线性代数第三章练习题演示教学

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线性代数刘大瑾主编化学工业出版社第三章课后习题详细答案解析

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132. 解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------10105663008840034311 (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110 2．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1-r 阶子式?有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000010000100001α3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样? 解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ，故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(- 解设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x 故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812. 解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-． (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------02301024205363071210 131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000010000712100231秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x (3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x xx x 7．求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有 2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解． (2) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．λ取何值时,非齐次线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ, 得1=λ时,方程组有无穷多个解. 9．非齐次线性方程组当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------154224521222λλλλ 当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解.此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023. 解（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------1061263111010421112．(1) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231,113122214B A ,求X 使B AX =;(2) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=132321,433312120B A ,求X 使B XA =.解(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210100010001 (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫⎝⎛132321433312120B A 初等列变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---474112100010001 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∴-4741121BA X ．。

线性代数第三章布置的作业详细做题步骤

线性代数第三章布置的作业详细做题步骤P75:3(3)321422221x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩、用消元法解下列非齐次线性方程组（3）2131113212212-+21-22111142212211112111100010000201111122220001000000111102220001000000r r r r r r r r r r A -⨯-⨯⨯⨯-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）解：行最简型121212112(A)R(A)24111=++()2220=,,(,R)1111++22221==000R x y z y z w y c z c c c x c c y c c z c w ==<∴⎧-⎪⎨⎪=⎩=∈⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣ （未知量的个数）非齐次线性方程组有无穷多个解.由增广矩阵的行最简型可写出原线性方程组的同解方程组和是自由未知量取则原非齐次线性方程组的通解为：212112200++,(,R)1000c c c ⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥∈⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦123123212361x x x x x x x x x λλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩、取何值时，下列非齐次线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其解.（1）1321313222223222321111111110110111110110021r r r r r r r r A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔--⨯+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→---⎢⎥⎢⎥---+-⎣⎦解：（1）式2i (A)R(A)3=3201-2.11-24ii =-2=0-33-6(A)R(A)00031111iii =1=00000000(A)R(A)13R R R λλλλλλ==--≠≠≠⎡⎤⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==< （）当（未知量的个数）时，非齐次线性方程组有唯一解.即时，即当且时，有唯一解（）当时，（1）式，，非齐次线性方程组无解.（）当时，（1）式（2）式行最简型，（未知量的12323=--+1x x x x x 个数），非齐次线性方程组有无穷多解.原非齐次线性方程组的同解方程组为：（，为自由未知量）21321211221121232=,--+1-1-11==1+0+0,(,R)010x c x c c c R x c c x c c c c c x c =∈⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦取（，）原非齐次线性方程组的通解为：12321231231235.1+110=1=1+=1=.111+,,,,,,λααλαβλλλλβαααβαααβααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦设有向量，，，试问当取何值时，（1）可由线性表示，且表达式唯一？（2）可由线性表示，且表达式不唯一？（3）不能由线性表示？132131112233123222+2=k k k (1),,(1)(A)R(A)=31+11011+1111+111+11+11+110111+0--0--2-r r r r r r R A λβαααβαααλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔--⨯++⇔=⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−−−→ （1）解：设式（i ）如可由唯一线性表示，即式对应的非齐次线性方程组有唯一解（未知量的个数）322232+2223--111+0--(2)0-3--2-r r λλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦式2123-3-00-3(A)R(A)=3,,.R λλλλβααα≠≠≠= 分析(2)式可知，当，即当且时，（未知量的个数）可由线性表示，且表达式唯一123=0=0(2)11100000(3)0000(A)R(A)=1<3(1),,=-3=-3(2)11-290-33-12(4)0006(A)R(A)(1)ii A R iii A R λλβαααλλ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴=⇔⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴≠⇔ （）当时，将代入式式（未知量的个数）式对应的非齐次线性方程组有无穷多解，即可由不唯一线性表示.（）当时，将代入式式式对应的非齐次线性方程组无解，123,,βααα即不能由线性表示.P85:2131231231122331232.11=1==111,,0.(A)3,,1111A 11111111r r a a a a R a a a a a a αααααααααααα↔⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦++=⇔⇔<-⎡⎤⎢⎥=-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦取何值时，下列向量组线性相关：，，，解：设线性相关,则k k k 有非零解齐次线性方程组有无穷多个解（未知量的个数，即向量组中向量的个数）2131322221231111011011011002+2+=0(A)32-1,,.r r r a r r r a a a a a a a a a a a a R a a ααα--⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→+--−−−→+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦∴-<==当时，即当或时，线性相关P109:521312312311223312311-110-45.===20-812,,0.(A)3,,11-110-4A 20-812r r r k R k αααααααααααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦++=⇔⇔<⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦已知向量组，，，线性相关，求k.解：设线性相关,则k k k 有非零解齐次线性方程组有无穷多个解（未知量的个数，即向量组中向量的个数）21324142(1)221231111110130130260000110022=0(A)232,,.r r r r r r r r k k k R k ααα--+----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴-=<=当时，即当时，线性相关P89:3(2)12123412343.21381115====.1719110211A ,,,.213811111521A =1719171102111r r αααααααα↔-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.（2），，，解：设向量组:则矩阵2131412232421221(1)()2331511153803121906241021109364131115103303120112330000000000000000r r r r r r r r r r r r r r ----⨯⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦行最简型（1）式01200001212343124122111==17110:,A ,,,.41132==+.3333A A A A A αααααααααααααα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-设向量组为，，R()=2(中包含的向量的个数)故线性无关,向量组是向量组:的一个极大线性无关组由（1）式分析得出，P101:4(2)221313212341234123415224.52311536 1.24261523111523111A 536110284145602421601427280r r r r r r r x x x x x x x x x x x x ----+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩-----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--−−−→--−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.（2）解：21215145231114272800009123721511101111101201272720000000000r r r +-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→--−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦行最简型123412341343423491+0172110++=27291=++17211=272x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--⎪⎩⎧-⎪⎪⎨⎪--⎪⎩原非齐次线性方程组的同解方程组为：（1）式变形为（，为自由未知量）（2）式123434134334423412==0=0091=+1072=1101=72x x x x x x x x x x x x x x x x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎧-⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪-⎪⎩取0，，则原非齐次线性方程组的一个特解为原非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组为：（，为自由未知量）（3）式，取，代入（3）式1212917211==720110.ξξξξ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得，，即，是原非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的一个基础解系P159答案也是对的，只是把基础解系中的向量中的分量都放大了。

线性代数第3章- 习题课

第三章矩阵的初等变换和线性方程组一重点内容1 初等变换和初等矩阵∙ 初等矩阵左乘矩阵A ，相当于对A 作相应的初等行变换. 初等矩阵右乘矩阵A ，相当于对A 作相应的初等列变换. 2 初等变换法求逆矩阵设A 为可逆矩阵，),( ),(1-−−−−→−A E E A 仅用行变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A 仅用列变换),( ),(1B A E B A -−−−−→−仅用行变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1BA E B A 仅用列变换3 矩阵的秩∙ 矩阵的秩 = 矩阵的非零子式的最高阶数∙ 行阶梯形矩阵(或行最简形矩阵、矩阵标准形)的秩 = 非零行的行数 ∙ 矩阵的秩的性质①},m in{)(0n m R n m ≤≤⨯A② )()(TR R A A =③ 初等行/列变换不改变矩阵的秩 [若A ~B ，则R (A )=R (B ) ]④ 若 P , Q 可逆，则R (PAQ ) = R (PA ) = R (AQ ) = R (A ) ⑤)()(),()}(),(m ax{B A B A B A R R R R R +≤≤⑥ )()()(B A B A R R R +≤+⑦ )}(),(m in{)(B A AB R R R ≤⑧ 若AB =O ，则nR R ≤+)()(B A(其中n =A 的列数=B 的行数)4 线性方程组解的判定 ∙ 对于齐次线性方程组Ox A =⨯n m ，① 方程组只有零解 ⇔n R =)(A ② 方程组有非零解 ⇔nR <)(A∙ 对于非齐次线性方程组bx A =⨯n m ， ① 方程组有解 ⇔),()(b A A R R =；等价命题：方程组无解 ⇔ ),()(b A A R R ≠② 方程组有唯一解 ⇔nR R ==),()(b A A ③ 方程组有无穷多解 ⇔nR R <=),()(b A A5 关于可逆矩阵的结论对于n 阶方阵A ，以下条件等价(即互为充要条件)：◎ A 是可逆矩阵(或非奇异矩阵、满秩矩阵) ◎≠A ◎ nR =)(A◎ A 可表示为若干初等矩阵的乘积◎ A 可通过初等行变换化为单位矩阵(即EA r~，或A 的标准形为单位矩阵)◎ 齐次线性方程组Ax =O 只有零解亦可表述为−−对于n 阶矩阵A ，以下条件等价：◎ A 是不可逆矩阵(或奇异矩阵、降秩矩阵)； ◎=A ◎ nR <)(A◎ A 不能表示为若干初等矩阵的乘积◎ A 不能通过初等行变换化为单位矩阵(或A 的标准形不是单位矩阵)◎ 齐次线性方程组Ax =O 有非零解二典型题型：1 初等变换和初等矩阵例1 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则B 等于 ( )(A) 21P AP (B) 12P AP (C)AP P 21 (D)AP P 12解Br r r r A2113↔+第一次初等行变换13r r +对应的初等矩阵是P 2；第二次初等行变换21r r ↔对应的初等矩阵是P 1，故有BA P P =21，选项(C)正确.例2 将可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=023111021A 分解为初等矩阵的乘积.分析可逆矩阵A 的标准形是单位矩阵，故能通过初等变换化为单位矩阵。

线性代数第三章习题及答案

习题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ．解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α；（3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ．解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解，即β不能由21,αα线性表示。

线性代数(含全部课后题详细答案)3第三章矩阵习题解答.docx

习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、・仇・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。

线性代数第三章习题

矩阵的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
数与矩阵的乘法
数与矩阵的乘法定义为该数与矩阵中每一个元素相乘，即kA = [kaij]m×n，其中k 是一个数，A是一个m×n的矩阵。
数与矩阵的乘法满足分配律和结合律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA， k(lA) = (kl)A。
03
逆矩阵与矩阵的秩
逆矩阵的定义和性质
定义：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称B 为A的逆矩阵，记为A^(-1)。
若A、B均可逆，则AB也可逆，且 (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)。
若A可逆，则A的逆矩阵也可逆，且 (A^(-1))^(-1)=A。
应用实例
1
2
图像处理中的PCA（主成分分析）方法就利用了特征值和特征向量的概念来进行数据降维和特征提取。
3
在推荐系统中，可以利用特征值和特征向量的概念来进行用户和物品的相似度计算，从而提高推荐算法的准确性。
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线性代数第三章习
目录
CONTENTS
• 矩阵的基本概念和性质 • 行列式及其性质 • 逆矩阵与矩阵的秩 • 线性方程组与矩阵的应用 • 特征值与特征向量
01
矩阵的基本概念和
性质
矩阵的定义和表示
矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，其大小由行数和列数确定。
矩阵通常用大写字母表示，如A、 B、C等，而行列数通常用小写字母m和n表示，其中m表示行

线性代数第三章课后习题

习题三（A ）1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵：(1) 112332141022-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1111131320461135-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）24512122111212136363--⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-- ⎪---⎝⎭2.设A 123012425⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，010(1,2)100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E ，100(3,2(5))010051⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E .试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A .3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵：(1) A 101110012⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）A 211124347--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）A1111022200330004⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭4.用初等变换解下列矩阵方程：(1) 设A 101110120⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102102-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，且AX =B ，求X .（2）设A 220213010⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且+AX =A X ，求X .5.设矩阵A 122324111222-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，计算A 的全部三阶子式，并求()R A .6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明.7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明.8.求下列矩阵A 的秩：(1) 310211311344⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）1121224230610304-⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭（3）12211248022423336064--⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭(4) 112205123λλλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ (5)111111λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设有矩阵A101110112111022264μμ-⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，若()3R=A，求μ的值.10.判断下列命题是否正确．(1) 如果线性方程组AX=0只有零解，那么线性方程组AX=B有唯一解；(2) 如果线性方程组AX=B有唯一解，那么线性方程组AX=0只有零解．11. 解下列齐次线性方程组：（1）12312312325502303570x x xx x xx x x+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩（2）1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩（3）31243124312431242530420476023950xx x xxx x xxx x xxx x x-+-=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩（4）3124312412431242350240347045530xx x xxx x xx x xxx x x-+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨--=⎪⎪-+-=⎩12. 解下列非齐次线性方程组：（1）123123123343322323x x xx x xx x x-+=⎧⎪+-=-⎨⎪-+-=-⎩（2）12341234123443222333244x x x xx x x xx x x x+-+=⎧⎪++-=-⎨⎪---+=⎩（3）3124312431243124235324434733749xx x xxx x xxx x xxx x x+++=⎧⎪++-=⎪⎨+++=⎪⎪++-=⎩（4）31231231231224523438214496xx xxx xxx xxx x-+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩13. 确定λ的值，使下列齐次线性方程组有非零解，并求其一般解．（1）123123123x x xx x xx x xλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）123123123240356020x x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩λ14.讨论下列非齐次线性方程组，当λ取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出一般解:（1）12312321231x x xx x xx x xλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）212312312313422321x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩λλ15. 设有方程组112223334445551x axx axx axx axx ax-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩，证明方程组有解的充分必要条件是51iia==∑.（B ）1.设A 是n 阶可逆阵，互换A 的第i 行与第j 行（i j ≠）得到矩阵B ，求1-AB .2. （研2007数一、二、三）设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为___ ____. 3. （研2010数一）设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，若AB =E ，则正确的是（）(A) ()R m =A ，()R m =B (B) ()R m =A ，()R n =B(C) ()R n =A ，()R m =B (D) ()R n =A ，()R n =B4. （研2015数一、二、三）设矩阵A 21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合={1,2}Ω，则线性方程组Ax =b 有无穷多解的充分必要条件是（）(A) a ∉Ω，d ∉Ω (B) a ∉Ω，d ∈Ω (C) a ∈Ω，d ∉Ω (D) a ∈Ω，d ∈Ω5. （研2016数二、三）设矩阵111111a a a --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭与110011101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭等价，则a =____ ____.6.证明：()()R R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A O AB O B . 7.设A ，B 是n 阶非零矩阵，证明：若=AB O ，则()R n <A 及()R n <B .8.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且n m <.证明：||0=AB .。

线性代数课件第三章矩阵的秩课件

VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。

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线性代数第三章练习
题
一、单项选择题
1．若四阶方阵A 的秩为3，则（） A ．A 为可逆阵
B ．齐次方程组Ax =0有非零解
C ．齐次方程组Ax =0只有零解
D ．非齐次方程组Ax =b 必有解
2．若线性方程组⎩⎨⎧=λ+-=+-21
2321
321x x x x x x 无解，则λ等于（）
A.2
B.1
C.0
D.-1
3.设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（） A.⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛000000111 B. ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛300110111 C. ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛000432111 D. ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛333022001 4．设A 为m ×n 矩阵，且非齐次线性方程组AX=b 有唯一解，则必有（） A ．m=n B ．R(A)=m C ．R(A)=n
D ．R(A)<n
二、填空题
1．三元方程x 1+x 2+x 3=0的通解是________.
2．矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡111[1 -1 1]的秩为_________. 3.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++-010010
10121
1a a ，若该方程组无解，则a 的取值为_________.
4.设线性方程组⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________.
三、计算题
1．设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-b a 1401321a 21的秩为2，求a ，b. 2．求齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=--+0
23203220
4321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解.
3．求线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=+++=+++3220231
43243214321x x x x x x x x x x x 的通解.
4. 判断线性方程组123412341
34x x 3x x 12x x x 4x 2x 4x 5x 1-+-=⎧⎪
--+=⎨⎪-+=-⎩是否有解，有解时求出它的解.
5．给定线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=++-=++2
23
321
321321ax x x x ax x a x x x
（1）问a 为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解.
6．当a 为值何时，方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=+++a
x x x x x x x x x x x x 4321
4321432132322221
有解？在有解时，求出它的通解.。