第五章刚体的转动

第五章 刚体的转动

§5-1、刚体定轴转动定律

【基本内容】

一、刚体的运动

1、平动

刚体平动的特征：刚体中的任一条直线，在刚体运动过程中始终保持平行。 刚体平动的研究方法：刚体作平动时，刚体各质点的运动情况相同，视为质点处理。 2、定轴转动

刚体转动的特征：刚体上各点都绕同一固定的直线作半径不同的圆周运动，该直线称为刚体的转轴。 描述刚体转动的物理量

角位移θ?

角速度ω

角加速度β

刚体匀变速转动公式

βθ

ωωβωωβωθ22

1

2

020

20=-+=+

=t

t t 二、刚体所受的力矩

力矩是描述力对物体作用时产生转动效应和改变转动状态的物理量。

F r M

?= 式中F

为力在转动平面的投影，r

为轴指向力的作用点。 结论1 力矩是矢量，对于定轴，力矩的方向在转轴上； 结论2 力经过转轴和力平行于转轴，则力对此轴的力矩为0。

三、刚体定轴转动定律

定轴转动的刚体，所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，即

βJ M =

四、转动惯量

定义：对于质点系∑=

i

i

i r

m J 2

对于刚体?=dm r J 2

线分布：λλ,dx dm =是质量线密度。 面分布：σσ,dS dm =是质量面密度。 体分布：ρρ,dV dm =是质量体密度。

决定转动惯量的三个因素：刚体的质量、质量分布及转轴的位置。

【典型题例】

【例5-1】 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮可视为匀质圆盘，质量为m ，半径为r 。绳的两端分别悬挂质量为m １和m ２的物体，m １＜m ２，如图例2-4所示。设滑轮轴所受的摩擦力矩为Mr ，绳与滑轮之间无相对滑动，试求运动物体的加速度和绳中的张力。

【解】 依题意，滑轮应视为一个有转动惯性的转动刚体，因此，在加速转动过程中，在图上必有T ２′

＞T 1′，而且，由于绳的质量可以忽略不计，还应有T １＝T 1′，Ｔ２＝T ２′。T １、T 1′和T ２、T ２′都是绳中的张力。绳与滑轮无相对滑动的条件，在绳不能伸长的情况下表示m １与m ２有大小相同的加速度a ，且都等于

滑轮边缘的切向加速度。

以m １向上、m ２

向下的实际运动方向和滑轮的顺时针转向为物体运动或转动的正方向，则按牛顿第二定律和转动定律可得

β)2

1

(

212222111m r M r T r T a m T g m a m g m T r =--=-=-

鉴于滑轮边缘的切向加速度，也即物体的加速度a 与滑轮角加速度β之间的关系，还可以建立一个辅助方程

a ＝r β

)(),(,2

//)(22112112a g m T a g m T m m m r

M g m m a r -=+=++--=

【讨论】 画出受力图，作力及力矩的分析，当计滑轮质量时，滑轮两边绳子的张力一般不等。注意：这两个张力对滑轮轴的力矩方向相反。

当不计滑轮质量及摩擦阻力矩，即m ＝０，Ｍr ＝０时，结果为

g m m m m T T g m m m m a 2

12

12121122,+==+-=

与质点动力学中不计绳子与滑轮之间的摩擦，即不考虑刚体转动的结果完全一样。可见，该质点动力学问题只是刚体动力学问题的一个特例。T １≠T ２是考虑实际转动效应的一个重要特征。

线量与角量关系的a ＝r β，是一个不可少的辅助方程。

【例5-2】 一刚体由长l 、质量为m 的匀质细杆和质量为m 的小球固定其一端而组成，且可绕杆的另

一端点的轴O 在竖直平面内转动，如图所示。若轴处无摩擦，试求： 坐标

例2-4图

(1)刚体绕轴的转动惯量；

(2)当杆与竖直方向成θ角时的角速度为多大? 【解】 (1) 2

223

43

1ml ml ml J =+=

(2)当刚体转动与竖直方向成θ角时，所受合外力矩为

θθθsin 2

3

sin 21sin mgl mg

mgl M =+=

l g ml

mgl J M 8sin 98sin 92θθβ===

又因

θ

ωωθθωωβd d dt d d d dt d ===

所以

θ

ωωθd d l g =8sin 9

l

g d d l g /cos 2

38sin 90

2/θωωωθθ

ω

θ

π=?

=

?

?

【例5-3】用力F 将一块粗糙平面紧压在半径为R 的轮上，平面与轮间的滑动摩擦系数为μ。已知轮

的初角速度为0ω,质量为m 且均匀分布；轴的质量不计；力F

均匀分布在轮面上。求

（1） 轮转过多大角度时停止转动？ （2） 需多长时间停止转动？ 【解】首先计算轮所受摩擦力矩

在以轮心为原点的极坐标系中，取轮上一面积元θrdrd dS =，其上压力为

θππrdrd R

F

dS R F dN 2

2==

转动时，该面元所受摩擦力大小为

θπμμrdrd R

F dN df 2

== 方向沿切线且与面元的线速度方向相反。面元所受摩擦力矩大小为

θπμdrd r R

F rdf dM 2

2

-

=-= 负号表示摩擦力矩方向与面元角速度方向相反。

由于各面元所受力矩的方向都相同，所以整个轮受到的摩擦力矩为

FR drd r R

F M R

μθπμπ

32

22

20

-=-

=?

?

由转动定律

mR

F J M J M 34μββ-==

?= 例2-6图

轮

轴

例图

θ

明显，角加速度β为常量。有 （1）

由公式 βθω

202

0=-有

F

mR μωθ832

=

（2） 由公式 t βω+=00有

F

mR t μω430

=

【讨论】 在求摩擦力矩时，经常出现一种解法：将轮分割成无穷多半径为r 宽为dr 的同心圆环

dS R F

dN 2

π=

dr r R

F dS R F dN df 2

2

22ππμπμμ=== dr r R

F

rdf dM 222ππμ-=-=

FR dr r R

F M R μππμ32

2220-=-=?

虽然结果正确，但这种方法是不妥的。因为作用在小圆环上各点的摩擦力方向是不相同的，其合力应为0。

【分类习题】

【2-1】 质量为m 的均匀细杆AB ，A 端靠在光滑墙上，B 端置于粗糙水平地面上，杆静止且与墙的夹角为θ（图2-11）。求A 端对墙壁的压力，并讨论墙面粗糙而其它条件不变时，A 端对墙的压力是否唯

一确定。

提示：刚体的平衡即是刚体既无平动加速度（刚体的质心加速度为0），又无转动角加速度。因此，刚体受合外力及合外力矩均为0。

【2-2】 边长为m 1、质量为kg 20的均匀立方体，放于粗糙的地面上（图2-12），水平拉力F 作用于一边中点，立方体不滑动，若要使该立方体翻转900，则F 至少为 。

【2-3】 在半径为50cm 的飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量为kg 8的重锤。让重锤从2m 高处静止下落需时间s t 161=；再

让另一质量为4kg 的重锤作同样的测量，其下落需时间s t 252=。假定摩擦力矩为一常量。求飞轮绕其轴的转动惯量。

【2-4】 半径为R 的圆形均匀薄板置于水平桌面上，薄板与桌面间的摩擦系数为μ，薄板可绕通过其中心且垂直于板面的轴转动，初时其角速度为0ω。求此薄板还能转多少圈才停止。（提示：薄板上任何质元dm 图2-11

图

θ

所受摩擦力矩的方向相同）。

【2-5】 转动惯量为J 的电风扇，在开启电源后，经时间1t 达到恒定转速0ω，在关闭电源后，经时间

2t 风扇停止转动。假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量。求电机的电磁力矩。

【2-6】 以20牛顿.米的恒力矩作用于定轴转轮上，在10s 内该转轮的转速由0增至100min /rev ，此时移去该力矩后，转轮因摩擦力矩经100s 停止转动，求此转轮的转动惯量。

【2-7】 一轻绳绕过轴光滑的定滑轮，滑轮质量为4/M 且均匀分布在其边沿上。质量为M 的人从A 端相对绳匀速向上爬，在绳子的B 端挂一质量为2/M 的物体（图2-17），求B 端物体上升的加速度。

提示：人与物体对滑轮轴的加速度相同。

【2-8】 质量均为m 的物体A 和B 叠放在光滑桌面上，轻绳跨过轴光滑的定滑轮连接物体A 和B （图

2-18）。设定滑轮的转动惯量R mR J (,2

1

2=

为滑轮半径），忽略A 与B 间的摩擦。今用水平力F 拉物体A ，已知m R kg m N F 05.0,0.8,10===。求:

（1） 定滑轮的角加速度。

（2） 物体A 与定滑轮间绳子的张力。 （3） 物体B 与定滑轮间绳子的张力。

【2-9】 两端挂着物体质量分别为m 和m 2的轻绳，跨过两质量均为m ，半径均为r 的均匀圆盘状定滑轮（图2-19）。滑轮轴光滑，将系统静止释放，求两滑轮间绳子的张力。

§5-2、转动动能

【基本内容】

一、刚体转动时，合外力矩的功：

θMd dW =

?=2

1

θ

θθMd W

当外力是恒量时，恒力矩作功：)(12θθ-=M W

二、刚体绕固定轴转动的动能定理

刚体的动能：是组成刚体的各质元的动能之总和。

A

B F

图2-19

m

2m

A

B

图2-18

图2-17

22

1

ωJ E K =

刚体的动能定理： 合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。

122

1222

121K K E E J J W -=-=

ωω §5-3 刚体角动量守定律

【基本内容】

一、刚体的角动量

定轴刚体的角动量（设定轴为z 轴）：转动惯量与角速度之积。

ωJ L z =

此处用标量形式表示，因为角速度和角动量都在转轴上。

二、刚体角动量定理

刚体对固定转轴的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的变化率。

dt

dL M z z =

三、刚角动量守恒定律

条件：若刚体）受的合力矩为零0=M

则： 刚体角动量保持不变。

=L

恒矢量

【典型题例】

【例5-4】 一质量为m 的子弹穿过与均匀细杆连接的物体后，速度由v 减至v/2。设杆的一端固定，可绕O 点在竖直平面内转动，杆长为L ，杆与物体的质量都是M 。如图所示，开始时物体静止在最下方的A 位置，问当物体能在竖直平面内完成圆运动时，子弹的速度至少是多少?物体的大小可以不计。

【解】物体和杆连在一起能够完成圆运动的条件是向上转动过程角速度ω始终大于零，而且当它转至最高点B 位置时还能满足ω≥0。 子弹穿过物体，一般属非弹性碰撞过程，机械能会有一定损失，而在物体和杆向上转动的过程中，仅有重力矩作功，机械能应该守恒。研

究对象变了，遵守的力学定律也不同，全过程由两个不同的分过程组成，

应该分别进行讨论。 射穿过程——这个过程作用时间极短，对于子弹—物—杆系统来说，重力的影响可以忽略不计。这时，只有转轴作用于轴心O 的外力，它的力矩为零，所以，系统对O 点的角动量守恒，

ωJ L v

m mvL +=2

（1） B

B

m

P= v 例3-2图

(a)M

(b)

m

A

图3.1

x

V A

V/2

R 0L

例3-8图

杆-物系统绕O 点的转动惯量

223

1

ML ML J +

= ω为子弹穿过物体后杆-物系统的角速度。

转动过程——设射穿过程结束时的状态为初态，杆-物系统刚能完成圆运动，到达B 点时角速度ωＢ＝０的状态为末态，并取初态为重力势能的零点，则初态的机械能E Ａ仅为动能

22

1

ωJ E A =

未态的机械能仅为势能：MgL MgL L Mg E B 32=+?= 根据机械能守恒定律E Ａ＝ＥＢ，并以3/42ML J =代入，可得

MgL ML 33

4

2122=?ω （2）

解(1)、(2)

gL m

M v 24=

讨论 对于子弹—物—杆系统，由于有作用于轴心的外力，在射穿过程中动量是不守恒的，即使对于子弹-物系统来说，由于杆与物体之间存在相互作用力(否则杆不会发生转动)，动量也是不守恒的。

在刚体的定轴转动问题中，动量一般不守恒，应该考虑选用角动量原理或角动量守恒定律。 【例5-5】 如图所示，在一光滑的水平桌面上有一长为l 、质量为M 的均匀细棒以速度v 运动，与一固

定在桌面上的钉子O 相碰撞，碰撞后，细棒将绕O 点转动，如图所示。试求：（1）细棒绕O 轴的转动惯量；

（1） 碰撞前棒对O 轴的角动量；（2）碰撞后，棒绕O 轴转动的角速度。 【解】 （1）由?=

dr r

J 2

或由平行轴定理可求得细棒

绕O 轴的转动惯量为

22248

7

)41(121Ml Ml M Ml J =+=

（2(b)所示的坐标，碰撞前距O 轴为x 的微元dx 对O

vxdx

l

M xvdm dL ==

则

棒

对O

4

4

/34/Mvl vxdx l M dL L l l =

==

?

?- （3）设碰撞后棒绕O 轴转动的角速度为ω。碰撞过程中，所有外力(O 轴对棒的作用力、重力、桌面支承力)均对O

ωJ l

Mv

=4

以48/72Ml J =代入上式，可求得l v 7/12=ω 小结 本题旨在说明物体平动时角动量的求法。

第五章分类习题答案

【2-1】 2/θmgtg , 否【2-2】 N 98【2-3】 2

3

10kgm 【2-4】

ug

R πω1632

0 【2-5】 )1

1(210t t J +ω v

B

B 例3-2图

(a)例3-4图

M

(b)

m

0A dx

x

V

A V/2

00

(b)

(a)

l

l

例3-9图

【2-6】 24.17kgm 【2-7】 7/2g 【2-8】 2

10-rads , N 6, N 4 【2-9】 8

/11mg 出师表

两汉：诸葛亮

先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也

。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。 今当远离，临表涕零，不知所言。