古典概型等可能性判断的启示

古典概型等可能性判断的启示
处理古典概型问题，只要求出基本事件总数和事件A 包含的基本事件个数即可解决。

困难在于确定基本事件，使之具有有限性和等可能性。

判断等可能性容易被许多人忽略，又使许多人感到困惑的问题，要做好这一点，需要解法灵活，思维严谨，切忌想当然。

本文就是对这类问题出现的错误归类予以剖析，以期引起大家的注意。

例1.抛掷两枚般子，求事件A 为出现的点数之和等于7的概率．
错解：掷两枚般子出现的点数之和的可能数值为2，3，4，…，12共11个．出现的点数之和等于7只有一个，故P(A)＝11
1. 错解分析: 仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而取数值2和3不是等可能的，出现点数之和为2的只有一种情况（1，1），而出现点数之和为3的有两种情况（1,2），（2,1)可出现，出现点数之和为4的有三种情况（1,3），（3，1），(2,2)可出现，出现点数之和为7的有六种情况（1，6)，（6，1），（2，5），（5,2），（3,4），（4，3）可出现．
正解: 掷两枚般子可能出现的情况:(1,1),（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），(6，2），…，（6,6），基本事件总数为6×6=36.在这些结果中，出现点数之和等于7有六种结果（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3）．所以P(A)＝6
1366=. 例2.在一个盒子中装有12枝圆珠笔，其中7枝一等品，5枝二等品，从中任取3枝，求恰有1枝一等品的概率：
错解：从中任取3枝，第一次有12种取法，第二次有11种取法，第三次有10种取法，所以从12枝圆珠笔任取3枝的情况共有121110⨯⨯种；
用A 表示“恰有1枝一等品”这一事件，则事件A 共有754⨯⨯种情况，
∴P(A)= 754712111066
⨯⨯=⨯⨯ 分析: 等可能事件的概率是指:如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的．如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率P(A)＝
n m ． 启示与解析1：错解中基本事件的总数共有121110⨯⨯种取法，这表明在计算基本事件总数时是看作是有顺序的，所以在计算事件A 包含基本事件的个数时，也应该看作是有顺序的。

一等品的圆珠笔可能是第一次取道的，也可能是第二次、第三次，所以事件A 共有5473⨯⨯⨯种情况。

∴P(A)= 5473712111022
⨯⨯⨯=⨯⨯ 启示与解析2：上述例题在计算基本事件总数时也可以看作是无顺序的，若看作是无顺
序的，则基本事件总数为1211106⨯⨯÷，事件A 包含基本事件的个数为
5427⨯÷⨯（）， ∴P(A)=54277121110622
⨯÷⨯=⨯⨯÷（） 例3.一个家庭有两个小孩，求他们中至少有一个女孩的概率。

错解：样本空间：两个女孩或两个男孩或一男一女，用A 表示“至少有一女孩”这一事件，则Ω={(男，男),(男，女),(女，女)}
A={(男，男),(男，女)}
∴P(A)= 2 3
启示与解析：上述解法在考虑样本空间时，两个女孩或两个男孩或一男一女发生的可能性不相等。

古典概型中，P(A)= A包含基本事件的个数基本事件的总数
仅当所述的试验结果是等可能时才成立。

两个女孩只可能是（女，女），但有一女孩的情况有（男，女），（女，男）两种情况，所以
Ω={(男，男),(男，女),（女，男），(女，女)}
A={(男，女)，(女，男), （女，女}，
∴P(A)= 3 4
例4.设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球，
（1）求这两只球都是白球的概率；
（2）求这两只球中一只是白球一只是黑球的概率。

错解1：一次摸出2个球，观察结果的颜色只能有（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种情况，即Ω={(白，白),(白，黑),（黑，黑）}。

（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，A ={(白，白)}，所以P(A)= 1 3
（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，B={(白，黑)}，
所以P(B)= 1 3
错解2：从袋中无放回地摸出2只球，第一次有6种摸法，第二次有5种摸法，共有65215
⨯÷=种可能结果，
（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A事件共有4326
⨯÷=种可能结果，
所以P(A)= 2 5
（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B事件共有4224
⨯÷=
种可能结果，所以P(B)=
2 15
启示与解析1：在上述错解1中（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种结果出现不是等可能的。

我们不妨把4个白球标以1，2，3，4号，2个黑球标以5，6号，则Ω={(1，2),(1，3),…(1，6)（2，1），（2，3），…（2，6）…（6，1）（6，2）…（6，5）}。

（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A={(1，2),(1，3),(1，4)（2，1），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，4），（4，1）（4，2）（4，3）}，
所以P(A)= 2 5
（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B={（1，5，），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，
4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4）}，所以P(B)=
8 15
启示与解析2：在上述错解2中，计算基本事件个数时看做是无顺序的，所以第（2）问中事件B应有428
⨯=种结果。

正确解法如下：
从袋中无放回地摸出2只球，第一次有6种摸法，第二次有5种摸法，共有6530
⨯=种可能结果，
（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A事件共有4312
⨯=种可能结果，
所以P(A)=2 5
（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B事件共有42216
⨯⨯=
种可能结果，所以P(B)=
8 15
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