
1 0
1-������ 2 dx= π,∴
x x 2
1 4
1 -π
f(x)dx= -2,故选
1
π 4
(e -2ax)dx=e,则 a=
x
.
(e -2ax)dx=(e -ax ) 0 =e-a-1=e,
∴-a-1=0,∴a=-1.
课堂考点探究
图 2-16-2 A.4 2 B.2 2 C. 2 D.
2 2
(2)[2018· 安徽江南十校联考] 直线 l 过抛物线 E:y2=8x 的焦点且与 x 轴垂直,则直线 l 与 E 所围成的封闭图形的面积为 ( A.13 B.
11 3
) D.
28 3
C.
32 3
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)C
5π 4 π 4
[解析] (1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积 S= x-sin x)
5π 4 π 4
(sin x-cos x)dx=(-cos
=2 2,故选 B.
(2)由题意得,直线 l 的方程为 x=2, 将 y2=8x 化为 y=± 2 2������ . 由定积分的几何意义得,所求面积 S=2
(-x2)dx=2
1 0
x2dx=3 .
2
课前双基巩固
7.计算
-1 1 dx= -2 ������
.
[答案]
-ln 2
-1 1 dx -2 ������
[解析] 根据
的几何意义,可得 x 1 =-ln 2. x
-1 -2 2
-1 1 2 1 d x=dx=-ln -2 ������ 1 ������
高考帮数学大一轮复习课件定积分与微积分基本定理
微积分基本定理的应用
计算定积分
通过找到被积函数的原函数，可 以直接利用微积分基本定理计算 定积分的值。
证明等式或不等式
利用微积分基本定理，可以方便 地证明一些与定积分相关的等式 或不等式。
解决实际问题
微积分基本定理在实际问题中也 有广泛的应用，如计算面积、体 积、长度等。
03
定积分与微积分基本定理的联系
微积分基本定理在定积分计算中的应用
微积分基本定理的内容
微积分基本定理建立了定积分与原函数之间 的联系，指出定积分的结果等于原函数在区 间端点处的函数值之差。
微积分基本定理的应用
通过找到被积函数的原函数，可以直接利用微积分 基本定理计算定积分的结果，大大简化了计算过程 。
典型例题分析
结合具体例题，讲解如何利用微积分基本定 理计算定积分，包括直接应用定理、换元法 、分部积分法等方法。
多做历年高考真题和模 拟题，掌握解题方法和 技巧，提高解题速度和 准确性。
关注实际问题背景，理 解定积分在实际问题中 的应用，培养分析问题 和解决问题的能力。
注意总结归纳易错点和 难点，加强针对性训练 ，提高复习效率。
06
总结与拓展
定积分与微积分基本定理的重要性
01
知识体系的基石
02
解决实际问题的工具
定积分的几何意义
定积分的几何意义可以理解为求曲边梯形的面积，即函数图像与x 轴以及两条垂直于x轴的直线所围成的面积。
定积分的性质
80%
线性性质
定积分具有线性性，即对于两个 函数的和或差的定积分，等于这 两个函数分别的定积分的和或差 。
100%
区间可加性
如果一个大区间被分成若干个小 区间，则在这个大区间上的定积 分等于在各个小区间上的定积分 的和。
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a
(2)一物体在变力 F=F(x)的作用下,在位移区间[a,b]内所做的功 W 是函数 F=F(x)在区间 [a,b]上的定积分,即 W=∫b F(x)dx.
∑
i=1
n
f(ξi),当 n→∞时,上述和式无限接近某个 ,这个常数叫作函数 f(x)在
区间[a,b]上的定积分,记作∫b f(x)dx,即∫b f(x)dx= .其中 f(x)称为
a
a
函数,a 称为积分 限,b 称为积分 限.
2.定积分的几何意义
如果在区间[a,b]上的函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分∫b f(x)dx 表示由直线
f(x)dx=( )
π
A.2+π B. 2
ππ C.-2+ D. -2
24 (2)[2018·湖北咸宁重点高中联考] 若∫1 (ex-2ax)dx=e,则 a= .
0
[总结反思] (1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法.
(2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数.
第 16 讲 定积分与微积分基本定理
1.定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成
n
n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx=
i=1
n b-a
a
f(x)dx= .
4.微积分基本定理
如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有 F'(x)=f(x),则∫b f(x)dx= .
a
常用结论
如果 f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的偶函数,则∫a f(x)dx=2∫a f(x)dx;如果 f(x)是区
-a
0
间[-a,a](a>0)上的连续的奇函数,则∫a f(x)dx=0.
6
示,则图中阴影部分的面积为 ( )
图 2-16-1 1 A. 2 1 B. 4 2- 3 C.
4 2- 3 D.
2 (2)[2018·江西临川一中月考] 已知曲线 y= x,y=2-x 与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 S,
则 S= .
[总结反思] (1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限, 把面积表示为已知函数的定积分. (2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系. 变式题 (1)如图 2-16-2 所示的阴影部分的面积为 ( )
π
7
变式题 (1)[2018·曲靖一中月考] 已知∫ 2 sin(x-φ)dx= ,则 sin 2φ=( )
0
4
39 A. B.
4 16
3 C.-
4
3 D.-
4
( ) (2)[2018·莱芜模拟] ∫2
1 2x + dx 的值为 .
1
x
探究点二 利用定积分求曲边梯形的面积
π 例 2 (1)[2018·贵阳模拟] 若函数 f(x)=Asinωx- (A>0,ω>0)的部分图像如图 2-16-1 所
图 2-16-2
A.4 2 B.2 2
C. 2
2 D.
2
(2)[2018·安徽江南十校联考] 直线 l 过抛物线 E:y2=8x 的焦点且与 x 轴垂直,则直线 l 与
E 所围成的封闭图形的面积为 ( )
11
32
28
A.13 B.
C.
D.
3
3
3
探究点三 定积分在物理中的应用
例 3 两点之间相距 112 m,一质点从一点出发,沿直线向另一点做变速直线运动,其速度方程 是 v=t+1(v 的单位:m/s,t 的单位:s). (1)计算该质点在前 10 s 所走的路程; (2)计算该质点在第 5 s 到第 10 s 所经过的路程; (3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在整个运动过程中的平均速度.
题组二 常错题
◆索引:误解积分变量致错;定积分的值不一定是曲边梯形的面积;弄错原函数的定义
域;f(x),g(x)的图像与直线 x=a,x=b 所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错.
5.定积分∫2 (t2+1)dx= .
-1
6.曲线 y=-x2(x∈[-1,1])与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 .
7.计算∫
-
1
1 dx= .
-2 x
π 8.直线 x=0,x= 与曲线 y=sin x,y=cos x 所围成的封闭图形的面积 S 的定积分表达式
2
是 .
探究点一 定积分的计算
{ 例 1
(1)已知函数 f(x)=
sinx,x ∈ 1 - x2,x
[∈
(π0,,10]],,则∫1-
π
a
36 变式题 一物体在变力 F(x)= (单位:N)的作用下沿力的正方向运动,求物体从 x=8 m 处运动
x2 到 x=18 m 处这一过程中,变力对物体所做的功.
第 16 讲 定积分与微积分基本定理 考试说明 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 【课前双基巩固】
a
x= ,x= ,y= 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.
3.定积分的性质
性质 1:常数因子可提到积分号前,即∫b kf(x)dx= (k 为常数).
a
性质 2:代数和的定积分等于定积分的代数和,即∫b [f(x)±g(x)]dx= .
a
性质 3:(定积分的可加性)如果积分区间[a,b]被点 c 分成两个小区间[a,c]与[c,b],则∫b
知识聚焦
n b-a
1.常数 lim ∑
-a
题组一 常识题
( ) 1.[教材改编] ∫2
ex
-
2 dx= .
1
x
2.[教材改编] ∫3π sin xdx= .
0
3.[教材改编] 已知∫4 f(x)dx=8,则∫2 f(x)dx+∫4 f(x)dx= .
1
1
2
4.[教材改编] 直线 y=x-4、曲线 y= 2x及 x 轴所围成的封闭图形的面积是 .