(完整)高一上学期数学必修一、必修四期末知识点详解,推荐文档
集合及其运算知识点
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
2.集合间的基本关系
函数知识点
1.函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．
(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．
(5)分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段1函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由
几个部分组成，但它表示的是一个函数．
2.函数定义域的求法
3.
调函数的定义
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
若函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y＝f(x)的单调区间．
5.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
结论M 为最大值M 为最小值
6.
奇偶性定义图象特点
偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，
那么函数f(x)是偶函数
关于y 轴对称
奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)
＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
7.奇(
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．
(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0 处有定义，则f(0)＝0.
8．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x＋T) ＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
9.幂函数
(1)幂函数
一般地，形如y＝xα 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α 为常数．
(2)常见的5 种幂函数的图象
(3)常见的5 种幂函数的性质
10.
(1)二次函数的定义
形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．
(2)二次函数的三种常见解析式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；
③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0 的两实根．
(3)二次函数的图象和性质
R R
n
an
4ac －b 2 4a
4ac －b 2 y max ＝ 4a
11. (1) 根式的概念
根式的概念
符号表示 备注 如果 x n ＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根
n ＞1 且 n ∈N *
当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n
次方根是一个负数
n
a
零的 n 次方根是零
当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数
n
± a
负数没有偶次方根
(2) ① ＝Error!n 为偶数．
②(n
a )n ＝a .
12. 有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．
1
②负整数指数幂：a －p ＝ap (a ≠0，p ∈N *)；
m
③正分数指数幂：
a
n ＝n
am (a ＞0，m ，n ∈ N *，且 n ＞1)；
1
m 1
n
am
④负分数指数幂：
a
n ＝
m
＝ a
n
(a ＞0，m ，n ∈N *，且 n ＞1)；
⑤0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质
①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．
13. 指数函数的图象与性质
y ＝a x a ＞1
0＜a ＜1
图象
定义域 R 值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当 x ＞0 时，y ＞1；x ＜0 时，0＜y ＜1
当 x ＞0 时，0＜y ＜1；x ＜0 时，y ＞1
a a a a a a a a a a
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
14. 如果 a x ＝N (a >0，且 a ≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝log a N ，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
15. 对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且 a ，b ≠1) log aN
n 1
①
＝N ；②
log a a N ＝N ；③log b N ＝log ab ；④
＝m log a b ；⑤log a b ＝log ba ，推广
log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
(2)对数的运算法则(a >0，且 a ≠1，M >0，N >0)
M
1
①log (M ·N )＝log M ＋log N ；②log N ＝log M －log N ；③log M n ＝n log M (n ∈R )；④log n
M ＝n log M . 16．对数函数的图象与性质
a ＞1
0＜a ＜1
图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即 x ＝1 时，y ＝0
(4)当 x ＞1 时，y ＞0 当 0＜x ＜1 时，y ＜0 (5)当 x ＞1 时，y ＜0 当 0＜x ＜1 时，y ＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
17．(1) 函数的零点的概念：对于函数 y ＝f (x )，把使 f (x )＝0 的实数 x 叫做函数 y ＝f (x )的零点． (2) 函数的零点与方程的根的关系
方程 f (x )＝0 有实数根?函数 y ＝f (x )的图象与 x 轴有交点?函数 y ＝f (x )有零点．
(3) 零点存在性定理
如果函数 y ＝f (x )满足：①在闭区间[a ，b ]上连续；②f (a )·f (b )＜0；则函数 y ＝f (x )在(a ，b )上存在零点，即存在c ∈(a ，b )，使得 f (c )＝0，这个 c 也就是方程 f (x )＝0 的根．
平面向量知识点
1. 向量的有关概念
名称
定义
备注
2.
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
(1)|λa|＝|λ||a|；
3.
向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
x2＋y2.
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
→→
② 设A(x ，y )，B(x ，y )，则AB＝(x －x ，y －y )，|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
1 1
2 2 2 1 2 1
6.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
7．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
8.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b 的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2) 模：|a|＝a·a＝x2＋y2
.
a·b
(3)夹角：cos θ＝|a||b|＝
x1x2＋y1y2 x1＋y1·x2＋y2.
(4)两非零向量a⊥b 的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b 时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤
9.平面向量数量积的运算律
x1＋y2·x2＋y2.
(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配
律)．10．向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(a，b 均为非零向量)．
(3)求夹角问题，利用夹角公式
a·b cos θ＝|a||b|＝
x1x2＋y1y2
x2＋y1 x2＋y2(θ 为a 与b 的夹角)．
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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!