材料力学-刘鸿文 第十三章 13-3
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材料力学(刘鸿文_第5版)
第十四章 习题
2012年11月5日星期一
常州大学机械学院力学教研室
第五章 习题
第六章 弯曲变形
§6-1、工程中的弯曲变形问题 §6-2、挠曲线的微分方程 §6-3、用积分法求弯曲变形 6.1和连续性条件 6.3(a) Page 196 §6-4、用叠加法求弯曲变形 6.9(a) 6.10(b) Page 200 §6-5、简单超静定梁 Page 208 6.36 §6-6、提高弯曲刚度的一些措施
第十三章 习题
§13-1、概述 §13-2、杆件应变能的计算104 Page §13-3、应变能的普遍表达式 §13-4、互等定理 Page 106 §13-5、卡氏定理 Page 107 §13-6、虚功原理 §13-7、单位载荷法 Page 109 莫尔积分 §13-8、计算莫尔积分的图乘法 Page 109
第一章 绪论
§1-1、材料力学的任务 §1-2、变形固体的基本假设 §1-3、外力及其分类 §1-4、内力、截面法和应力的概念 §1-5、变形与应变 §1-6、杆件变形的基本形式
第一章 绪论习题
Page 11 1.2 Page 11 1.4 1.6
第二章 拉伸、压缩与剪切 第二章 习题
§2-1、轴向拉伸与压缩的概念和实例 §2-2、轴向拉伸与压缩时横截面上的内力和应力 2.2 Page 53 2.1(a)(c) §2-3、直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 Page 54 2.6 §2-4、材料拉伸时的力学性能 §2-5、材料压缩时的力学性能 §2-7、失效、安全因数与强度计算54 2.7 Page 54 2.12 Page §2-8、轴向拉伸或压缩时的变形 58 2.19 Page 61 2.30 Page
附录 I 平面图形的几何性质
材料力学刘鸿文第六版全部整合教案整编能量方法
1 2 FN Dl
FN 2l 2EA
x dx q(x)·dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
dV
1 2
FN
(
x
)d
Dl
FN 2( )dx 2EA
FN(x)
FN(x)＋dFN (x)
dx
V
l dV
FN 2( x )dx l 2EA
2、扭转
T=me
l
加载过程中始终有
me me
Tl
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和Me分别作用时
A Me
V 1
MeL 2EI
V 2
F 2 L3 6EI
V1 V 2 V
⑷ 求载荷所作的功
wA
(wA)F
(wA)Me
FL3 3EI
A l
F
B
C
a
解:
FRA
Me l
-
Fa l
Me
B
FRB
F(l + l
a)
-
Me l
A x1
FRA
l
AB:
M1( x1 )
(Me l
-
Fa l ) x1
-
Me
FRB
M1( x1 F
)
-
a l
x1
M1( x1 ) x1 - 1
求自由端B的挠度。
F
A
《材料力学》第五版_刘鸿文第13章习题答案
HAII MAXUN
13.17 桁架各杆材料和截面面积相等。在载荷P作用下， 求节点B与D间的相对位移。
求出在P力和单位力1单独作用下各杆的轴力。 δ BD = 1 2 l = 2.71Pl − 2 P ⋅1 ⋅ 2l + (− P ) 2 EA EA
0
l
+ ∫ 1× (2 Pl + 2 Px )dx
= 0.0117rad
HAII M =
=
1 1 ∑ ωM C = (ω1 M 1 + ω 2 M 2 + ω 3 M 3 ) EI EI
1 EI
1 Pl 2 l 1 Pl 2 l Pl l 1 l − × × + × × l × × + × × × 2 4 8 2 4 3 4 4 4 2 4 3 5 Pl = 384 EI
xA =
1 EI
∑ ωM C" = －
HAII MAXUN
Plh 2 2 EI
附加习题13-2：节点C受力P和力Q，AC杆长为L，求桁架 的应变能。 N1 = P + Qctgα 解：
N 2 = −Q / sin α
U =∑
N1 N2
N i2 Li 2 EAi
L Q2 2 U= (P + 2 2 EA tg α Q2 2 PQ + + ) 2 sin α cosα + tgα
θ＝0
HAII MAXUN
13.15 刚架两部分的I=3×103cm4，E=200GPa。求截面D的 水平位移和转角。P=10kN，l=1m。 解： DC段
M 1 (x ) = Px
M 1 (x ) = x
13.17 桁架各杆材料和截面面积相等。在载荷P作用下， 求节点B与D间的相对位移。
求出在P力和单位力1单独作用下各杆的轴力。 δ BD = 1 2 l = 2.71Pl − 2 P ⋅1 ⋅ 2l + (− P ) 2 EA EA
0
l
+ ∫ 1× (2 Pl + 2 Px )dx
= 0.0117rad
HAII M =
=
1 1 ∑ ωM C = (ω1 M 1 + ω 2 M 2 + ω 3 M 3 ) EI EI
1 EI
1 Pl 2 l 1 Pl 2 l Pl l 1 l − × × + × × l × × + × × × 2 4 8 2 4 3 4 4 4 2 4 3 5 Pl = 384 EI
xA =
1 EI
∑ ωM C" = －
HAII MAXUN
Plh 2 2 EI
附加习题13-2：节点C受力P和力Q，AC杆长为L，求桁架 的应变能。 N1 = P + Qctgα 解：
N 2 = −Q / sin α
U =∑
N1 N2
N i2 Li 2 EAi
L Q2 2 U= (P + 2 2 EA tg α Q2 2 PQ + + ) 2 sin α cosα + tgα
θ＝0
HAII MAXUN
13.15 刚架两部分的I=3×103cm4，E=200GPa。求截面D的 水平位移和转角。P=10kN，l=1m。 解： DC段
M 1 (x ) = Px
M 1 (x ) = x
刘鸿文主编-材料力学课件
各向同性假设
总结词
各向同性假设认为材料在不同方向上具有相同的性质 和行为。
详细描述
各向同性假设是材料力学中的另一个重要假设。它意味 着材料在不同方向上具有相同的性质，如弹性模量、泊 松比等。这一假设使得我们可以用统一的数学模型来描 述材料的性质和行为，简化计算过程。在实际应用中， 对于一些各向同性较好的材料，可以采用统一的标准来 近似获得其整体性质。需要注意的是，各向同性材料并 不是指所有方向上的性质都完全相同，而是在一定范围 内可以近似认为各向同性。
机械零件设计
材料力学在机械领域中应用于各 种机械零件的设计，如轴、轴承
、齿轮等。
设备强度分析
对机械设备的强度进行分析，确保 设备在各种工况下的安全运行。
疲劳寿命预测
利用材料力学知识，预测机械零件 的疲劳寿命，提高设备的使用寿命 。
航空航天领域
飞行器结构分析
材料力学在航空航天领域 中应用于飞行器的结构分 析，确保飞行器的安全性 和稳定性。
详细描述
弹性力学理论是材料力学的基本理论之一，主要研究材料在弹性范围内受力时的变形和内力关系。该 理论基于胡克定律，即材料在弹性范围内受力时发生的形变与外力成正比，并引入了应变和应力等概 念来描述材料的变形和受力情况。
塑性力学理论
总结词
描述材料在超过弹性极限后发生塑性形 变时的应力-应变关系。
VS
根据船舶的工作环境和要求，选择具 有优良力学性能的材料。
05
材料力学的未来发展
新材料的研发
高强度轻质材料
如碳纤维复合材料、钛合金等， 在航空、汽车、体育器材等领域
有广泛应用前景。
智能材料
如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有自适应、自修复等特性，可 用于制造智能传感器、执行器等
材料力学(刘鸿文主编)
第1章 绪 论§1.1 材料力学的任务与研究对象·材料对人类文明产生过重大影响，历史划分为旧石器，新石器，青铜，铁器，和现在有人称为的合成材料时代，21世纪将发展成智能材料时代。
·材料的力学行为是工程材料研究的重要方面。
直至50～60年代，力学是科学技术发展的主导学科，汽车、火车、飞机、火箭、卫星，力学家功居首位，伽利略、牛顿、卡门、铁摩辛柯、钱学森、钱伟长、钱令希、周培源这些众人熟知的科学家都为力学家。
·信息时代，材料是科学技术发展的物质基础，材料力学是一门不可缺少的技术基础课。
构件：组成机械与结构的零构件。
理力：刚体假设，研究构件外力与约束反力。
材力：变形体力学，研究内力与变形1. 材料力学任务（1）构件设计基本要求能力）（保持原有平衡形式的（抵抗变形能力）（抵抗破坏能力）稳定性刚度强度经济矛盾安全合理设计⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧)( （2）任务：研究构件在外力作用下受力、变形和破坏的规律，为合理设计提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。
2. 研究对象(1) 构件按几何特征分类体（三维同量级） 板（壳）（一维（厚度）很小） 杆（一维（长度）很大）(2) 构件按受力分类材料力学主要研究杆。
杆常常是决定结构强度关键部件。
（房屋承载：梁、柱；飞机：主梁，框架+蒙皮；人体：骨骼；栋梁，中流砥柱---），“一根细杆打天下，学好压弯扭就不怕”（顺口溜，工作体会）。
材料力学----------工程师知识结构的梁和柱。
§1.2 变形固体的基本假设从几何尺度，科学研究可分为宇观、宏观、微观；宇观和微观自然属前沿研究领域，从事的人不多，宇观力学研究天体和宇宙运动，发生和发展行为，它告诉我们宇宙、太阳系、地球的现在的状态、从哪来到哪去；微观力学如量子力学则研究构成物质的粒子力学行为。
但我们肉眼所观测到的宏观尺度是科技主战场。
1.连续性假设：无空隙，力学量是坐标连续函数。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
刘鸿文《材料力学》(第5版)(下册)-课后习题-第10~13章【圣才出品】
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图 10-3
解：如图 10-3（b）所示，取长为 x 的杆段迚行受力分析：
自重：
，惯性力：
根据平衡条件
，可得：
故该截面上的应力：
由此可知，当
时，有最大应力：
。
10.3 桥式起重机上悬挂一重量 P＝50 kN 的重物，以匀速度 υ＝1 m/s 向前秱（在图 10-4 中，秱动的方向垂直于纸面）。当起重机突然停止时，重物像单摆一样向前摆动，若梁 为 No.14 工字钢，吊索横截面面积 A＝5×10-4 m2，问此时吊索内及梁内的最大应力增加 多少?设吊索的自重以及由重物摆动引起的斜弯曲影响都忽略丌计。
图 10-13
解：在 F 2kN 静载作用下，作用点的位秱：
图 10-11
10.9 图 10-12 所示机车车轮以 n＝300 r/min 的转速旋转。平行杆 AB 的横截面为矩 形，h＝5.6 cm，b＝2.8 cm，长度 l＝2 m，r＝25 cm，材料的密度为 ρ＝7.8 g/cm3。试 确定平行杆最危险的位置和杆内最大正应力。
图 10-12
解：当杆运动至最低位置时，重力不惯性力相叠加，此时最危险。将杆的自重和作用在
。
10.7 图 10-8 所示钢轴 AB 的直徂为 80 mm，轴上有一直徂为 80 mm 的钢质圆杆 CD，CD 垂直于 AB。若 AB 以匀角速度 ω＝40 rad/s 转动。材料的许用应力[ζ]＝70 MPa， 密度为 7.8 g/cm3。试校核 AB 轴及 CD 杆的强度。
图 10-8
解：如图 10-9 所示，构件匀速转动时，杆 CD 单位长度的惯性力 qd 为：
2 n 60
材料力学课件(刘鸿文)
2 1
(2) 若先在C截面加P2 ，然后B截面加P1。 若先在C截面加P 然后B截面加P 在C截面加P2 后， P2 作功 截面加P
A B
a
P (a + b) 2EA
2 2
P1
C
b
在B截面加P1后， P1作功 截面加P
P2
Pa 2EA
2 1
加 P1引起 C 截面的位移
A
P1a EA 在加P 过程中P 作功（常力作功） 在加P1 过程中P2作功（常力作功）
a
B
P1
C
b
P1P2 a EA
P2
1 1 Vε =W = P1δB1 + P2δc2 + P1δB2 2 2
a P2(a + b) P1P2 a P = + 2 + 2EA 2EA EA
2 1
注意： 注意：
(1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的 计算外力作功时，
区别。 区别。 (2) 应变能 Vε只与外力的最终值有关，而与加载过 只与外力的最终值有关， 程和加载次序无关。 程和加载次序无关。
能量方法
§13—1 概述 13—
一、能量方法：
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 来求解可变形固体的位移、 力等的方法。 力等的方法。 二、外力功 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 外力因此而做功，则成为外力功。 外力因此而做功，则成为外力功。
l 2
P A C
l 2
m
δ1
δ2
B
梁中点的挠度为 梁右端的转角为
= Pl + ml δ1 48EI 16EI =θ = Pl + ml δ2 16EI 3EI
(2) 若先在C截面加P2 ，然后B截面加P1。 若先在C截面加P 然后B截面加P 在C截面加P2 后， P2 作功 截面加P
A B
a
P (a + b) 2EA
2 2
P1
C
b
在B截面加P1后， P1作功 截面加P
P2
Pa 2EA
2 1
加 P1引起 C 截面的位移
A
P1a EA 在加P 过程中P 作功（常力作功） 在加P1 过程中P2作功（常力作功）
a
B
P1
C
b
P1P2 a EA
P2
1 1 Vε =W = P1δB1 + P2δc2 + P1δB2 2 2
a P2(a + b) P1P2 a P = + 2 + 2EA 2EA EA
2 1
注意： 注意：
(1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的 计算外力作功时，
区别。 区别。 (2) 应变能 Vε只与外力的最终值有关，而与加载过 只与外力的最终值有关， 程和加载次序无关。 程和加载次序无关。
能量方法
§13—1 概述 13—
一、能量方法：
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 来求解可变形固体的位移、 力等的方法。 力等的方法。 二、外力功 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 外力因此而做功，则成为外力功。 外力因此而做功，则成为外力功。
l 2
P A C
l 2
m
δ1
δ2
B
梁中点的挠度为 梁右端的转角为
= Pl + ml δ1 48EI 16EI =θ = Pl + ml δ2 16EI 3EI
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Ni
Ni
Ni N ili
Ai
l l l l l l
2P
P
3
3
4
5
3
1
3 4 A 5 6
2P 2P 2P
3P
3 3 3
3
0 0 0 0
2 3
1 3
0 0 0 0
4 Pl 3
A
A
A A A A
6
1
B
2
Pl
Pl 4 7 Pl yB ( 1) EA 3 3EA
练习: 刚架的EI为常量,求：A点竖直位移
PR 3 1 2 2sin sin 2 2EI 2 4 0
3
PR 3 PR 3 2 2 0.178 2EI 2 EI 0
3
θ
B
θ
B 1
P/2
解：也可以根据莫尔积分计算整体静变形，在C点加单位力 P P M ( ) R(1 cos ) M ( ) R(1 cos ) AC: BC: 2 2
其中:
M ( x)M ( x) 所以： dx EI l
M ( x) 为原载荷引起 的弯矩，
M ( x)为单位载荷引起的弯矩，
注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。
莫尔积分的应用范围：
线弹性结构
T ( x )T ( x ) N ( x)N ( x) dx , dx GI P EA l l
3PRห้องสมุดไป่ตู้ 1 EI
θ
1
例4:开口圆环,EI，GIP为常量,求AB之间垂直于纸面方向的相对位移 1、求原载荷引起的内力： R
R
P
B
A
P
R
2、求原载荷引起的内力：
M ( ) PR sin
M ( ) R sin
P T ( ) PR(1 cos )
3、求竖直相对位移，施加单位载荷
A) C1 C 2
B) B1 B 2 C ) C1 B 2 D) C 2 B1
答案：C
C1
C2
3、如图所示，一简支梁分别承受两种形式的单位力，则
A
A
C
1
VC
1
B
B
A
1
A)VC A
C )VC A B)VC A B
CE段：。。。。。
1x
1
A
2l
C
x3
D
x2
A
ql
q
ql
B
2l
C
D
B
q
5 ql 2
E
l
YA 2
F
l
YB 1
l
X A ql
E
l
11 ql 2
F
l
7 ql 2
l
3 YB ql 2
YA
AC段
1 M ( x1 ) qlx1 qx12 2
AC段 DB段 CD段
M ( x1 ) x1
1 M ( ) R(1 cos ) 2
0
1 M ( ) R(1 cos ) 2
y B 2
2 M ( ).M ( ) Rd EI 3 2
P C
2 2 PR 1 cos d 0 4 EI PR 3 2 2 1 2 cos cos d 0 2EI PR 2EI
三、莫尔积分的应用范围： 线弹性结构
的符号的含义： 四、 1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同 2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反
组合变形：
l
M ( x)M ( x) T ( x )T ( x ) N ( x)N ( x) dx dx dx EI GI P EA l l
3
A 1 C A
B
1 3 2 2sin sin 2 4 2 0
3
PR 3 PR 2 2 0.178 2EI 2 EI 0
3
B
例1:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对水平位移 1、求原载荷引起的内力：M ( ) PRSin R
T ( ) R(1 cos )
R
4、根据莫尔积分，利用对称性
1
B
A
AB 2
2
0
0
1
T ( ). M ( ).M ( ) T ( ) Rd 2 Rd 0 EI GI P
2
3 PR PR3 sin 2 1 cos d 2 d 0 EI GI P
例7:选择题
y * y * ( x) 表示：
A）力P的作用点的挠度与x的关系 B）梁在自由端受集中力P的作用时的挠曲线方程 C）梁在自由端受集中力P的作用时的转角方程 D）无任何力学意义
x
P
答案：B
2、如图所示，同一刚架的两种受力形式， 若P与 M 0 数值相同， 则比较二者变形， B1 可知： B2 P M0
θ
2、求水平相对位移，施加单位载荷： P A M ( ) RSin 3、根据莫尔积分 B P
θ
M ( ).M ( ) AB Rd 0 EI 3 2 2 PR sin d 0 EI 1 3 2 PR 1 1 cos 2 d 2 EI 0
3PR3 EI GI P
PR3
x2
D
x1
y E P
例5:图示正方形刚架,边长为L,各部分刚度均相同, E处有一开口, 开口两侧分别作用一垂直于刚架平面的水平力P, P 求切口两侧垂直于纸面方向的水平相对位移. y D C E 1 2、求切口水平相对 x 位移，施加单位载荷 C 1 x
A
x3
B 解: 1、求原载荷引起的内力：
F
A
3、求由单位载荷引起的内力 F B ED段 弯曲变形
由于对称于y轴，仅考虑一半: M ( x1 ) P.x1 弯曲变形 ED段
M ( x1 ) x1 M ( x2 ) x2 l T ( x2 ) 2 M ( x3 ) x3
弯曲变形 DA段 扭转变形 弯曲变形 FA段 扭转变形
AB
2
0
2 2 PR sin M ( ).M ( ) Rd d 0 EI EI
PR 2 2 cos 0 0 EI
θ
1
1
例3:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对竖直位移 1、求原载荷引起的内力：M ( ) R
θ
PR(1 cos )
M ( x2 ) P.x2 l T ( x2 ) P. 2 M ( x3 ) P.x3 T ( x3 ) P.l
弯曲变形 DA段 扭转变形 弯曲变形 FA段 扭转变形
T ( x3 ) l
4、积分：
ED段 DA段
弯曲变形 弯曲变形
M ( x1 ) P.x1 M ( x2 ) P.x2 l T ( x2 ) P. 2 M ( x3 ) P.x3 T ( x3 ) P.l
1 3 2 qlx qx1 1 l l 2 yE dx1 0dx2 0 0 EI 5 1 3 1 2 2 qlx3 qx3 ql x3 4 l 2 Pl 2 2 2 dx3 0 EI 3EI
11 YA ql 2
功的互等定理： 第一组力A点在第二组力B点引起的位移上所作的功
B A B D)VC
答案：D
VC
4、两悬臂梁，设BD之间的距离为 B C
BD ，CE之间的距离为 CE ，则
A） BD 增大， CE 不变 B） BD 增大， CE 改变 C） BD 减小， CE 不变
第十三章 能量方法
习题课
莫尔积分的应用： M ( x ) M ( x) dx EI 1、计算梁发生弯曲变形的位移： l 2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移： 3、计算圆轴发生扭转变形的位移：
s
M ( )M ( ) Rd EI
T ( x)T ( x) dx GI l P
AC段
1 M ( x1 ) qlx1 qx12 2
AC段 DB段 CD段
M ( x1 ) x1
DB段 M ( x2 ) CD段
1 2 qx 2 2
M ( x2 ) 0
M ( x3 ) x3
5 1 2 1 2 M ( x3 ) qlx3 qx3 ql 2 2 2 CE段：。。。。。
DB段 M ( x2 ) CD段
1 2 qx 2 2
M ( x2 ) 0
M ( x3 ) x3
5 1 2 1 2 M ( x3 ) qlx3 qx3 ql 2 2 2 CE段：。。。。。
CE段：。。。。。
ql
q
ql
A
C
2l
X A ql
D
B
E
l l
F
l
3 YB ql 2
==〉(等于)
第二组力B点在第一组力A点引起的位移上所作的功。
PA AB PB BA
注：位移互等定理中位移一般用δij双角标表示，即：
i 表示位移产生的位置，
j 表示引起位移的力。
* y y * y * ( x) 1、如图所示，随着载荷P的移动，自由端B的挠度 由挠度表读出，
问方程
l 2
A
x3
5Pl 3 3Pl 3 6 EI 2GI P
F B
5
Ni
Ni N ili
Ai
l l l l l l
2P
P
3
3
4
5
3
1
3 4 A 5 6
2P 2P 2P
3P
3 3 3
3
0 0 0 0
2 3
1 3
0 0 0 0
4 Pl 3
A
A
A A A A
6
1
B
2
Pl
Pl 4 7 Pl yB ( 1) EA 3 3EA
练习: 刚架的EI为常量,求：A点竖直位移
PR 3 1 2 2sin sin 2 2EI 2 4 0
3
PR 3 PR 3 2 2 0.178 2EI 2 EI 0
3
θ
B
θ
B 1
P/2
解：也可以根据莫尔积分计算整体静变形，在C点加单位力 P P M ( ) R(1 cos ) M ( ) R(1 cos ) AC: BC: 2 2
其中:
M ( x)M ( x) 所以： dx EI l
M ( x) 为原载荷引起 的弯矩，
M ( x)为单位载荷引起的弯矩，
注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。
莫尔积分的应用范围：
线弹性结构
T ( x )T ( x ) N ( x)N ( x) dx , dx GI P EA l l
3PRห้องสมุดไป่ตู้ 1 EI
θ
1
例4:开口圆环,EI，GIP为常量,求AB之间垂直于纸面方向的相对位移 1、求原载荷引起的内力： R
R
P
B
A
P
R
2、求原载荷引起的内力：
M ( ) PR sin
M ( ) R sin
P T ( ) PR(1 cos )
3、求竖直相对位移，施加单位载荷
A) C1 C 2
B) B1 B 2 C ) C1 B 2 D) C 2 B1
答案：C
C1
C2
3、如图所示，一简支梁分别承受两种形式的单位力，则
A
A
C
1
VC
1
B
B
A
1
A)VC A
C )VC A B)VC A B
CE段：。。。。。
1x
1
A
2l
C
x3
D
x2
A
ql
q
ql
B
2l
C
D
B
q
5 ql 2
E
l
YA 2
F
l
YB 1
l
X A ql
E
l
11 ql 2
F
l
7 ql 2
l
3 YB ql 2
YA
AC段
1 M ( x1 ) qlx1 qx12 2
AC段 DB段 CD段
M ( x1 ) x1
1 M ( ) R(1 cos ) 2
0
1 M ( ) R(1 cos ) 2
y B 2
2 M ( ).M ( ) Rd EI 3 2
P C
2 2 PR 1 cos d 0 4 EI PR 3 2 2 1 2 cos cos d 0 2EI PR 2EI
三、莫尔积分的应用范围： 线弹性结构
的符号的含义： 四、 1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同 2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反
组合变形：
l
M ( x)M ( x) T ( x )T ( x ) N ( x)N ( x) dx dx dx EI GI P EA l l
3
A 1 C A
B
1 3 2 2sin sin 2 4 2 0
3
PR 3 PR 2 2 0.178 2EI 2 EI 0
3
B
例1:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对水平位移 1、求原载荷引起的内力：M ( ) PRSin R
T ( ) R(1 cos )
R
4、根据莫尔积分，利用对称性
1
B
A
AB 2
2
0
0
1
T ( ). M ( ).M ( ) T ( ) Rd 2 Rd 0 EI GI P
2
3 PR PR3 sin 2 1 cos d 2 d 0 EI GI P
例7:选择题
y * y * ( x) 表示：
A）力P的作用点的挠度与x的关系 B）梁在自由端受集中力P的作用时的挠曲线方程 C）梁在自由端受集中力P的作用时的转角方程 D）无任何力学意义
x
P
答案：B
2、如图所示，同一刚架的两种受力形式， 若P与 M 0 数值相同， 则比较二者变形， B1 可知： B2 P M0
θ
2、求水平相对位移，施加单位载荷： P A M ( ) RSin 3、根据莫尔积分 B P
θ
M ( ).M ( ) AB Rd 0 EI 3 2 2 PR sin d 0 EI 1 3 2 PR 1 1 cos 2 d 2 EI 0
3PR3 EI GI P
PR3
x2
D
x1
y E P
例5:图示正方形刚架,边长为L,各部分刚度均相同, E处有一开口, 开口两侧分别作用一垂直于刚架平面的水平力P, P 求切口两侧垂直于纸面方向的水平相对位移. y D C E 1 2、求切口水平相对 x 位移，施加单位载荷 C 1 x
A
x3
B 解: 1、求原载荷引起的内力：
F
A
3、求由单位载荷引起的内力 F B ED段 弯曲变形
由于对称于y轴，仅考虑一半: M ( x1 ) P.x1 弯曲变形 ED段
M ( x1 ) x1 M ( x2 ) x2 l T ( x2 ) 2 M ( x3 ) x3
弯曲变形 DA段 扭转变形 弯曲变形 FA段 扭转变形
AB
2
0
2 2 PR sin M ( ).M ( ) Rd d 0 EI EI
PR 2 2 cos 0 0 EI
θ
1
1
例3:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对竖直位移 1、求原载荷引起的内力：M ( ) R
θ
PR(1 cos )
M ( x2 ) P.x2 l T ( x2 ) P. 2 M ( x3 ) P.x3 T ( x3 ) P.l
弯曲变形 DA段 扭转变形 弯曲变形 FA段 扭转变形
T ( x3 ) l
4、积分：
ED段 DA段
弯曲变形 弯曲变形
M ( x1 ) P.x1 M ( x2 ) P.x2 l T ( x2 ) P. 2 M ( x3 ) P.x3 T ( x3 ) P.l
1 3 2 qlx qx1 1 l l 2 yE dx1 0dx2 0 0 EI 5 1 3 1 2 2 qlx3 qx3 ql x3 4 l 2 Pl 2 2 2 dx3 0 EI 3EI
11 YA ql 2
功的互等定理： 第一组力A点在第二组力B点引起的位移上所作的功
B A B D)VC
答案：D
VC
4、两悬臂梁，设BD之间的距离为 B C
BD ，CE之间的距离为 CE ，则
A） BD 增大， CE 不变 B） BD 增大， CE 改变 C） BD 减小， CE 不变
第十三章 能量方法
习题课
莫尔积分的应用： M ( x ) M ( x) dx EI 1、计算梁发生弯曲变形的位移： l 2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移： 3、计算圆轴发生扭转变形的位移：
s
M ( )M ( ) Rd EI
T ( x)T ( x) dx GI l P
AC段
1 M ( x1 ) qlx1 qx12 2
AC段 DB段 CD段
M ( x1 ) x1
DB段 M ( x2 ) CD段
1 2 qx 2 2
M ( x2 ) 0
M ( x3 ) x3
5 1 2 1 2 M ( x3 ) qlx3 qx3 ql 2 2 2 CE段：。。。。。
DB段 M ( x2 ) CD段
1 2 qx 2 2
M ( x2 ) 0
M ( x3 ) x3
5 1 2 1 2 M ( x3 ) qlx3 qx3 ql 2 2 2 CE段：。。。。。
CE段：。。。。。
ql
q
ql
A
C
2l
X A ql
D
B
E
l l
F
l
3 YB ql 2
==〉(等于)
第二组力B点在第一组力A点引起的位移上所作的功。
PA AB PB BA
注：位移互等定理中位移一般用δij双角标表示，即：
i 表示位移产生的位置，
j 表示引起位移的力。
* y y * y * ( x) 1、如图所示，随着载荷P的移动，自由端B的挠度 由挠度表读出，
问方程
l 2
A
x3
5Pl 3 3Pl 3 6 EI 2GI P
F B
5