《简单的线性规划》
简单的线性规划9.20
简单的线性规划（第一课时）二元一次不等式表示平面区域教学目的：1．理解二元一次不等式表示平面区域；2．掌握确定二元一次不等式表示的平面区域的方法；3．会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，并掌握步骤；教学重点：二元一次不等式表示平面区域.教学难点：如何确定二元一次不等式表示的平面区域。
教学过程：【创设问题情境】问题1：在平面直角坐标系中，二元一次方程x+y-1=0表示什么图形？请学生画出来.问题2：写出以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(引出点集{(x,y) x+y-1=0})问题3:点集{(x,y) x+y-1≠0}在平面直角坐标系中表示什么图形？点集{(x,y) x+y-1>0}与点集{(x,y) x+y-1>0}又表示什么图形呢?【讲授新课】研究问题:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是什么图形?一、归纳猜想在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y-1=0分成三类：即在直线x+y-1=0在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内。
问题1:请同学们在平面直角坐标系中，作出A（2,0），B(0,2),C(1,1),D(2,2)四点，并说明它们分别在上面叙述的哪个区域内？问题2：请把A、B、C、D四点的坐标代入x+y-1中，发现所得的值的符号有什么规律？（看几何画板）由此引导学生归纳猜想：对直线l的右上方的点（x，y），x+y-1>0都成立;对直线l左下方的点(x，y),x+y-1<0成立.二、证明猜想如图，在直线x+y-1=0上任取一点P(x过点P作垂直于y轴的直线y= y0,在此直线上点P右侧的任意一点(x,y),都有x> x0, y= y0,所以, x+y> x0+ y0=0,所以, x+y-1> x0+ y0 -1=0,即x+y-1>0,1=0 因为点P(x0,y0)是直线x+y-1=0所以,对于直线x+y-1=0同理, 对直线l: x+y-1=0左下方的点(x,y),x+y-1<0成立所以,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是在直线x+y-1=0右上方的平面区域,类似地,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1<0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1<0}是在直线x+y-1=0左下方的平面区域.提出:直线-x+y-1=0的两侧的点的坐标代入-x+y-1中,得到的数值的符号,仍然会“同侧同号,异侧异号”吗？通过分析引导学生得出一般二元一次不等式表示平面区域的有关结论.三、一般二元一次不等式表示平面区域结论：在平面直角坐标系中，• （1）二元一次不等式Ax +By +C >0表示直线Ax +By +C =0某一侧所 • 有点组成的平面区域,Ax +By +C <0则表示直线另一侧所有点组成 • 的平面区域; (同侧同号,异侧异号) （2）有等则实,无等则虚;（3）试点定域,原点优先.四、例题：例1:画出不等式x -y +5>0表示的平面区域;分析：先作出直线x -y +5=0为边界（画成实线），再取原点验证不等式x -y +5>0所表示的平面区域.解:先画直线x -y +5=0为边界（画成实线），再取原点（0，0）代入x -y +5中，因为0-0+5>0,所以原点在不等式x -y +5>0所表示的平面区域内,不等式表示的区域如图所示.(看幻灯片)反思归纳:(1)画线定界(注意实、虚线);(2)试点定域.【随堂练习】（1）画出不等式x +y >0表示的平面区域；（2）画出不等式x ≤3表示的平面区域. （让学生完成） 例2：画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,05x y x y x 表示的平面区域.x -y分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题[ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的截距是z， b b b当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值；当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值y≤2，例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( )x－y≤1，A ． 12B ．11C ．3D ．－ 1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经y＝2，x＝ 3，过点 A 时， z 取得最大值．由 ? 此时 z＝3x＋ y＝ 11.x－y＝ 1 y＝2，x＋y－2≤0，跟踪训练 1 (1)x，y满足约束条件 x－2y－2≤0，若 z＝y－ ax取得最大值的最优解不唯．一．2x－y＋2≥0，则实数 a 的值为 ( )11 A.2或－1 B．2 或2C．2 或 1 D． 2 或－ 1x－y＋1≤0，(2)若变量 x，y 满足约束条件 x＋2y－8≤0，则 z＝3x＋ y 的最小值为x≥0，答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由 y＝ax＋z知 z的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝2；当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝－ 1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数 z＝ 3x＋ y，即 y＝－ 3x＋z 过点(0,1)时 z 取最小值 1.题型二非线性目标函数的最值问题x－y－2≤0，例 2 设实数 x，y 满足约束条件 x＋ 2y－ 4≥ 0，求2y－3≤0，（1）x 2＋y 2的最小值； （2）x y 的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域 ABC ，（1）令 u ＝ x 2＋ y 2，其几何意义是可行域 ABC 内任一点 （x ， y ）与原点的距离的平方．过原点向直线 x ＋2y －4＝0作垂线 y ＝2x ，则垂足为 x ＋2y －4＝0， 的解，即 54，85 ，y ＝2x 5 5x ＋2y －4＝0，又由2y －3＝0， 所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为13， 2，（2）令 v ＝ x y ，其几何意义是可行域 ABC 内任一点 （x ，y ）与原点相连的直线 l的斜率为 v ，即 v x y － 0＝ .由图形可知，当直线 l 经过可行域内点 C 时， v 最大， x －0 由 （1）知 C 1， 32 ，答案 10解析 画出可行域 （如图所示 ）．（x ＋3）2＋ y 2即点 A （－3,0）与可行域内点 （x ， y ）之间距离的平 方．显然 AC 长度最小，∴AC 2＝（0＋3）2＋（1－0）2＝10，即 （x ＋3）2＋y 2的最小值为 10. 题型三 线性规划的实际应用得 C1， 2 ，所以， 13 x 2＋y 2 的最小值为 143.所以 v max ＝32，所以 y x 的最大值为 23.跟踪训练 2 已知 x ，y 满足约束x ≥ 0，y ≥ 0， 则（x ＋3）2＋y 2的最小值为x ＋y ≥ 1，|OC|＝例 3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1千克．每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A， B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？x＋2y≤12，2x＋解设每天分别生产甲产品x桶，乙产品 y 桶，相应的利润为 z 元，于是有y≤12，x≥ 0，y≥0， x∈N， y∈N，z＝ 300x＋ 400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线 300x＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点（4,4）时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z＝ 300x＋ 400y 取得最大值，最大值是 z＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是 2 800 元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：① 分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练 3 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买 x 张、 y 把，目标函数 z＝ x＋y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为50x＋20y≤2 000，y≥x，y≤1.5x，x≥ 0，x∈N*，y≥0，y∈N*.200 x＝，50x＋20y＝2 000，7由解得y＝ x，200y＝7，C ．90D ．955x － 11y ≥－ 22， 2x ＋ 3y ≥9，2．某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 需满足约束条件 2x ≤ 11， x ∈N *，y ∈N *， ＝10x ＋10y 的最大值是 ( ) A ．80所以 A 点的坐标为 2700200 750x ＋20y ＝2 000， 由y ＝ 1.5 x ，解得 x ＝ 25， 75 y＝ 2 ，所以 B 点的坐标为 25，752 所以满足条件的可行域是以A2002070 ， B 25，725 ，O(0,0)为顶点的三角形区域 (如图 )．由图形可知，目标函数 z ＝x ＋ y 在可行域内的最优解为 B 25， 75但注意到 x ∈ N *，y ∈N *，x ＝ 25， 故取 y ＝37.故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择．x ＋y －3≤ 0，1．若直线 y ＝2x 上存在点 ( x ， y)满足约束条件 x －2y －3≤0，则实数 m 的最大值为 ( )A ．－ 1B ．1 C.32D ．2则z B ．85C ．－ 2，－ 1D ．－ 1，－ 2A ．－ 1,4B ．－1， －3y ≤1，3．已知实数 x ，y 满足 x ≤1， 则 z ＝x 2＋y 2 的最小值为 ___x ＋y ≥1，、选择题若点 (x, y)位于曲线 y ＝ |x|与 y ＝ 2 所围成的封闭区域， 则 2x － y 的最小值为 ( )x ≥1，x －3y ＋4≤0，x ≥1，x －y ≥0，y ≥a 则整数 a 的值为 ( )x ≥1，x ＋by ＋ c ≤0， 的值分别为1． A ． －6 B ．－ 2 C ．0 D ．22． 设变量x ， y 满足约束条件 x ＋y － 4≤ 0， 则目标函数 z ＝3x － y 的最大值为 ( ) A ．－4 B ． C.43D ．43． 实数 x ， y 满足y ≥0， 则 z ＝y －x 1的取值范围是 ( )A ．[ － 1,0] B ．( －∞， 0] C ． ［－1，＋∞D ．[－1,1)4． 若满足条件x －y ≥0，x ＋y －2≤0， 的整点 (x ， y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点 )恰有 9 个，A ．－3B ．－ 2C ． －1D ．05．已知 x ， y 满足x ＋y ≤4， 目标函数 z ＝ 2x ＋ y 的最大值为 7，最小值为 1，则 b ，cx＋y≥5，6．已知 x，y 满足约束条件 x－y＋5≥0，使 z＝x＋ay（a>0）取得最小值的最优解有无数个， x≤3，则 a 的值为（）A．－3 B． 3 C．－ 1 D． 1二、填空题x≤2，7．若 x，y 满足约束条件 y≤2，则 z＝x＋2y 的取值范围是___ ．x＋y≥2，8．已知－ 1≤x＋y≤4且 2≤ x－ y≤ 3，则 z＝ 2x－ 3y的取值范围是（答案用区间表示）．0≤ x≤ 2，9．已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 y≤ 2，给定．若 M（x，y）为 Dx≤ 2y上的动点，点 A 的坐标为（ 2，1），则 z＝ O→M·O→A的最大值为．10．满足 |x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有个．x－ y＋2≥0，11．设实数 x， y满足不等式组 2x－y－5≤0，则z＝|x＋2y－4|的最大值为．x＋ y－ 4≥0，三、解答题x－ 4y≤－ 3，12．已知 x，y 满足约束条件 3x＋5y≤25，目标函数 z＝2x－y，求 z的最大值和最小值．x≥ 1，x＋y－11≥0，13．设不等式组 3x－ y＋ 3≥0，表示的平面区域为 D.若指数函数 y＝a x的图象上存在区域 5x－3y ＋9≤0D 上的点，求 a 的取值范围．14．某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？实数 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示， 则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方， 故 z min ＝ 2 2＝ 2.1． 答案 B 解析 如图，当 y ＝2x 经过且只经过 x ＋y －3＝0 和 x ＝ m 的交点时， m 取到最大值，此时，即 (m,2m)在直线 x ＋y －3＝0 上，则 m ＝1.2． 答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部x ， y ∈ N *，计算区域内与11 92 ，2 最近的点为 (5,4)，故当 x ＝5，y ＝4 时， z 取得最3． 答案 12 解当堂检测答课时精练答案、选择题 1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得 A（－ 2,2），设 z＝2x－y，把 z＝ 2x－ y 变形为 y＝ 2x－ z，则直线经过点 A 时z 取得最小值；所以 z min＝2×（－ 2）－ 2＝－ 6，故选 A.2．答案 D 解析作出可行域，如图所示．x＋ y－ 4＝ 0，联立解得x－ 3y＋ 4＝ 0，y＝2.当目标函数 z＝3x－y移到（2,2）时， z＝3x－y有最大值 4.3．答案 D 解析作出可行域，如图所示，又直线 l 不能与直线 x－y＝0 平行，∴k l<1.综上， k∈［－ 1,1）．y－1的几何意义是点（x， y）与点（0,1）连线 l的斜率，当直线l 过 B（1,0）时 k l最小，最小为－ 1.x4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当 a＝0 时，只有 4 个整点(1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)．当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选 C.5．答案 D解析由题意知，直线 x＋by＋ c＝ 0 经过直线 2x＋y＝7 与直线 x＋y＝4 的交点，且经过直线 2x＋y＝1和直线 x＝1的交点，即经过点 (3,1)和点 (1，－ 1)，3＋ b ＋ c＝ 0，b ＝－ 1，∴ 解得1－ b＋c＝0，c＝－ 2.6．答案 D解析如图，作出可行域，作直线 l：x＋ ay＝0，要使目标函数 z＝ x＋ ay(a> 0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l 向右上方平移后与直线 x＋y＝5 重合，故 a＝1，选 D.二、填空题7．答案 [2,6]解析如图，作出可行域，作直线 l：x＋2y＝ 0，将l向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故z的取值范围为[2,6] ．8．答案 [3,8]解析作出不等式组－1≤ x＋ y≤ 4，表示的可行域，如图中阴影部分所示．2≤x－y≤ 3在可行域内平移直线 2x－3y＝ 0，当直线经过 x－y＝2 与 x＋y＝4 的交点 A（3,1）时，目标函数有最小值 z min＝2×3－ 3×1＝3；当直线经过 x＋y＝－ 1与 x－y＝3 的交点 B（1，－ 2）时，目标函数有最大值 z max＝2× 1＋ 3× 2 ＝ 8.所以 z∈[3,8] ．9．答案 4解析由线性约束条件0≤ x≤ 2，y≤ 2，画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝O→M ·O→A＝ 2x＋y，将其化为x≤ 2yy＝－ 2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点（ 2，2）时，z 最大，将点（ 2，2）代入 z＝ 2x＋y，得 z 的最大值为 4.10．答案 13解析 |x|＋ |y|≤ 2 可化为x＋ y≤2 x≥0，y≥0 ，x－ y≤2 x≥ 0，y<0 ，－ x＋ y≤ 2 x<0， y≥0 ，－ x－ y≤ 2 x<0， y<0 ，作出可行域为如图正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为 13 个． 11． 答案 21解析 作出可行域 (如图 )，即 △ABC 所围区域 (包括边界 )，其顶点为 A(1,3)，B(7,9)，C(3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线 x ＋2y －4＝0 上方， ∴x ＋2y － 4>0， 则目标函数等价于 z ＝ x ＋ 2y －4，易得当直线 z ＝ x ＋2y － 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值 z max ＝21. |x ＋ 2 y － 4|方法二 z ＝ |x ＋ 2y － 4|＝ 5 ·5，令 P( x ，y)为可行域内一动点，定直线 x ＋2y － 4＝ 0，则 z ＝ 5d ，其中 d 为 P(x ，y)到直线 x ＋2y －4＝0 的距离． 由图可知，区域内的点 B 与直线的距离最大，三、解答题12．解 z ＝ 2x －y 可化为 y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距的相反数，故当 z 取得最大值和最小值时，应是直线在 y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0 ：2x －y ＝0 平行的直线系 l ，经上下平移， 可得： 当 l 移动到 l 1，即经过点 A(5,2)时，z max ＝2×5 －2＝8.故 d 的最大值为|7＋ 2× 9－4|＝21＝故目标函数 21 zmax ＝ 5 ＝当 l 移动到 l 2，即过点 C(1,4.4) 时，z min ＝ 2× 1－ 4.4 ＝－ 2.4.13．解 先画出可行域，如图所示， y ＝ a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵ A(2,9) ，∴ 9＝ a 2， ∴a ＝ 3. ∵a>1， ∴1< a ≤3. 14． 解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌 x 张，可获得利润 z 元，0.1x ≤90，x ≤900，2x ≤600，则 ? x ≤300， ? 0≤ x ≤ 300.z ＝ 80x ，x ≥0x ≥0所以当 x ＝ 300时， z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产 300张书桌，获得利润 24 000 元(2)设只生产书橱y 个，可获得利润 z 元， 0.2y ≤90，y ≤ 450，1·y ≤600 则 ? y ≤600， ? 0≤y ≤ 450.z ＝y ≥0y ≥0所以当 y ＝ 450时， z max ＝ 120× 450＝ 54 000（元），即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，获得利润 54 000 元．(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为 z元，0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，则x≥ 0，y≥0 z＝ 80x＋120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线 l：80x＋120y＝0，即直线 l：2x＋ 3y＝0.把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 M，大值．x＋2y＝ 900，由2x＋y＝ 600，解得，点 M 的坐标为 (100,400) ．所以当 x＝ 100，y＝ 400 时， z max＝ 80×100＋120×400＝56000(元)．因此，生产书桌 100 张、书橱 400 个，可使所得利润最大．x＋2y≤900，2x＋ y≤600，(如图 ) ．此时 z＝80x＋120y 取得最。
简单的线性规划
补充、求z= -2x+y的最大、最小值，使
x 0
y
0
x y 3
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
x y 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
y
1
x , y 0
求目标函数Z=2y-x的最大值
例3、求z=-x-2y的最大、最小值，使
x y 2 0
x
2
y 2
小结
1、在线性规划中，仔细作图是重要而关键的 步骤
2、要仔细考虑当直线上移或下移时，目标函 数值是增加还是减少
3、完成课本P83 练习1，2，3
作业、P86 习题 4
简单的线性规划
请大家准备好直尺和笔 我们一起进入神奇的规 划世界！
基本概念
约束条件与目标函数 可行区域、可行解与最优解 线性规划的目的：在可行区域中找到一个点，
使目标函数最大/最小
例1、已知x,y满足约束条件
4x 5y 5
2
x
3
y
《简单的线性规划》教学设计2
《简单的线性规划》教学设计一、内容和内容解析线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。
本节课为该单元的第3课时，主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．重点是如何根据实际问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义运用数形结合方法求出最优解。
与其它部分知识的联系，表现在：二、目标和目标解析本课时的目标是：1．了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关概念．了解线性规划模型的特征：一组决策变量表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．2．掌握实际优化问题建立线性规划模型并运用数形结合方法进行求解的基本思想和步骤．会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一族平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为建、画、移、求、答．3．培养学生数形结合的能力．对模型中z的最小值的求解，通过对式子的变形，变为，利用数形结合思想，把看作斜率为的平行直线系在y轴上的截距．平移直线，使其与y轴的交点最高，观察图象直线经过M（4，2），得出最优解x＝4，y＝2．三、教学问题诊断分析线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求．其中第一个难点通过第1课时已基本克服；第二个难点线性约束条件的几何意义也在第2课时基本解决，本节将继续巩固；第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上，继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之．将决策变量x，y以有序实数对（x，y）的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联系，一个有序实数对就是一个决策方案．借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的关系；以数学语言表述运用数形结合得到求解线性规划问题的过程。
简单线性规划
x 4 y 3
A(1,1)
0
x1
B(5,2)
x
3x 5 y 25
例3 ： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3 3x 5y 25 x 1
7若 z=ax+y取得最小值的最优解有
无数个; 求实数a的值
y C(1, 22)
∴Z max =5; Z min = 4
线基本性概规念划：问题 线性约束条件
已知x;y满足下面不等式组;
y x
x
y
1
y 1
试求Z=3x+y的最大值和最小值
线性 目标函数
最优解
解得：在点1;1处; Z有最大值5 在点2;1处;Z有最小值4
任何一个满足线性约束条件的解x;y
所有的满足线性约束条件的解x;y的集合
如果C≠0;可取0;0; 如果C＝0;可取1;0或0;1
画出下面二元一次不等式组表示的平面区域
y
y x
x
y
1
1
y=x
y 1
1
o
x
y = －1 －1
x + y －1 = 0
yx 例1：已知x;y满足下面不等式组; x y 1
y 1
试求Z = 3x +y 的最大值和最小值
y x Z直的线x几的何y纵意截1义距？
x - 4y -3 其中x, y满足下列条件 : 3x 5y 25
z 2x y y 2x z
平行于l0 : y 2x
x 1
y C(1, 22)
5
x 4 y 3
平移l0
B(5,2)
经过A（1，1）时，zmin 3
A(1,1)
x
0
经过B（5，2）时，zmax 12
简单的线性规划问题
三、新知建构，典例分析
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
x2y 8
44
x y
16 12
象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件
x
0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又
y 0
称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最值的可行解叫做这个 问题的最优解
y4x z 3 28
z 28 是直线在y轴上
的截距，当截距最
5/7 M
小时，z的值最小。 3/7
3、移
如图可见，当直线z＝ 28x＋21y 经过可行 域上的点M时，纵截距 最小，即z最小。
o
3/7
y4x 3
/ 57 6/7 x
4、求 M点是两条直线的交点，解方程组
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
二、新课引入，任务驱动
1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：
“直线定界、特殊点定域”
2、二元一次不等式组表示的平面区域
各个不等式所表示的平面区域的公共部分
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能掌握简单的线性规 划问题的解法及步骤吗？
三、新知建构，典例分析
简单的线性规划(一)
课题：简单的线性规划(一)教学目标：了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2010年考试说明要求A 级。
知识点回顾：1. 二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线0=++C By Ax （B 不为0）及点),(00y x P ，则(1)若B>0，000>++C By Ax ，则点P 在直线的_____，此时不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的______的区域；(2)若B>0，000<++C By Ax ，则点P 在直线的______，此时不等式0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的_____的区域；(3) 若B<0, 我们都把Ax +By +C ＞0（或＜0）中y 项的系数B 化为正值.2. 目标函数可转化为y 轴上截距的z=ax+by 最值问题。
课前训练：1. 设变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x+3y 的最小值为2. 在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为3. 已知点(,3)P a 在不等式组352504301x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩所表区域内；则a 的范围是4.已知点（3，1）和（-4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是5.若⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≥035,4,1y x y x y 表示的平面区域的面积6.图中阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组来表示为 ．典型例题：若A 为不等式组0,0,2x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当实数a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中区域的面积为设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为12，则23a b+的最小值为课堂检测：1．已知点()2286,3424x y x y Q x y x y ⎧⎫⎧+<+⎪⎪∈⎨⎨⎬+>⎩⎪⎪⎩⎭，如果直线:20l ax y ++=经过点Q ，那么实数a 的取值范围是 ．2. 已知在平面直角坐标系xOy 中，O(0,0), A(1,-2), B(1,1), C(2.-1)，动点M(x,y) 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧-2≤−→OM ·−→OA ≤21≤−→OM ·−→OB ≤2，则−→OM ·−→OC 的最大值为 。
简单线性规划
简单线性规划线性规划（Linear Programming，LP）是一种运用数学方法，以规定的约束条件为前提，通过建立数学模型，求解线性目标函数最大或最小值的一种优化方法。
线性规划方法可用于解决许多实际问题，如资源分配、生产计划、物流管理等。
线性规划的基本形式是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性的目标函数。
目标函数和约束条件必须是线性的，即目标函数和约束条件中的变量的系数必须为常数。
例如，假设有两种可供选择的产品A和B，它们的产量分别为x和y。
目标是通过调整x和y的值，使得总利润最大化。
同时，需要考虑的约束条件包括资源的使用限制、产品的产能限制等。
如果将总利润表示为目标函数，资源使用和产能限制等表示为约束条件，那么这个问题可以用线性规划的方法来解决。
线性规划的解法有多种，其中最常见的是单纯形法。
单纯形法基于一个重要的性质，即在一个凸多边形的顶点上，目标函数的最优解一定存在。
单纯形法通过迭代计算，逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
此外，还有其他的方法来解决线性规划问题，如对偶理论、内点法等。
线性规划的应用十分广泛。
在资源有限的情况下，如何合理地分配资源是一个重要的问题。
例如，在生产计划中，如何安排生产任务，对产品的产量进行合理分配，以最大化利润；在物流管理中，如何合理地安排货物的运输路线，以最小化运输成本等。
线性规划提供了一种直观且有效的工具，可以帮助我们在有限的资源下得到最优的解决方案。
尽管线性规划方法在许多场景下表现良好，但它也有一些局限性。
首先，线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，因此对于非线性的问题，线性规划方法并不适用。
其次，线性规划方法在求解大规模问题时可能面临计算复杂度的问题。
不过，有许多方法可以对线性规划的问题进行转化，从而将非线性问题转化为线性问题，或者通过并行计算等方法来加快计算速度。
总的来说，线性规划是一种强大的优化工具，可用于解决各种实际问题。
它的优势在于简单、直观，能够得到全局最优解。
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奶粉（g） 咖啡(g) 糖(g) 利润（元）
乙产品(1 杯)
资源限额（g）
9
4
3600
4
3 0.7
5
10 1.2
2000
3000
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
作出可行域： 目标函数为：z =0.7x +1.2y 400 _ 作直线l:0.7x+1.2y=0， C ( 200 , 240 ) _ 300 _ 把直线l向右上方平移至l1的位置时， 直线经过可行域上的点 C ，且与原点 _ 3 x + 10 y = 3000 _ 7 x + 12 y = 0 距离最大， _ 0 此时z =0.7x +1.2y取最大值 1000 400 5 _ 0 _ _00 _ 解方程组
0
(-1,-1)
x
1
(2,-1)
y=-1
使z=2x+y取得最小值的可行解 (-1,-1) ， 且最小值为
2x+y=0
-3
；
返回
这两个可行解都叫做问题的 最优解 。
例题分析
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石
10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石 4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工 厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种 矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精 确到0.1t),能使利润总额达到最大? 设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
解：设每天调出的A型车x辆，
B型车y辆，公司所花的费用为 z元，则
y
4x+5y=30
x+y=10
x=8
{
x≤8 y≤4 x+y≤10 4x+5y≥30 x,y∈N* Z=320x+504y
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y=4
X
作出可行域 作出可行域中的整点，
可行域中的整点（5，2）使Z=320x+504y取得最 小值，且Zmin=2608元
9 x 4 y 3600 4 x 5 y 2000 3 x 10 y 3000 x 0 y 0
y _ 900 _
, 4 x 5 y 2000 , 3x 10y 3000
x _
4 x + 5 y = 2000 _
9 _ x + 4 y = 3600
列表：
消耗量 产品 资源
甲产品 （1t）
乙产品 （1t）
资源限额 （ t）
A种矿石（t）
B种矿石（t）
煤（t） 利润（元）
10 5 4 600
4 4 9 1000
300
200 360
返回
例题分析
列表： 资源
消耗量 产品
甲产品 xt （1t）
乙产品 （1t）
yt
资源限额 （ t）
A种矿石（t）
B种矿石（t）
x
巩固练习1:
x 0 y 0 不等式组 表示的平面区域内 4 x 3 y 12
的整数点共有（ ）个
y
4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
4x+3y=12
在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一 般方法是：
1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；
（在包括边界的情况下） 2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求 出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内 适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近， 在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整 点，继续放缩，直至取到整点为止。 3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打 网络、找整点、平移直线、找出整数最优解
3x +２y≤10 例3：满足线性约束条件 多少个整数解。
x+4y≤11 的可行域中共有 x>0 y>0
y
5
4 3 2 1
解：由题意得可行域如图:
由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 (1,2)、(2,1)、(2,2)
故有四个整点可行解.
x +4y=11
0
1
2
3
3x +２y=10
4
5
M (12.4,34.4) 4x+9y=360
10
0
10 20 30 40 5x+4y=200
90
x
{
10x+4y=300 600x+1000y=0
返回
答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。
例题分析
例2
要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每
张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
返回
目标函数为 z=x+y 作出可行域（如图）
例题分析
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
y
15
调整优值法
作出一组平行直线z=x+y，
10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y 8 A(18/5,39/5) 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8
规格类型 钢板类型
A规格 2
B规格 1
C规格 1
第一种钢板X张 第二种钢板 y张
1
2
3
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种 钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0
煤（t） 利润（元）
10 5 4 600
4 4 9 1000
300
200 360
把题中限制条件进行转化：
10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
约束条件
目标函数： z=600x+1000y.
320x+504y=0
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意，列出表格：
2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
4）在可行域内求目标函数的最优解
5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算)
线性规划研究的两类重要实际问题：
一:给定一定数量的人力、物力资源，问怎 样安排运用这些资源，能使完成的任务量 最大，收到的效益最大。
返回
例题分析
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x 10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 z=600x+1000y. 作出以上不等式组所表示的可行域 t、yt,利润总额为z元,那么
{
y
75
l l
50 40
作出一组平行直线 600x+1000y=t， 经过可行域上的点M时,目标函数 在y轴上截距最大. 此时z=600x+1000y取得最大值. 5x+4y=200 由 4x+9y=360 解得交点M的坐标为(12.4,34.4)
2x+y=15
12
x+y=12 x+2y=18
作直线x+y=12
18
27
x
x+3y=27
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解.
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略）
返回
例题分析
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
二:给定一项任务，问怎样统筹安排，能使 完成这项任务的人力、物力资源最小。
巩固练习：
咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、 糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天 原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果 甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每 天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种 饮料各多少杯能获利最大？ 解：将已知数据列为下表：
练习.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援 物资的任务，该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为 10吨的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型 卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为 320元，B型卡车为504元，问如何安排车辆才能使该公司所花的 成本费最低，最低为多少元？(要求每型卡车至少安排一辆）
y
——线性规划的简单应用
o
x
复习引入
1.已知二元一次不等式组
{
x-y≥0 x+y-1≤0 y≥-1
（1）画出不等式组所表示的平面区域；
y
（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一 x+y=1 次不等式组叫做x,y的 线性约束条件 ；
z=2x+y 叫做
x-y=0 1