专题13 定积分与微积分基本定理知识点

考点13 定积分与微积分基本定理

一、定积分 1．曲边梯形的面积

（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤：

①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；

②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；

③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；

④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．

2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念

（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0

1

1

()()n

n

i i i i b a

f x f n

ξξ==-∆=∑

∑

；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作

()d b

a

f x x ⎰

，即

()d b

a

f x x ⎰

=1

lim ()n

i n i b a

f n

ξ→∞

=-∑

. （2）在

()d b

a

f x x ⎰

中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被

积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b

b

a a

kf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；

（2）[()()]d ()d ()d b

b b

a a

a

f x

g x x f x x g x x ±=±⎰

⎰⎰；

（3）

()d =()d +()d b

c b

a

a

c

f x x f x x f x x ⎰

⎰⎰(其中a

【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．

5．定积分的几何意义

（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分

b

a ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =

b (a ≠b )，y =0和

曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)． （2）一般情况下，定积分

b

a ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =

b 之间的曲边梯

形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)

定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：

设阴影部分面积为S ,则 （1）()d b

a S f x x =⎰； （2）()d b

a

S f x x =-⎰；

（3）()()d d c

b a

c

S f x x f x x =

-⎰

⎰； （4）()()()()d d []d b b b

a

a

a

S f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.

二、微积分基本定理

一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么

()d b

a

f x x ⎰

=F (b )−F (a )．这个结论叫做

微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把

—

F (b )−F (a )记作()|b a

F x ，即

()d b

a

f x x ⎰

=()|b a F x =F (b )−F (a )．学.科*网

【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(b

b a a C x Cx C =⎰

为常数)； （2）11d |(1)1

b

n n b

a a

x x x n n +=

≠-+⎰

； （3）sin d cos |b

b a a x x x =-⎰

； （4）cos d sin |b

b a a x x x =⎰

； （5）1

d ln |(0)b

b a a

x x b a x

=>>⎰

； （6）

e d e |b

x x b a a x =⎰

；

（7）d |(0,1)ln x b

x

b

a a a a x a a a

=

>≠⎰； （8）

3

22d |(0)3

b

b a a

x x x b a =>≥⎰

.

1．

π

cos d x x =⎰

A ．1

B ．2-

C ．0

D ．π

2．若

()π40

2

sin cos d 2

x a x x -=-

⎰，则实数a 等于 A ．1 B 2 C ．1-

D ．3-3．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22 B ．24 C ．2

D ．4