2020年全国高考数学·第15讲 定积分和微积分基本定理
高考数学总复习：定积分与微积分基本定理
⾼考数学总复习：定积分与微积分基本定理定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利⽤函数的奇偶性求积分：若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.微积分基本定理如果，且在上连续，则,其中叫做的⼀个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.⼀般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.说明：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到⼀个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.定积分的⼏何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在⼏何上表⽰由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的⾯积；在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下⽅，定积分在⼏何上表⽰上述曲边梯形⾯积的负值；在上，当既取正值⼜取负值时，定积分的⼏何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分⾯积的代数和. 在轴上⽅的⾯积积分时取正号，在轴下⽅的⾯积积分时，取负号.应⽤1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及⼀条曲线()围成的曲边梯形的⾯积：；2. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及⼀条曲线()围成的曲边梯形的⾯积：；3. 如图，由曲线及直线，围成图形的⾯积公式为：.4.利⽤定积分求平⾯图形⾯积的步骤：（1）画出草图，在直⾓坐标系中画出曲线或直线的⼤致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平⾯图形的⾯积.1、由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的⾯积为（）A、B、1 C、D、2、由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形⾯积为（）A、B、C、D、3、已知甲、⼄两车由同⼀起点同时出发，并沿同⼀路线（假定为直线）⾏驶．甲车、⼄车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所⽰）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中⼀定正确的是（）A、在t1时刻，甲车在⼄车前⾯B、t1时刻后，甲车在⼄车后⾯C、在t0时刻，两车的位置相同D、t0时刻后，⼄车在甲车前⾯4、由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平⾯图形的⾯积为A、B、2﹣ln3 C、4+ln3 D、4﹣ln35、从如图所⽰的正⽅形OABC区域内任取⼀个点M（x，y），则点M取⾃阴影部分的概率为（）A、B、C、D、6、如图中阴影部分的⾯积是（）A、B、C、D、7、由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的⾯积为（）A、B、4 C、D、68、（e x+2x）dx等于（）A、1B、e﹣1C、eD、e2+19、dx等于（）A、﹣2ln2B、2ln2C、﹣ln2D、ln210、已知则∫﹣a a cosxdx=（a＞0），则∫0a cosxdx=（）A、2B、1C、D、11、曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平⾯图形的⾯积为（）B 、C 、D 、112、若∫0k（2x ﹣3x 2）dx=0，则k 等于（） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对13、如图所⽰，曲线y=x 2和曲线y=围成⼀个叶形图（阴影部分），其⾯积是（）A 、1B 、C 、D 、14、由曲线y 2=2x 和直线y=x ﹣4所围成的图形的⾯积为 _________ ． 15、由曲线和直线y=x ﹣4，x=1，x=2围成的曲边梯形的⾯积是 _________ ．16、从如图所⽰的长⽅形区域内任取⼀个点M （x ，y ），则点M 取⾃阴影部分部分的概率为 _________ ． 17、设函数f （x ）=ax 2+c （a≠0），若，0≤x 0≤1，则x 0的值为 _________ ． 18．设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成⽴，则实数m 的取值范围为。
2020届高三理数一轮讲义：3.3-定积分与微积分基本定理(含答案)
第3节 定积分与微积分基本定理最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.知 识 梳 理1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝在⎠⎛a b f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式. (2)定积分的几何意义(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x . (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a ＜c ＜b ). 3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪ba ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba )＝F (b )－F (a ).[微点提醒]函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .( )(2)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( ) (3)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x轴下方.( )(4)定积分⎠⎛a b f (x )d x 一定等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积.( )(5)加速度对时间的积分是路程.( )解析 (2)y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x －x 2)d x .(3)若⎠⎛ab f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形在x 轴下方的面积比在x 轴上方的面积大.(4)定积分⎠⎛a b f (x )d x 等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成图形的面积的代数和.(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.(选修2－2P50A5改编)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 ⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1.答案 A3.(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A.10t 20 B.5t 20C.103t 20 D.53t 20 解析 S ＝⎠⎛0t 0v d t ＝⎪⎪⎪⎠⎛0t010t d t ＝5t 2t 0＝5t 20. 答案B4.(2018·青岛月考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积S ，正确的是( ) A.S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d xB.S ＝⎠⎛02(x 3－4x )d xC.S ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫3y －y 4d yD.S ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4－3y d y解析 两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x 积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x ≥x 3，故直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫同理对y 积分时S ＝⎠⎛08⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －y 4d y .答案 A5.(2019·安阳模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <c C.c <b <aD.c <a <b解析 由微积分基本定理a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4⎪⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪20＝1－cos 2<2，则c <a <b .答案 D6.(2019·昆明诊断)若⎠⎛a 0x 2d x ＝9，则常数a 的值为________. 解析 ⎠⎛a0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪0a ＝－13a 3＝9，∴a 3＝－27，a ＝－3.答案 －3考点一 定积分的计算【例1】 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. (2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________. 解析 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝83＋4＋4－83＝8.答案 (1)π (2)8规律方法 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分. 【训练1】 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.不存在 (2)定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.解析 (1)如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.(2)⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案 (1)C (2)23考点二 定积分的几何意义多维探究角度1 利用定积分的几何意义计算定积分【例2－1】 (1)计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.(2)若⎠⎛－2m －x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________.解析 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛011－x 2 d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，所以⎠⎛011－x 2 d x ＝π4，又⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝π4＋1.(2)根据定积分的几何意义⎠⎛－2m －x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又⎠⎛－2m －x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 答案 (1)π4＋1 (2)－1 角度2 利用定积分计算平面图形的面积【例2－2】 (一题多解)由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________.解析 如图所示，解方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和，即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二 选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18. 答案 18规律方法 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).【训练2】 (1)计算：⎠⎛133＋2x －x 2 d x ＝________.(2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.解析 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛133＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴⎠⎛133＋2x －x 2 d x ＝14×π×4＝π.(2)由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝k 32－13k 3＝43，则k 3＝8，∴k ＝2.答案 (1)π (2)2考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( ) A.3B.4C.5D.6(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ，力的单位：N).解析 (1)因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t .所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2＝5.整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.(2)变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为 W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J).答案 (1)C (2)342规律方法 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【训练3】 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A.1＋25ln 5 B.8＋25ln113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 答案 C[思维升华]1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.2.⎠⎛a b f (x )d x 、⎠⎛a b |f (x )|d x 与|⎠⎛a b f (x )d x |在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f (x )在闭区间[a ，b ]上可正可负，也就是它的图象可以在x 轴上方、也可以在x 轴下方、还可以在x 轴的上下两侧，所以⎠⎛ab f (x )d x 表示由x 轴、函数f (x )的曲线及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和；而|f (x )|是非负的，所以⎠⎛ab |f (x )|d x 表示在区间[a ，b ]上所有以|f (x )|为曲边的正曲边梯形的面积；而|⎠⎛a b f (x )d x |则是⎠⎛a b f (x )d x 的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的. [易错防范]1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.答案 C2.已知⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝3－e 2，则m 的值为( )A.e －14e B.12 C.－12D.－1解析 由微积分基本定理得⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝(ln x －mx )⎪⎪⎪e1)＝m ＋1－m e ，结合题意得m ＋1－m e ＝3－e 2，解得m ＝12. 答案 B3.(2019·郑州模拟)汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.132m B.6 mC.152m D.7 m解析 s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m).答案 A4.π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.0B.π4－12C.π4－14D.π2－1 解析π20⎰sin 2x2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x π20|＝π4－12.答案 B5.定积分⎠⎛02|x －1|d x 等于( )A.1B.－1C.0D.2解析 ⎠⎛02|x －1|d x ＝⎠⎛01|x －1|d x ＋⎠⎛12|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝1.答案 A6.如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( )A.8ln 3B.8C.9ln 3D.9解析 设指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，因为其过点E (2，9)，所以a 2＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛023xd x ＝3xln 3⎪⎪⎪20＝8ln 3.答案 A7.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f [f (1)]＝1，则a 的值为( )A.1B.2C.－1D.－2解析 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1，得a 3＝1，a ＝1. 答案 A8.由y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的图形的面积为( )A.43B.34C.2D.1解析 如图所示，阴影部分的面积为 S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－112x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3⎪⎪⎪21 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－112＋2－112×23－1＋112＝43.答案 A 二、填空题9.已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x ＝________.解析 原式＝⎠⎛－60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为原函数为偶函数，所以在y 轴两侧的图象对称，所以对应面积相等，即8×2＝16. 答案 1610.如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________.解析 由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，解得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪2＝－83＋4＝43.答案4311.(2019·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案4912.(2019·广州调研)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1），x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为________.解析 ⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 答案π2＋43能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(一题多解)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3 B.S 2<S 1<S 3 C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析 法一 S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3. 答案 B14.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，则f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13. 答案 B15.一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________ J. 解析 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J).答案 3616.(2019·长春模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝⎠⎛01πx 2d x ＝π3x 3⎪⎪⎪10＝π3.据此类比：将曲线y ＝2 ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝________.解析 类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y2)2＝πe y ，积分变量为y ，积分区间为[0，1]，即V ＝⎠⎛01πe y d y ＝πe y ⎪⎪⎪10＝π(e－1).答案 π(e－1)。
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰102xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e xd x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3πC.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cos x 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12 B.14 C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．。
2020年高考数学(理)第15课 定积分与微积分基本定理精品课件一轮复习
数学 低段
第15课 第7题
P74
36
随堂普查练
数学 低段
第15课 第8题
P74
37
随堂普查练
2 3
数学 低段
第15课 第8题
P74
38
随堂普查练 C
数学 低段
第15课 第9题
P74
39
课后提分练 D
数学 低段
第15课 第1题
P27
40
课后提分练
1
数学 低段
第15课 第2题
P27
41
课后提分练 C
第15课 第（4）题
P73
12
两组题讲透 D
数学 低段
第15课 第（4）题
P73
13
数学 低段
第15课 小积累
P73
14
两组题讲透 D
数学 低段
第15课 第（5）题
P73
15
两组题讲透 B
数学 低段
第15课 第（6）题
P73
16
01 02 03 04
数学 低段
第15课 小积累
P73
17
两组题讲透
数学 低段
2
第15课 第（7）题
P73
18
数学 低段
第15课 小提示
P73
19
两组题讲透
数学 低段
第15课 第（8）题
P73
20
两组题讲透
数学 低段
第15课 第（8）题
P73
21
两组题讲透 B
数学 低段
第15课 第（8）题
P73
22
数学 低段
第15课 小积累
P73
高考数学一轮复习 第15讲定积分与微积分基本定理课件 理 新人教课标A
为_积__分__下__限_____，b 称为_积__分__上__限_____．
第15讲 │知识梳理
2．定积分的几何意义
在区间[a，b]上的连续函数 f(x)，若恒有 f(x)≥0，定积分baf(x)dx
表
示
由
_直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)_，__y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(x_)_所__围__成__的__曲__边__梯__形__的___ _面__积____________．
0
中 F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到．当被积函数 含有绝对值(或平方根)时，需按绝对值内的正、负号将定积分区 间分段，然后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分 段函数时，也需按函数定义的分段情形相应的逐段积分．
第15讲 │规律总结
3．利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：(1)画出函 数的草图，确定积分变量；(2)求图象的交点，确定积分上、 下限；(3) 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和；(4)利用 定积分求面积．
第15讲 │要点探究
(2)由a (2x－8)dx＝(x2－8x)|a0＝a2－8a≤0，显然 a≠0，故解集为 0
{a|0<a≤8}．
(3)01f(x)dx＝01(ax2＋1)dx＝
a3x3＋x10＝a3＋1＝2，解得 a＝3.
第15讲 │要点探究
► 探究点2 利用定积分的几何意义求定积分 例 2 求定积分1[ 1－（x－1）2－x]dx 的值．
第15讲 │知识梳理
3．定积分的性质
(1)定积分的线性性质
kbf(x)dx bkf(x)dx＝____a________(k 为常数)；
a
[高二数学]定积分和微积分的基本定理
![[高二数学]定积分和微积分的基本定理](https://img.taocdn.com/s3/m/9c7011fa26fff705cc170a78.png)
π2 ＝ 8 ＋1. 1 1 (3)因为(－ x)′＝x2， 1 1 2 1 1 所以 x2dx＝[－x]1 ＝－(2－1)＝2.
2 1
高考总复习 数学
第四章
导数及应用（选修· 文/理）
(2010· 山东，7)由曲线 y＝x2，y＝x3 围成的封闭图形面 积为( 1 A. 12 1 C.3 ) 1 B. 4 7 D.12
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第四章
导数及应用（选修· 文/理）
高考总复习 数学
第四章
导数及应用（选修· 文/理）
高考总复习 数学
第四章
导数及应用（选修· 文/理）
4．微积分基本定理(牛顿——莱布尼兹公式) 如果 f(x)是区间[a、b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)
b b 那么 f(x)dx＝F(x)|a ＝F(b)－F(a)．
2
＝ln 22－ln 2＝2ln 2－ln 2＝ln 2.
[答案] D
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第四章
导数及应用（选修· 文/理）
2．用力把弹簧从平衡位置拉长10cm，此时用的力是200N，
变力F做的功W为(
A．5J
)
B．10J
C．20J
D．40J
[解析] 设F(x)＝kx，则200＝k·0.1
∴k＝2000，∴W＝∫20.12000xdx＝1000x2|00.1＝10(J)．
1
1 2 e 1 e e ＝2x |1 ＋lnx|1 － x|1 1 2 1 1 ＝2(e －1)＋(lne－ln1)－(e －1) 1 2 1 3 ＝2e － e＋2.
高考总复习 数学
高考数学一轮单元复习：第15讲定积分与微积分基本定理-PPT精选文档
第15讲 │ 知识梳理
知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 要点探究
要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 规律总结 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义备考方向要明了考什么怎么考1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．3.考查曲边梯形面积的求解．4.与几何概型相结合考查．归纳·知识整合1．定积分1 定积分的相关概念：在错误!错误!f x d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,f x叫做被积函数,x叫做积分变量,f x d x叫做被积式．2 定积分的几何意义①当函数f x在区间a,b上恒为正时,定积分错误!错误!f x d x的几何意义是由直线x＝a,x＝b a≠b,y＝0和曲线y＝f x所围成的曲边梯形的面积左图中阴影部分．②一般情况下,定积分错误!错误!f x d x的几何意义是介于x轴、曲线f x以及直线x＝a,x＝b之间的曲边梯形面积的代数和右上图中阴影所示 ,其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．3 定积分的基本性质：①错误!错误!kf x d x＝k错误!错误!f x d x.②错误!错误!f1x±f2x d x＝错误!错误!f1x d x±错误!错误!f2x d x.③错误!错误!f x d x＝错误!错误!f x d x＋错误!错误!f x d x.探究 1.若积分变量为t,则错误!错误!f x d x与错误!错误!f t d t是否相等提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗提示：一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算．3．定积分错误!错误!f x－g x d x f x >g x的几何意义是什么提示：由直线x＝a,x＝b和曲线y＝f x ,y＝g x所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：如果f x是区间a,b上的连续函数,并且F′ x＝f x ,那么错误!错误!f x d x＝F b－F a ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便,常把F b－F a记成F x错误!错误!,即错误!错误!f x d x＝F x错误!错误!＝F b－F a．课前预测：错误!错误!d x等于A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 22．教材习题改编一质点运动时速度和时间的关系为V t＝t2－t＋2,质点作直线运动,则此物体在时间 1,2 内的位移为3．教材习题改编直线x＝0,x＝2,y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．4．教材改编题错误!错误!错误!d x＝________.5．由y＝错误!,直线y＝－x＋错误!所围成的封闭图形的面积为________考点一利用微积分基本定理求定积分例1 利用微积分基本定理求下列定积分：1 错误!错误! x 2＋2x ＋1 d x ；2 错误!错误! sin x －cos x d x ；3 错误!错误!x x ＋1 d x ；4 错误!错误!错误!d x ；5 20π⎰ sin 2错误!d x . ——————————————————— 求定积分的一般步骤：1 把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；2 把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；3 分别用求导公式找到一个相应的原函数；4 利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；5 计算原始定积分的值．强化训练：1．求下列定积分： 1 错误!错误!|x －1|d x ； 2 20π⎰错误!d x .考点二 利用定积分的几何意义求定积分例2 错误!错误!错误!d x ＝________.变式：在本例中,改变积分上限,求错误!错误!错误!d x 的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法1 当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分．2 利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．强化训练：2． 2014·福建模拟 已知函数f x ＝错误!错误! cos t －sin t d t x >0 ,则f x 的最大值为________．考点三：利用定积分求平面图形的面积例3 2014·山东高考由曲线y＝错误!,直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为A.错误!B．4 D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”,将“y轴”改为“x轴”,如何求解———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤1 画出曲线的草图．2 借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限．3 将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．4 计算定积分,写出答案．强化训练：3． 2014·郑州模拟如图,曲线y＝x2和直线x＝0,x＝1,y＝错误!所围成的图形阴影部分的面积为考点四：定积分在物理中的应用例4 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a＝－ m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v t v t ≥0 ,那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为错误!错误!v t d t；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v t v t≤0 ,那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－错误!错误!v t d t.2．变力做功问题物体在变力F x的作用下,沿与力F x相同方向从x＝a到x＝b所做的功为错误!错误!F x d x.强化训练：4．一物体在力F x＝错误!单位：N 的作用下沿与力F x相同的方向运动了4米,力F x做功为A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质1 常数可提到积分号外；2 和差的积分等于积分的和差；3 积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题1 若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是积分变量；2 定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；3 面积非负, 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点典例 2013·上海高考已知函数y＝f x的图象是折线段ABC,其中A 0,0 ,B错误!,C 1,0 ．函数y＝xf x0≤x≤1 的图象与x轴围成的图形的面积为________．1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误,实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时,应处理好以下两个问题：1 熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形；2 准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y＝x2,y＝x3围成的封闭图形面积为2． 2014·山东高考设a>0.若曲线y＝错误!与直线x＝a,y＝0所围成封闭图形的面积为a2,则a＝________.定积分与微积分基本定理检测题一、选择题本大题共6小题,每小题5分,共30分错误!错误!d x＝A．ln x＋错误!ln2x－12．2012·湖北高考已知二次函数y＝f x的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为3．设函数f x＝ax2＋b a≠0 ,若错误!错误!f x d x＝3f x0 ,则x0等于A．±1 C．±错误!D．24．设f x＝错误!则错误!错误!f x d x＝D．不存在5．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v＝40－10t2,则此物体达到最高时的高度为m m m m6．2013·青岛模拟由直线x＝－错误!,x＝错误!,y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为B．1二、填空题本大题共3小题,每小题5分,共15分7．设a ＝错误!错误!sin x d x ,则曲线y ＝f x ＝xa x ＋ax －2在点 1,f 1 处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n }中,首项a 1＝错误!,a 4＝错误!错误! 1＋2x d x ,则该数列的前5项之和S 5等于________．9． 2013·孝感模拟 已知a ∈错误!,则当错误!错误! cos x －sin x d x 取最大值时,a ＝________.三、解答题 本大题共3小题,每小题12分,共36分10．计算下列定积分： 1 20π⎰ sin 2x d x ； 2 错误!错误!错误!2d x ； 3 120⎰e 2x d x . 11．如图所示,直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值．12．如图,设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A 2,4 移动,直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1,直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2,若S 1＝S 2,求点P的坐标．备选习题1．一物体做变速直线运动,其v －t 曲线如图所示,则该物体在错误! s ～6 s 间的运动路程为________．2．计算下列定积分：1 31-⎰ 3x 2－2x ＋1 d x ；2 错误!错误!错误!d x . 3．求曲线y ＝错误!,y ＝2－x ,y ＝－错误!x 所围成图形的面积．4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时,得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速度v 单位：m/s 与时间t 单位：s 满足函数关系式v t ＝错误!某公司拟购买一台颗粒输送仪,要求1 min 行驶的路程超过7 673 m,问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一 定积分与微积分基本定理复习讲义答案前测：1.Ｄ ２.Ａ ３.错误! ４.错误!π ５.错误!－2ln 2 例１： 1 错误!. 2 2. 3 错误!. 4 错误!e 4－错误!e 2＋ln 2. 5 错误!.变式１：解： 1 |x －1|＝错误!故错误!错误!|x －1|d x ＝错误!错误! 1－x d x ＋错误!错误! x －1 d x ＝错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＝1. 2 20π⎰错误!d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰ cos x －sin x d x ＋24ππ⎰ sin x －cos x d x ＝ sin x ＋cos x 40π＋ －cos x －sin x 24ππ＝错误!－1＋ －1＋错误! ＝2错误!－2.例２： 自主解答 错误!错误!错误!d x 表示y ＝错误!与x ＝0,x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积由y ＝错误!得 x －1 2＋y 2＝1 y ≥0 ,又∵0≤x ≤1,∴y ＝错误!与x ＝0,x ＝1及y ＝0所围成的图形为错误!个圆,其面积为错误!. ∴错误!错误!错误!d x ＝错误!.互动：解：错误!错误!错误!d x 表示圆 x －1 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,所以 错误!错误!错误!d x ＝错误!.变式２. 错误!－1 例３.Ｃ 互动：错误!. 变式３.Ｄ 例４： 自主解答 a ＝－ m/s 2,v 0＝72 km/h ＝20 m/s.设t s 后的速度为v ,则v ＝20－.令v ＝0,即20－ t ＝0得t ＝50 s ．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ,则s ＝错误!错误!v d t ＝错误!错误! 20－d t ＝ 20t －错误!错误!＝20×50－×502＝500 m ,即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．变式４.46典例： 解析 由题意可得f x ＝错误!所以y ＝xf x ＝错误!与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰ 10x －10x 2 d x ＝错误!x 3120＋错误!112错误!＝错误!. 答案 错误! 变式5. １.Ａ ２. 错误!检测题答案 ＣＢＣＣＡＤ ７.4＋2ln 2 ８.错误! ９.错误!10.解： 1 错误!. 2 错误!＋ln 错误!. 3 错误!e －错误!.11.解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0,x 2＝1,所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝错误!错误! x －x 2 d x ＝错误!错误!错误!＝错误!. 又错误! 由此可得,抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0,x 4＝1－k ,所以,错误!＝错误!错误! x －x 2－kx d x ＝错误!错误!错误!＝错误! 1－k 3.又知S ＝错误!,所以 1－k 3＝错误!,于是k ＝1－ 错误!＝1－错误!.12.解：设直线OP 的方程为y ＝kx ,点P 的坐标为 x ,y ,则错误!错误! kx －x 2 d x ＝错误!错误! x 2－kx d x ,即错误!错误!错误!＝错误!错误!错误!,解得错误!kx 2－错误!x 3＝错误!－2k －错误!,解得k ＝错误!,即直线OP 的方程为y ＝错误!x ,所以点P 的坐标为错误!. 备选题：1.解析：由题图可知,v t ＝错误!因此该物体在错误! s ～6 s 间运动的路程为s ＝612⎰v t d t ＝112⎰2t d t ＋错误!错误!2d t ＋错误!错误!错误!d t ＝t 2112＋2t |错误!＋错误!错误!错误!＝错误! m ． 答案：错误! m 2.解： 1 31-⎰ 3x 2－2x ＋1 d x ＝ x 3－x 2＋x 31-＝24.2 错误!错误!错误!d x ＝错误!错误!x d x ＋错误!错误!错误!d x ＋错误!错误!错误!d x＝错误!x2错误!错误!＋ln x错误!错误!－错误!错误!错误!＝错误! e2－1 ＋ ln e－ln 1 －错误!＝错误!e2－错误!＋错误!.3.解：由错误!得交点A 1,1 由错误!得交点B 3,－1 ．故所求面积S＝错误!错误!错误!d x＋错误!错误!错误!d x ＝错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.4.解：由变速直线运动的路程公式,可得s＝错误!错误!t2d t＋错误!错误! 4t＋60 d t＋错误!错误!140d t＝错误!t3错误!错误!＋ 2t2＋60t错误!错误!＋140t错误!错误!＝7 133 错误! m <7 676 m ．∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．。
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2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理考纲解读1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念.2.了解微积分基本定理的含义.命题趋势探究定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.知识点精讲基本概念1.定积分的极念一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<<<L n x b <<=L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1()n n ii S f x ξ==∆=∑ 1()ni i b af nξ=-∑，当x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰，()f x 为被积函数，x 为积分变量，[,]a b 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限． 需要注意以下几点： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法.①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功(x)baS F dx =⎰2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义．一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的值的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图像以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．基本性质性质11badx b a =-⎰.性质2 ()()(0)b ba akf x dx k f x dx k =⎰⎰其中是不为的常数（定积分的线性性质）. 性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）.性质4 ()()()()b c ba a cf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）推广1 1212[()()()]()()()b b b bmmaaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L 推广2 121()()()()kbc c ba ac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L ．基本定理设函数()f x 是在区间[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 是在[,]a b 上的任意一个原函数，即'()()F x f x =，则()()()b af x dx F b F a =-⎰，或记为()()b ab f x dx F x a==⎰ ()()F b F a -，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ．然后计算原函数()F x 在区间[],a b 上的增量()()F b F a -即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．题型归纳及思路提示题型51 定积分的计算思路提示对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算． 例3.25 计算()12-1sin xx dx +⎰= ．变式1 ()421dx x =⎰A.-2ln 2B. 2ln 2C.-ln2D. ln 2变式2()1(2)x e x dx +=⎰A.1 B 1e -. C.e D. +1e变式3 设函数()()20f x ax c a =+≠，若()()()101f x dx f x x=≤≤⎰，则0x 的值为 ．变式4 设函数()y f x =的定义域为R, 若对于给定的正数k ，定义函数()()(),(),k k f x kf x f x f x k≤⎧=⎨>⎩，则当函数()1,1f x k x ==时，定积分()214k f x dx ⎰的值为（ ）A.2ln 22+B. 2ln21-C.2ln2D. 2ln21+例3.26 根据定积分的几何意义计算下列定积分（1）()402x dx -⎰； （2）1-⎰题型52 求曲边梯形的面积思路提示函数()(),y f x y g x ==与直线(),x a x b a b ==<围成曲边梯形的面积为()()|f g |dx baS x x =-⎰，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限．例3.27 由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ） A.112 B.14 C.13 D.712变式1已知二次函数()y f x =的图象如图3-16所求，则它与x 轴所围成图形的面积为（ ） A.25π B.43 C.32 D.2π变式2 由曲线2y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ） A.23 B.13 C.12 D.14变式3 求抛物线24y x =与24y x =-围成的平面图形的面积．变式4 求由两条曲线2214,y 4y x x ==和直线4y =所围成的面积．1-yxO图3-1611最有效训练题15（限时45分钟）1.已知函数()223f x x x =--，则()11f x dx -=⎰（ ）A. -2B.163- C.-4 D. 1632.定积分)10x dx =⎰（ ）A,24π- B.12π- C.14π- D. 12π- 3.设()[]2,0,12,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则()20f x dx =⎰（ ）A.34B.45C.56D.不存在 4.222,,sin xa xdxb e dxc xdx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A,a c b << B.a b c << C.c b a << D. c a b << 5.曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面区域的面积为（ ）A,１ B. ２ 1 D. )216.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y θ=所围成的平面图形的面积为（ ）A,12B.１C.2D.7.抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积为 ．8.已知()f x 是偶函数，且()56f x dx =⎰，则()55f x dx -=⎰ ．9.()202|1x |dx --=⎰ ．10.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中()()10,0,5,1,02A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，．函数()()01y xf x x =≤≤的图象与x 轴所围成的图形的面积为 ．11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．（１）11|x|dx -⎰； （２）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； （３）11dx +⎰；（４）20cos 2x dx π⎰； （５）20cos 2cos sin x dx x x π-⎰ １２．有一条直线与抛物线2y x =相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．。