跃迁概率和费米黄金定律
第3章 费米能级
.
以后就表示从状态(1)跃迁到状态(2)的几率。
上式表示电子从E1态跃迁到E2态的微扰矩阵元，又叫跃迁动量矩阵元。 它是电子的终态(2)波函数的共扼复数ψ 2*与对始态(1)波函数ψ 1进行 H’运算得到结果的标量积。
要计算跃迁几率(即求a2(t))必须知道微扰算符H’的具体形式。如果假定微扰是 简谐函数，则按照费米黄金准则，跃迁几率可以表示为：
.Hale Waihona Puke 半导体异质结激光器中粒子数反转
.
光子与载流子的相互作用
光子与半导体内部载流子相互作用表现为 以下几个物理过程：
.
半导体内量子跃迁的特点
由于半导体能带中电子(空穴)的态密度很高，因此在光子作用下产生的 跃迁不是在分立的、固定的两个能级之间，而是发生在非局部能级的导带与 价带之间。在分析半导体中的跃迁过程时不仅要考虑电子的跃迁几率，还必 须考虑参与跃迁的电子态密度分布，而这又与掺杂浓度和激励水平有关。因 此，半导体中的跃迁过程具有明显不同于双能级系统的特点： (a)半导体能带中电子的态密度很高，用来产生粒子数反转分布的电子数很大， 因而可能具有很高的量子跃迁速率，获得很大的光增益系数。 (b)半导体中同一能带内的载流子相互作用很强。这种互作用过程的碰撞时间比 辐射过程的时间常数要小，所以发生电子跃迁后留下来的空态能够很快被带 内电子所补充，使能带内仍保持激励态的准平衡分布，可以用准费米能级描 述载流子的分布特性。 (c)半导体中被激发的电子态可以通过扩散或传导在晶体中传播，因此有可能用 比较简单的办法(如p—n结注入)使半导体内很快达到并维持其粒子数分布反 转状态，可以实现很高的能量转换效率。这是半导体激光器的突出优点。 (d)半导体中跃迁发生在占据一定能量范围的大量的导带电子和价带空穴之间， 因此辐射谱线较宽，单色性较差。
黄金费米定律
黄金费米定律
一、费米子具有整数自旋
费米子的自旋是1/2的整数倍。
这是量子力学中一个非常重要的概念，因为这表明费米子的自旋方向不能改变，只能沿着一个方向旋转。
这个性质也使得费米子在自然界中扮演着非常重要的角色，例如电子、质子和中子等都是费米子。
二、费米子的行为受到泡利不相容原理的限制
泡利不相容原理是量子力学中的一个重要原理，它表明两个相同的费米子不能占据相同的量子态。
这个原理可以解释为什么在原子中，电子不能占据相同的能级，从而保证了原子结构的稳定性。
三、在绝对零度下，费米子组成的系统会呈现出凝聚态
在绝对零度下，费米子组成的系统会呈现出凝聚态，即所有费米子都占据最低能量的量子态。
这个现象被称为“费米凝聚”，它在低温物理和超导研究中扮演着非常重要的角色。
四、费米子的行为受到交换作用的影响
交换作用是量子力学中的一个重要概念，它表明交换两个费米子会改变它们的量子态。
这个概念在解释粒子相互作用和核物理中的许多现象时都非常重要。
例如，在解释核磁共振现象时，就需要考虑到交换作用的影响。
总之，黄金费米定律是量子力学中一个非常重要的原理，它描述了费米子的行为和相互作用。
这些原理不仅在物理学中有广泛的应用，也在化学、材料科学和生物学等多个领域中扮演着重要的角色。
因此，理解和掌握黄金费米定律对于学习和研究物理学以及相关领域都具有非常重要的意义。
跃迁几率和费米黄金规则
（5.7.11）
Fmk
2 2
2
1 e
i (mk ) t
mk
2
1 e
i (mk ) t 2
mk
（5.7.12）
Fmk
2
B B
5.7跃迁几率和费米黄金规则
式中
1 ei (mk )t i (mk ) t /2 sin(mk )t / 2 B ie （5.7.13） mk (mk ) / 2
Wk m lim am (t )
t
2
1
2 2
t ( H mk
2
mk
2
)
（5.7.4）
2 t (mk )
跃迁速率是
H mk
2
dWk m 2 2 (mk ) wk m 2 H mk dt 2 2 ( Em Ek ) H mk
2 mk 2
[1 cos mk t ]
sin 2 4 H mk
2
mk t
2 mk
（5.7.2）
为进一步简化（5.7.2）式，可用 函数的公式
sin 2 xt lim ( x) 2 t tx
（5.7.3）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
当t 时，可将（5.7.2）式化为
跃迁速率为
2
2 t
Fmk ( Em Ek )
2
（5.7.16）
wk m
dWk m 2 2 Fmk ( Em Ek ) dt
（5.7.17）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
由（5.7.16）可见，跃迁过程满足能量守恒。当且尽 Em Ek 当周期微扰的频率 满足 时，才能发 生跃迁。而且，当微扰作用时间足够长后，跃迁速 率与时间无关。 3. 由（5.7.16）还可以得出 Wk m Wmk （5.7.18） Wk m 表示从 k态跃迁到 m 态的几率， Wmk相反。 4. 比较（5.7.4）与（5.7.16）可见，当周期性微扰的 频率趋于零时，（5.7.16）过渡到（5.7.4）。这一 结果表示当频率趋于零时，周期微扰过渡到常微 扰，这是很自然的。
微扰理论
第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。
因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。
本章将介绍微扰论和变分法。
本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。
§5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。
假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程ˆH E ψψ= 满足下列条件： ˆH 可分解为 0ˆH 和 ˆH '两部分，而且 0ˆH 远大于ˆH'。
00ˆˆˆˆˆ H H H H H ''=+ 0ˆH 的本征值和本征函数已经求出，即 0ˆH 的本征方程(0)(0)(00ˆn n n H E ψψ=中，能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。
微扰论的任务就是从0ˆH 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰ˆH ' 后，ˆH 的本征值和本征函数。
3. 0ˆH 的能级无简并。
严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。
例如我们要通过微扰计算ˆH '对 0ˆH 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)nE 无简并，它相应的波函数只有(0)n ψ一个。
其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。
4. 0H 的能级组成分离谱。
严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。
费米黄金定则
费米黄金定则
费米黄金定则或费米黄金定律是在量子力学中，计算波函数由一个特征态变换为另一个特征态的概率。
则为初态与末态的转变项。
这个转换概率也被称为衰变概率，并与平均生命时间相关。
在某些条件下，费米黄金定则可以借助sinc函数的某些数学恒等式严格地推导。
量子力学
量子力学（quantum mechanics）是物理学的分支，主要描写微观的事物，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学，如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科，都是以其为基础。
19世纪末，人们发现旧有的经典理论无法解释微观系统，于是经由物理学家的努力，在20世纪初创立量子力学，解释了这些现象。
量子力学从根本上改变人类对物质结构及其相互作用的理解。
除透过广义相对论描写的引力外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力学的框架内描述（量子场论）。
爱因斯坦可能是在科学文献中最先给出术语“量子力学”的物理学者。
波函数
在量子力学里，量子系统的量子态可以用波函数（英语：wave function）来描述。
薛定谔方程设定波函数如何随着时间流逝而演化。
从数学角度来看，薛定谔方程乃是一种波动方程，因此，波函数具有类似波的性质。
这说明了波函数这术语的命名原因。
周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
第5章微扰理论5.1复习笔记一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件求分立能级及所属波函数的修正。
适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即'(0)(0)(0)(0)1,mnn mn mH E E E E <<≠-（1）非简并情况微扰作用下的哈密顿量可表示为：'0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=mmnnmnn nn EEH H E E)0()0(2''')0(相应的波函数可近似表示为：∑+-+=mm mn mn nn E E H )0()0()0('')0(ψψψ（2）简并情况能级的一级修正由久期方程0det )1('=-v k v E H μμδ即)1(''2'1'2)1('22'21'1'12)1('11=---nkk k k knknE H H H H E H H H H E H给出。
个实根，记为有k k f E )1(k k f E ,,2,1,)1( =αα，分别把每一个根)1(αk E 代入方程∑==-kf v v v k va E H 1)1('0)(μαμδ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数∑>>=vkv vkv a φα||。
相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。
2．氢原子的一级斯塔克效应（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。
（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2n 度简并。
黄金费米定律
黄金费米定律黄金费米定律，也被称为费米悖论，是由意大利物理学家恩里科·费米于1950年提出的。
该定律是指，在银河系中，存在着大量的外星智慧生命，然而我们迄今为止仍未能与外星文明取得任何联系。
黄金费米定律不是基于实验证据，而是建立在一系列假设和推测之上。
费米进一步指出，根据当前已知的宇宙尺度和星系数量，我们可以推断银河系内存在着大量智慧生命。
然而，对于为何我们尚未获得任何外星信号的解释，黄金费米定律认为存在多种可能性。
首先，外星智慧生命可能存在技术不足以与我们进行通信的问题。
费米认为，即使外星文明与地球上的智慧生命存在一定的技术差距，我们也应该能够接收到他们使用的通信信号。
然而，这种技术差距可能是巨大的，超出我们当前能力所能理解的范围。
其次，黄金费米定律也提到了外星文明可能选择隐蔽的原因。
他们可能有意识地隐藏自己，以避免被探测到或干扰其他文明。
这可能是因为他们感到威胁，或者有其他不愿意被发现的原因。
此外，外星文明也可能对地球上的智慧生命缺乏兴趣，或者认为我们还不足以与他们进行有意义的交流。
还有一种可能性是，我们对探索外星信号的方法和范围有限。
我们目前主要依赖于射电望远镜来探测外星信号，但这只是一种方法。
可能存在其他类型的信号或通信方式，我们尚未发现或无法接收到。
此外，我们也可能只是不慎错过了外星信号，或者技术上无法识别它们。
除了以上的可能性外，黄金费米定律还提到了时间尺度的问题。
宇宙存在了数十亿年，而我们人类存在的时间相对较短。
因此，即使其他外星文明存在，我们与他们进行交流的时间窗口可能非常狭窄，或者已经错过了。
总的来说，黄金费米定律意味着尽管银河系可能存在大量智慧生命，但我们至今为止尚未与外星文明取得任何接触的原因可能是多方面的：技术差距、选择性隐蔽或缺乏兴趣、探测方法的有限性以及时间尺度的问题等等。
然而，真正的原因仍是一个谜，直到我们能够获得更多的数据和证据，我们对外星生命的探索将继续进行。
量子力学基础教程陈鄂生
i (mk ) t
2
二、共振跃迁 末态能量大于初态能量 1.共振吸收（受激吸收）
Em Ek 时， mk
Wk m t Fmk 4
2 2
0 。若 mk，则
i mk t
e
1
2
mk
Fmk sin
2 2
2
mk
2 2
t
mk
其中二级修正： t 1 imnt (2) (1) (t )e dt am (t ) an (t ) H mn i n 0
五、跃迁几率与跃迁速率 一级近似下 : (r , t ) am (t )e
m iEmt /
m ( r )
iEmt /
e
iEk t /
y z 0
z ~ 1011 m, ~ 106 m z
cos( 2
z t ) cos t
2 z
sin t
ˆ F ˆ cos t ，其中 F ˆ e x 于是 H 0
ii.共振跃迁速率
wk m
wk m
e2 02
(0) (1) a ( t ) a ( t ) a am (t )的一级近似：m m m (t ),
dam (t ) 1 dt i
imnt a (t )H mn (t )e (0) n n
a 其中一级修正为：
(1) m
1 i
t
0
imk t H mk (t )e dt
方程左乘 (r )后做全空间积分
* m
n
n
dam (t ) iEnt / (t )e iEnt / i e an (t ) H mn dt n
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Transition Probabilities （跃迁概率）and Fermi's Golden Rule
One of the prominent failures of the Bohr model for atomic spectra was that it couldn't predict that one spectral line would be brighter than another. From the quantum theory came an explanation in terms of wavefunctions, and for situations where the transition probability is constant in time, it is usually expressed in a relationship called Fermi's golden rule.
In general conceptual terms, a transition rate depends upon the strength
of the coupling between the initial and final state of a system and upon the number of ways the transition can happen (i.e., the density of the final states). In many physical situations the transition probability is
of the form
The transition probability跃迁概率λis also called the decay probability （衰退概率）and is related to the mean lifetime τof the state by λ= 1/τ. The general form of Fermi's golden rule can apply to atomic transitions, nuclear decay, scattering ... a large variety of physical transitions.
A transition will proceed more rapidly if the coupling between the initial and final states is stronger. This coupling term is traditionally called the "matrix element" for the transition: this term comes from an alternative formulation of quantum mechanics in terms of matrices rather than the differential equations of the Schrodinger approach. The matrix element can be placed in the form of an integral where the interaction which causes the transition is expressed as a potential V which operates
on the initial state wavefunction. The transition probability is proportional to the square of the integral of this interaction over all
of the space appropriate to the problem.
This kind of integral approach using the wavefunctions is of the same general form as that used to find the "expectation value" or expected average value of any physical variable in quantum mechanics. But in the case of an expectation value for a property like the system energy, the integral has the wavefunction representing the eigenstate of the system in both places in the integral.
The transition probability is also proportional to the density of final states
. It is reasonably common for the final state to be composed of
f
several states with the same energy - such states are said to be "degenerate" states. This degeneracy is sometimes expressed as a "statistical weight" which will appear as a factor in the transition probability. In many cases there will be a continuum of final states, so that this density of final states is expressed as a function of energy.。