江苏省南通市如皋中学2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题
江苏省如皋中学2019-2020高一第二学期数学阶段考试试题
江苏省如皋中学2019-2020高一第二学期数学阶段考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在等差数列{}n a 中，1252,2a a ==，则101a 的值是 ( )A 、49B 、50C 、51D 、522. 若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是 ( ) A. l ∥a B. l 与a 异面 C. l 与a 相交 D. l 与a 没有公共点3. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a ( ) A.31 B. 31- C. 91 D. 91-4.若a ,b 为异面直线，,,a b l αβαβ⊂⊂=I ，则 （ ）A.l 与a ,b 分别相交B. l 至少与a ,b 中的一条相交C.l 与a ,b 都不相交D.l 至多与a ,b 中的一条相交5.在空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是AB 、CD的中点，EF =则异面直线AD 与BC 所成的角为 ( ) A ．120ο B. 90ο C. 60ο D. 45ο6. 在数列{a n }中，已知S n ＝1－4＋7－10＋13－16＋…＋1(1)(32)n n ---， 则S 15＋S 22－S 31的值( )A ．57B ．46C ．13D ．－577. 如图，△ABC 中，∠ACB=90ο，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离 点A 时，∠PCB 的大小 （ ）A ．不变B ．变小C ．变大D ．有时变大有时变小lPBAB ECFD8. 定义12nnp p p +++L 为n 个正数12,,,n p p p L 的“均倒数”．若已知正项数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，14n n a b +=，则12231011111b b b b b b +++L 的 值为 ( )A ．111B ．112C ．1011D ．1112二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。
江苏省南通市如皋中学2019_2020学年高一数学下学期6月阶段考试试题创新班含解析
【答案】B
【解析】
【分析】
求出整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为 ，结合样本容量为 可求得该学校学生的总数.
【详解】从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为 ，
所以,在整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为 ，
所以，从该学校中抽取一个容量为 的样本时，则该学校学生的总数为 。
【答案】
【解析】
【分析】
列举出所有的基本事件,并确定事件“取出的两个球的编号之和小于 ”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率。
【详解】从袋中随机抽取出两个球，则所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 ，共 种，
其中，事件“取出的两个球的编号之和小于 ”所包含的基本事件有： 、 ，共 种,
当a＝0时，e2x﹣alnx a即为e2x≥0显然成立；
当a＞0时，f（x）＝e2x﹣alnx的导数为 ＝2e2x ，
由于y＝2e2x 在(0，+∞）递增（增函数+增函数=增函数），
设 ＝0的根为m，即有a＝2me2m， .
当0＜x＜m时， ＜0，f（x)单调递减；当x＞m时， ＞0,f(x)单调递增，
因此,所求事件的概率为 .
故答案为: 。
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力,属于基础题.
14.如表是某厂2020年1～4月份用水量(单位:百吨)的一组数据
月份x
1
2
3
4
用水量y
2.5
3
4
4。5
由散点图可知,用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系,其线性回归方程是 ,预测2020年6月份该厂的用水量为_____百吨.
江苏省如皋市2019-2020学年高一下学期期末教学质量调研数学试题答案
高一数学期末参考答案一、单项选择题：1. D2. C3. C4. C5. B6. B7. A8. B二、多项选择题：9. AD 10. ABCD 11. AC 12. ACD三、填空题:13. π3 14. ()64， 15. 326+ 16.12+n n 四、解答题：17. 证明：（1）连接OE ，在长方体1111A B C D ABCD −中， 有四边形ABCD 为矩形，所以O 的AC 中点. 又E 为棱1C C 的中点，所以在1CAC ∆有1//AC OE .----------2分 又因为BDE OE 平面⊂,BDE AC 平面⊄1所以1AC ∥平面BDE .----------4分(2) 在长方体1111A B C D ABCD −中，有ABCD CC 平面⊥1 又ABCD BD 平面⊂，所以BD CC ⊥1----------6分 因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥----------8分 又1ACC AC 平面⊂,11ACC CC 平面⊂,C CC AC =1I 所以11ACC A BD 平面⊥.----------10分18. 因为AC 边上的高线BD 所在直线方程为022=−+y x ， 所以直线AC 的斜率为2，又直线AC 过点()2,4−A 所以直线AC 的方程为082=+−y x .----------3分 联立直线MC AC 与的方程： ⎩⎨⎧=+−=+−01082y x y x 解得C 的坐标为()76，----------6分因为B 为直线022=−+y x 上一点，所以设()0022,x x B −又M 为AB 的中点，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛−−002,24x x M 因为M 点在直线01=+−y x 上，所以20=x ，即()2-,2B ----------9分 所以直线BC 的方程为02649=−−y x .----------12分19. （1）由已知132a a S n n −=，有()232111≥−=−−n a a S n n ，两式相减得13−=n n a a --------3分 即233a a =，又因为33321=+−a a a ，所以031≠=a所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，其通项公式为n n a 3=--------6分（2）由（1）得，n n a 311=，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛−=−⎪⎭⎫ ⎝⎛−=+++=n n n n T 31121311311313131312Λ--------8分 因为985492≤n T ，所以985984311≤−n 即9853≤n ，--------10分 解得61≤≤n ，所以使得不等式成立的n 的最大值为6.--------12分20. (1)因为()()101k a f x x x =<<且2338a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1a ∈，所以411=k ；----------2分 又因为()()()21011k a g x x x −=<<−且314g a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()0,1a ∈，所以412=k .----------4分 （2）因为()()920f xg x +>对于任意()0,1x ∈恒成立，即5911>−−+x a x a 恒成立 又因为()1,0∈x ()0,1a ∈，所以()()()()a a xx a x x a x x x a x a −+≥−−+−+=−+−−+1211111111）（ 即()59121>−+a a ----------10分 解得5451<<a ,所以实数a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛5451，.----------12分 21. （1）因为四边形ABCD 为菱形，所以DC DA =. 又060=∠ADC ，所以ADC ∆为等边三角形，即有CD CA =， 又在ADC ∆中，因为E 的AD 中点，所以AD CE ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD CE 平面⊂，所以PA CE ⊥.又A AD PA =I ，PAD AD PAD PA 平面平面⊂⊂, 所以PAD EC 平面⊥又PCE CE 平面⊂所以PAD PCE 平面平面⊥..----------4分(2)因为PAD EC 平面⊥，所以斜线PC 在平面内的射影为PE ， 即CPE ∠为PC 与平面PAD 所成的角的平面角...----------6分 因为ABCD PA 平面⊥，ABCD AD 平面⊂，所以AD PA ⊥ 在PAE Pt ∆中，522=+=AE PA PE 在CED Pt ∆中，322=−=ED CD CE 因为PAD EC 平面⊥，PAD PE 平面⊂，所以PE EC ⊥ 在CEP Pt ∆中，有515tan ==∠PE CE CPE 所以PC 与平面PAD 所成的角的正切值为515....----------8分 (3) 在平面PAD 中，过E 点作PD EM ⊥，垂足为M ，连接CM 因为PAD EC 平面⊥，PAD PD 平面⊂，所以PD EC ⊥ 又M CM EM =I ，EMC EM 平面⊂，EMC CM 平面⊂ 所以EMC PD 平面⊥又EMC CM 平面⊂所以CM PD ⊥，即EMC ∠为二面角A PD C −−的平面角.....----------10分 在EMD Pt ∆中，1=ED ，045=∠ADP ，所以22==MD EM 在CMD Pt ∆中，22=MD ，2=CD ，所以21422=−=MD CD CM 在EMC ∆中，3=EC ，由余弦定理71214222327212cos 222=⨯⨯−+=⋅−+=∠MC ME EC MC ME EMC 所以二面角A PD C −−的正弦值为742......----------12分 22. （1）在圆M 中，因为060=∠ACB ，所以0120=∠AMB 因为圆M 过点A 、B ，点C 在x 轴上方，所以圆心M 在y 轴的正半轴上， 即060=∠=∠MOB MOA又在直角三角形MOB 中，因为3=OB ，所以1=OM ，2=MB所以△ABC 的外接圆M 的方程为()4122=−+y x ----------3分（2）设()00,y x P ，00>x ，00>y ，则412020=+y x ，00x y k OP = 又因为EF OP ⊥，所以00y x k EF −=又直线EF 过点P ，所以直线EF 的方程为04100=−+y y x x 过M 点EF MH ⊥，垂足为H ， 则4120−=y MH 所以2024144242⎪⎭⎫ ⎝⎛−−=−=y MH EF 因为2100<<y ，所以(]415，∈EF ----------7分 （3）EF 中点H 的横坐标为221x x + 因为MH OP //，所以00x y K MH=，即直线MH 的方程为0000=+−x y x x y 又直线EF 的方程为04100=−+y y x x ，联立方程组0004y x x x H −= 0002182y x x x x −=+----------10分 因为)42(24100002020时取等号当且仅当==≥=+y x y x y x 所以8100≤y x 所以()18200021−≥−=−+y x x x x ，即()0212x x x −+的最小值为-1----------12分。
江苏省如皋市2019-2020学年高一下学期期末教学质量调研数学试题含答案
在 PtCED 中， CE = CD2 − ED2 = 3
因为 EC ⊥ 平面PAD ， PE 平面PAD ，所以 EC ⊥ PE
在 PtCEP 中，有 tan CPE = CE = 15 PE 5
⑴求△ ABC 的外接圆 M 的方程； ⑵求 EF 的长度的取值范围；
⑶求 ( x1 + x2 ) − 2x0 的最小值．
高一数学期末参考答案
一、单项选择题： 1. D 2. C 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. B 二、多项选择题： 9. AD 10. ABCD 11. AC 12. ACD 三、填空题:
22．（本小题满分 12 分）
( ) ( ) 已知： A − 3,0 ， B 3,0 ，点 C 在 x 轴上方，且∠ ACB = 60o ，△ ABC 的外接圆的圆
心为
M
．设
P ( x0 ,
y0
)
为圆 O :
x2
+
y2
=
1 4
上的动点，且点
在第一象限，圆 O
在点
P
处的
切线交圆 M 于 E ( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) 两点．
数列an 的通项公式为 an = n2 2n+2 − 2n ，则该数列的前 n 项的“奇因子”的倒数之和为 ▲ ．
四、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）
在长方体 A1B1C1D1 − ABCD 中， AC I BD = O , E 为棱 C1C 的中 点． ⑴求证： AC1 ∥平面 BDE ；
D． 5x+12y − 26 = 0 或 y = 3
江苏省南通市如皋中学2019_2020学年高一数学下学期期初考试试题含解析
【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把 化为 ,再由余弦定理推论求出 的表达式，还用到用均值不等式求出 ，再算出结果来。
四、解答题:本大题共6小题，共70分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤。
14.如图所示， 为圆内接四边形，若 ， ， ，则线段 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
由 ， ， 及正弦定理即可解出答案
【详解】因为 ， ,
所以在 中由正弦定理得：
即 ，解得
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形,较简单.
15.设等比数列 前 项和为 ，若 。则数列的公比 ______。
当 时,不等式的解集为 .
【点睛】解含参的一元二次不等式常从以下几个方面讨论:开口方向、根的个数、根的大小.
20.根据下列条件，求数列 的通项公式。
（1） ， ；
(2） ， 。
（3) ，
【答案】（1） ;（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1)用累加法求出 即可
（2）用累乘法求出 即可
(3）由 得 ，然后可得数列 是等比数列，其中首项为 ，公比为10
【答案】
【解析】
【分析】
分 和 两种情况讨论，当 时，可得 ，然后化简解出来即可。
【详解】若 ，则 ，不满足
所以
所以
整理得：
由 得
即 ,所以
解得
故答案为：
【点睛】本题考查的是等比数列的基本运算，较简单,但要注意讨论 的情况不成立.
16。若△ABC的内角 满足 ，则 的最小值是．
【答案】
江苏如皋中学高一下学期期初复学考试数学试题含答案
江苏省如皋中学2019-2020学年度高一年级第二学期数学期初考试0407一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2. 若,0<<b a 下列不等式成立的是 （ ） A.22b a < B. ab a <2C. 1<a bD. ba 11<3. 等差数列}{n a 中，若45076543=++++a a a a a ,则前9项和9S = ( ) A.1620 B.810 C.900 D.6754. 已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是 A.),2()3,(+∞---∞Y B.)2,3(-- ( ) C.),3()2,(+∞-∞Y D. )3,2(5.已知ABC ∆的三内角C B A ,,的对边为c b a ,,，若1=+++cb ab ac ，则B 的大小为 A.o 30 B. o 60 C. o 120 D. o 150 （ ）6. 若0,0>>y x 且191=+yx ，则y x +的最小值为（ ） A.6 B.12 C. 16 D.247. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：（ ） A ．3盏 B ．6盏 C ． 9盏 D ． 281盏8. 已知命题：“在等差数列{}n a 中，若()210424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。
江苏省如皋中学2019~2020学年高一第二学期数学5月31日周练八含答案
2019--2020江苏省如皋中学高一第二学期数学周练八20200531一、单选题1．直线20x ++=的倾斜角是( ) A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．13BCD3．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．1003π B ．100πC ．503π D ．50π4．等差数列中18153120a a a ++=，则9102a a -的值是( ) A ．24B ．22C ．20D ．8-5．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若7k a S =，则k =（ ） A ．20B ．21C ．22D ．236．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31nn n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=（ ）A ．()231-n B ．()1912n- C ．91n -D ．()1314n-7．已知数列{}n a 满足115,2nn n a a a +==，则73a a = ( ) A ．4 B ．2 C ．5D ．528．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且满足()()1311n n n S n T +=+.若存在正整数k 使得n n a kb =，则n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8二、多选题9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( ) A ．若//αβ，则m α⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l βD ．若//m α，则αβ⊥10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S >，70a <，则( ) A ．60a >B ．2437d -<<- C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项12．如图直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE V 折起，使点A 到达点P的位置，且PC = ）A ．平面PED ⊥平面EBCDB ．PC ED ⊥C ．二面角P DC B --的大小为4π D ．PC 与平面PED三、填空题13．已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 14．已知正项数列{}n a 满足2212n naa +=+，1a =11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前8项和8S =___________．15．矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个大小为2π的二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．16．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q =____．四、解答题17．在数列{n a }中，1a =2，1n n a a cn +=+ (n∈N*，常数c≠0)，且123,,a a a 成等比数列． (I)求c 的值；(∈)求数列{n a }的通项公式．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．19．已知数列{}n a 满足11a =，且122nn n a a -=+（2n ≥，且*n N ∈）.（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式（3）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求证：232nn S n >-. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面PAB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，都有n n a S 216-=，记n n a b 21log =.（1）求21,a a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）令22)1()2(1-++=n n b n n c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*∈N n ，都有645<n T . 22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，AC BC =，124AB A A ==.以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1A D 和1DC .（1）求证：1//A D 平面11BCC B ； （2）若二面角1A DC A --为45°， ①证明：平面11AC D ⊥平面1A AD ； ②求直线1A A 与平面11AC D 所成角的正切值.2019--2020江苏省如皋中学高一第二学期数学周练八20200531一、单选题1．直线20x ++=的倾斜角是( ) A ．30° B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．13B C D 【答案】C3．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．1003π B ．100πC ．503π D ．50π【答案】D4．等差数列中18153120a a a ++=，则9102a a -的值是( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．8-【答案】A5．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若7k a S =，则k =（ ） A ．20 B ．21 C ．22 D ．23【答案】C6．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31nn n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=（ ）A ．()231-n B ．()1912n- C ．91n - D ．()1314n-【答案】B7．已知数列{}n a 满足115,2nn n a a a +==，则73a a = ( ) A ．4 B ．2 C ．5 D ．52【答案】A8．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且满足()()1311n n n S n T +=+.若存在正整数k 使得n n a kb =，则n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】B 二、多选题9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( ) A ．若//αβ，则m α⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l β D ．若//m α，则αβ⊥【答案】AD10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 10．ABD11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S >，70a <，则( ) A ．60a > B ．2437d -<<- C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD12．如图直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE V 折起，使点A 到达点P的位置，且PC = ）A ．平面PED ⊥平面EBCDB ．PC ED ⊥C ．二面角P DC B --的大小为4π D ．PC 与平面PED12．AC 三、填空题13．已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 【答案】1或514．已知正项数列{}n a 满足2212n n a a +=+，1a =11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前8项和8S =___________．15．矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个大小为2π的二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________． 【答案】100π16．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q =____．【答案】2 四、解答题17．在数列{n a }中，1a =2，1n n a a cn +=+ (n∈N*，常数c≠0)，且123,,a a a 成等比数列． (I)求c 的值；(∈)求数列{n a }的通项公式． 【详解】（Ⅰ）由题知，1a ＝2，2a ＝2+c ，3a ＝2+3c ， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以（2+c ）2＝2（2+3c ）， 解得c ＝0或c ＝2，又c ≠0，故c ＝2． （Ⅱ）当n ≥2时，由1n n a a cn +=+ 得2a ﹣1a ＝c ，3a ﹣2a ＝2c ，…1n n a a -- ＝（n ﹣1）c ，以上各式相加，得()()111212n n n a a n c c -⎡⎤-=+++-=⎣⎦L ，又1a ＝2，c ＝2，故()222n a n n n =-+≥，当n ＝1时上式也成立，所以数列{a n }的通项公式为22n a n n =-+．（n ∈N *）．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ． 【详解】（1）在ABC V 中，因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以//DE BC ， 因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BC 平面PDE ； （2）因为PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PA DE ⊥， 在ABC V 中，因为AB AC =，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥， 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AF PA A =I ，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，所以DE ⊥平面PAF ， 因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE ．19．已知数列{}n a 满足11a =，且122nn n a a -=+（2n ≥，且*n N ∈）.（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式（3）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求证：232nnS n >-. 【详解】解：（1）由122nn n a a -=+，得11122n n n n a a --=+，即11122n n n n a a ---=. ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，1为公差的等差数列. （2）∵数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，1为公差的等差数列，∴122n n a n =-，∴122n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （3）1231n n n S a a a a a -=++++L1231135312222222222n n n n -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 23411353122222222222n n n S n n +⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 2311122222n n n S n +⎛⎫-=+++-- ⎪⎝⎭L 13322n n +⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭. ∴13232n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴3232322n n nS n n =-+>-. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面PAB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.【详解】（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A .因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面P AD .因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD .(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥P A .在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==，由题意可得AB BD ==，所以222AD AB BD =+，所以BD AB ⊥.因为PA AB A =I ，所以BD ⊥平面P AB .（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 证明：取P A 的中点N ，连接MN ，BN ，因为M 是PD 的中点，所以12MN AD P. 因为12BC AD P ，所以MN BC P . 所以MNBC 是平行四边形，所以CM ∥BN .因为CM ⊄平面P AB , BN ⊂平面P AB .所以//CM 平面P AB .21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，都有n n a S 216-=，记n n a b 21log =.（1）求21,a a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）令22)1()2(1-++=n n b n n c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*∈N n ，都有645<n T . 试题解析：（1）解：由11216a S -=得：11216a a -= 解得811=a （1分） 由22216a S -=得：22121)(6a a a -=+ 解得3212=a （3分） （2）解：由n n a S 216-= ①当2≥n 时，有11216---=n n a S ② （4分）①-②得：411=-n n a a （5分） {}n a 数列∴是首项811=a ，公比41=q 的等比数列 12111214181+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==∴n n n n q a a 1221log log 122121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴+n a b n n n（3）证明：由（2）有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++=2222)2(11161)2()2(1n n n n n c n ， ()()()222222222111111111111632435112n c n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦L ()()22221111115111621626412n n ⎡⎤⎛⎫+--<+=⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦.22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，AC BC =，124AB A A ==.以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1A D 和1DC .（1）求证：1//A D 平面11BCC B ；（2）若二面角1A DC A --为45°，①证明：平面11AC D ⊥平面1AAD ； ②求直线1A A 与平面11AC D 所成角的正切值.【详解】（1）如图所示连接1B C ，在平行四边形ABCD 中，//,AB CD AB CD =， 在三棱柱111ABC A B C -中，又1111//,=A B AB A B AB ， 所以1111//,A B CD A B CD =，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//A D B C ，又1A D ⊄平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ， 所以1//A D 平面11BCC B ；（2）①取CD 的中点O ，连接1,AO A O ，因为AC BC =，所以AO CD ⊥，又因为1A A ⊥平面ABC ， 所以1A A CD ⊥，1A A AO A ⋂=， 所以CD ⊥平面1A AO ， 所以1A O CD ⊥， 所以1A OA ∠为二面角1A DC A --的平面角， 在1Rt A OA △中，12OA A A ==，12AO CD =， 所以AC CD ⊥，又因为11,AC A A A A DA A ⊥⋂=， 所以AC ⊥平面1A AD ，又因为111//,AC AC AC ⊂平面11AC D ，所以平面11AC D ⊥平面1A AD ； ②过A 作1AM A D ⊥，因为平面11AC D ⊥平面1A AD ， 所以AM ⊥平面11AC D ， 所以1A M 是1A A 在平面11AC D 上的射影， 所以1AA M ∠是直线1A A 与平面11AC D 所成角，在1Rt AA M V 中，12,A A AD ==11tan AD AA M AA ∠==。
2019-2020学年江苏省南通市如皋中学高一(创新班)下学期6月阶段考试数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南通市如皋中学高一（创新班）下学期6月阶段考试数学试题一、单选题1．椭圆22195x y +=的焦点的坐标为（ ）A．( B ．(2,0),(2,0)- C．(0, D ．(0,2),(0,2)-【答案】B【解析】根据椭圆的方程，求出c ，即可得出焦点坐标. 【详解】因为椭圆方程为22195x y +=，所以2c ==，且焦点在x 轴上， 所以焦点坐标为：(2,0),(2,0)-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求椭圆的焦点坐标，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型.2．某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为2:3:5，现用分层抽样抽取一个容量为200的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为14，则该学校学生的总数为（ ） A ．400 B ．800C ．1000D ．2000【答案】B【解析】求出整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为14，结合样本容量为200可求得该学校学生的总数. 【详解】从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为14， 所以，在整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为14， 所以，从该学校中抽取一个容量为200的样本时，则该学校学生的总数为20080014=.故选：B. 【点睛】本题考查利用分层抽样计算总容量，考查计算能力，属于基础题.3．已知数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,x x x ⋯的方差是（ ） A ．小于1 B ．1C ．大于1D ．无法确定【答案】C【解析】根据数据的平均值和方差公式计算比较可得答案. 【详解】因为数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2， 所以12102211x x x ++++=L ，所以121020x x x +++=L ，所以1210,,,x x x L 的平均值为2， 数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2，方差为1 所以222212101[(2)(2)(2)(22)]111x x x -+-++-+-=L ， 所以2221210[(2)(2)(2)]11x x x -+-++-=L ，所以数据1210,,,x x x ⋯的方差是22212101[(2)(2)(2)]10x x x -+-++-L 1110=1>， 故选：C. 【点睛】本题考查了数据的平均值和方差公式，属于基础题.4．若抛物线22y x =上的一点M 到坐标原点O 则点M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A ．3 B ．32C ．2D ．1【答案】B【解析】设2,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=22y =，故212y x ==，计算得到答案. 【详解】设2,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 到坐标原点O =，解得22y =，故212y x ==.点M到该抛物线焦点的距离为131222px+=+=.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．假设在元旦假期期间，甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3，且两地是否降雨相互之间没有影响，则在该时段两地中恰有一个地区降雨的概率为（）A．0.06B．0.38C．0.5D．0.56【答案】B【解析】根据甲、乙两地恰有一个地方下雨，包括甲地下雨，乙地不下雨和甲地不下雨，乙地下雨两类情况，再根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果；【详解】解：甲、乙两地恰有一个地方下雨的概率：0.2(10.3)(10.2)0.30.140.240.38P=⨯-+-⨯=+=故选：B【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式，属于基础题．6．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013-2018年这6年中，2016年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A．①③B．②③C．①②D．①②③【答案】A【解析】根据图象上的数据，对三种说法逐个分析可得答案.【详解】观察图像可知说法① 正确；观察图像可知2014年增加45万人，2016年增加350万人，故说法② 不正确，排除B ，C ，D ；观察图像可知2017年增加320万人，2018年增加259万人，2016-2018年这3年中，每年增加的人次相差不大，基本持平，故说法③ 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了对统计图表的理解和应用，属于基础题.7．已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点(0,2)A ，则APF ∆周长的最小值为（ ）A ．42+B ．4(12)+C ．2(26)+D ．632+【答案】B【解析】曲线22142x y -=右焦点为F()6,0，APF ∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当,,A P F '三点共线时取到,故l =2|AF |+2a =(412 故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.8．12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（ ）A ．抽得3件正品B ．抽得至少有1件正品C ．抽得至少有1件次品D ．抽得3件正品或2件次品1件正品【答案】A【解析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案. 【详解】对于A , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件; 对于B , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件, 对于C , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,对于D , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件. 故选:A 【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,掌握互斥事件与对立事件的概念是答题的关键,属于基础题.9．在平面直角坐标系xOy 中，圆221:4C x y +=与圆222:44120C x y x y +-+-=的公共弦的长为（ ）A ．BC ．D ．【答案】C【解析】先用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，最后用勾股定理可得． 【详解】解：由2222444120x y x y x y ⎧+=⎨+-+-=⎩，得： 两圆的公共弦所在的直线方程为：20x y -+=，圆221:4C x y +=的圆心(0,0)到直线20x y -+==公共弦长为：=故选：C ． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题．直线与圆的方程，两圆的公共弦长问题．10．已知实数0a >，且1a ≠，函数2,1,()4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．15a <≤ B ．25a ≤≤C ．1a >D ．5a ≤【答案】B【解析】当1,()x x f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >，当1x ≥时，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+，分析可得答案. 【详解】根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数单调性以及分段函数的应用.首先根据指数函数确定出参数的大范围，然后再利用求导进一步求出参数范围，最后根据单调性来解答临界值的大小，从而得到结论,考查了运算和推论能力，属于中档题.11．已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是（ ） A ．)()0,2323,⎡-⋃++∞⎣ B ．[23-,23+]C ．(),0-∞D ．[0∞+，） 【答案】D【解析】由题意结合几何性质可知点P 的轨迹方程为22(2)4x y -+=，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k 的不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】圆C （2,0），半径r ＝2，设P （x ，y ），因为两切线12l l ⊥，如下图，P A ⊥PB ，由切线性质定理，知：P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，P A ＝PB ，所以，四边形P ACB 为正方形，所以，｜PC ｜＝2， 则：22(2)4x y -+=，即点P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线:2l y kx =-过定点（0，－2），直线方程即20kx y --=，只要直线与P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径， 即：221d k =≤+，解得：0k ≥，即实数k 的取值范围是[0∞+，）. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．若关于x 的不等式e 2x ﹣a ln x 12≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2e ]B ．（﹣∞，2e ]C ．[0，2e 2]D ．（﹣∞，2e 2]【答案】C【解析】讨论a ＜0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 无最小值，不符题意；检验a ＝0时显然成立；讨论a ＞0时，求得f （x ）的导数和极值点m 、极值和最值，解不等式求得m 的范围，结合a ＝2me 2m ，可得所求范围． 【详解】解：当a ＜0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 为（0，+∞）的增函数（增函数+增函数=增函数），此时0x →时，f （x ）→-∞，所以不符合题意； 当a ＝0时，e 2x ﹣a ln x 12≥a 即为e 2x ≥0显然成立； 当a ＞0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 的导数为()f x '＝2e 2x a x-， 由于y ＝2e 2x ax-在（0，+∞）递增（增函数+增函数=增函数）， 设()f x '＝0的根为m ，即有a ＝2me 2m ，22ma em=. 当0＜x ＜m 时，()f x '＜0，f （x ）单调递减；当x ＞m 时，()f x '＞0，f （x ）单调递增， 可得x ＝m 处f （x ）取得极小值，且为最小值e 2m ﹣a ln m ， 由题意可得e 2m ﹣a ln m 12≥a ，即2a m -a ln m 12≥a ， 化为m +2m ln m ≤1，设g （m ）＝m +2m ln m ，()g m '＝1+2（1+ln m ），所以函数()g m 在320,)e -（内单调递减，在32,)e -+∞（单调递增.当m ＝1时，g （1）＝1，当0x →时，()0g m <. 可得m +2m ln m ≤1的解为0＜m ≤1， 设22()2,()2(21)0,mmh m me h m m e '=∴=+>所以函数()h m 在(0,1]单调递增. 则a ＝2me 2m ∈（0，2e 2]， 综上可得a ∈[0，2e 2]， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．不透明的口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1、2、3、4.若从袋中随机抽取出两个球，则取出的两个球的编号之和小于5的概率为______. 【答案】13【解析】列举出所有的基本事件，并确定事件“取出的两个球的编号之和小于5”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】从袋中随机抽取出两个球，则所有的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()2,3、()2,4、()3,4，共6种，其中，事件“取出的两个球的编号之和小于5”所包含的基本事件有：()1,2、()1,3，共2种，因此，所求事件的概率为2163=. 故答案为：13. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.14．如表是某厂2020年1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据由散点图可知,用水量y 与月份x 之间有较明显的线性相关关系,其线性回归方程是1.75x y b +=$$,预测2020年6月份该厂的用水量为_____百吨.【答案】5.95【解析】求出样本中心的坐标,代入回归直线方程,求出b $,然后代入x ＝6,推出结果即可. 【详解】解：由题意可知12342.54x +++==,2.534 4.53.54y +++==；又线性回归方程是 1.75x y b +=$$,经过样本中心,所以3.5 2.5 1.75b =+$, 解得：0.7b =$, 所以0.7 1.75y x =+$,x ＝6时,y $=0.7×6+1.75＝5.95（百吨）. 预测2020年6月份该厂的用水量为5.95百吨. 故答案为：5.95. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的计算以及根据回归方程预测的问题.属于基础题. 15．甲、乙、丙、丁、戊，共5位同学排成一排，若甲、乙都不排在两端，则不同的排法总数为_______. 【答案】18【解析】先排甲、乙，再排没有限制条件的三人，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，甲、乙都不排在两端，共有233A =种不同的排法， 其余三个位置进行全排列即可，共有336A =种排法，根据分步计数原理，可得共有1863=⨯种不同的排法. 故答案为：18. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，属于基础题，解题时要注意先安排题目中有限制条件的元素，最后再排列没有限制条件的元素，这是解题的常见方法. 16．在平面上给定相异两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足|PA ||PB |λ=，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆()222210x y a b a b+=>>,A,B 为椭圆的长轴端点，C,D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足2PA PB=，△PAB 面积最大值为163,△PCD 面积最小值为23，则椭圆离心率为______。
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江苏省如皋中学2019-2020学年度高一年级第二学期
数学期初考试
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知ABC 中，4a =，b =30A
︒=，则B 等于（ ）
． A. 60︒或120︒ B. 30︒ C. 60︒ D. 30︒或150︒ 2. 已知0a b <<，则下列不等式成立的是 （ ）
A. 22a b <
B. 2a ab <
C. 11a b <
D. 1b a
< 3. 等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则前9项和9S =（ ）
A. 1620
B. 810
C. 900
D. 675
4. 已知不等式210ax bx --≥的解集是11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
，则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A. ()(),32,-∞-⋃-+∞
B. ()3,2--
C. ()(),23,-∞+∞
D. ()2,3 5. 已知△ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
c a a b b c +++=1，则B 的大小为（ ） A. 30
B. 60
C. 120
D. 150
6. 若0,0x y >>且
191x y +=，则x y +的最小值是（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 16
7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：
A. 281盏
B. 9盏
C. 6盏
D. 3盏
8. 已知命题：“在等差数列{}n a 中，若()210424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（ ）
A 17
B. 18
C. 19
D. 20 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足1263a a S +=，则下列四个选项中正确的有（ ）
A. 70a =
B. 130S =
C. 7S 最小
D. 58S S =
10. 下列选项中，值为
14的是（ ） A. cos72cos36︒︒ B. 5sin sin 1212ππ
C. 1sin 50cos50+︒︒
D. 212cos 1533-︒ 11. 下列函数中，最小值为4的函数是（ ） A. 4x x y e e
-=+ B. ()4sin 0sin y x x x π=+<<
C. 2y =
D. ()3log log 811x y x x =+> 12. 在三角形ABC 中，下列命题正确
有（ ） A. 若30A =︒，4b =，5a =，则三角形ABC 有两解
B. 若0tan tan 1A B <⋅<，则ABC ∆一定是钝角三角形
C. 若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC ∆一定是等边三角形
D. 若cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，则ABC ∆的形状是等腰或直角三角形
三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.
13. 若实数x 满足4x >-,则函数()94
f x x x =+
+最小值为_________ . 14. 如图所示，ABCD 为圆内接四边形，若45DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，6CD =，则线段AD =______. .
的
15. 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若3692S S S +=.则数列的公比q =______.
16. 若△ABC 的内角,,A B C
满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是_____．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边．
(1)若ABC ∆
的面积2602
ABC S c A ︒∆===，，，求,a b 的值； (2)若=cos a c B ，且sin b c A =，试判断ABC ∆的形状．
18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足356,15S S ==.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设,2n
n n a a b =求数列{}n b 前n 项和n T . 19. 解关于x 的不等式：220ax x ++≤.
20. 根据下列条件，求数列{}n a 的通项公式.
（1）11a =，12n n n a a +=+；
（2）112
a =，()1121n n n a a n n --=≥+. （3）18999a =，1101n n a a +=+ 21. 某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为
b 人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a 套，其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x 套旧设备.
（1）如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？ （2）依照（1）更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？
下列数据提供计算时参考：
的
.
22. 已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且满足()2*1122n n n S a a n N =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足1n n b a =+，n T 为数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n m T >对任意n ∈+N 恒成立，求m 范围.。