2020年高考理科数学一轮复习：定积分与微积分基本定理
高考数学第一轮复习 第二篇 第13讲 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
面积的代数和，即bf(x)dx＝ A1＋A3－A2
.
a
2.定积分的性质
((12))abbk[ff1((xx))d±x＝f2(x)]dkx＝abf(x)abdfx1(x)dx±(k为baf常2(数x)d)．x . a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝n1f(ξi)Δx＝i＝n1b－n af(ξi)，
当 n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区
间[a，b]上的定积分，记作 abf(x)dx ，即abf(x)dx＝nl→im∞i＝n1b－n af(ξi)．
定积分的计算
【例 1】 (1)若π2 (sinx＋acosx)dx＝2，则实数 a 等于(
)．
0
A．－1 B．1 D． 3 D．－ 3
(2)定积分3 9－x2dx 的值为________． 0
(3)已知函数 f(x)＝sin5x＋1，则-π2π2f(x)dx 的值为________．
n→＋∞
时
，和式
n
f(ξi)·Δx
i＝1
＝
n
i＝1
b－a
n f(ξi)
无
限趋近
于
某一
确
定的
常
数.( )
(3)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.( )
2.定积分的几何意义与物理意义
(4)在区间[a，b]上的连续的曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 所围
成的曲边梯形的面积 S＝ab|f(x)|dx.( ) (5)若abf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定
高中数学高考高三理科一轮复习资料第2章 2.4 定积分与微积分基本定理
方)； (2)如果在[a，b] 上，f(x)≤0，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝ b b b(a ＜ b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S ＝ |f(x)|dx ＝－
a a
f(x)dx(这时曲线全部在 x 轴下方)；
(3)如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在 x 轴上方和下 方都有图象，例如：在(a，c)上位于 x 轴上方，在(c，b)上位于 x 轴下方，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴围成的曲 c b 边梯形的面积为 S＝ f(x)dx＋ |f(x)|dx＝
b b b 4. f(x)dx， |f(x)|dx， | f(x)dx|三者在几何意义上的不同． 当
i 0 n－1
果和式极限存在，则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a，b] b fxdx 上的定积分，记作①______，即 ＝②________.
a
b (2)在 f(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， 区
a
间③________叫做积分区间，函数④________叫做被积函数， ⑤________叫做积分变量，⑥________叫做被积式．
a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 ②中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分 值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.
3．定积分的基本性质： b (1) kf(x)dx＝⑧____________________________.
c a
b f(x)dx－ f(x)dx.
c
a
c
2．由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线 x＝a，x＝ b b(a＜b)围成的图形的面积为 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
2020届高三数学一轮复习人教版通用教师讲义：第16讲定积分与微积分基本定理 含详细答案
第16讲定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<x i-1<x i<…<x n=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=-f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个,这个常数叫作函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)d x,即f(x)d x=.其中f(x)称为函数,a称为积分限,b称为积分限.2.定积分的几何意义如果在区间[a,b]上的函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分f(x)d x表示由直线x=,x=,y=和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.3.定积分的性质性质1:常数因子可提到积分号前,即kf(x)d x=(k为常数).性质2:代数和的定积分等于定积分的代数和,即[f(x)±g(x)]d x=.性质3:(定积分的可加性)如果积分区间[a,b]被点c分成两个小区间[a,c]与[c,b],则f(x)d x=.4.微积分基本定理如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有F'(x)=f(x),则f(x)d x=.常用结论如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的偶函数,则f(x)d x=2f(x)d x;如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的奇函-数,则f(x)d x=0.-题组一常识题1.[教材改编]-d x=.2.[教材改编]sin x d x=.3.[教材改编]已知f(x)d x=8,则f(x)d x+f(x)d x=.4.[教材改编]直线y=x-4、曲线y=及x轴所围成的封闭图形的面积是.题组二常错题◆索引:误解积分变量致错;定积分的值不一定是曲边梯形的面积;弄错原函数的定义域;f(x),g(x)的图像与直线x=a,x=b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错.5.定积分-(t2+1)d x=.6.曲线y=-x2(x∈[-1,1])与x轴所围成的封闭图形的面积为.7.计算--d x=.8.直线x=0,x=与曲线y=sin x,y=cos x所围成的封闭图形的面积S的定积分表达式是.探究点一定积分的计算例1 (1)已知函数f(x)=∈--∈则-f(x)d x=()A.2+πB.C.-2+D.-2(2)[2018·湖北咸宁重点高中联考]若(e x-2ax)d x=e,则a=.[总结反思](1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法.(2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数.变式题(1)[2018·曲靖一中月考]已知sin(x-φ)d x=,则sin 2φ=()A.B.C.-D.-(2)[2018·莱芜模拟]d x的值为.探究点二利用定积分求曲边梯形的面积例2 (1)[2018·贵阳模拟]若函数f(x)=A sinωx-(A>0,ω>0)的部分图像如图2-16-1所示,则图中阴影部分的面积为()图2-16-1A.B.C.-D.-(2)[2018·江西临川一中月考]已知曲线y=,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积为S,则S=.[总结反思](1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分.(2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系.变式题(1)如图2-16-2所示的阴影部分的面积为()图2-16-2A.4B.2C.D.(2)[2018·安徽江南十校联考]直线l过抛物线E:y2=8x的焦点且与x轴垂直,则直线l与E所围成的封闭图形的面积为()A.13B.C.D.探究点三定积分在物理中的应用例3 两点之间相距112 m,一质点从一点出发,沿直线向另一点做变速直线运动,其速度方程是v=t+1(v 的单位:m/s,t的单位:s).(1)计算该质点在前10 s所走的路程;(2)计算该质点在第5 s到第10 s所经过的路程;(3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在整个运动过程中的平均速度.[总结反思](1)做变速直线运动的物体在时间段[a,b]内所经过的路程S等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即S=v(t)d t.(2)一物体在变力F=F(x)的作用下,在位移区间[a,b]内所做的功W是函数F=F(x)在区间[a,b]上的定积分,即W=F(x)d x.变式题一物体在变力F(x)=(单位:N)的作用下沿力的正方向运动,求物体从x=8 m处运动到x=18 m处这一过程中,变力对物体所做的功.第16讲定积分与微积分基本定理考试说明 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.【课前双基巩固】知识聚焦1.常数→∞-f(ξi)被积下上2.a b03.k f(x)d x f(x)d x±g(x)d x f(x)d x+f(x)d x4.F(b)-F(a)对点演练1.e2-2ln 2-e[解析]-d x=(e x-2ln x)=e2-2ln 2-e.2.2[解析]sin x d x=-cos x=2.3.8[解析]f(x)d x+f(x)d x=f(x)d x=8.4.[解析]画出图形(图略)可知,所求的面积S=d x+d x-(x-4)d x=+-(x-4)2=.5.3t2+3[解析]-(t2+1)d x=(t2+1)x-=2(t2+1)+(t2+1)=3t2+3.6.[解析]所求面积S=--(-x2)d x=2x2d x=.7.-ln 2[解析]根据--d x的几何意义,可得--d x=-d x=-ln x=-ln 2.本题若做成--d x=ln x--则是错误的.8.S=|sin x-cos x|d x【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据定积分的几何意义、定积分的性质、微积分基本定理求解;(2)a是常量,确定原函数,建立关于a的方程求解.(1)D(2)-1[解析](1)-f(x)d x=-sin x d x+-d x,又-sin x d x=-cos x-=-2,-d x的几何意义是以原点为圆心,1为半径的圆的面积的,故-d x=π,∴-f(x)d x=-2,故选D. (2)∵(e x-2ax)d x=(e x-ax2)=e-a-1=e,∴-a-1=0,∴a=-1.变式题(1)B(2)3+ln 2[解析](1)根据微积分基本定理,得sin(x-φ)d x=-cos(x-φ),即-cos-+cos(-φ)=cos φ-sin φ=,两边平方,得1-sin 2φ=,所以sin 2φ=1-=,故选B. (2)d x=(x2+ln x)=4+ln 2-1-0=3+ln 2.例2[思路点拨](1)由图像求出函数解析式,然后利用定积分求得图中阴影部分的面积;(2)先作出草图(可略),确定被积函数与积分区间,再利用定积分求面积.(1)C(2)[解析](1)由图像可知,A=1,=--=,即T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin-.所以图中阴影部分的面积S=-sin-d x=cos-=cos--cos-=-=-,故选C.(2)由题意得,曲线y=,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积S=d x+(2-x)d x=+-=+2-=.变式题(1)B(2)C[解析](1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积S=(sin x-cosx)d x=(-cos x-sin x)=2,故选B.(2)由题意得,直线l的方程为x=2,将y2=8x化为y=±2.由定积分的几何意义得,所求面积S=2(2)d x=4d x=4×=4××2=.例3[思路点拨]第(1)(2)问只要根据定积分的物理意义求解即可,第(3)问先求函数v=t+1在[0,x]上的定积分,再求使得这个定积分等于112时的x值,x的值即为质点的运动时间.解:(1)该质点在前10 s所走的路程S1=(t+1)d t=t2+t=60(m).(2)该质点在第5 s到第10 s所经过的路程S2=(t+1)d t=t2+t=42.5(m).(3)设质点到达另一点所需要的时间为x,显然x>0,则根据题意有(t+1)d t=112,即=112,即x2+x=112,即x2+2x=224,得x=14,则该质点到达另一点所需要的时间是14 s,整个运动过程中的平均速度是=8(m/s).变式题解:由题意得,变力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分,即F(x)d x=-36x-1=(-36×18-1)-(-36×8-1)=(-2)--=.从而可得变力F(x)在这一过程中所做的功为 J.【备选理由】例1考查定积分的计算,特别是需要结合函数的奇偶性与定积分的几何意义进行分析,有一定的综合性;例2考查根据图像求解函数解析式的能力以及分段计算定积分的方法;例3在知识点的交汇处命题,将利用定积分求面积与几何概型结合起来考查.例1[配合例1使用][2019·深圳外国语学校月考]给出下列函数:①f(x)=x sinx;②f(x)=e x+x;③f(x)=ln(-x).存在a>0,使得f(x)d x=0的函数是()-A.①②B.①③C.②③D.①②③[解析]B对于①,f(x)=x sin x是偶函数,当x∈(0,π)时,f(x)>0,当x∈(π,2π)时,f(x)<0,作出f(x)=x sin x 在[0,2π]上的图像,如图所示,设曲线y=x sin x(x∈[0,π])与x轴围成的图形的面积为S1,曲线y=x sin x(x ∈[π,2π])与x轴围成的图形的面积为S2,由图可知S1<S2,则由定积分的几何意义知,存在a∈[π,2π],使得-x sin x d x=2x sin x d x=0;对于②,f(x)=e x+x,则-f(x)d x=-(e x+x)d x=-=e a-e-a>0(a>0),即不存在满足题意的a;对于③,f(x)=ln(-x)是奇函数,所以对于任意a>0,-f(x)d x=0都成立.综上可知,①③中的函数满足题意.故选B.例2[配合例1使用]已知函数y=f(x)的图像为如图所示的折线ABC,则-[(x+1)f(x)]d x=() A.2 B.-2C.1D.-1[解析] D由图易知f(x)=----所以-[(x+1)f(x)]d x=-(x+1)(-x-1)d x+(x+1)(x-1)d x=-(-x2-2x-1)d x+(x2-1)d x=----+-=--=-1,故选D.例3[配合例2使用]在直线x=0,x=1,y=0,y=e+1围成的区域内撒一粒豆子,则豆子落入曲线x=0,y=e+1,y=e x+1围成的区域内的概率为.[答案][解析]由题意,直线x=0,x=1,y=0,y=e+1所围成的区域是一个长为e+1,宽为1的矩形,所以其面积S=1×(e+1)=e+1.由解得所以由曲线x=0,y=e+1,y=e x+1所围成的区域的面积S1=(e+1-e x-1)d x=(e-e x)d x=(e x-e x)=1,故所求概率P==.。
高考数学一轮复习 第15讲定积分与微积分基本定理课件 理 新人教课标A
为_积__分__下__限_____，b 称为_积__分__上__限_____．
第15讲 │知识梳理
2．定积分的几何意义
在区间[a，b]上的连续函数 f(x)，若恒有 f(x)≥0，定积分baf(x)dx
表
示
由
_直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)_，__y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(x_)_所__围__成__的__曲__边__梯__形__的___ _面__积____________．
0
中 F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到．当被积函数 含有绝对值(或平方根)时，需按绝对值内的正、负号将定积分区 间分段，然后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分 段函数时，也需按函数定义的分段情形相应的逐段积分．
第15讲 │规律总结
3．利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：(1)画出函 数的草图，确定积分变量；(2)求图象的交点，确定积分上、 下限；(3) 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和；(4)利用 定积分求面积．
第15讲 │要点探究
(2)由a (2x－8)dx＝(x2－8x)|a0＝a2－8a≤0，显然 a≠0，故解集为 0
{a|0<a≤8}．
(3)01f(x)dx＝01(ax2＋1)dx＝
a3x3＋x10＝a3＋1＝2，解得 a＝3.
第15讲 │要点探究
► 探究点2 利用定积分的几何意义求定积分 例 2 求定积分1[ 1－（x－1）2－x]dx 的值．
第15讲 │知识梳理
3．定积分的性质
(1)定积分的线性性质
kbf(x)dx bkf(x)dx＝____a________(k 为常数)；
a
2020年高考课标版高考理科数学 3.3 定积分与微积分基本定理
x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上
积分值的相反数.
3.定积分的性质
(1) bakf(x)dx=k ba f(x)dx; (2) ba [f1(x)±f2(x)]dx= ba f1(x)dx± ba f2(x)dx; (3) baf(x)dx= ca f(x)dx+ bc f(x)dx(其中a<c<b).
的面积是
.
解题导引
解析
由
y
x3
3x,
得交点的坐标分别为(0,0),(2,2),(-2,-2),作出草图如图.
y x
2
可知曲线y=x3-3x和直线y=x围成图形的面积S=2 0[x
(x3
2
3x)]dx=2 0 (4x-
x3)dx=2
2x2
1 4
x4
解析 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故对x积分时,积分上限是1, 下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形
的面积S= 10 (x-x2)dx 同理可知对y积分时,S= 10 ( y -y)dy .
答案 B
方法技巧
方法 利用定积分求图形面积的方法
1,∴a,b,c的大小关系是c<b<a,故选D.
答案 D
考向二 定积分的几何意义
例2 (2018安徽淮南一模,4)求曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的
面积S,正确的是 ( )
A.S= 10 (x2-x)dx C.S= 10 (y2-y)dy
2020高考数学大一轮复习指导课件：2.7 定积分与微积分基本定理
(������)d������
dx
=13x3|10 +
2
1 0
������
(������)d������
������|10
=13+2
1 0
f(x)dx,
∴
1 0
f(x)dx=-13.故选
B.
1
本题求解时应注意将 f(x)dx看作常数,再进一步处理. 0
考点 34
考点 35
考情概览
试题类编
2.(2014·湖北,理
故①为一组正交函数;
| 对于②,
1 -1
(x+1)(x-1)dx=
1 -1
(x2-1)dx=
1 3
������3-������
1 -1
= 13-1-
-
1 3
+
1
=
23-2=-43≠0,
故②不是一组正交函数;
| 对于③,
1 -1
x·x2dx=
1 -1
x3dx=
1 4
������
4
1
=0.
-1
故③为一组正交函数,故选 C.
到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+12+5������(t 的单位:s,v 的单位:m/s)行
驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( C )
A.1+25ln 5
B.8+25ln
11 3
C.4+25ln 5
D.4+50ln 2
解析由于 v(t)=7-3t+12+5������,且汽车停止时速度为 0,
= =
0, 0
或
2020届高三理数一轮讲义：3.3-定积分与微积分基本定理(含答案)
[思维升华] 1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而 与积分变量用什么字母表示无关. 2.错误!f(x)dx、错误!|f(x)|dx 与|错误!f(x)dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函
数 f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图象可以在 x 轴上方、也可以在 x 轴下方、还可以在 x 轴的上下两侧，所以 错误!f(x)dx 表示由 x 轴、函数 f(x)的曲线
4 角度 2 利用定积分计算平面图形的面积 【例 2－2】 (一题多解)由抛物线 y2＝2x 与直线 y＝x－4 围成的平面图形的面积 为________.
y2＝2x，
解析 如图所示，解方程组
得两交点为(2，－2)，(8，4).
y＝x－4，
法一 选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之 和，即 S＝2错误! 2xdx＋错误!( 2x－x＋4)dx＝18.
角度 1 利用定积分的几何意义计算定积分
【例 2－1】 (1)计算：错误!(2x＋ 1－x2)dx＝________.
(2)若错误! －x2－2x dx＝π，则 m＝________. 4
解析 (1)由定积分的几何意义知，错误! 1－x2 dx 表示以原点为圆心，以 1 为半
| 径的圆的面积的1，所以错误! 1－x2 dx＝π，又 错误!2xdx＝x2
曲边梯形的面积
2.定积分的性质
(1)错误!kf(x)dx＝k错误!f(x)dx(k 为常数).
(2)错误![f1(x)±f2(x)]dx＝错误!f1(x)dx±错误!f2(x)dx.
(3)错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx(其中 a＜c＜b).
2020年高考数学 考点15 定积分与微积分基本定理必刷题 理(含解析)
【答案】
【解析】
因为 ；
所以 的展开式的通项公式为:
，
令 ，则 ，所以常数项为 。
故答案为 ．
22．直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积为______．
【答案】
【解析】
由题意,联立方程组 ，解得 或 ，
所以直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积为：
。
23．设 ，则 的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题知A(1,1），阴影部分的面积为S
则S= =
故选：A．
6．如图所示，点 ， 是曲线 上一点，向矩形 内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
阴影部分面积为 ，
所以所求概率为 ，选A。
7．已知 ，则多项式 的展开式中 的系数为( )
故选：B．
14．二次函数 的图象如图所示，则定积分 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】
由图象可知，二次函数 的零点为1，2
即方程 的根为1,2坐标原点 作曲线 的切线 ,则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为______
【答案】 .
【解析】
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵A（﹣1，﹣1)，B（1，﹣1),C(1，1),D（﹣1，1），
∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4,
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积:
S＝2 [1﹣ ］dx＝2（ x3） 2[(1 ）﹣0]＝2 ，
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[a，b]叫做积分区间， _____f(_x_)_____叫做被积函数， ______x______叫Байду номын сангаас做积分变量， _____f(_x_)_d_x___叫做被积式．
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
(2)定积分的几何意义
大一轮复习·数学·RJ（理）
f(x) f(x)≥0
解析：原式＝
1
x2dx＋
1
－1
－1
1－x2
dx＝
1 3
x3
1 －1
＋
1
－1
1－x2
dx＝
2 3
＋
1
1－x2
dx，
1
1－x2
dx等于半径为1的圆面积的
1 2
，即
1
1－x2 dx
－1
－1
－1
＝π2 ，故原式＝π2 ＋23.
正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的 曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
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(3)定积分的三个性质
①abkf(x)dx＝___k_ab_f_(x_)b_df_1x(_x_)_d(xk±为常bf2数(x))d；x
－1
－1
0
0
0
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3．(知识点2)e＋1x－1 1dx＝________． ⇐ 源自选修2－2P66A组T14 3
解析：3e＋1x－1 1dx＝ln(x－1)e3＋1＝ln e－ln 2＝1－ln 2. 答案：1－ln 2
bf(x)dx的几何意义
a
表示由直线___x_＝__a______， ___x_＝__b______， ____y_＝__0_____及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形
的面积
f(x)＜0
表示由直线____x_＝__a_____， ____x_＝__b_____， ____y_＝__0_____及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形
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2．(知识点2)定积分1 |x|dx＝( A ) ⇐ 源自选修2－2P50A组T5 －1
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A.1 |x|dx＝0 (－x)dx＋1xdx＝21xdx＝x21＝1.
知识点2 微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那 么 b f(x)dx＝_F__(b_)_－__F_(_a_)__，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛
a
顿－莱布尼茨公式．
b
通常记作bf(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a)．
a
a
(2)若 b f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图 a
形一定在x轴下方．( × )
(3)若f(x)是偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx.( √ )
－a
0
(4)若f(x)是奇函数，则a f(x)dx＝0.( √ ) －a
的面积的相反数
f(x)在[a，b]上 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x
有正有负
轴下方的曲边梯形的面积
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思考：定积分 b f(x)dx一定等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x) a
所围成的曲边梯形的面积吗？为什么？ 提示：不一定．因为当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为
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第五节 定积分与微积分基本定理
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教材细梳理 知识点1 定积分的有关概念，几何意义及性质 (1)定积分的相关概念 在bf(x)dx中， ____a_，__b_____分别叫做积分下限与积分上限，区间
②b[f1(x)±f2(x)]dx＝__a _________a_；
a
cf(x)dx＋bf(x)dx
③bf(x)dx＝_a_________c __(其中a＜c＜b)．
a
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π
∴0
1－x2dx＝ 4 .
－1
答案：π4
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考点一 定积分的计算[基础练通]
1．(2018·德州二模)π (sin x－cos x)dx＝________． 0
解析：π(sin x－cos x)dx＝πsin xdx－πcos xdx
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4．(知识点1)0 1－x2dx＝________． ⇐ 源自选修2－2P55A组T1 －1
解析：
0
1－x2 dx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝
－1
1－x2所围成的图形的面积，
0
0
0
＝(－cos x)π0 －(sin x)π0 ＝－(－1)＋1＝2.
答案：2
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2．(2018·江西九江调研)1 (x2＋ 1－x2 )dx＝________． －1
a
a
如果F′(x)＝f(x)，那么称F(x)是f(x)的一个___原__函__数_____．
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四基精演练
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt.( √ )