高中数学 章末检测卷(三)苏教版选修2-2

章末检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的________条件．
答案 充分不必要
解析 因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2，
解得m ＝1或m ＝－2，
所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．
2．i 是虚数单位，复数3＋i 1－i
的共轭复数为________． 答案 1－2i
解析 3＋i 1－i ＝3＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝2＋4i 2
＝1＋2i ，其共轭复数为1－2i. 3．已知a 是实数，a －i 1＋i
是纯虚数，则a ＝________. 答案 1
解析 a －i 1＋i ＝a －i 1－i 1＋i 1－i ＝a －1－a ＋1i 2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.
4．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝________.
答案 2＋i
解析 ∵(x －i)i ＝y ＋2i ，x i －i 2
＝y ＋2i ，
∴y ＝1，x ＝2，∴x ＋y i ＝2＋i.
5．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，那么BC →对
应的复数为________．
答案 4－4i
解析 因为OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i ，1＋5i ，
BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →)，
所以BC →对应的复数为3＋2i －[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.
6．(1＋i)20－(1－i)20的值是________．
答案 0
解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
7．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．
答案 45 解析 设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3b －4a ＝03a ＋4b ＝5，解得b ＝45
. 8．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i
＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是________． 答案 －3
解析 1＋7i 2－i ＝1＋7i 2＋i 5＝－1＋3i ，
∴a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.
9．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是________．
答案 (4，－2)
解析 z ＝2＋4i i
＝4－2i ，∴z 对应的点的坐标是(4，－2)． 10．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是________．
答案 三
解析 f (n )有三个值0,2i ，－2i.
11．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．
答案 (3,4)
解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4m <0m 2－m －6>0，解得3<m <4.
12．给出下面四个命题：
①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题
的个数是________．
答案 0
13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i
解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，
⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.
∴a ＋b i ＝1＋2i.
14.下列说法中正确的序号是________．
①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y 1＝－3－y ；
②2＋i>1＋i ；
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；
④若一个数是实数，则其虚部不存在；
⑤若z ＝1i
，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限． 答案 ⑤
解析 由y ∈∁C R ，知y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y 1＝－3－y 不成立，故①错误；两个不全为实数
的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为
0，故④错误；⑤中z 3＋1＝1i
3＋1＝i ＋1，对应点在第一象限，故⑤正确． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，
(1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？
解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或
－1时，z 是实数．
(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，
解得m ＝3.
即当m ＝3时，z 是纯虚数．
16．(14分)已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.
解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，
所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i.
设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ，
得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ，
所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.
17．(14分)计算：(1)2＋2i
41－3i 5；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解 (1)原式＝
161＋i 41－3i 41－3i ＝
162i 2－2－23i 21－3i ＝－6441＋3i 21－3i
＝－161＋3i ×4
＝－41＋3i ＝－1＋3i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.
18.(16分)实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2
－2m －15)i 对应的点在：
(1)x 轴上方；
(2)直线x ＋y ＋5＝0上．
解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，
则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.
(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)，
∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，
∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，
整理得2m 2＋3m －4＝0，
解得m ＝－3±414. 19.(16分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.
(1)求复数z ；
(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．
解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，
所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.
(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，
所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.
当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，
所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.
20.(16分)设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1
是实数，且－1≤z 2≤1. (1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；
(2)若ω＝1－z 11＋z 1
，求证：ω为纯虚数． (1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝(a ＋a a 2＋b 2
)＋(b －b
a 2＋
b 2)i.
因为z 2是实数，且b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a .
由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是[－12，12
]． (2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i
＝1－a 2－b 2
－2b i 1＋a 2＋b 2＝－b a ＋1
i. 因为a ∈[－12，12]，b ≠0，所以ω为纯虚数．。