运筹学资料：11对策论

方的益损值为-aij（零和性质）。
第二节 矩阵对策的最优纯策略
•
3
A
2
2
0 3 4
2 0 1
0 1 4
min -3 0
-4
max max min aij= 0 0 ij
max 2 3 0 4
min 0
min max aij= 0
ji
max min aij = min max aij = v
ij

aij
求解混合策略。
第三节 矩阵对策的混合策略
思路： 对甲给出一个选取不同策略的概率分布，以 使甲在各种情况下的平均赢得最多。
对乙给出一个选取不同策略的概率分布，以 使乙在各种情况下的平均损失最少。 -----即混合策略
第三节 矩阵对策的混合策略
• 线性规划法 •
A
5 8
9 6
• 1)设甲使用策略1的概率为X1′ • 设甲使用策略2的概率为X2′
第三节 矩阵对策的混合策略
-- 优超原则：当局中人甲方的策略t被其它策略所优
超时，可在其赢得矩阵A中划去第t行（同理，当局 中人乙方的策略t被其它策略所优超时，可在矩阵 A中划去第t列）。
如此得到阶数较小的赢得矩阵A’，其对应的矩阵对 策 G’= { S1,S2,A’}与 G ={ S1,S2,A }等价，即 解相同。
X*’= (0，0，1/3 ，2/3 ，0)T 乙： Y* = (1/10，1/10，0，0，0)T V=5
于是甲的最优混合策略为：
以1/3的概率选1；以2/3的概率选2 最优值V=7.
第三节 矩阵对策的混合策略
• 同样可求乙的最优混合策略： • 设乙使用策略1的概率为Y1′ Y1′+Y2′=1
设乙使用策略2的概率为Y2′ Y1′,Y2′0
• 设在最坏的情况下，甲赢得的平均值为V. 这也是乙损失的平均值，越小越好
• X1′+X2′=1 • X1′,X2′0
设在最坏的情况下， 甲赢得的平均值为V. （未知）
第三节 矩阵对策的混合策略
2)无论乙取何策略，甲的平均赢得应不少于V:
• 对乙取1：5X1’+ 8X2’V • 对乙取2：9X1’+ 6X2’V • 注意 V>0,因为A各元素为正。
3) 作变换： X1 =X1’/V ; X2= X2’/V • 上述关系式=变为：
第三节 矩阵对策的混合策略
• 优超原则： 假设矩阵对策 G ={ S1,S2,A } 甲方赢得矩阵 A=[aij]mn
-- 若存在两行，s 行的各元素均优于 t 行的元素， 即asjatj j=1,2…n 称甲方策略s优超于t
--若存在两列，s 列的各元素均优于 t 列的元素， 即ais ait i=1,2…m称乙方策略s优超于t
第一节 对策论的基本概念
二 二人有限零和对策：（又称矩阵对策） ➢ 局中人为2； ➢ 每局中人的策略集中策略数目有限； ➢ 每一局势的对策均有确定的损益值，并且对同
一局势的两个局中人的益损值之和为零。 ➢ 矩阵对策记法
G = {S1, S2, A}
甲的策略集
乙的策略集
甲的赢得矩阵
“齐王赛马”齐王在各局势中的益损值表 （单位：千金）
作变换： Y1= Y1’/V • 建立线性模型：
max Y1+Y2 s.t. 5Y1+9Y21
8Y1+6Y21 Y1, Y20
; Y2= Y2’/V
Y1= 1/14 Y2= 1/14 1/V= Y1+Y2=1/7 所以：V=7
• 返回原问题： Y1’= Y1V= 1/2 Y2’= Y2V= 1/2
ji
称（ 2 ，3 ）为对策G={s1,s2,A} 的鞍点。值V为G的值。
第三节 矩阵对策的混合策略
一个赢得矩阵如下: min
5 9 5 max A 8 6 6 6
max 8 9 min 8
max min aij= 6
ij
min max aij= 8
ji
max i
min j
aij
min j
max i
乙的最优混合策略为： 以1/2的概率选1；以1/2的概率选2 最优值V=7.
• 当赢得矩阵中有非正元素时，V0的条件不一定成立， 可以作下列变换： 选一正数k，令矩阵中每一元素加上k得到新的正矩阵 A’，其对应的矩阵对策 G’= { S1,S2,A’}与 G ={ S1,S2,A } 解相同，但VG = VG’ - k
A
2
3
0 1
2，3；乙有四个策
2 4 1 4
略1，2，3，4，在甲方赢得矩阵中：
根据获利情况建立甲 A=[aij]m*n
方的赢得矩阵。 i行代表甲方策略 i=1,2…m j列代表乙方策略 j=1,2…n
• 问：甲公司应采取什aij代表甲方取策略i,乙方取策略j,
么策略比较适合？ 这一局势下甲方的益损值，此时乙
第十一章 对策论 第一节 对策论的基本概念 • 一 三个基本要素； • 1.局中人：参与对抗的各方； • 2.策略集： • 策略：局中人选择对付其它局中人的行动方案 称为策略。
策略集：某局中人的所有可能策略全体称为策 略集。
3.局势对策的益损值：
局中人各自使用一个对策就形成一个局势
一个局势决定了各局中人的对策结果称为该局势 对策的益损值）
第三节 矩阵对策的混合策略
• 例 设甲方的益损值 赢得矩阵。
32030 50259 A= 7 3 9 5 9 4 6 8 7 5.5 60883
被第1列优超
73959 A= 4 6 8 7 5.5
60883
被第3、4行优超 被第3行优超
A
7 4
3 6
被第2列优超
第三节 矩阵对策的混合策略
• 用线性规划方法得到： （注意：余下的策略为3，4，1，2） 甲： X* = (0，0，1/15，2/15，0)T V=5
X1+ X2=1/V 5X1+ 8X21 9X1+ 6X21 X1, X20
(V愈大愈好）待定
第三节 矩阵对策的混合策略
• 建立线性模型：
min X1+X2 s.t. 5X1+8X21
9X1+6X21 X1, X20
X1= 1/21 X2= 2/21 1/V= X1+X2=1/7 所以：V=7
返回原问题： X1’= X1V= 1/3 X2’= X2V= 2/3
齐王的策略集: S1={1,2,3,4,5,6}
上，中，下 上，下，中
中，上，下
中，下。上
下，上，中
下，中，上
田忌的策略集：S1={1,2,3,4,5,6}
上，中，下 上，下，中 中，上，下
中，下。上 下，上，中 下，中，上
第二节 矩阵对策的最优纯策略
• 例：有交易双方甲和
3 0 2 0
乙，甲有三个策略1，