面积与微积分基本定理
微积分基本定理的推导
微积分基本定理的推导微积分在数学领域中占有重要的地位，它是研究变化的数学分支。
微积分分为微分和积分两个部分，微分用于研究函数的变化，而积分则是对函数的累积。
微积分基本定理是微积分的基础，下面将对微积分基本定理进行推导。
一、微积分基本概念在进行微积分基本定理的推导之前，我们需要了解微积分的一些基本概念。
1.导数导数是描述函数变化率的数学工具，它表示函数在某一点上的变化速率。
求导数的过程叫做微分。
设y=f(x)，则函数f在点x处的导数表示为：f'(x) = lim((f(x+h)-f(x))/h)，h→02.不定积分不定积分表示对函数进行积分，但不规定积分上下限。
设f(x)为连续函数，则对f(x)进行不定积分的结果表示为：∫f(x)dx3.定积分定积分表示对函数在一定区间上进行积分。
设f(x)为连续函数，a和b为区间上限和下限，则对f(x)在[a,b]区间上进行定积分的结果表示为：∫a^b f(x)dx二、了解了微积分的基本概念后，我们来推导微积分基本定理。
1.微积分基本定理第一部分微积分基本定理第一部分表明不定积分和导数之间存在一一对应的关系，即如果f(x)是一个连续函数，F(x)是f(x)的不定积分，则F(x)的导数为f(x)，即：(F(x))' = f(x)证明：我们假设F(x)是f(x)的不定积分，则有：∫f(x)dx = F(x) + C其中C为常数。
对F(x)求导数，有：(F(x))' = (F(x) + C)' = (F(x))' + C'由于C为常数，所以C'为0，得到：(F(x))' = f(x)因此，推导出微积分基本定理第一部分。
2.微积分基本定理第二部分微积分基本定理第二部分表明对函数在[a,b]区间上的定积分可以转化为对原函数F(x)在区间上的值的差值，即：∫a^b f(x)dx = F(b) - F(a)证明：假设F(x)是函数f(x)的一个原函数。
人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
微积分基本定理
GMmh W R( R h )
其中 G 是地球引力常数， M 是地球的质量， R 是地球的半径．
例 2：一物体从 5000m 高空落下， ．其下落速度为
g －1 2 kt v(t ) (1 e ) ，其中 g＝9.8m/s ，k＝0.2s k 问经过大约多少秒后该物体将接触到地面？
定积分在物理中的应用
例 3：证明：把质量为 m(单位：kg)的物体从地球 表面升高 h(单位：m)所作的功为
2
例 3：计算由曲线 y x 5 ，直线 y＝x
2
－7 以及 x 轴所围图形的面积 S．
定积分在几何中的应用
例 3：直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x 与 x 轴 所围成图形为面积相等的两部分， 求 k 的值．
y
2
x
O
定积分在物理中的应用
例 1：有一个质量非均匀分布的细棒，已知其线密度 为 ( x ) (2 x 1)( x 1) (取细棒所在直线为 x 轴， 细棒的一端为原点)，棒长为 l，求细棒的质量 m．
微积分基本定理
微积分基本定理
定理： 对于被积函数 f(x)， 如果 F’(x)＝f(x)， 则 f ( x )dx F (b) F (a ) ．
a b
这里 f(x)是 F(x)的导函数，我们把 F(x) 叫做 f(x)的原函数．
例1 计算定积分
(1)
3
1
2 dx(2)Biblioteka | x|3 2
x 1 (3) e 2 dx 1 x
2
(2 x 1)(2 x 3) dx 2x 1
cos 2 x (4) 2 dx 0 cos x sin x
定积分求面积
解决物理问题
微积分基本定理在物理学中有广 泛的应用，例如在计算变速直线 运动的位移、变力做功等问题中
都会用到。
微积分基本定理的证明
证明方法
微积分基本定理的证明通常采用极限 的思想，通过将积分区间分成若干小 区间，然后在每个小区间上应用微元 法，最后取极限得到定积分的值。
关键步骤
证明的关键步骤包括构造原函数、应 用牛顿-莱布尼兹公式和取极限等。
积分常数倍性质
定积分具有积分常数倍性质，即∫[a,b] cf(x) dx = c∫[a,b] f(x) dx。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形的面积。例如，∫ab (f(x)) dx 表示曲线y=f(x)， 直线x=a和x=b所围成的曲边梯形的面积。
长度
定积分也可以用来计算曲线的长度。例如，对于参数方程x=φ(t), y=ψ(t) (a≤t≤b)所表示的曲线，其长度可以表示为∫ab [φ'(t)]^2 + [ψ'(t)]^2 dt。
总结词：量化分析
详细描述：在经济分析中，定积分求面积可 以用于量化各种经济指标。例如，在金融领 域中，可以通过定积分求面积的方法计算出 股票价格、期权价值等金融产品的变化范围 。此外，在市场营销中，也可以使用定积分 求面积的方法计算市场份额、销售量等指标
的变化趋势，从而更好地制定营销策略。
感谢观看
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，则该函数在区间$[a, b]$上的定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于 由$x=a$到$x=b$的区间内曲线$y=f(x)$与$x$轴、直线$x=a$和直线$x=b$所围成的平面图形的面 积。
4 微积分基本原理
微积分基本定理1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上． (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上－S 下，若S上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f (x )＝x 3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x 3d x 的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211x d x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t，所以ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结(1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f(x)d x很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃb a f(x)d x＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)例1计算下列定积分：(1)ʃ211x d x；(2)ʃ31(2x－1x2)d x；(3)ʃ－π(cos x－e x)d x.反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋22．若ʃa1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .[呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n→∞∑='-ni i s n ab 1)(ξ； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3．ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.π4B.π2－1 C ．2D.π－246．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝________. 9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x )d x ； (2)ʃ91x (1＋x )d x ；(3)ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x .11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x ..。
微积分基本定理推导求定积分的方法函数可积的充分条件
微积分基本定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，且存在原函数F（x），即，则f在[a，b]上可积，且，这称为牛顿莱布尼茨公式，它也常写成。
定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（ba）≤∫abf(x)dx≤M（ba）,该性质说明由被积函数在积分区间上的.最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（ba）。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c 的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx都收敛，则定义∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。
定积分的应用1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）直角坐标系下（含参数与不含参数）极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2) 旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）功、水压力、引力函数的平均值（平均值y=1/(ba)*∫abf(x)dx）定积分的计算一般思路与步骤1.分析积分区间是否关于原点对称，即为[a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算。
定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解
定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。
微积分学基本定理
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
b a
计算定积分的方法: f ( x )dx
aபைடு நூலகம்
b
(1)定义法 ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F ( x ) f ( x )
/
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
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P.6-29
範例 3 求定積分
求定積分 1(4t 1)2 dt，並畫出此積分所代表面 0 積的區域。
第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 3 求定積分 （解）
1 (4t
1)2
dt
1
1(4t 1)2 dt
同時乘除以4
0
40
1 4
(4t
1)3 3
1
0
求反導數
1 4
53 3 Nhomakorabea
1 3
應用微積分基本定理
31
化簡
3
此區域的圖形如圖 6.10 所示。
第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 3 求定積分 （解）
第六章 積分與其應用
P.6-29 圖6.10
檢查站 3
求 1(2t 3)3 dt。 0
範例 1 求定積分值 （解）
第六章 積分與其應用
P.6-26 圖6.6
檢查站 1
3
以幾何的面積公式來求定積分 0 4xdx，並以簡圖
來驗證答案。
第六章 積分與其應用
P.6-26
微積分基本定理
函數 A(x) 為圖 6.7 中陰影區域的面積。欲知 A 和 f 的關係，可令 x 的增加量為 Δx，則面積的 增加量為 ΔA，再令 f(m) 和 f(M) 分別代表 f 在閉 區間 [x, x ＋ Δx] 的極小值與極大值。
第六章 積分與其應用
P.6-29 圖6.9
檢查站 2
求 x 軸與函數圖形f(x) ＝ x2 ＋ 1，2 ≤ x ≤ 3所圍 成區域的面積。
第六章 積分與其應用
P.6-29
學習提示
在求定積分時，很容易就將正負號弄錯，建議 將反導數的積分上下限標示在不同的括號中， 如上例所示。
第六章 積分與其應用
則是一個數。
b
a f (x)dx
第六章 積分與其應用
P.6-28
範例 2 以微積分基本定理求面積
求 x 軸與函數圖形 f(x) ＝ x2 － 1，1 ≤ x ≤ 2 所圍 成區域的面積。
第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 2 以微積分基本定理求面積（解）
如圖 6.9 所示，在區間 1 ≤ x ≤ 2，f(x) ≥ 0。故可 用定積分來表示該區域的面積，再用微積分基
6.4 面積與微積分基本定理
6.4 面積與微積分基本定理
學習目標 求定積分值。 利用微積分基本定理求定積分值。 利用定積分求解邊際分析的問題。 求函數在閉區間的平均值。 利用偶函數與奇函數的性質求定積分。 求年金。
第六章 積分與其應用
P.6-26
面積與定積分
在幾何學中，面積為定義某個閉區間尺寸的數 字，簡單的形狀，像是矩形、三角形和圓形， 都有面積公式。
第六章 積分與其應用
P.6-26
面積與定積分
本節將學習以微積分來計算不規則形狀的面積 ，如圖 6.5 中區域R 的面積
第六章 積分與其應用
P.6-26
面積與定積分
第六章 積分與其應用
P.6-26 圖6.5
範例 1 求定積分值
2
求定積分 2xdx。 0
第六章 積分與其應用
P.6-26
本定理即可求得此面積。
面積 2 (x2 1)dx 1
x3 2
3
x 1
定積分的定義 求反導數
23 3
2
13
3
1
應用微積分基本定理
4
化簡
3
所以，該區域的面積為
4 3
平方單位。
第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 2 以微積分基本定理求面積（解）
範例 1 求定積分值 （解）
此定積分代表圖形 f(x) ＝ 2x、x 軸與直線 x ＝ 2 所圍成區域的面積，如圖 6.6 所示。這區域的形 狀為三角形，高為 4 且底為 2。
2 2xdx 1 (底)(高)
0
2
1 (2)(4) 4 2
三角形的面積公式 化簡
第六章 積分與其應用
P.6-26
第六章 積分與其應用
P.6-27
微積分基本定理
依圖 6.8，可建立下列的不等式。
f (m)x A f (M )x
參見圖6.8
f (m)x A f (M )x x
lim f (m) lim A lim f (M )
x0
x0 x x0
f (x) A(x) f (x)
b
a f (x)dx F (b) F (a)
其中 F 為 f 的反導數。請注意，定積分不一定 代表面積，它可以是負數、零或正數。
第六章 積分與其應用
P.6-28
微積分基本定理
第六章 積分與其應用
P.6-28
學習提示
請確實了解不定積分與定積分的差異。不定積 分
f (x)dx
表示一個函數族，每個成員都是 f 的反導數，然 而定積分
第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 4 求定積分
求下列定積分。
a. 3 e2xdt 0
P.6-27
微積分基本定理
第六章 積分與其應用
P.6-27
學習提示
微積分基本定理的介紹有兩種方式：一種以面 積函數，如上所示； 另一種則利用加總的程序 ，參見附錄。
第六章 積分與其應用
P.6-27
微積分基本定理
第六章 積分與其應用
P.6-28
微積分基本定理
在微積分基本定理的推導過程中，假設 f 在閉區 間 [a, b] 為非負值，則定積分就是面積。如今， 這個定理可放寬定義，使得函數f 在閉區間 [a, b] 可部分或全部為負值。更具體的說，若 f 為 在閉區間 [a, b] 的任一連續函數，則從 a 到 b 的 定積分可記為
(x) = F (x)－F (a)，即
b
A(b) a f (x)dx f (b) F (a)
由上面的方程式可知，若能找到 f 的反導數，即
可利用該反導數來計算定積分
b
a
f
(x)dx，此結果
稱為微積分基本定理 (Fundamental Theorem of
Calculus)。
第六章 積分與其應用
每項除以x 每項取極限 A( x)導數的定義
第六章 積分與其應用
P.6-27
微積分基本定理
第六章 積分與其應用
P.6-27 圖6.8
微積分基本定理
故 f (x) = A (x) 和 A(x) = F (x) + C，其中 F (x) = f (x) 。因為 A (a) = 0，可得 C =－ F (a)，所以 A