古典概型与几何概型知识点总结
1-3古典概型与几何概型
例（会面问题）甲、乙两人相约8点到9点在某 地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可 离去，试求这两人能会面的概率． 解： 以x，y分别表示甲、乙两人的到达时刻，则两人能
y
60
会面的充要条件为 x y 20
y x 20
x y 20
{( x , y ) | 0 x 60, 0 y 60} A {( x , y ) | ( x , y ) ,| x y | 20}
事件分别为A,B,C,D.
（1）第i次取到的是黑球；
…
1 2 i
…
a+b
a ab
P ( A)
a [(a b 1)!] ( a b )!
----------抽签的公平性
(2)第i次才取到黑球；
…
1
P( B)
…
i-1
2
a Pb
i 1
3
i
a Pb
i i 1
a+b
r
2( n r 1) n( n 1)
n!
练习：
P30 : 12
（2）袋中取球问题（有无放回取球，取球是否考虑顺序） 例：一个袋子中装有10个大小相同的球，其中 3个黑球，7个白球。每次随机地从袋中取一 球，连续取两次。 取球方式 (1)无放回 (2)有放回
分别求下列事件的概率：
(1)取到的两球刚好一个白球一个黑球 (2)两个球全是黑球 (3)两个球中至少有一个黑球
P ( A) 1 P ( A) 1 C 9995 C10000
10 10
0.00499
2.《学习指导与习题解析》：P21:6, P23:9
§14.4 古典概型与几何概型
“围棋”社团被抽取的同学中有 2 名女生,求至少有 1 名女同学被选担任监督职务
的概率.
解析
【解析】(1)设抽样比为 x,则由分层抽样可知,从“街舞”“围棋”“武术”三个社团 抽取的人数分别为 320x,240x,200x,则由题意得 320x-240x=2,解得 x=410,
故从“街舞”“围棋”“武术”三个社团抽取的人数分别为 320×410=8,240×410=6, 200×410=5.
.
答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、几何概型 1.定义:若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 (面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有 无限多个 . (2)等可能性:每个结果的发生具有 等可能性 .
构成事件������的区域长度(面积或体积) 3.几何概型的概率公式 P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积. 或体积)
������
2.利用古典概型求概率的关键是要正确求出基本事件的总数和随机事件包 含的基本事件的个数,对于较复杂的题目,计数时要正确分类,分类时应不重不漏, 要正确选择列举法、列表法、树状图法等.
【追踪训练 1】(2020 届天津高考模拟)根据调查,某学校开设了“街舞”“围
棋”“武术”三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:
(2)从抽出的 6 人中,任选 2 人参加一对一的对抗比赛,基本事件总数为 n=C62=15, 这 2 人来自同一年龄组包含的基本事件个数为 m=C32+C22=4, ∴这 2 人来自同一年龄组的概率 P=������������=145.
解析
点拨：1.求古典概型概率的步骤 (1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A; (2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m; (3)利用公式 P(A)=������,求出事件 A 的概率.
高考一轮总复习-082.古典概型与几何概型(基础)-知识讲解
高考总复习：古典概型与几何概型【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。
3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。
如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即n m A P =)(。
所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）应用公式()m P A n=求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。
知识点二、几何概型1. 定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。
满足以上条件的试验称为几何概型。
2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。
3.几何概型的概率计算公式：随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：Ω=μμA A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型一）古典概型（1）特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A ；P （A ）=nm 。
二）几何概型1．随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
2．随机数的产生方法 3．几何概型的概念如果事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。
5．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与 线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成 正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积 （3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积 成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积题型一 古典概型类型1 骰子硬币型1.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3 ，则（ ） A ． P1=P2<P3 B ． P1<P2<P3 C ． P1<P2=P3 D ．P3=P2<P12.将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A ． 118 B ．1136 C ． 2536 D ．1363.同时掷两颗骰子，下列命题正确的个数是（ ） ①“两颗点数都是6”比“两颗点数都是4”的可能性小；②“两颗点数相同的概率”都是16； ③“两颗点数都是6”的概率最大；④“两颗点数之和为奇数”的概率与“两颗点数之和为偶数”的概率相等。
古典概型与几何概型
考纲要求
-5-
1 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三 个结果是等可能事件. ( × ) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形. ( √ ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关. ( × ) 1 (4)在古典概型中,每个基本事件的概率都是 ;如果某个事件A包 ������ ������ 括的结果有m个,则 P(A)= ������ . ( √ ) (5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ )
考纲要求
-10-
1 2 3 4 5
自测点评 1.一个试验是不是古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的 两个特点——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概率 模型才是古典概型. 2.“几何概型”与“古典概型”两者共同点是基本事件的发生是等 可能的,不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概 型中基本事件的个数是有限的. 3.几何概型中,事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、 面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关. 4.与线段长度有关的几何概型,直接利用两条线段的长度之比即 可;与时间有关的几何概型,求时间段之比即可.
12.2
古典概型与几何概型
第十二章
12.2
古典概型与几何概型
知识梳理 双击自测 核心考点
考纲要求
-2-
考纲要求:1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机 事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 3.了解随机数的意义, 能运用模拟方法估计概率. 4.了解几何概型的意义.
第十二章
12.2
P(A)=
高中数学三古典概型与几何概型.docx
古典概型与几何概型1.1 基本事件的特点①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.1.2 古典概型1.2.1 古典概型的概念我们把具有 :①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型.1.2.2 古典概型的概率公式:如果一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由 n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1，如果某个事件 A 包含的结果有nm 个基本事件，那么事件 A 的概率 P Am. n1.3 几何概型1.3.1 几何概型的概率公式：在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下：构成事件 A的区域长度（面积或体积）P A实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）1．从长度为 1， 3，5， 7， 9 五条线段中任取三条能构成三角形的概率是()A ．1B ．3C．1D ．2 210552．甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为()A ．1B ．1C．1D．1 23463．袋中有白球 5 只，黑球 6 只，连续取出 3 只球，则顺序为“黑白黑”的概率为 ()A ．1B ．2C．4D ．5 113333334．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4， 5，6），骰子朝上的面的点数分别为X ， Y ，则log2 X Y1 的概率为()A ．1B ．5C．1D．1 6361225．在正四面体的6 条棱中随机抽取 2 条，则其 2 条棱互相垂直的概率为 ()32 1 1 A ． 4B ．3C ．5D ．36．将 8 个参赛队伍通过抽签分成 A 、B 两组，每组 4 队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为 ()A ．4B ．1C ．2D ．372757．将 4 名队员随机分入 3 个队中，对于每个队来说，所分进的队员数 k 满足 0≤k ≤4，假设各种方法是等可能的，则第一个队恰有3 个队员分入的概率是 () A ．16B ．21C ．8D ．24818181818．取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为()A ．2B ．2C ．2D ．49．如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ()184B ．22773A ．99359142C ．2D ．13 310．在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点， 使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于 1 的概率是 ()A ．πB ．πC ．πD ．π16 84 211．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆。
考点2,古典概型与几何概型
考点二 古典概型与几何概型考点要揽◆理解古典概型及其概率计算公式，理解几何概型的意义。
◆会计算一些随机事件所包含的基本事件及事件发生的概率。
◆了解随机数的意义，能用模拟方法估计概率。
命题趋向◆古典概型经常与排列、组合知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，重点考查古典概型公式，利用列举法、树状图、分类讨论的思想解决古典概型问题是重点，也是难点。
◆几何概型多与选择题、填空题的形式出现，属容易题，经常与线性规划、不等式求解、方程的根所在的区间等知识交汇命题，重点考查几何概型概率的求法。
备考策略◆系统掌握有关概念◆熟练掌握几何概型的概率计算的几种类型一、古典概型（一）基本事件的特点1.任何两个基本事件都是互斥的.2.任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.（二）古典概型概念我们把具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等,两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型. 理解总结古典概型的概率公式:如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是n1,如果某个事件A 包含的结果有m 个基本事件,那么事件A 的概率()nm A P =. 高考导航例1 袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:(1)取出的两球都是白球;(2)取出的两球1个是白球,另1个是红球.解题思路首先应求出任取两球的基本事件的总数,然后需分别求出事件:取出的两球都是白球的总数和事件:取出的两球1个是白球,而另1个是红球的总数,套用公式求解即可.解析：设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5、6,从袋中的6个小球中任取两个方法为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个.(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的方法总数,即是从4个白球中任取两个的方法总数,共有6个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4), (3,4). ∴取出的两个球全是白球的概率为521561==P . (2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个红球,而另一个为白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8个.∴取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为1582=P . 例2 把一颗骰子投掷2次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a ,第二次出现的点数为b ,已知方程组⎩⎨⎧=+=+,22,3y x by ax 解答下列各题: (1)求方程组只有一个解的概率;(2)求方程组只有正数解的概率.解析：事件()b a ,的基本事件有6×6=36(个).由方程组⎩⎨⎧=+=+,22,3y x by ax 可得()⎩⎨⎧-=--=-,32)2(,262a y b a b x b a (1) 方程组只有一个解,需满足02≠-a b ，即a b 2≠，而a b 2=的事件有(1,2),(2,4),(3,6),共3个,故a b 2≠的事件有33个,所以方程组只有一个解的概率为12113633==P (2)方程组只有正数解,需a b 2≠且⎪⎩⎪⎨⎧>--=>--=,0232,0226b a a y b a b x 即⎪⎩⎪⎨⎧<>>3232b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧><<3232b a b a 包含的事件有13个:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(1,5),(1,6).因此,所求的概率为3613. 二、几何概型（一）几何概型的定义:对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.（二） 几何概型的特点:1.无限性:在每次随机试验中,不同的试验结果有无穷多个,即基本事件有无限多个;2.等可能性:在这个随机试验中,每个试验结果出现的可能性相等,即基本事件发生是等可能的.理解总结几何概型的概率计算公式：在几何概型中,事件A 的概率的计算公式如下:()积）的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A =A P . 高考导航例1 (1)如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC 内,曲线()π≤≤=x x y 0sin 与x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是 ( )(A) π1. (B) π2. (C) 4π. (D) π3.(2)有一段长为10米的木棍,现要截成两段,则每段不小于3米的概率是 . 解题思路(1)用定积分计算出图中阴影部分的面积,再计算出矩形的面积,利用几何概型公式计算.(2)从该题可以看出,我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样.而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.解析： (1) 20cos cos cos sin 00=+-=-=⎰πππx xdx ,而矩形的面积为π2 ∴所投的点落在阴影部分的概率是ππ122=，故选A (2)记“剪得两段都不小于3米”为事件A ,从木棍的两端各度量出3米,这样中间就有10-3-3=4(米).在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件,所以()4.0104103310==--=A P . 例2 如图,设T 是直线1-=x ,2=x 与函数2+=x y 的图象在x 轴上方围成的直角梯形区域, S 是T 内函数2x y =图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向T 中随机投一点,则该点落入S 中的概率为 ( )(A) 51. (B) 52. (C) 31. (D) 21.(2)某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,则乘客候车时间不超过6分钟的概率是 .解题思路解析：(1) 331213212===--⎰x dx x S s ,()21534121=⨯+=r S ,522153==P ,故选B . (2)设上辆车于时刻1T 到达,而下辆车于时刻2T 到达,则线段21T T 的长度为10,设T 是线段21T T 上的点,且2TT 的长为6,记“等车时间不超过6分钟”为事件A ,则事件A 发生即当点t 落在线段2TT 上,即D =21T T =10,d =2TT =6.所以()53106===D d A P故乘客候车时间不超过6分钟的概率为53. 迁移应用1、（2011·浙江卷理科）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机地抽取并排摆放在图书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）（A ）51 （B ）52 （C ）53 （D ）54 2、（2011·安徽卷文科）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）（A ）101 （B ）81 （C ）61 （D ）51 3、（2012·湖北卷文科）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。
1.3古典概型与几何概型
所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放
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湖南化工职业技Biblioteka 学院基本事件在一次试验中可能出现的每一个基本结果 称为一个基本事件.
基本事件的特点： （1）任何两个基本事件是互斥的 （2）任何事件（除不可能事件）都可以
表示成基本事件 的和.
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古典概型
几何概型
相同点
基本事件发生的可能性相等
区别
基本事件个数的 有限
基本事件个数的 无限
求解方法
列举法
几何测度法
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求古典概型的步骤：
• （1）计算所有基本事件的总结果数n． • （2）计算事件A所包含的结果数m． • （3）计算P(A)=m/n
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求几何概型的步骤
• 1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概 型求解