古典概型和几何概型的意义和主要区别
古典概型与几何概型的异同点
古典概型与几何概型的异同点一、背景和定义1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。
若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。
2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。
它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。
二、相同点1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。
2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。
三、不同点1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。
2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。
而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。
3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。
而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。
4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。
而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。
5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。
而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。
6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。
而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。
7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。
四、例子1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。
这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型[要点提示]古典概型即等可能事件概率,是概率中最基本的概率模型,是整个概率计算的基础.而模拟方法是古典概型问题的延伸,几何概型的引入是概率问题的进一步加强.它们在现实生活中都有着广泛的应用,而计算机模拟的引入使这些知识在科研领域也发挥了重要作用.[概念解析]1.古典概型:试验结果只有有限个,每次只出现其中的一个结果,每一个试验结果出现的可能性相同,我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.古典概型的计算方法()AP A 包含的基本事件的个数基本事件的总数提供了计算概率的一种方法,即不通过大量重复试验,而只是要对一次试验可能出现的结果进行分析,就可求出概率值.2.互斥事件:在一个随机试验中,我们把一次试验下不可能发生的两个事件A与B称为互斥事件.如果事件1A,2A,…,n A中的任何两个都是互斥事件,那么就说事件1A,2A,…,n A彼此互斥;从集合的角度看,事件A与事件B互斥,是指事件A与事件B所包含的结果构成的集合之间彼此的交集为空集;若事件A与事件B是互斥事件,那么A与B同时发生的概率为0.3.对立事件:如果A表示事件A发生,A表示事件A不发生,那么事件A 与A中必有一个发生,这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件.一般来说,对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件.4.几何概型的特征:进行一次试验相当于向几何体G 中取一点;对于G 内任意子集,事件“点取自g ”的概率与g 的测度(长度、面积或体积)成正比,而与g 在G 中的位置、形状无关,这类随机试验的数学模型称为几何概型.对于几何概型,如果随机事件A 可用G 中的一个区域g 表示(组成事件A 的所有可能结果与g 中的所有点一一对应),那么事件A 的概率规定为: ()G g P A =的测度的测度. [技巧点拨]1.若A,B 是互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B),并且可以推广到三个及三个以上的情况.利用这一方法可以把求概率转化为求几个事件的概率的和.2.而A 与它的对立事件的和事件A+A 是一个必然事件,因此,()()()1P A A P A P A +=+=,故有时候可以通过求其对立事件的概率利用公式()1()P A P A =-来求原事件的概率.3.几何概型问题的计算通常需要计算几何图形的体积或面积进一步求比值可得概率.[例题精讲]例1.黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表:已知同种血型的人可以输血,O 型可以输给人一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B血型,若小明需要输血,问:(1).任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2).任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?[解析]:(1).任找一人若是B型血则记为事件M,是O型血的记为事件N,则P(M)=0.29,P(N)=0.35,可以给小明输血的事件为M+N,而显然M 与N是互斥的,故可以给小明输血的概率为P(M+N)=P(M)+P(N)=0.29+0.35=0.64;(2).任找一人,其血不能输给小明与M+N是对立事件,故概率为1－P(M+N)=1－0.64=0.36.[评析]:对于互斥事件的概率可以采用公式P(A+B)=P(A)+P(B)进行求解,而对立事件采用()1()P A P A=-进行求解都可以把题目进行简化.例2.向面积为S的△ABC任投一点P,求△PBC面积小于2S的概率. [解析]:如图,根据题意,若△PBC面积小于2S,则点P可分布在如图所示的过三角形的高的中点且EF与BC平行的梯形BCEF内,故满足条件的概率为:梯形的面积与△ABC面积的比,即334()4SP AS==.[评析]:对于几何概型,关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用几何图形的几何度量来求随机事件的概率.在高中阶段,我们主要研究与几何图形的长度,面积或体积有关的几何概型问题.在解题中要多加思考,培养逻辑思维能力.。
_古典概型_和_几何概型_意义和区别的理解
“古典概型”和“几何概型”意义和区别的理解山东省博兴县锦秋中学 256512 穆高岭1 两种概型的特点和意义1.1 古典概型在这个模型下,随机实验所有可能的结果是有限的,并且每个基本结果发生的概率是相同的.例如:掷一次硬币的实验,只可能出现正面或反面,由于硬币的对称性,总认为出现正面或反面的可能性是相同的.又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验,也属于这个模型.它是概率论中最直观和最简单的模型;概率的许多运算规则,也首先是在这种模型下得到的.古典概型特点:11实验的样本空间只包括有限个元素(有限性);21实验中每个基本事件发生的可能性相同(等可能性).同时具有以上两个特点的实验叫等可能概型,也叫古典概型.这是判断古典概型的一个依据.古典概型概率求法的基本步骤:(1)算出所有基本事件的个数n;(2)求出事件A 包含的所有基本事件数m;(3)代入公式P (A )=mn,求出P (A ).图12.2 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;所谓几何概型的概率问题,是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题:设在空间上有一区域G,又区域g 包含在区域G 内(如图1),而区域G 与g 都是可以度量的(可求面积),现随机地向G 内投掷一点M ,假设点M 必落在G 中,且点M 落在区域G 的任何部分区域g 内的概率只与g 的度量(长度、面积、体积等)成正比,而与g 的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验(掷点),称为几何概型.关于几何概型的随机事件“向区域G 中任意投掷一个点M ,点M 落在G 内的部分区域g ”的概率P 定义为:g 的度量与G 的度量之比,即P =g 的测度G 的测度.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.几何概型的概率公式:P (A )=构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积);几何概型的意义事件A 理解为区域的某一子区域A,事件A 发生的概率只与构成该事件的子区域的几何度量(长度、面积、体积)成正比,而与A 的位置和形状无关.2 “古典概型”和“几何概型区别几何概型是无限个等可能事件的情况,而古典概型等可能事件只有有限个.“古典概型”和“几何概型”与初中教学联系最密切的章节是“统计与概率”.“统计与概率”的教育价值主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机事现象,它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画,来帮助人们作出合理的决策.随着社会的不断发展,统计与概率的思想方法将越来越重要.如:奥地利遗传学家,孟德尔的“遗传定律”就是通过统计概率的知识得来的,为人类做出了伟大的贡献,孟德尔本人也成了遗传学的奠基人.统计与初步所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍使用的并且强有力的思维方式.初中阶段要求学生熟悉统计与概率的基本思想方法,逐步形成统计概念,让学生了解随机现象,形成科学的世界观与方法论.初中的“统计与概率”中蕴含着极其丰富的“古典概型”和“几何概型”有关实际问题.例1 (淮安金湖实验区)为了调查淮安市今年有多少名考生参加中考,小华从全市所有家庭中抽查了200个家庭,发现了其中10个家庭有子女参加中考.11中学数学杂志 2009年第12期 Z H ONGX U ESH U X U EZ A Z H I (1)本次抽查的200个家庭中,有子女参加中考的家庭频率是多少?(2)如果你随机调查一个家庭,估计家庭有子女参加中考的概率是多少?(3)已知淮安市约有1.3×106个家庭,假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生,请你估计今年全市有多少名考生参加中考?解 (1)10200=120;(2)120;(3)1.3×106×120=65000(名)例2 (河南课改实验区)若从一副扑克牌中取出的两组牌,分别是黑桃1、2、3、4和方块1、2、3、4,将它们背面朝上,分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出一张,那么摸出的两张牌的牌面的数字之和等于5的概率是多少?请你用列举法(列表或画树状图)加以分析说明.解 可用列举法列出所有的可能得到的牌面数字之和:黑桃1黑桃2黑桃3黑桃4方块11+1=22+1=33+1=44+1=5方块21+2=32+2=43+2=54+2=6方块31+3=42+3=53+3=64+3=7方块41+4=52+4=63+4=74+4=8 从上表可知,共有m=16种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌的牌面数字之和等于5的情况共有n=4次.记牌面数字之和等于5为事件A,则P(A)=nm =416=14.评注 计数的常用方法是列表或画树状图.解决方案 当试验有几个结果,而且每个结果发生的概率都相等时,可以通过计数来计算.公式是P(A)=nm.其中,事件A是我们所关注的结果,P(A)是A发生的概率,如果试验总共有m种等可能的结果,那么这个m作为分母,如果事件A总共含有n种等可能结果,那么这个n作为分子.例3 (扬州课改实验区)某商场进行有奖促销活动.活动规则:购买500元商品就可以获得一次转盘的机会(转盘分为5个扇形区域,分别是特等奖彩电一台,一等奖自行车一辆,二等奖圆珠笔一枝,三等奖卡通画一张及不获奖)转盘指针停在哪个获奖区域就可以获得该区域相应等级奖品一件.商场工作人员在制作转盘时,将获奖扇形区域圆心角分配如下表:奖 次特等奖一等奖二等奖三等奖圆心角1°10°30°90° (1)获得圆珠笔的概率是多少?(2)如果不用转盘,请设计一种等效实验方案. (要求写清楚替代工具和实验规则)图2解 (1)获得圆珠笔的概率=30度的扇形面积整个圆的面积=30360=112.(2)可采用“抓阄”或“抽签”等方法代替,规则如下:在一个不透明的箱子里放进360个除标号不同外,其他均一样的乒乓球,其中一个标“特”,10个标“1”,30个标“2”,90个标“3”,其余的不标数字,摸出标有哪个奖次的乒乓球,则获相应等次的奖品.解决方案 如果可能发生的结果没法一一统计,例如转盘上的指针最后停下的位置等,这时可以用这样公式来计算概率:P(G)=S GS M.其中G表示我们所关注的区域,P(G)表示结果恰好发生在所关注区域G中的概率,M是指所有可能发生的区域,SG是G的面积,SM是M的面积.评注 从例1、例2看学生脑海中虽没有“古典概型”的概念,但此概念即将呼之欲出!从例3看学生已经潜意识的,在使用“几何概型”.无论是从统计与概率的教育价值,还是新课标的教学内容,以及对学生的思维能力培养来看,作为我们初中教师就更应该理解“古典概型”和“几何概型”的意义和区别,以便更好的有的放矢的进行潜移默化的教学,便于使学生在丰富的生活素材实验中去归纳、分析、总结,使学生逐渐形成对“古典概型”和“几何概型”的潜意识.有助于学生向高中阶段学习的顺利过渡,有助于培养学生对数学思维方法的情感体验,更有助于学生健康发展.作者简介 穆高岭,男,1965年9月生,中学数学一级教师,中国尝试教学会会员.主要研究中学数学课堂教学改革,发表论文数篇.21 Z H ONGX U ESH U X U EZ A Z H I 中学数学杂志 2009年第12期。
1.3古典概型与几何概型
所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放
古典概型和几何概型
古典概型和几何概型
古典概型和几何概型是许多文学作品、艺术作品和社会文明之间
共有的概念。
古典概念是一种由古代文学作品引申出来的概念，它描
述了古时候审美美学的影响。
而几何概念则是一种从几何而来的概念，涉及到数学、物理等学科，它们联系在一起，形成规定的模型帮助了
许多学科的发展。
古典概念的主要表达是审美的概念，它一般情况下被归结为美丽
的抽象，这些抽象概念通过雕塑、美术、文学和音乐等艺术形式表达
出来，改变了人们对事物的认知和审美观。
而几何概念则充分发掘了
自然环境和物理现象，提出了数学模型，从而推导出复杂的物理实践
形式，有助于人们对物质结构和运动关系的认知。
古典概念和几何概念之间有各自独特的表现，但它们也被归结为
人类文明的基石，两者的结合往往会激发出更多的美感和独特的文化
氛围。
它们在不同的艺术作品中发挥了精美的功能，也传承着文化遗
产及历史记载，对人类社会有重要的作用。
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型古典概型和几何概型是概率论中的两个重要概念，它们被广泛应用于统计学、数学和其他科学领域。
本文将从古典概型和几何概型的定义、特点和应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
1. 古典概型古典概型是指在确定试验中，每个基本事件发生的概率相等的情况。
简单来说，就是试验的结果可以列举出来，并且每个结果发生的可能性相同。
比如，投掷一个均匀的骰子，每个点数出现的概率都是1/6，这就是一个典型的古典概型。
古典概型的特点是简单明确，适用于具有确定结果的试验。
它可以用于求解事件的概率、计算期望值等问题。
古典概型在实际应用中有着广泛的应用，比如扑克牌、硬币、骰子等常见的游戏和赌博问题都可以用古典概型进行分析和计算。
2. 几何概型几何概型是指试验的结果在几何空间中的分布情况。
与古典概型不同的是，几何概型中的基本事件并不一定具有相等的概率。
几何概型常用于描述连续型随机变量的分布情况，比如长度、面积、体积等。
几何概型的特点是可以用几何图形来表示，更加直观直观形象。
在几何概型中，我们可以通过计算几何形状的面积、体积等来求解概率和期望值。
几何概型在实际应用中有着广泛的应用，比如连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的计算等。
3. 古典概型与几何概型的联系与区别古典概型和几何概型都是概率论中常用的概念，它们都可以用于描述试验结果的概率分布情况。
但是古典概型强调的是试验结果具有相等的概率，而几何概型则不一定具有相等的概率。
古典概型适用于离散型随机变量的分析，一般用于计算排列组合、事件概率等问题。
而几何概型适用于连续型随机变量的分析，一般用于计算几何空间的面积、体积等问题。
古典概型和几何概型在实际应用中常常结合使用。
例如，在计算连续型随机变量的概率时，可以先用几何概型计算几何形状的面积或体积，然后再根据总体积或面积计算概率。
4. 古典概型与几何概型的应用举例古典概型和几何概型在实际应用中有着广泛的应用。
古典概率与几何概率的区别
古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。
几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。
一、古典概型和几何概型的意义（一）.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.1.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2.几何概型求事件A的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍1. 古典概型的特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2. 古典概型求事件A的概率公式：P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。
三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模题组一：情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？情景4、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？说明：第一组题是古典概型，（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；（2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。
几何概型与古典概型
随机事件的概率与古典概型一、几个概念辨析：1概率与频率: 频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．2互斥事件:不可能同时发生的两个事件 对立事件:必有一个发生的对立事件 “互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．例：一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( ) A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件 答案 D解析 根据互斥与对立的意义作答，A ∩B ＝{出现点数1或3}，事件A ，B 不互斥更不对立；B ∩C ＝∅，B ∪C ＝Ω(Ω为基本事件的集合)，故事件B ，C 是对立事件． 练习：已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为 ( )A.16，16B.12，23C.16，23D.23，12答案 C解析 “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为事件A ，可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P (A )＝16＋12＝23.(或设“甲不输”为事件A ，可看做是“乙胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23)二、古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．且任何两个基本事件是互斥的． (2)每个基本事件出现的可能性相等．例：（1）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)． 答案 23解析 三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27(种)选法， 其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 13C 12＝3×3×2＝18(种)选法．∴所求概率为P ＝1827＝23.（2）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________． 答案 34解析 从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为34.练习：1甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B.19C.536D.16答案 D解析 最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16，所以选D.2从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________． 答案 34解析 从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为34.3 在平面直角坐标系中，从五个点：A (0,0)、B (2,0)、C (1,1)、D (0,2)、E (2,2)中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)． 答案 45解析 从五个点中任取三个点有10种不同的取法，其中A 、C 、E 和B 、C 、D 共线．故能构成三角形10－2＝8(个)，所求概率为P ＝810＝45.4连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.12答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)． ∴P ＝1536＝512，故选A.5若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ∈N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ∈N *}，在A ∪B 中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为________． 答案1667解析 易知A ＝{3,6,9，…，99}，B ＝{2,4,6，…，100}， 则A ∩B ＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个． A ∪B 中元素共有33＋50－16＝67(个)， ∴所求概率为1667.三、几何概型(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)1长度问题例：在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sinπx 4的值介于－12与22之间的概率为 ( )A.14B.13C.23D.56答案 D解析 ∵－1≤x ≤1，∴－π4≤πx 4≤π4.由－12≤sin πx 4≤22，得－π6≤πx 4≤π4，即－23≤x ≤1.故所求事件的概率为1＋232＝56.练习：1点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．3解析 如图可设lAB＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.2如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，则过点Q 且 与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________． 答案 1－32解析 弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 2角度有关问题例：如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 思维启迪：根据“在∠BAC 内作射线AM ”可知，本题的测度 是角度．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°， 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.探究提高 几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段BC 上找一点M ”，则相应的测度变成线段的长度．3与面积有关的问题例：如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )πB.12－1π C.2π D.1π 答案 A解析 方法一 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.方法二 连接AB ，由S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC 可求出空白部分面积． 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.练习：1在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为________． 答案 34解析 根据函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点得4a 2－4(π－b 2)≥0，即a 2＋b 2≥π，建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部，使函数f (x )有零点的区域为图中阴影部分，且S 阴影＝4π2－π2＝3π2.故所求概率为P ＝S 阴影S 正方形＝3π24π2＝34.2在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( )A.12B.23C.34D.14答案 C解析 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b >0，∴a －2b <0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.3设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所 构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <60<y <60<x ＋y <6， 所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >6－x －y x ＋6－x －y >y y ＋6－x －y >x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3y <3x <3，所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.4有关体积问题例：一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38答案 C解析 由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.。
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专题六作业：
3．在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，是否更有利于从事相应的教学，举例说明；
在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，更有利于从事相应的数学教学。
一、古典概型
1、古典概型的意义
如果随机试验E具有下列性质：（1）E的所有可能结果（基本事件），只有有限多个；（2）E的每一个可能结果（基本事件），发生的可能性大小相等；则称E为有限等可能型随机试验或等可能概型。
因为它是概率论发展初期的主要研究对象，所以它被称为古典概型.
2.古典概型的两个基本特点
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，由试验产生随机数。
（2）每个基本事件出现的可能性相等.
2、常见的三种古典概型基本模型
(1) 摸球模型；同类型的问题还有
1) 中彩问题；
2) 抽签问题；
3) 分组问题；
4) 产品检验问题；
5) 扑克牌花色问题；
6) 英文单词、书、报及电话号码等排列问题.
(2) 分房问题；同类型的问题还有：
1) 电话号码问题
2) 骰子问题
3) 英文单词、书、报等排列问题.
(3) 随机取数问题.同类型的问题还有：
1) 球在杯中的分配问题(球→人，杯→房)
2) 生日问题；(日→房，N=365天) ( 或月→房，N=12月)
3) 旅客下站问题；( 站→房)
4) 印刷错误问题；(印刷错误→人，页→房)
5) 性别问题(性别→房，N=2)
在老教材中的古典概型是强调用排列组合的公式计算事件个数，而新教材中的古典概型是强调利用枚举法，画树形图来排出所有的事件个数。
二、几何概型
1 ．几何概型的概念：
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理
解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。
用这种方法处理随机试验，称为几何概型．（这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等）
2 ．几何概型的基本特点：
（ 1 ）基本事件的个数，有无限多个。
是利用计算器或计算机产生的（伪）随机数，通过模拟的方法估计随机事件发生的概率.
（ 2 ）每个基本事件的发生都是等可能的。
三、几何概型与古典概型的联系
每个基本事件的发生都是等可能的。
四、举例说明
1、掷一个骰子，观察向上的一面的点数为奇数的概率。
在这个事件中，点数为奇数有3种可能，而且具有等可能性，因此它属于一个古典概型的例子，那么我们在教学中就运用古典概型的解决方法去解决。
2、在长为3米的绳子，从中间随机剪开，则得到的每段绳长都不小于1米的概率是多少?这个问题中的基本事件有无限多个，而且具有等可能性，因此它属于几何概型的概率问题，我们可用几何概型的解决办法去解决。
从以上可以看出，在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，更有利于从事相应的数学教学。