2019春八年级数学下册 4.1 因式分解课件.ppt
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八年级数学《因式分解》优秀课件
麻石 杜书蓉
创设情境
1、完成以下各题 (1) m(a+b+c)= (ma+mb+mc) (2)(a+b)(a-b)= ( a2 - b2 ) (3) (a+b)2= ( a2+2ab+b2 )
2、你能做下面的填空吗？ (1)ma+mb+mc= ( m )( a+b+c ) (2) a2 － b2 = ( a+b )( a - b ) (3) a2+2ab+b2 = ( a + b )2
3.观察以上两组题目项式化为几个整式的积的 形式，叫做多项式的因式分解
比较判断： 以下各式由左到右的变形，那些是因 式分解？
(1)3(x+2)=3x+6 (2)5a3b-10a2bc=5a2b(a-2c) (3)x2+1=x(x+ 1 )
x
(4)y2+x2-4=y2+(x+2)(x-2)
课堂小结
1、确定公因式的一般方法：
各项系数都是整数时，因式的系数应取 各项系数的最大公约数；字母取各项的相同 的字母，而且各字母的指数取次数最低的.
2、提公因式法分解因式的一般步骤：
第一步，找出公因式； 第二步，提公因式，即用多项式除以公因式.
自我检测 把以下各式分解因式
1、 3 x3 -3x2 –9x
(5)x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
合作探究
怎样分解多项式: ma+mb+mc ma+mb+mc=m(a+b+c)
公因式：多项式中的每一项都含有一个相 同的因式，我们称之为公因式。
创设情境
1、完成以下各题 (1) m(a+b+c)= (ma+mb+mc) (2)(a+b)(a-b)= ( a2 - b2 ) (3) (a+b)2= ( a2+2ab+b2 )
2、你能做下面的填空吗？ (1)ma+mb+mc= ( m )( a+b+c ) (2) a2 － b2 = ( a+b )( a - b ) (3) a2+2ab+b2 = ( a + b )2
3.观察以上两组题目项式化为几个整式的积的 形式，叫做多项式的因式分解
比较判断： 以下各式由左到右的变形，那些是因 式分解？
(1)3(x+2)=3x+6 (2)5a3b-10a2bc=5a2b(a-2c) (3)x2+1=x(x+ 1 )
x
(4)y2+x2-4=y2+(x+2)(x-2)
课堂小结
1、确定公因式的一般方法：
各项系数都是整数时，因式的系数应取 各项系数的最大公约数；字母取各项的相同 的字母，而且各字母的指数取次数最低的.
2、提公因式法分解因式的一般步骤：
第一步，找出公因式； 第二步，提公因式，即用多项式除以公因式.
自我检测 把以下各式分解因式
1、 3 x3 -3x2 –9x
(5)x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
合作探究
怎样分解多项式: ma+mb+mc ma+mb+mc=m(a+b+c)
公因式：多项式中的每一项都含有一个相 同的因式，我们称之为公因式。
4.1因式分解(共15张PPT)北师大版初中数学八年级下册
课堂小结
布置作业
教科书第94页
习题4.1第1、2、3、4
结同
再
束学
见
们
4.1 因式分解
八年级下册
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
学
习
目
标
2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系.
4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
创设情境
问题导入
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
归纳
因式分解
探究新知
多项式
应用新知
整式乘法与因式分解是互为逆变形.
巩固新知
课堂小结
布置作业
整式乘法
整式乘积
创设情境
课堂练习
判断
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
否
. ( − ) = −
. 2 − 1 + 2 = ( − 1)( + 1) + 2
. 2 − 1 = ( − 1)( + 1) 是
. + + = ( + ) + 否
1
E. 2
x
−1
1
=(
x
−
11)(x+ 1)否否
创设情境
能力提升
思考
若多项式 2 + + 分解因式的结果为 ( − 2)( + 3) ，
探究新知
应用新知
布置作业
教科书第94页
习题4.1第1、2、3、4
结同
再
束学
见
们
4.1 因式分解
八年级下册
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
学
习
目
标
2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系.
4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
创设情境
问题导入
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
归纳
因式分解
探究新知
多项式
应用新知
整式乘法与因式分解是互为逆变形.
巩固新知
课堂小结
布置作业
整式乘法
整式乘积
创设情境
课堂练习
判断
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
否
. ( − ) = −
. 2 − 1 + 2 = ( − 1)( + 1) + 2
. 2 − 1 = ( − 1)( + 1) 是
. + + = ( + ) + 否
1
E. 2
x
−1
1
=(
x
−
11)(x+ 1)否否
创设情境
能力提升
思考
若多项式 2 + + 分解因式的结果为 ( − 2)( + 3) ，
探究新知
应用新知
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解1 因式分解
求 mn 的值. 解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4， ∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)， 则 x4+mx3+nx-16 = x4 +(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b= -16，b- 3a+2 = 0，a - 3=m，2a-3b=n，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
北师大版数学八年级下册4.因式分解-提取公因式课件
②确定字母底数：各项都含有的相同字母
③确定字母次数：相同字母的最低次数
探索新知
问题3：对照乘法分配律的逆运算，你能将 + 写成几个因
式的乘积情势吗？
解：4x3+ 12x2
=4x2∙x+4x2∙3
=4x2(x2+3)
提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把
这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的情势，这
b是公因式
(2) 3x2 +x
x是公因式
(3) abx-aby
ab是公因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
探索新知
问题1：找 2 + 4 3 − 6;的公因式。
2
定系数
mb
定字母
2
公因式是2mb
定指数
问题2：如何确定一个多项式的公因式呢？
①确定数字系数：各项系数的最大公约数
(3) - x2+xy-xz = - x(x+y-z)
= - x(x-y+z)
提出负号时括号里的项没变号
错误
随堂测验
2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ C ）
A.-6ab2c
B-ab2
C.-6ab2
D.-6a3b2C
3.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式
种因式分解的方法叫做提公因式法.
典例分析
例1
把7 3 − 21 2 分解因式
解： = 7 2 ∙ − 7 2 ∙ 3
2
= 7 ( − 3)
例2 把−24 3 + 12 2 − 28因式分解
③确定字母次数：相同字母的最低次数
探索新知
问题3：对照乘法分配律的逆运算，你能将 + 写成几个因
式的乘积情势吗？
解：4x3+ 12x2
=4x2∙x+4x2∙3
=4x2(x2+3)
提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把
这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的情势，这
b是公因式
(2) 3x2 +x
x是公因式
(3) abx-aby
ab是公因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
探索新知
问题1：找 2 + 4 3 − 6;的公因式。
2
定系数
mb
定字母
2
公因式是2mb
定指数
问题2：如何确定一个多项式的公因式呢？
①确定数字系数：各项系数的最大公约数
(3) - x2+xy-xz = - x(x+y-z)
= - x(x-y+z)
提出负号时括号里的项没变号
错误
随堂测验
2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ C ）
A.-6ab2c
B-ab2
C.-6ab2
D.-6a3b2C
3.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式
种因式分解的方法叫做提公因式法.
典例分析
例1
把7 3 − 21 2 分解因式
解： = 7 2 ∙ − 7 2 ∙ 3
2
= 7 ( − 3)
例2 把−24 3 + 12 2 − 28因式分解
北师版八年级数学下册教学课件(BS) 第四章 因式分解 第1课时 平方差公式
,
y
3. 2
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问 题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800.
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①， ∴x－y＝－2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x
1 2
(x a p)2 (x b q)2
(x p) (x q) (x p) (x q)
(2x p q)( p q).
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只
要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因 式分解.
针对训练 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
8. (1)992-1能否被100整除吗？
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
∴992-1能否被100整除. (2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). ∵n为整数 ∴(2n+1)2-25能被4整除.
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.1《因式分解》课件
1 知识小结
1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形 叫做因式分解，也可称为分解因式．
2. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程，
即：几个整式相乘 噲垐因整垐式式垐分乘解法垎垐 一个多项式
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
导引：把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与 x2－3xy2对照，能够与x2－3xy2相等的选项必是 正确答案．
总结
知2－讲
四个选项都是乘积的形式，可以利用因式分解 和整式乘法的互逆关系检验所得结果的正确性．
知2－讲
例3 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
因此是因式分解，D正确．
知1－练
1 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
解：(2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项 式化成几个整式的积
知1－导
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都 是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
（来自《教材》）
知1－讲
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 ) a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
A．9a2＋y2
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
4-1 因式分解(课件)八年级数学下册(北师大版)
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
随堂练习
3.把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
பைடு நூலகம்
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
4. 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．a2＋1＝a(a＋
1
)
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
探究新知
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低
于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
随堂练习
A．6
B．2017
C．2016
D．2015
随堂练习
5.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么
这个多项式是( B )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
随堂练习
7. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
(2)2a3b2c+4ab3c-abc
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
随堂练习
9.将下列各式分解因式
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
随堂练习
3.把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
பைடு நூலகம்
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
4. 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．a2＋1＝a(a＋
1
)
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
探究新知
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低
于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
随堂练习
A．6
B．2017
C．2016
D．2015
随堂练习
5.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么
这个多项式是( B )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
随堂练习
7. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
(2)2a3b2c+4ab3c-abc
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
随堂练习
9.将下列各式分解因式