2021年湖南省岳阳市中考数学试卷(附答案详解)

2021年湖南省岳阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)在实数√3，−1，0，2中，为负数的是()A. √3B. −1C. 0D. 22.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)下列品牌的标识中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)下列运算结果正确的是()A. 3a−a=2B. a2⋅a4=a8C. (a+2)(a−2)=a2−4D. (−a)2=−a24.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)已知不等式组{x−1<02x≥−4，其解集在数轴上表示正确的是()A. B. C. D.5.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a//b，则∠1的大小为()A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°6.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)下列命题是真命题的是()A. 五边形的内角和是720°B. 三角形的任意两边之和大于第三边C. 内错角相等D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点7.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0(单位：分)，这五个有效评分的平均数和众数分别是()A. 9.0，8.9B. 8.9，8.9C. 9.0，9.0D. 8.9，9.08.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形OABC中，点A(0,2)，点C(2,0)，则互异二次函数y=(x−m)2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是()A. 4，−1B. 5−√172，−1C. 4，0D. 5+√172，−1二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）9.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)因式分解：x2+2x+1=______ ．10.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹.据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为______ ．11.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为______ ．12.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)已知关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为______ ．13.(2021·北京市·模拟题)要使分式5x−1有意义，则x的取值范围为______．14.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)已知x+1x =√2，则代数式x+1x−√2=______ ．15.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为______ ．16.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE=8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是______ .(写出所有正确结论的序号)①AE=BC；②∠AED=∠CBD；③若∠DBE=40°，则DE⏜的长为8π9；④DFEF =EFBF；⑤若EF=6，则CE=2.24．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）17.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)计算：(−1)2021+|−2|+4sin30°−(√83−π)0．18.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是______ ；(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．19.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)如图，已知反比例函数(k≠0)与正比例函数y=2x的图象交于A(1,m)，y=kxB两点．(1)求该反比例函数的表达式；(2)若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．20.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t(单位：ℎ)进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：组别睡眠时间分组频数频率A t<640.08B6≤t<780.16C7≤t<810aD8≤t<9210.42E t≥9b0.14请根据图表信息回答下列问题：(1)频数分布表中，a=______ ，b=______ ；(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是______ °；(3)请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；(4)研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率.请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．21.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行车先走，1h后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．22.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图，该河旁有一座小山，山高BC=80m，坡面AB的坡度i=1：0.7(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，点C、A 与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE= 45°，∠DBF=31°．(1)求山脚A到河岸E的距离；(2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度.(结果精确到0.1m)(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)23.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α(60°<α<120°)得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．=______ ；(1)如图1，若α=90°，则线段ED与BD的数量关系是______ ，GDCD(2)如图2，在(1)的条件下，过点C作CF//DE交DM于点F，连接EF，BE．①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；②求证：BEFH =√33；(3)如图3，若AC=2，tan(α−60°)=m，过点C作CF//DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出BEFH的值(用含m的式子表示)．24.(2021·湖南省岳阳市·历年真题)如图，抛物线y=ax2+bx+2经过A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接BC．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2，直线l：y=kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ//y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M(点M在点Q的右侧)，以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；(3)如图3，设抛物线的顶点为D，在(2)的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF=∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【知识点】实数的概念【解析】解：在√3，−1，0，2这四个数中，负数是−1，故选：B．根据负数的定义，可以判断题目中的哪个数是负数．本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义．2.【答案】A【知识点】轴对称图形【解析】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．3.【答案】C【知识点】同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项【解析】解：3a和a属于同类项，所以3a−a=2a，故A项不符合题意，根据同底数幂的乘法运算法则可得a2⋅a4=a6，故B项不符合题意，根据平方差公式(a+2)(a−2)=a2−4，故C项符合题意，(−a)2=a2，故D项不符合题意，故选：C．根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则正确计算即可求出正确答案．本题主要考查合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则，熟练运用运算法则是解题的关键．4.【答案】D【知识点】在数轴上表示不等式的解集、一元一次不等式组的解法【解析】解：解不等式x−1<0，得：x<1，解不等式2x≥−4，得：x≥−2，则不等式组的解集为−2≤x<1，故选：D．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5.【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】解：由题意知，∠ABC=45°+60°=105°，∵a//b，∴∠1+∠ABC=180°，∴∠1=180°−∠ABC=180°−105°=75°，故选：C．根据平行线的性质可得∠1+∠ABC=180°，进而可求出∠1．本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．6.【答案】B【知识点】证明与定理【解析】解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：B．利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的性质分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的定义等知识，难度不大．7.【答案】C【知识点】算术平均数、众数【解析】解：x −=9.0+9.2+9.0+8.8+9.05=9.0，该组数众数为：9.0，∴这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0，9.0，故选：C ．根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5即可，众数即出现次数最多的数，便可选出正确答案．本题考查算术平均数以及众数，熟练掌握平均数的求法以及众数的求法是解题的关键． 8.【答案】D【知识点】二次函数的性质、正方形的性质【解析】解：如图，由题意可得，互异二次函数y =(x −m)2−m 的顶点(m,−m)在直线y =−x 上运动，在正方形OABC 中，点A(0,2)，点C(2,0)，∴B(2,2)，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，∴只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值． 当互异二次函数y =(x −m)2−m 经过点A(0,2)时，m =0，或m =−1；当互异二次函数y =(x −m)2−m 经过点B(2,2)时，m =5−√172或m =5+√172．∴互异二次函数y =(x −m)2−m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是5+√172，−1．故选：D ．画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质．解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．9.【答案】(x +1)2【知识点】因式分解-运用公式法【解析】解：x 2+2x +1=(x +1)2，故答案为：(x +1)2．本题运用完全平方公式进行因式分解即可．本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键． 10.【答案】5.5×107【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：55000000=5.5×107，故答案为：5.5×107．根据科学记数法的方法对55000000进行科学记数即可．本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的基本方法是解题的关键． 11.【答案】35【知识点】概率公式【解析】解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有5种等可能结果，摸出的小球是白球的结果数为3，∴摸出的小球是红球的概率为35，故答案为：3．5用白球的个数除以球的总个数即可．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．12.【答案】9【知识点】根的判别式【解析】解：根据题意，△=62−4k=0，解得k=9，故答案为9．利用判别式的意义得到△=62−4k=0，然后解关于k的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根．13.【答案】x≠1【知识点】分式有意义的条件有意义，【解析】解：∵分式5x−1∴x−1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．14.【答案】0【知识点】分式的化简求值、二次根式的化简求值、完全平方公式=√2，【解析】解：∵x+1x∴x+1−√2=√2−√2=0，x故答案为：0．把x+1的值代入计算即可．x本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的减法法则是解题的关键．15.【答案】(x−6.8)2+x2=102【知识点】勾股定理的应用【解析】解：设门高AB为x尺，则门的宽为(x−6.8)尺，AC=1丈=10尺，依题意得：AB2+BC2=AC2，即(x−6.8)2+x2=102．故答案为：(x−6.8)2+x2=102．设门高AB为x尺，则门的宽为(x−6.8)尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】②④⑤【知识点】弧长的计算、线段垂直平分线的概念及其性质、圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质【解析】解：①∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，又在Rt△ABC中，∠C=90°，∴BE>BC，∴AE>BC，故①错误；②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，∴∠AED=∠CBD，故②正确；③连接OD，若∠DBE=40°，则∠DOE=80°，∴DE⏜的长为80°⋅π⋅4180∘=16π9，故③错误；④∵EF是⊙O的切线，∴∠BEF=90°，又DE⊥AB，∴∠EDF=∠BEF=90°，∴△EDF∽△BEF，∴DFEF =EFBF，故④正确；⑤在Rt△BEF中，EF=6，BE=8，∴BF=10，由①AE=BE=8，∴∠A=∠ABE，又∠C=∠BEF=90°，∴△BEF∽△ACB，∴BE：AC=EF：BC=6：8，设BE=6m，则AC=8m，则CE=8m−8，在Rt△BCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2=BE2，即(8m−8)2+(6m)2=82，解得m=1.28，∴CE=8m−8=2.24.故⑤正确．故答案为：②④⑤．①DE垂直平分AB，AE=BE，BE>BC，则AE>BC，故①错误；②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，则∠AED=∠CBD，故②正确；③连接OD，若∠DBE=40°，则∠DOE=80°，则DE⏜的长为80°⋅π⋅4180∘=16π9，故③错误；④易得△EDF∽△BEF，则DFEF =EFBF，故④正确；⑤在Rt△BEF中，EF=6，BE=8，BF=10，又△BEF∽△ACB，则BE：AC=EF：BC=6：8，设BE=6m，则AC=8m，则CE=8m−8，由勾股定理可得，EC2+BC2= BE2，即(8m−8)2+(6m)2=82，解得m=1.28，则CE=8m−8=2.24.故⑤正确．本题主要考查相似三角形的性质与判定，切线的性质，弧长的计算等内容，熟知相关性质及定理是解题关键．17.【答案】解：原式=−1+2+4×12−1=−1+2+2−1=2．【知识点】绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、实数的运算【解析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案．本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、正整数幂，特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握其运算法则，细心运算是解题的关键．18.【答案】AE=CF【知识点】平行四边形的判定【解析】解：(1)添加条件为：AE=CF，故答案为：AE=CF；(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE//CF，∵AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形．(1)由题意添加条件即可；(2)证AE//CF，再由AE=CF，即可得出结论．本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．19.【答案】解：(1)把A(1,m)代入y=2x中，得m=2，∴点A的坐标为(1,2)，把点A(1,2)代入y=kx中，得k=2，∴反比例函数得解析式为y=2x；(2)过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，设点C的坐标为(a,0)，∵点A与点B关于原点对称，∴点B的坐标为(−1,−2)，∴BD=|−2|=2，OC=|a|，S△BOC=12BD⋅OC=12×2×|a|=3，解得：a=3或a=−3，∴点C的坐标为(3,0)或(−3,0)．【知识点】一次函数与反比例函数综合【解析】(1)先把A(1,m)代入y=2x中，即可算出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出答案；(2)过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，设点C的坐标为(a,0)，根据反比例函数与正比例函数的性质可得点B的坐标，由题意可得BD=|−2|=2，OC=|a|，再根据三角形面积计算方法即可算出a的值，即可得出答案．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关知识进行求解是解决本题的关键．20.【答案】0.27 72【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布表【解析】解：(1)本次调查的同学共有：8÷0.16=50(人)，a=10÷50=0.2，b=50--8−10−21=7，故答案为：0.2，7；(2)扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小是：360°×1050=72°，故答案为：72；(3)600×4+850=144(人)，答：该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数有144人；(4)按时入睡，保证睡眠时间．(1)根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数分布表中的数据，即可计算出a、b的值；(2)根据C组的频率可计算出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小；(3)根据每天睡眠时长低于7小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于7小时的人数．(4)根据调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议即可．本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：设小明骑自行车的平均速度为x km/ℎ，则妈妈开车的平均速度为4x km/ℎ，依题意得：16x −164x=1，解得：x=12，经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，∴4x=48．答：妈妈开车的平均速度为48km/ℎ．【知识点】分式方程的应用【解析】设小明骑自行车的平均速度为x km/ℎ，则妈妈开车的平均速度为4x km/ℎ，根据时间=路程÷速度，结合小明比妈妈多用1h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22.【答案】解：(1)在RtABC中，BC=80，∵AB的坡度i=1：0.7，∴BCAC =10.7，∴80AC =10.7，∴AC=56，在RtBCE中，BC=80，∠BEC=∠DBE=45°，∴∠CBE=90°−∠BEC=90°−45°=45°，∴∠BEC=∠CBE，∴CE=BC=80，∴AE=CE−AC=80−56=24(m)，答：山脚A到河岸E的距离为24m；(2)在RtBCF中，BC=80，∠BFC=∠DBF=31°，tan∠BFC=BCCF，∴80CF≈0.6，∴CF≈133.33，∴EF=CF−CE=133.33−80=53.33≈53.3(m)，答：河宽EF的长度约53.3m．【知识点】解直角三角形的应用【解析】(1)在RtABC中，根据AB的坡度求出AC，在RtBCE中，根据等腰直角三角形的性质可得CE=BC，由线段的和差即可求得AE；(2)在RtBCF中，由三角函数的定义求出，根据线段的和差即可求出．本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是23.【答案】ED=BD√33【知识点】四边形综合【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴AD=CD=BD，∵∠A=60°，∴∠B=30°，△ABD是等边三角形，∴∠DCB=30°，∵∠CDE=α=90°，∴tan∠CGD=tan60°=CDDG=√3，∴GDCD =√33．∵线段CD绕点D顺时针旋转α(60°<α<120°)得到线段ED，∴ED=CD=BD，故答案为：ED=BD；√33．(2)①四边形CDEF是正方形，理由如下，∵DM平分∠CDE，∠CDE=90°，∴∠CDM=∠EDM=45°，∵CF//DE，∴∠CFD=∠EDM=45°，∴∠CFD=∠EDM=∠CDM，∴CF=CD=ED，∴四边形CDEF是菱形，∵∠CDE=90°，∴菱形CDEF是正方形．②由(1)可知，∠ADC=60°，∠CGD=60°，BD=DE，∴∠BDE=30°，∠EGB=60°，∴∠DBE=∠DEB=75°，∴∠EBG=45°，∵∠GDB=90°−∠ADE=30°，∠ABC=30°，∴∠GDB=∠ABC，由①知∠CFD=∠CDF=45°，∠DCF=90°，∴∠FCH=60°，∴∠EGB=∠FCH，∠EBG=∠CFD，∴△BEG∽△FHC，∴BEFH =BGFC，∵DG=BG，CD=CF，∴BEFH =BGFC=GDCD=√33．(3)如图3，过点D作DN⊥BC于点N，∴AC//DN，∴∠ACD=∠CDN，∵△ACD是等边三角形，AC=2，∴CD=AC=2，∠CDN=∠ACD=60°，∴∠NDG=α−60°，DN=1，∴tan∠NDG=tan(α−60°)=NGDN=m，∴NG=m，∴DG=√DN2+NG2=√1+m2，∵∠ADC=60°，∠ADG=α，∴∠BDE=120°−α，∴∠BEG=∠EBG=30°+α2，∴∠EBG=α2，∴∠BGE=150°−α，∵DM平分∠CDE，∠CDE=α，∴∠CDM=∠EDM=α2，∵CF//DE，∴∠CFD=∠EDM=α2，∠DCF+∠CDE=180°，∴∠DCF=180°−α，∴∠FCG=150°−α，∴∠EGB=∠FCG，∠EBG=∠CFD，∴△BEG∽△FHC，∴BEFH =BGFC，∵DG=BG，CD=CF，∴BEFH =BGFC=GDCD=√m2+12．(1)根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到AC=CD=BD，根据旋转的性质可以得到CD=DE，则DE=BD；又在Rt△CGD中，含30°的直角三角形边之间的关系可得结论；(2)①由∠CFD=∠EDM=∠CDM，得CF=CD=ED，又CF//DE，则四边形CDEF是菱形，又∠CDE=90°，可得结论：菱形CDEF是正方形．②由题意可得，∠EGB=∠FCH，∠EBG=∠CFD，则△BEG∽△FHC，又DG=BG，CD=CF，所以BEFH =BGFC=GDCD=√33．(3)过点D作DN⊥BC于点N，由tan∠NDG=tan(α−60°)=NGDN=m，得NG=m，所以DG=√DN2+NG2=√1+m2，又△BEG∽△FHC，DG=BG，CD=CF，所以BEFH=BG FC =GDCD=√m2+12．本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30°的直角三角形的边角关系，正方形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和等内容，得到△BEG∽△FHC是解题关键．24.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x−x1)(x−x2)，即y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)=ax2−3ax−4a，即−4a=2，解得a=−12，故抛物线的表达式为y=−12x2+32x+2；(2)将点A的坐标代入直线l的表达式得：0=−k+3，解得k=3，故直线l 的表达式为y =3x +3，设点Q 的坐标为(x,−12x 2+32x +2)，则点P 的坐标为(x,3x +3)，由题意得，点Q 、M 关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x =32， 故点M 的横坐标为3−x ，则QM =3−x −x =3−2x ，设矩形周长为C ，则C =2(PQ +QM)=2[3−2x +3x +3−(−12x 2+32x +2)]=x 2−x +8，∵1<0，故C 有最小值， 当x =12时，矩形周长最小值为314；(3)当x =12时，y =−12x 2+32x +2=218，即点Q 的坐标为(12,218)， 由抛物线的表达式知，点D 的坐标为(32,258)，过点D 作DK ⊥QM 于点K ， 则DK =y D −y Q =258−218=12，同理可得，QK =1， 则tan∠DQM =DKQK =12， ∵∠CBF =∠DQM ，故tan∠CBF =tan∠DQM =12， 在△BOC 中，tan∠CBO =COOB =24=12， 故BF 和BO 重合， 故点F 和点A 重合， 即点F 的坐标为(−1,0)．【知识点】二次函数综合【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)设点Q的坐标为(x,−12x2+32x+2)，则点P的坐标为(x,3x+3)，设矩形周长为C，则C=2(PQ+QM)=2[3−2x+3x+3−(−12x2+32x+2)]=x2−x+8，即可求解；(3)过点D作DK⊥QM于点K，则DK=y D−y Q=258−218=12，同理可得，QK=1，则tan∠DQM=DKQK =12，在△BOC中，tan∠CBO=COOB=24=12，即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。