微积分基本定理 课件
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微积分基本公式PPT课件
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
微积分基本公式优秀课件
牛顿－莱布尼茨公式
例:求 2 x 2 d x 和 2 t 2 d t
1
1
例:求 y2cosx在 x [ 0 , ] 的平均值. 2
例:连续可导函数 f (x) 有 f (a) = 3, f (b) = 5, 求
b f ( x)dx. a
积分上限函数的导数
利用牛顿—莱布尼茨公式反过来理解积分上限函数 (注:此为非正规方式)
x
(x)a f(t)dt
就是 f (x) 在 [a , b] 上的一个原函数.即:
(x)f(x) 或 (x) f(x)dx
例:函数 f (t ) = t 的积分上限函数 (x)
x
tdt
0
(x)f(x)x
原函数存在定理
x
(x )af(t)d t (x )f(x )
证:
xx
x
(xx)(x) f(t)dt f(t)dt
例:已知
f
(x)
x x2
0 x1 ,求 1 x2
2
f ( x)dx.
0
y
f (x)
O
1 2x
例:已知
x2 f (x) ex
1 x2
,求
0 x1
2
f ( x)dx.
0
牛顿－莱布尼茨公式
例:求 cos x dx 0
例:求 sin x dx
2
例:求 1 x dx 0
2
例:求 2x 1 dx 0
F(x)(x)C, x[a,b]
当 x = a 得 F(a) (a)C,
牛顿－莱布尼茨公式
a
(a )af(x )d x0 F (a )C
( x ) F ( x ) C F ( x ) F ( a )
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
微积分基本定理-2市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
2. 汽车以每小时 36 km 旳速度行 驶 ,到某处需要减速停车,设汽车以等
加速度 a = -5 m刹s2车,问从开始刹车
到停车走了多少距离?
课堂答案
1.解: 因为
-
1 x
'
=
1 x2
, arctanx '
=
1
1 + x2
由微积分基本定理得：
2 dx
21
21
1 x2 (1 + x2 ) = 1 x2 dx - 1 1 + x2dx
微积分基本定理
知识回忆
我们已经学习了微积分 学中两个最基本和最主要旳 概念——导数和定积分，先 回忆一下.
导数 是刻画函数变化快慢程度旳 一种一般概念，因为变量和函数在自然 界和社会中有着几乎无处不在旳实际背 景，所以它是高等学校许多专业旳一门 主要基础课.
定积分 旳最本质思想：在每个局 部小范围内“以直代曲”，“以不变代 变”和逼近旳思想，这也是应用定积分 处理实际问题旳思想措施.
过程与措施
经过实例（如变速运动物体在某 段时间内旳速度与旅程旳关系）， 直观了解微积分基本定理旳含义．
情感态度与价值观
微积分是大学阶段旳数学必修， 是高等数学旳基础构成部分.高中阶 段旳导数是其基础.
教学重难点
要点
直观了解微积分定理旳基本含义, 能利用定理计算简朴旳定积分.
难点
微积分基本定理旳推导过程.
=
F(x)
-
F
a
令
x
= b,
b
即得a f
x dx
=
Fb- Fa.
接下来让我们练一练吧
定积分旳基本公式,又称牛顿---莱布尼兹公式.常表达为
加速度 a = -5 m刹s2车,问从开始刹车
到停车走了多少距离?
课堂答案
1.解: 因为
-
1 x
'
=
1 x2
, arctanx '
=
1
1 + x2
由微积分基本定理得：
2 dx
21
21
1 x2 (1 + x2 ) = 1 x2 dx - 1 1 + x2dx
微积分基本定理
知识回忆
我们已经学习了微积分 学中两个最基本和最主要旳 概念——导数和定积分，先 回忆一下.
导数 是刻画函数变化快慢程度旳 一种一般概念，因为变量和函数在自然 界和社会中有着几乎无处不在旳实际背 景，所以它是高等学校许多专业旳一门 主要基础课.
定积分 旳最本质思想：在每个局 部小范围内“以直代曲”，“以不变代 变”和逼近旳思想，这也是应用定积分 处理实际问题旳思想措施.
过程与措施
经过实例（如变速运动物体在某 段时间内旳速度与旅程旳关系）， 直观了解微积分基本定理旳含义．
情感态度与价值观
微积分是大学阶段旳数学必修， 是高等数学旳基础构成部分.高中阶 段旳导数是其基础.
教学重难点
要点
直观了解微积分定理旳基本含义, 能利用定理计算简朴旳定积分.
难点
微积分基本定理旳推导过程.
=
F(x)
-
F
a
令
x
= b,
b
即得a f
x dx
=
Fb- Fa.
接下来让我们练一练吧
定积分旳基本公式,又称牛顿---莱布尼兹公式.常表达为
定积分与原函数的关系 微积分基本定理【高等数学PPT课件】
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
《微积分学基本定理》课件
解决微分方程
通过微积分学基本定理，我们可以将复杂的微分方 程转化为易于处理的积分方程，从而找到微分方程 的解。
分析函数的极值
利用微积分学基本定理，可以分析函数的极 值条件，这对于优化问题、经济模型等实际 问题具有重要意义。
在实数理论中的应用
实数完备性
微积分学基本定理在实数理论中发挥了关键作用，它证明了实数系 的完备性，为实数理论的发展奠定了基础。
PART 02
微积分学基本定理的表述
REPORTING
定理的数学表达
总结词
简洁明了地表达了微积分学基本定理的数学形式。
详细描述
微积分学基本定理通常用积分形式和微分形式两种方式表达。积分形式表述为 ：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中∫代表积分，f(x)是待积分的函数，F(x)是f(x)的 原函数；微分形式表述为：∫(dy/dx) dx = y。
详细描述
02 习题一主要考察学生对微积分学基本定理的基础概念
理解，包括定理的表述、公式记忆以及简单应用。
解答
03
通过解析和证明，帮助学生深入理解微积分学基本定
理，并掌握其应用方法。
习题二及解答
总结词：复杂应用
详细描述：习题二涉及微积分学基本定理的复杂应用，包括多步骤推导、 不同定理的综合运用等，旨在提高学生的解题能力和思维灵活性。
揭示函数性质
通过应用微积分学基本定理，我 们可以研究函数的积分与函数的 性质之间的关系，从而深入了解 函数的特性。
证明积分不等式
利用微积分学基本定理，可以证 明各种积分不等式，这些不等式 在数学分析和实际问题中都有广 泛的应用。
在微分学中的应用
导数的定义
微积分学基本定理实际上给出了导数的定义 ，它描述了函数值随自变量变化的规律，是 研究函数局部行为的关键。
【数学】4.2 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)
第四章 定积分 §2 微积分基本定理
复习回顾
定积分的概念：
b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1） （ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)
2 0
cos xdx
(2)
2 0
sin xdx
(3) 2
0
cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
复习回顾
定积分的概念：
b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1） （ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)
2 0
cos xdx
(2)
2 0
sin xdx
(3) 2
0
cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
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[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
解析：f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]|10＝2t. 答案：2t
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
2．若 F′(x)＝x2，则 F(x)的解析式不正确的是( ) A．F(x)＝13x3 B．F(x)＝x3 C．F(x)＝13x3＋1 D．F(x)＝13x3＋c(c 为常数)
解析：因为 F(x)＝x3 的导函数为 F′(x)＝3x2. 所以 F(x)＝x3 的解析式不正确． 答案：B
3.∫102xdx＝________． 解析：∫102xdx＝x2|10＝12－0＝1. 答案：1
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
归纳升华 处理含有参数的定积分问题的注意点： (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综 合起来考查，先用微积分基本定理计算定积分是解决此类 问题的前提；
4.设函数 f（x）＝x32－＋x1，，10≤≤xx≤<12，，则∫20f(x)dx＝
________．
解
析
：
∫
2 0
f(x)dx
＝
∫
1 0
(x2
＋
1)dx
＋
∫
2 1
(3
－
x)dx
＝
x33＋x10 ＋3x－x2221＝167.
答案：167
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
解析：(1)对，根据微积分基本定理的概念知，该说 法正确．
(2)对，事实上，被积函数的原函数有无数多个，取 原函数的常数项为 0，给计算带来方便．
(3)对，根据微积分基本定理的概念知，该说法正确． （4）错，如（x2）′＝2x，（x2＋1）′＝2x，不唯一. 答案：（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
类型 1 利用微积分基本定理求定积分(自主研析) [典例 1] 求下列定积分． (1)∫3－1(4x－x2)dx；(2)∫1－1exdx. 解：(1)因为2x2－13x3′＝4x－x2， 所以∫3－1(4x－x2)dx＝2x2－13x3|3－1＝
＋
∫
2 1
(x2
－
1)dx
＝
x－x33|10＋x33－x|21＝1－13＋83－2－13－1＝2.
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
[典例 3] 已知 x∈[1，2]，f(x)＝∫10(1－2x＋2t)dt， 则 f(x)的值域是________．
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
＝∫10(2x＋ex)dx＋∫21x－1xdx
＝(x2＋ex)10＋12x2－ln x21
＝(1＋e)－(0＋e0)＋12×22－ln
2－12×1－ln
1
＝e＋32－ln 2.
(2)因为 y＝|x2－1|＝1x－2－x12，，01≤≤xx<≤12，，
所
以
∫
2 0
|x2
－
1|dx
＝
∫
1 0
(1
－
x2)dx
2×32－333－2×（－1）2－（－31）3＝230. (2)因为(ex)′＝ex，所以∫1－1exdx＝ex|1－1＝e－1e.
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被 积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x) 等概念．
1．应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被 积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先判断原函 数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别 注意符号和系数的调整，直到原函数 F(x)的导函数 F′(x) ＝f(x)为止，然后再利用微积分基本定理求出结果．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成 n 段定 积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行； 带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
类型 2 求分段函数的定积分
[典例❷]
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 若
f(x)
＝
2x＋ex，0≤x≤1， x－1x，1<x≤2，
求
∫
2 0
f(x)dx；
(2)计算定积分：∫20|x2－1|dx.
解：(1)∫20f(x)dx
微积分基本定理
微积分基本定理 (1)定理内容：如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且 F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论 叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼茨公式． (2)定理的符号表示：∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数的导 数．( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算 方便通常取原函数的常数项为 0.( ) (3)只有在连续的区间上才能用微积分基本定理求定 积分的值．( ) （4）若=F′（x）= f（x）,则 F（x）唯一( )