2011考研必备：考研数学公式手册

2011考研必备：考研数学公式手册高等数学公式导数公式： 基本积分表：ax x a a a x c x x x t x x x x c x x t a x x ln 1)(log ln )(ot csc )(csc an sec )(sec csc )ot (sec )an (22='='⋅-='⋅='-='='222211)an (11)an (11)(arccos 11)(arcsin x x arcct x x arct x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x t xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin an sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarct a x a dx Cx c x xdx C x t x xdx Cx xdx c C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21an 1ot csc ln csc an sec ln sec sin ln ot cos ln an 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：2222122tan 11cos 12sin u dudx x u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数sin cos tan cotxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x角A -α -sinα cosα -tan α -cot α 90°-αcosα sinα cot α tan α90°+α cosα -sinα -cot α -tan α 180°-α sinα -cosα -tan α -cot α 180°+α -sinα -cosα tan α cot α 270°-α -cosα -sinα cot α tan α 270°+α -cosα sinα -cot α -tan α 360°-α -sinα cosα -tan α -cot α 360°+α sinα cosα tan α cot α·和差角公式： ·和差化积公式： ·倍角公式：αααααααα2222sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin -=-=-==αααcot 21cot 2ot 2-=c2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )(tan sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=±⋅±=±=±±=±αααααα32sin 4sin 33sin tan 1tan 22tan -=-=ααααααα233tan 31tan tan 33tan cos 3cos 43cos --=-=·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan2cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±= ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：Cab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：x arcc x arct x x ot 2an arccos 2arcsin -=-=ππ 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ曲率：.1;0.)1(lim M s M M :.an ,13202aK a K y y ds d s K M M sK t y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα定积分的近似计算：⎰-+++-≈ban y y y nab x f )()(110 矩形法：⎰⎰---+++++++++-≈++++-≈ban n n ban n y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f )](4)(2)[(3)(])(21[)(1312420110 抛物线法：梯形法：定积分应用相关公式：⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dx x f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB AB j z z y y x x M Md zyxz y xz y xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+⋅=-+-+-== 1302),,(},,,{0)()()(10000000=++=+++==-+-+-czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平113,,22211};,,{,22222222222222222222000000222000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++=cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22vu v u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F =∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧==),(),(0),,,(0),,,( 隐函数方程组：),(),(1),(),(1x u G F J x v v x G F J x u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂ ),(),(1),(),(1y u G F J y v v y G F J y u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂ 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。