2010-2013年高考新课标数学答案详解汇总

2010数学答案
1．B 解析： Q ＝(－2
，2)，故Q ⊆P
2．A 解析： k ＝2，S ＝4；k ＝3，S ＝11；k ＝4，S ＝26；k ＝5，S ＝57；
3．D 解析：∵8a 2＋a 5＝0，∴q ＝－2，∴52S
S ＝－11
4．B 解析： x sin x ＜1⇒x sin 2x ＜sin x ＜1，反之不能，所以为必要不充分条件 5．D 解析：（A ）z z -＝2y ；（B ）z 2＝x 2－y 2＋2xyi ；(C)由(A)知不好比较，故选D 6．B
7．C 解析：作出可行域，因为有最大值，故m ＞0，联立方程组，得交点为(127，37)，(33
3m m
-+，43m +)，(3121m m +-，521m -)，由3121m m +-＋5
21
m -＝9得m ＝1 8.C 易知PF 2＝4b ，则4b －2c ＝2a ，又c 2＝a 2＋b 2，得3b ＝4a ，故渐近线方程为4x ±3y
＝0
9．A 解析：分别作出函数h （x ）=x 与g （x ）=4sin （2x+1）的图象，要使函数f （x ）在区间中不存在零点，即两函数h （x ）=x 与g （x ）=4sin （2x+1）的图象没有交点，故选A ；
10．B a ＝－12时，不符；a ＝0时，y ＝l og 2x 过点(1
2
，－1)，(1,0)，此时b ＝0，b ＝1符合；a ＝
12时，y ＝l og 2(x ＋12)过点(0，－1)，(1
2
，0)，此时b ＝0，b ＝1符合；a ＝1时，y ＝l og 2(x ＋1)过点(－
1
2
，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b ＝－1，b ＝1符合；共6个 11． π 解析：化简得f (x )＝sin(2x ＋
4π)2T ＝22
π＝π 12．144 解析：由题意知该几何体由一个长方体和一个棱台构成，长方体体积为32，棱台上底边长为4，下底边长8，高为3，体积为112，所以几何体体积为144
13．32解析：由题意得B (4p ，1)在抛物线上，可知p 2，B 到准线的距离为34p 32
14．0 11 23n n n n ⎧⎪
⎨-⎪⎩
为偶数
为奇数
解析： k a ＝k n C 2223n k n k ---，当n 为偶数时，取k ＝2n ，此时
T n ＝0；当n 为奇数时，取k ＝n ，此时T n ＝12n －13n
15． (－∞，－22]∪[22，＋∞) 解析：2a 12＋9a 1d ＋10d 2＋1＝0，此方程有解，所以△＝81d 2－8(10d 2＋1)＞0，得d ＞22或d ＜－22 16．230,
3⎛
⎤
⎥ ⎝⎦
【解析】
利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，设OA α=，OB β=，如图，由题意得：∠OAB ＝60°，∴0°<∠OBA <120°，∴0<sin ∠OBA ≤1, 在三角形OAB 中，由正弦定理：0
||sin 2323
||sin (0,]sin 60OB OBA OA OBA ∠=
=∠∈，即α的取值范围是230,
⎛⎤
⎥ ⎝⎦。

17．264 先安排4位同学参加上午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”测试，共有4
4A 种不同安排方式；接下来安排下午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”测试，假设A 、B 、C 同学上午分别安排的是“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试，若D 同学选择“握力”测试，安排A 、B 、C 同学分别交叉测试，有2种；若D 同学选择“身高
与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试中的1种，有1
3A 种方式，安排A 、B 、C 同学进行测
试有3种；根据计数原理共有安排方式的种数为4
4A （2+13A ×3）=264
（18）（Ⅰ）解：因为21
cos 212sin 4
C C =-=-，及0C π<<，所以10sin .C = （Ⅱ）解：当2,2sin sin a A C ==时，
由正弦定理
sin sin a c
A C
=
，得 4.c =
由2
1cos 22cos 1,4C C =-=-及0C π<<得6cos .4
C =±
由余弦定理222
2cos c a b ab C =+-，得2
6120b b ±-=
解得626b =
或 所以6,26
4 4.b b c c ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨
==⎪⎪⎩⎩
或
（19）（Ⅰ）解：由题意得ξ的分布列为
ξ
50% 70% 90%
P 3
16 38 716
则337350%70%90%.168164
E ξ=
⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为339
.16816
+= 由题意得9(3,
)16B η-
则221991701
(2)()(1).16164096
P C η==-=
（20）。

方法一：
（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，连结A H ' 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点， 所以A H EF '⊥
又因为平面A EF '⊥平面BEF ，及A H '⊂平面.A EF ' 所以A H '⊥平面BEF 。

如图建立空间直角坐标系.A xyz -
则(2,2,(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).A C F D ' 故(2,2,22),(6,0,0)FN FD =-= 设(,,)n x y z =为平面A FD
'的一个法向量
所以22060
x y x ⎧-++=⎪
⎨=
⎪⎩
取(0,z n =
=-则
又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =
故3cos ,3
||||
n m
n m n m ⋅<>=
=
⋅
（Ⅱ）解：设£¬(4,0,0)FM x M x =+则 因为翻折后，C 与A 重合，所以CM=A M '
故222222
(6)80(2)2x x -++=--++，得214
x =
经检验，此时点N 在线段BG 上,所以21.4
FM =
方法二：（Ⅰ）解：取截段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A G '，NH ，GH 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点，所以A 'H//EF 。

又因为平面A 'EF ⊥平面BEF ，所以A 'H`⊥平面BEF ， 又AF ⊂平面BEF ， 故A H AF '⊥，
又因为G ，H 是AF ，EF 的中点， 易知GH//AB ， 所以GH AF ⊥， 于是AF ⊥面A 'GH
所以A GH '∠为二面角A '—DF —C 的平面角，
在Rt A GH '∆
中，2,A H GH A G ''===
所以cos 3
A GH '∠=
故二面角A '—DF —C
的余弦值为
3。

（Ⅱ）解：设FM x =， 因为翻折后，G 与A '重合，所以CM A M '⊥， 而2
2
2
2
2
8(6)CM DC DM x =+=+-
222222222(2)2A M A H MH A H MG GH x '''=+=++-+++，得214
x =
经检验，此时点N 在线段BC 上，所以21.4
FM =
(21) （Ⅰ）解：因为直线2
:02
m l x my --=
经过2F
2
2
,2
2
m
m
==
得
又因为 1.
m>
所以m=
故直线l
的方程为10.
x--=
（Ⅱ）解：设
1122
(,),(,)
A x y
B x y，
由
2
2
2
2
,
2
1
m
x my
x
y
m
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
消去x得
2
2
210
4
m
y my
+++=
则由
2
22
8(1)80
4
m
m m
∆=--=-+>，
知28
m<且有
2
1212
1
,.
282
m m
y y y y
+=-=-
由于
12
(,0),(,0)
F c F c
-
故O为F1F2的中点，
由2,2
AG GO BH HO
==，可知
2
112
(,),(,)
3333
x y y
x
G H
22
21212
()()
||.
99
x x y y
GH
--
=+
设M是GH的中点，则1212
(,)
66
x x y y
M
++
由题意可知，2||||
MO GH
<
好
22
22
12121212
()()
4[()()]
6699
x x y y x x y y
++--
+<+
即
1212
0.
x x y y
+<
而
22
12121212
()()
22
m m
x x y y my my y y
+=+++
2
2
1
(1)(),
82
m
m
=+-
所以
21
0.82
m -< 即2 4.m < 又因为10.m >∆>且所以1 2.m <<
所以m 的取值范围是（1，2）。

(22)（Ⅰ）解：2
2
()()[(3)2]f x c x a x a b x b ab a '=-+-++-- 令2
()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--
则2
2
(3)4(2)(1)80.a b b ab a a b ∆=-+---=+-+>
于是可设12,x x 是()0g x =的两实根，且12,x x
（1）当12x a x a ==或时，则x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意 （2）当12x a x a ≠≠且时，由于x a =是()f x 的极大值点， 故12.x a x << 即()0g a < 即2
(3)20a a b a b ab a +-++--< 所以b a <-
所以b 的取值范围是（-∞，a -）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了b 及b x 满足题意，则 （1）当21x a a x -=-时，则424122x x a x x a =-=-或 于是122 3.x x a b -=+=-- 即 3.b a =--
此时4223x x a a b a a =-=--+=+
或4123x x a a b a a =-=---=-
（2）当21x a a x -≠-时，则21222()()2()x a a x a x x a -=--=-或
①若2
2122(),2
a x x a a x x +-=-=
则
于是1232a x x =+=
3(3)a b =-++
于是1a b +-=
此时222(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++=
==--=+
②若1
1222(),2
a x a x x a +-=+=
则x
于是2132a x x =+=
3(3)a b =++
于是
1a b +-=
此时
122(3)3(3)13242a x a a b a b x b a ++---++-=
==--=+
综上所述，存在b 满足题意
当
43,b a x a =--=±时
当
4,b a x a =--
=+
当
471,22b a a a --=--
=+
2011数学答案
(1) C 解析：212i i +-=(2)(12)
,
5i i i ++=共轭复数为C
(2) B 解析:由图像知选B (3) B 解析：框图表示
1
n n a n a -=⋅，且
11
a =所求
6a =
720选B
(4) A 解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同
一组的情形只有3种，所求的概率为p=
31
93=
(5) B 解析：由题知tan 2θ=,
222222cos sin 1tan 3
cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-
++选B （6）D 条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

（7）B 解析：通径|AB|=2
22b a a =得2222222b a a c a =⇒-=，选B
（8）D 法一：令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。

5
11
()(2)x x x x +-的通项
521552155(2)()(1)2r r r r r r r
r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由
5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
法二：用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中
选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1
x ，选
3个提出x.
故常数项=
223
3223
35353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X ⋅⋅-
+⋅-⋅=-40+80=40
（9）C 解析;
用定积分求解
4
3
24
200
21162)(2)|323s x dx x x x =-+=-+=
⎰，选C
（10）A
解析：
1
a b +==>得，
1
cos 2θ>-
，
20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪
⎢⎣⎭。

由1a b -==>得1cos 2θ<
,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥
⎝⎦。

选A
（11）A 解析
：())
4f x x π
ωϕ=++，所以2ω=，又f(x)为偶函数，,4
2
4
k k k z
π
π
π
ϕπϕπ∴+
=
+⇒=
+∈
，())2f x x x
π
∴=+=，选A
(12) D 解析：图像法求解。

1
1y x =
-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的
中心，24x -≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。

不妨把他们的横坐标由小到大设为
1,2345678
,,,,,,x x x x x x x x ，则
182736452
x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D
（13）
min 6
z =-
解析：画出区域图知，
当直线2z x y =+过23
9x y x y +=⎧⎨
-=⎩
的交点(4,-5)时，min 6z =- （14）22
1168x y ∴+=
解析：由
2416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩
得
a=4.c=,从而b=8,221
168x y ∴+=为所求。

（15）解析：设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,则
=
2
2=
，1
623O ABCD V -=⨯⨯=（16
）解析：
00120120A C C A +=⇒=-,0
(0,120)A ∈,22sin sin sin BC AC
BC A A B ==⇒=
022sin 2sin(120)sin sin sin AB AC
AB C A A A C B ==⇒==-=+；
2AB BC ∴+
=5sin ))A A A A ϕϕ+=+=+
，故最大值是
（17）解：（I ）设数列{}n a 的公比为q . 由2
3269a a a =得22349a a =，所以219
q =.
由条件可知0q >，故1
3
q =.
由12231a a +=得11231a a q +=，所以11
3
a =.
故数列{}n a 的通项公式为13n n
a =
.
（II ） 31323log log log n n b a a a =+++()()1122
n n n +=-+++=-
.
故
()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭
， 12
1111111
122122311n n b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=--+-++-=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪+
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以数列1n b ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为21n
n -
+. （18）解：（I ）因为60DAB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得BD =.
从而22
2BD AD AB +=，故BD AD ⊥
. 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD PD ⊥. 所以BD ⊥平面PAD
. 故PA BD ⊥.
（II ）如图，以D 为坐标原点，AD
的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，则
()1,0,0A ，()B ，()
C -，()0,0,1P
()AB =
-
，()
1PB =-，()1,0,0BC =- 设平面PAB 的法向量为(),
,x y z
=n ，则0
0AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
即0
x z ⎧-=⎪-=.
因此可取=
n .
设平面PBC 的法向量为m ，则00
PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩m m ，可取(0,1,m =-.
cos ,〈〉=
=m n . 故二面角A PB C --的余弦值为
. （19）解：（I ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为228
0.3100
+=，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为3210
0.42100
+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
（II ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标落入区间[)90,94，[)94,102，[]102,110的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此
()20.04P X =-=，()20.54P X ==,()40.42P X ==.
即X 的分布列为
则X 的数学期望20.0420.5440.42 2.68EX =-⨯+⨯+⨯=. （20）解：（I ）设(),M x y ，由已知得(),3B x -，()0,1A -.
所以(),1,MA x y =---，()0,3,MB y =--，(),2AB x =-. 再由题意可知()
0MA MB AB +⋅=，即()(),4,2,20x y x ---⋅=. 所以曲线C 的方程为2
124
y x =
-. （II ）设()00,P x y 为曲线21
:24
C y x =-上一点，因为12y x '=，所以l
的斜率为012x .
因此直线l 的方程为()00012
y y x x x -=-，即2
000220x x
y y x -+-
=.
则O
点到l 的距离d =
. 又2
00124y x =-，所以 2
014
122x d +⎫=≥ 当00x =时取等号，所以O 点到l 的距离的最小值为2. （21）解：（I ）()()
2
21ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫
- ⎪
⎝⎭'=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11112
f f =⎧⎪
⎨'=-⎪⎩即
1
122
b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =. （II ）由（I ）知()ln 1
1x f x x x
=
++，所以
()()()22
11ln 12ln 11k x x k f x x x x x x ⎛⎫--⎛⎫ ⎪-+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
考虑函数()()()
()2112ln 0k x h x x x x
--=+
>，则()()()22
112k x x
h x x -++'=
（i ）设0k ≤，由()()()
2
22
11k x x h x x
+--'=
知，当1x ≠时，()0h x '<. 而()10h =，
故当()0,1x ∈时，()0h x <，可得()2
1
01h x x >-； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可得
()2
1
01h x x >- 从而当0x >，且1x ≠时，()ln 01x k f x x x ⎛⎫
-+>
⎪-⎝⎭
，即()ln 1x k f x x x ⎛⎫>+
⎪-⎝⎭. （ii ）设01k <<，由于当11,1x k ⎛⎫
∈ ⎪-⎝⎭
时，()()21120k x x -++>，故()0h x '>，而()10h =，故当11,1x k ⎛⎫
∈ ⎪-⎝⎭
时，()0h x >，可得
()2101h x x <-，与题设矛盾. （iii ）设1k ≥，此时()0h x '>，而()10h =，故当()1,x ∈+∞时，()0h x >，得
()2
1
01h x x <-，与题设矛盾.
综合得，k 的取值范围为(],0-∞.
（22）解：（I ）连结DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB mn AE AC ⨯==⨯，
即
AD AE
AC AB
=
. 又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ∆∽ACB ∆. 因此ADE ACB ∠=∠. 所以C ，B ，D ，E 四点共圆.
（II ）4m =，6n =时，方程2140x x mn -+=的两根为12x =，212x =. 故2AD =，12AB =.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH . 因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .
由于90A ∠=︒，故//GH AB ，//HF AC ，从而5HF AG ==，()1
12252
DF =-=. 故C ，B ，D ，E
四点所在圆的半径为
（23）解：（I ）设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由于M 点在1C 上，所以
A
B
C G
E M
2cos 2
22sin 2
x
y αα⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩. 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩
(α为参数).
(II)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3
πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3
πρ=， 射线3
πθ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
πρ=，
所以12AB ρρ=-=.
（24）解：（I ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥
由此可得3x ≥或1x ≤-，故不等式()32f x x ≥+的解集为{3x x ≥或}1x ≤-. （II ）由()0f x ≤得30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组
30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a
a x ≥⎧⎪
⎨≤⎪⎩或2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪
⎩.
由于0a >，所以不等式组的解集为2a x x ⎧
⎫
≤-⎨⎬⎭
⎩
.
由题设可得12
a
-=-，故2a =.
2012数学答案
13、 14.、[-3,3] 15、
3
8
16、1830 1. 5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个
2. 甲地由1名教师和2名学生：12
2412C C =种
3. 22(1)
11(1)(1)
i z i i i i --=
==---+-+--
1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-
4. ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()22
4
c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== 5. 56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=
471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-
7. 该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11
633932
V =
⨯⨯⨯⨯= 8. 设222:(0)C x y a a -=>交x y 162
=的准线:4l x =-
于(4,A
-(4,B --
得：222
(4)4224a a a =--=⇔=⇔=
9.
592()[,]4
4
4
x πππ
ωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D
351()[,]4
4
4
x πππ
ωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C
另：()22π
ωππω-
≤⇔≤，3()[,][,]424422x ππππππ
ωωπω+∈++⊂ 得：315
,2424224
πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤
10. ()ln(1)()1()010,()00()(0)0
x
g x x x g x x
g x x g x x g x g '=+-⇒=-
+''⇒>⇔-<<<⇔>⇒<= 得：0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D
11. ABC ∆
的外接圆的半径3r =
，点O 到面ABC
的距离d == SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC
的距离为2d =
此棱锥的体积为11233ABC V S d ∆=
⨯==
另：13236
ABC V S R ∆<
⨯=排除,,B C D 12. 函数12
x
y e =
与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为12
2
x
e x
d -=
设函数min min 111ln 2
()()1()1ln 2222
x x g x e x g x e g x d -'=
-⇒=-⇒=-⇒= 由图象关于y x =对称得：PQ 最小值为min 22(1ln 2)d =-
13. 2
2
210(2)1044cos 451032a b a b b b b ︒
-=⇔-=⇔+-=⇔= 14. 约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C
则2[3,3]z x y =-∈-
15. 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2
(1000,50)N
得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为1
2
p =
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2
13
1(1)4
P p =--= 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138
p p p =⨯=
16. 可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514
1010151618302
b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+⨯= 17、（1）由正弦定理得：
cos 3sin 0sin cos 3sin sin sin a C a C b c A C A C B C --=⇔=+
sin cos 3sin sin()sin 13cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C
A A A A A ︒
︒︒︒
⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=
（2）1
sin 342
S bc A bc =
=⇔= 2
2
2
2cos 4
a b c bc A b c =+-⇔+=
2b c ==
18、（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-=
当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=- 得：1080(15)
()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨
≥⎩
（2）（i ）X 可取60，70，80
(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======
2
2
2
160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯= （ii ）购进17枝时，当天的利润为
(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=
76.476> 得：应购进17枝
19、（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒
∠=
同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=
得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥
取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角
设AC a =，则12
C O =
，111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30
︒
20、（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p = 点A 到准线l
的距离d FA FB ===
1
22
ABD S BD d p ∆=⇔
⨯⨯=⇔= 圆F 的方程为2
2
(1)8x y +-=
（2）由对称性设2
00(,)(0)2x A x x p
>，则(0,)2p F
点,A B 关于点F 对称得：22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=
得：3,)2p A
，直线3:022p p p m y x x -
=
+⇔+=
22
2233
x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒
切点,)36p P
直线:)06336
p n y x x p -
=-⇔--= 坐标原点到,m n
距离的比值为:326
=。

21、（1）1
211
()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e
f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+
令1x =得：(0)1f =
1
211
()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e
x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=
得：21()()()12
x x
f x e x x
g x f x e x '=-+⇒==-+
()10()x
g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增
()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔< 得：()f x 的解析式为21()2
x
f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)
-∞
（2）2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 2
2
(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令2
2()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-
()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>
当x =max ()2
e F x =
当1,a b =
=时，(1)a b +的最大值为
2
e 22、（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ⇒⇒= //CF AB AF BC BC CD ⇒=⇔= （2）//BC GF BG FC BD ⇒==
//BC GF GDE BGD DBC BDC ⇒∠=∠=∠=∠⇒BCD GBD ∆∆
24、（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,
),(2,
),(2,),(2,)3
636
π
πππ
点,,,A B C D
的直角坐标为1,1)-- （2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕ
ϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数
2
2
2
2
224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 2
5620sin [56,76]ϕ=+∈
23、（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥ 2323x x x ≤⎧⇔⎨
-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧
⇔⎨-+-≥⎩
1x ⇔≤或4x ≥
（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立
24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立 22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立 30a ⇔-≤≤
2013数学答案
1．答案：A 解析：解不等式(x －1)2＜4，得－1＜x ＜3，即M ＝{x |－1＜x ＜3}．而N ＝{－1,0,1,2,3}，所以M ∩N ＝{0,1,2}，故选A. 2．答案：A 解析：2i 2i 1i =
1i 1i 1i z (+)=-(-)(+)＝22i 2
-+＝－1＋i. 3． 答案：C 解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，
而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.
∵q ≠1时，S 3＝31(1)
1a q q
--＝a 1·q ＋10a 1，
∴311q q
--＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝1
9
.
4．答案：D 解析：因为m ⊥α，l ⊥m ，l α，所以l ∥α.同理可得l ∥β.
又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D.
5．答案：D 解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为5C r r
x (0≤r ≤5，r ∈Z)，则含x 2的项
为2
2
5C x ＋ax ·15C x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.
6．答案：B 解析：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1；
当k ＝2时，12T =
，1
=1+2
S ； 当k ＝3时，1
23
T =⨯，111+223S =+⨯；
当k ＝4时，1234T =⨯⨯，111
1+223234
S =++
⨯⨯⨯；…； 当k ＝10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，111
1+2!3!10!
S =+++，k 增加1变为11，满足k
＞N ，输出S ，所以B 正确．
7． 答案：A 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：
则它在平面zOx 上的投影即正视图为
，故选A. 8．答案：D 解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3
a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5
b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7
c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3<<，即c ＜b ＜a .故选D.
9．答案：B
解析：由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨
+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，
作直线2x ＋y ＝1，因为直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1
的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y ＝a (x
－3)过点(1，－1)，代入得12a =，所以12
a =. 10．答案：C
解析：∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大
致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．
11．答案：C 解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物
线的定义，得|MF |＝x 0＋
2p ＝5，则x 0＝5－2p . 又点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)2p x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭＋(y －y 0)y ＝0. 将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即202
y －4y 0＋8＝0，所以y 0＝4. 由20y ＝2px 0，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，解之得p ＝2，或p ＝8. 所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.
12． 答案：B
13．答案：2
解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点
A 的坐标为(0,0)，点
B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则AE ＝(1,2)，BD ＝(－2,2)，所以2AE BD ⋅=.
14．答案：8
解析：从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2
C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以
221C 14n =，即2411114
2
n n n n ==(-)(-)，解得n ＝8.
15．答案： 解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝
⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得210cos 19
θ=.
因为θ为第二象限角，所以cos θ＝10-，sin θ＝10，sin θ＋cos θ＝.
16．答案：－49
解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109102a d ⨯＋
＝10a 1＋45d ＝0，① S 15＝11514152
a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，23
d =， 所以S n ＝2(1)211032333
n n n n n --+⨯=-. 令f (n )＝nS n ，则32110()33
f n n n =-，220'()3f n n n =-. 令f ′(n )＝0，得n ＝0或203
n =. 当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203
n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋
，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由已知及正弦定理得
sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．①
又A ＝π－(B ＋C )，故
sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．②
由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ， 又B ∈(0，π)，所以π4B =
.
(2)△ABC 的面积1sin 24
S ac B ac ==.
由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－π2cos 4ac . 又a 2＋c 2≥2ac ，故22
ac ≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2+1.
18．
解：(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．
又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .
因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1
平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .
(2)由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所
示的空间直角坐标系C －xyz .
设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，
CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．
设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，
则10,0,CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即111
10,220.x y x z +=⎧⎨+=⎩ 可取n ＝(1，－1，－1)．
同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，
则10,0,
CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝(2,1，－2)．
从而cos 〈n ，m 〉＝
3||||3=·n m n m 故sin 〈n ，m 6即二面角D －A 1C －E 619．
解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000，
当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.
所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩
(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.
由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T T 45 000 53 000 61 000
65 000
P 0.1 0.2 0.3 0.4
所以ET ＝20．
解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，
则221122=1x y a b +，222222=1x y a b
+，2
121=1y y x x ---， 由此可得2212122121
=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012
y x =， 所以a 2＝2b 2.
又由题意知，M 的右焦点为
，0)，故a 2－b 2＝3.
因此a 2＝6，b 2＝3.
所以M 的方程为22
=163
x y +. (2)
由220,1,6
3x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
解得3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或0,x y =⎧⎪⎨=⎪
⎩
因此|AB |
＝3
. 由题意可设直线CD 的方程为
y
＝3x n n ⎛+-<< ⎝，
设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 由22,16
3y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4
. 因为直线CD 的斜率为1，
所以|CD |
＝43|x x -=
. 由已知，四边形ACBD
的面积1||||2S CD AB =⋅=. 当n ＝0时，S
. 所以四边形ACBD
. 21．
解：(1)f ′(x )＝1e x x m
-+.
由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.
于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1e 1x x -
+. 函数f ′(x )＝1e 1
x x -+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0；
当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.
所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0. 当m ＝2时，函数f ′(x )＝1e 2
x x -+在(－2，＋∞)单调递增． 又f ′(－1)＜0，f ′(0)＞0，
故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．
当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )＜0；
当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．
由f ′(x 0)＝0得0e x ＝012
x +，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝012x +＋x 0＝20012
x x (+)+＞0. 综上，当m ≤2时，f (x )＞0.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，
所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FA EA
=， 故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .
因为B ，E ，F ，C 四点共圆，
所以∠CFE ＝∠DBC ，
故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.
所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．
(2)连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2
.
而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为
12. 23．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，
因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩
(α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离
d==＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
24．解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤1 3 .
(2)因为
2
2
a
b a
b
+≥，
2
2
b
c b
c
+≥，
2
2
c
a c
a
+≥，
故
222
()
a b c
a b c
b c a
+++++≥2(a＋b＋c)，
即
222
a b c
b c a
++≥a＋b＋c.
所以
222
a b c
b c a
++≥1.
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