2019-2020学年高中数学 2.1 指数函数及其性质学案 新人教A版必修3.doc
2019-2020学年新人教A版必修一 指数函数 学案
2019-2020学年新人教A 版必修一 指数函数 学案1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a 。
2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0。
由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大。
3．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究。
一、走进教材1．(必修1P 59A 组T 4改编)化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝________。
解析 因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝|2x 2y |＝－2x 2y 。
答案 －2x 2y2．(必修1P 56例6改编)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)＝________。
解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝2。
答案23．(必修1P 59A 组T 7改编)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－13 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－13 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34 ，则a，b ，c 的大小关系是________。
解析 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫35－13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫35－13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫350，即a >b >1，又c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34 <⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，所以c <b <a 。
2019-2020年高中数学《指数函数》教案10 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学《指数函数》教案10 新人教A版必修1一、教学内容分析教材地位:指数函数是中学教材中的一个基本内容，是最重要的初等函数之一；它在反函数概念及对数函数概念的引入和学习中起关键作用；是高中教材中应用于实际最广泛的数学模型。
对培养学生的数学能力、特别是形成正确的数学观念有非常积极的作用.教学重点:指数函数的应用.教学难点:指数函数模型的建立.二、教学目标设计理解指数函数的意义，能描绘指数函数的图像，掌握指数函数的基本性质；通过实际应用，使学生获得实际问题数学化的过程体验，增强数学应用意识和能力，体会指数函数的应用价值.三、教学流程设计四、教学过程设计1.情境设置回忆指数函数的概念、图像及性质。
①指数函数①，②，③，④的图像，请按从小到大的次序排列a1，a2，a3，a4，0，1六个数.③揭示指数函数图像特征与底数的依赖关系.2.探索研究①提供生活中符合指数函数关系的丰富背景。
②研究以下问题第88页例4——放射性物质的残留量问题.③研究以下问题第88页例5——存、贷款利率问题.④研究以下问题第89页例6——人口增长问题.3.演练反馈第90页练习4.2（2）（进行简单分析，得到数学模型即可）.说明:①可以将练习问题分别搭配在例1,例2,例3上以此完成,起到减低难度,逐步提高的目的.②可以让学生充分列举生活中遵循指数函数规律的其他现象和事实.4.总结提炼①应用的领域②应用的方法、步骤③模型的计算技巧五、教学评价设计①继续完成课内没有完成的练习.②习题4.2——A组第7题；B组.六、教学设计说明①设置恰当的问题情境是引起“探究”的逻辑起点，问题情境应具有足够的吸引力②活动的控制要有张有弛，做到高潮迭起，否则会使课堂“有效思维”量减少③由于书上现成的结论对学生的探究会造成实质性干扰，所以探究性教学需不需要预习呢？（可能的结论是：概念性、初始性的课不预习有利于探究，其他悉听尊便）④在指数函数的性质探究过程中，学生归纳出了大量的结论，很多是课本上没有的，有些可以说是真知灼见，也颇有用处，该给这样的结论以什么样的地位或“身份”呢？（我的办法是给它们命名——就用发现者的名字——如指数函数的“马小可性质”等）⑤探究性教学设计不宜写详案，但“故事”发展的情节和脉络一定要勾画清楚，对探究活动可能的发展趋向要有预见性⑥探究性教学的价值显而易见，但其慢节奏将以牺牲进度为代价，而后者往往是不可调和的，咋办？（这说明，探究学习只能有选择地在部分内容中施行，而要其成为主流教学方式，还有待进一步的努力！）2019-2020年高中数学《指数函数》教案10 新人教B版必修1一．教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B版）第三章第一节第二课《指数函数》。
2019-2020学年新人教A版必修一 指数函数 学案
1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝n a m (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m na－＝1m na(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图像与性质知识拓展1．指数函数图像的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2.指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图像，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像越高，底数越大．3．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(n a )n ＝a (n ∈N ＋)．( × )(2)分数指数幂mna 可以理解为mn 个a 相乘．( × )(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m ＜a n (a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n .( × ) (5)函数y ＝2－x 在R 上为减函数．( √ )题组二 教材改编2．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)＝________. 答案 －2x 2y3．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图像经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝________. 答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2. 4．已知a ＝⎝⎛⎭⎫3513－，b ＝⎝⎛⎭⎫3514－，c ＝⎝⎛⎭⎫3234－，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c <b <a解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫3513－>⎝⎛⎭⎫3514－>⎝⎛⎭⎫350， 即a >b >1，又c ＝⎝⎛⎭⎫3234－<⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴c <b <a .题组三 易错自纠5．计算：⎝⎛⎭⎫3213－×⎝⎛⎭⎫－760＋148×42－⎝⎛⎭⎫－2323＝________.答案 2解析 原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋342×142－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 6．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由题意知0＜a 2－1＜1，即1＜a 2＜2， 得－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2.7．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________．答案 [0,8)解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x ≤23＝8，∴0≤8－23－x <8， ∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)．题型一 指数幂的运算1.a 3a ·5a4(a >0)的值是________．答案 1710a 解析a 3a ·5a4＝14173325104152.a aa a a--==⋅2．计算：⎝⎛⎭⎫－27823－＋0.00212－－10(5－2)－1＋π0＝________. 答案 －1679解析 原式＝⎝⎛⎭⎫－32－2＋50012－10(5＋2)(5－2)(5＋2)＋1， ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 3．(2017·兰州模拟)化简：41233322338(4a a b aab a--÷-++a >0)＝________.答案 a 2解析 原式＝11111211113333333323331111111223333352[()(2)]2()(2)()(2)(2)()a a b a b a a a a b aa ab b a a ⋅÷⨯=-⨯+⋅+⋅－－ 561113362a a a ba=－＝a 2.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 题型二 指数函数的图像及应用典例 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图像大致是()答案 A解析 f (x )＝1－e |x |是偶函数，图像关于y 轴对称，又e |x |≥1，∴f (x )≤0.符合条件的图像只有A.(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 [－1,1]解析 曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图像如图所示，由图像可知，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图像可从指数函数的图像通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练(1)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．答案 1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数的图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型三指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用典例 (1)(2017·河南百校联考)已知f (x )＝2x－2－x，a ＝⎝⎛⎭⎫7914－，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，则f (a )，f (b )的大小关系是________． 答案 f (b )＜f (a )解析 易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为增函数， 又a ＝⎝⎛⎭⎫7914－＝⎝⎛⎭⎫9714＞⎝⎛⎭⎫9715＝b ， ∴f (a )＞f (b )．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．答案 (－3,1)解析 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1， 即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3， ∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. ∴0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3,1)．命题点2 与指数函数有关的复合函数的单调性典例 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是________； 答案 (－∞，4]解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上是增加的，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上是减少的．而y ＝2t 在R 上是增加的，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上是增加的，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12221x x －＋＋的递减区间为__________________． 答案 (－∞，1]解析 设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在R 上为减函数，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12221x x －＋＋的递减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的递增区间． 又u ＝－x 2＋2x ＋1的递增区间为(－∞，1]， 所以f (x )的递减区间为(－∞，1]． (3)函数f (x )＝4x －2x ＋1的递增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的递增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x 在R 上是增加的，所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的递增区间是[0，＋∞)． 命题点3 指数函数性质的综合应用 典例 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243ax x －＋. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243x x －－＋， 令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上是增加的，在(－2，＋∞)上是减少的，而y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在R 上是增加的，所以f (x )在(－∞，－2)上是减少的，在(－2，＋∞)上是增加的，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}答案 B解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x ＜0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－⎝⎛⎭⎫12a ，－1， ∴⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]， 即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)(2017·江淮十校第三次联考)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )＞f (c x ) D ．与x 有关，不确定答案 A解析 ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴f (x )关于x ＝1对称， 易知b ＝2，c ＝3，当x ＝0时，b 0＝c 0＝1，∴f (b x )＝f (c x )，当x ＞0时，3x ＞2x ＞1，又f (x )在(1，＋∞)上是增加的，∴f (b x )<f (c x )， 当x ＜0时，3x ＜2x ＜1，f (x )在(－∞，1)上是减少的， ∴f (b x )<f (c x )， 综上，f (b x )≤f (c x )．指数函数底数的讨论典例 已知函数y ＝b ＋22x xa＋(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间⎣⎡⎦⎤－32，0上有最大值3，最小值52， 试求a ，b 的值．错解展示现场纠错解 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－32，0，∴t ∈[－1,0]． ①若a >1，函数f (t )＝a t 在[－1,0]上为增函数， ∴a t∈⎣⎡⎦⎤1a ，1，b ＋22x x a ＋∈⎣⎡⎦⎤b ＋1a ，b ＋1， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (t )＝a t 在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈⎣⎡⎦⎤1，1a ，b ＋22x x a ＋∈⎣⎡⎦⎤b ＋1，b ＋1a ， 依题意得⎩⎨⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.综上知，a ＝2，b ＝2或a ＝23，b ＝32.纠错心得 在研究指数型函数的单调性或值域问题时，当底数含参数时，要对底数分类讨论．1．函数f (x )＝a x－b的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 答案 D解析 由f (x )＝a x －b 的图像可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上是减少的，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图像是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 2．设2x ＝8y＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27 答案 D解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3， ∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ， 解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.3．(2017·河南南阳、信阳等六市一模)已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b答案 C解析 ∵当x ＞0时，1＜b x ，∴b ＞1. ∵当x ＞0时，b x ＜a x ，∴当x ＞0时，⎝⎛⎭⎫a b x ＞1. ∴ab＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C.4．(2018届吉林实验中学月考)设a ＝log 213，b ＝12e －，c ＝ln π，则( ) A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b ＜a ＜c答案 C 解析 ∵log 213<0,0<12e －<1，ln π>1，∴a <b <c . 5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)答案 C解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.故选C. 6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的递减区间是( ) A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B解析 由f (1)＝19得a 2＝19， 所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的，所以f (x )在(－∞，2]上是增加的，在[2，＋∞)上是减少的．故选B.7．已知函数f (x )＝a －x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是__________． 答案 (0,1)解析 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上是增加的，所以1a>1，解得0<a <1.8．不等式222x x －＋>⎝⎛⎭⎫12x ＋4的解集为________．答案 (－1,4)解析 原不等式等价为222x x －＋>2－x －4，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x >－x －4，即x 2－3x －4<0，∴－1<x <4.9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 (数形结合法)当0<a <1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图像，由图像可知0<2a <1，∴0<a <12； 同理，当a >1时，解得0<a <12，与a >1矛盾． 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12. 10．当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2) 解析 当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0，且a ≠1)，若a >1，y ＝a x 是增函数，则有a 2<2，可得－2<a <2，故有1<a <2；若0<a <1，y ＝a x 是减函数，则有a －2<2，可得a >22或a <－22，故有22<a <1. 综上知a ∈⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)． 11．(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________． 答案 e解析 由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x ＜1. 当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(当x ＝1时取等号)，当x ＜1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x ＞e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )的图像过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24. 所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56.所以m ≤56.即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.13．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－14，14 解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1， g (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14.∴0≤g (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，14. ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－14，0. 故函数的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14. 14．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x ＜0，则函数g (x )的最小值是________． 答案 0解析 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x ＜0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为减函数，所以g (x )＞g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.15．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.答案 14解析 由函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，得1－4m ＞0，即m ＜14.当a ＞1时，函数f (x )在[－1,2]上是增加的，最小值为a －1＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，m ＝12，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1,2]上是减少的，最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116，满足m ＜14，所以a ＝14. 16．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值； (2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32， 得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12， ∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)恒成立， ∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
2020高中数学 2.1.2指数函数及其性质教案 新人教A版必修1
指数函数及其性质一、【教学目标】1.知识与技能：理解指数函数的概念，画出具体指数函数图象，能通过观察图象得出两类指数函数图象的位置关系；在理解函数概念的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；2.过程与方法：在教学过程中，利用画板作图加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；3.情感、态度、价值观：通过本节课自主探究研讨式教学，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。
二、【学情分析】指数函数式在学生系统学习了函数概念，基本掌握函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及其性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出链各个实际的例子（GDP的增长问题和碳14的衰减问题），已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计两个看似简单的问题，但能通过得到超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
三、【教材分析】本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（人教A版）第二章第一节第二课【（2．1．2）《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课指数函数及其性质、指数函数及其性质的应用（1）、指数函数及其性质的应用（2）】，这是第一节“指数函数及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。
四、【教学重难点】1.教学重点：指数函数的概念、底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称。
2.教学难点:底数a的范围讨论，自变量的取值范围以及由函数的图象归纳指数函数的性质。
五、【教学方法】自主预习、合作探究、体验践行。
六、【教学设备】多媒体设备。
七、 【课时安排】第一课时(新知课)。
八、 【教学过程】(一) 创设情境，引出问题（约3分钟）师：观察图片，你能说出这是什么吗？生：国际象棋师：这盘象棋隐含了这么一个故事？生：．．．．师：国王为了奖励发明者达依尔特许诺满足他提的任意一个请求，那么达伊尔提出如下要求在棋盘第一格放2粒大米，第二格放4粒大米，第三格放8粒大米，…按这个规律．最后一格棋盘上的大米数就是我要的．请问：最后一格的大米数是多少呢？生：642师：那么国王能否满足他的要求呢？【学情预设】学生会说能．也有说不能的．教师公布数据体会指数函数的爆炸增长，642粒大米是每年全世界粮食产量的1000多倍，显然国王是满足不了他的请求．师：请写出米粒数与棋盘格数的函数关系式．生：{}2,1,2,,64xy x =∈L 师： “一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话来自著名的《庄子·天下篇》，哪位同学能用数学语言来表述它的含义？生：。
2019-2020年高中数学指数函数及其性质教案(第三课时)新课标人教版必修1(A)
019-2020年高中数学指数函数及其性质教案(第三课时)新课标人教版必修1(A)教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；2. 掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；3. 培养学生的数学应用意识。
教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点：指数函数性质的运用 教学方法:….学导式 (一) 复习：(提问)1. 指数函数的图象及性质2. 判断及证明函数单调性的基本步骤：假设T 作差T 变形T 判断3. 判断及证明函数奇偶性的基本步骤：(1 )考查函数定义域是否关于原点对称； (2) 比较与或者的关系；(3) 根据函数奇偶性定义得出结论。
(二) 新课讲解：例1 •当时，证明函数 是奇函数。
证明：由得，，故函数定义域关于原点对称。
•••,所以，函数是奇函数。
评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幕运 算性质。
例2•设是实数，，(1) 试证明：对于任意在为增函数； (2) 试确定的值，使为奇函数。
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。
还应要求学生注意不同题 型的解答方法。
(1) 证明：设，贝U2 2=(a …~x) _ (a …~x )252X2+1由于指数函数在上是增函数，且，所以即， 又由，得，，所以，即.因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，禾U 用了指数函数的值域及单调性。
(2) 解：若为奇函数，则，解得：，所以，当时，为奇函数。
评述：此题并非直接确定值，而是由已知条件逐步推导值。
应要求学生适应这种题型。
练习：(1)已知函数为偶函数，当时， ，求当时，的解析式。
(2)判断的单调区间。
2 2即a 一产一S 厂)，变形得:2 2x . 2 _ 2(2x 1) (2^ 1) 2x2x 1 2x 1小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。
2019-2020学年新人教A版必修一 指数函数及其性质2 学案
2.1.2 指数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断；2.能借助指数函数性质比较大小；3.会解简单的指数方程，不等式；4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．知识点一 不同底指数函数图象的相对位置思考 y ＝2x 与y ＝3x 都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案 经描点观察，在y 轴右侧，2x ＜3x ，即y ＝3x 图象在y ＝2x 上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x 在y ＝3x 图象上方．一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．(2)指数函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x (a ＞0且a ≠1)的图象关于y 轴对称．知识点二 比较幂的大小思考 若x 1＜x 2，则1x a 与2x a (a ＞0且a ≠1)大小关系如何？答案 a ＞1时，y ＝a x 在R 上为增函数，所以1x a ＜2xa ，0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上为减函数，所以1x a ＞2x a .一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．知识点三 解指数方程、不等式思考 若1x a ＜2x a ，则x 1，x 2大小关系如何？答案 当f (x )在区间[m ，n ]上单调递增(减)时，若x 1，x 2∈[m ，n ]，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．所以，当0＜a ＜1时，1x a ＜2x a ⇔x 1＞x 2，当a ＞1时，1x a ＜2x a ⇔x 1＜x 2.此原理可用于解指数方程、指数不等式．简单指数不等式的解法：(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x ，y ＝b x 的图象求解．知识点四 与指数函数复合的函数单调性思考 11()2x y =的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？11()2x y =的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？答案 由于y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故11()2x y =的定义域与y ＝1x 的定义域相同，故研究11()2x y =的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究．若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，121111()()22x x ＜，不等号方向的改变与y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝1x 的单调性均有关． 一般地，有：形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)函数的性质(1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域．(2)当a >1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0<a <1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反．类型一 比较大小例1 比较下列各题中两个值的大小：(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3； (3)1.70.3,0.83.1.解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数．∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图象位于y ＝1.5x 的图象的上方．而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二 ∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.50.3， 又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝⎛⎭⎫1.71.50.3＞1， ∴1.70.3＞1.50.3.(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练1 比较下列各题中的两个值的大小．(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π，1.解 (1)∵0＜0.8＜1，∴y ＝0.8x 在R 上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1， 即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫1πx 在R 上是减函数． 又∵－π＜0，∴⎝⎛⎭⎫1π－π＞⎝⎛⎭⎫1π0＝1，即⎝⎛⎭⎫1π－π＞1.类型二 解指数方程例2 解下列关于x 的方程：(1)81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2；(2)22x ＋2＋3×2x －1＝0. 解 (1)∵81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2，∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，∴2x ＋4＝－2(x ＋2)，∴x ＝－2.(2)∵22x ＋2＋3×2x －1＝0， ∴4×(2x )2＋3×2x －1＝0.令t ＝2x (t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0，解得t ＝14或t ＝－1(舍去)．∴2x ＝14，解得x ＝－2. 反思与感悟 1.a f (x )＝b 型通常化为同底来解．2．解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．跟踪训练2 已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )，若f [g (1)]＝1，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．－1答案 A解析 ∵g (x )＝ax 2－x ，∴g (1)＝a －1.∵f (x )＝5|x |，∴f [g (1)]＝f (a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，∴a ＝1.类型三 解指数不等式例3 解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)． 解 (1)当0<a <1时，∵a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，∵a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}．反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．跟踪训练3 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________． 答案 (12，＋∞) 解析 ∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1， ∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ⇔x >1－x ⇔x >12. ∴x ∈(12，＋∞)． 类型四 与指数函数复合的单调性问题例4 设a 是实数，f (x )＝a －22x＋1(x ∈R )，试证明对于任意a ，f (x )为增函数． 证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则121222()()()()2121x x f x f x a a -=---++ 122112222(22).2121(21)(21)x x x x x x -=-=++++ 由于指数函数y ＝2x 在R 上是增函数，且x 1<x 2，所以1222,x x <即12220,x x -< 又由2x >0得12210,210,x x +>+>所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f (x )为增函数．反思与感悟 此类型题目单调性证明过程中，在对差式正负判断时，利用指数函数的值域及单调性．跟踪训练4 已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1,3]的值域．解 (1)函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222,ax ax ++<即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在R 上是增函数．(3)由(2)知当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1,3]上是增函数．所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2,32]．1．若1113240.5,0.5,0.5,a b c ===则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a 答案 B解析 ∵y ＝0.5x 在R 上是减函数，且12＞13＞14， 1113240.50.50.5.∴＜＜2．方程42x －1＝16的解是( ) A ．－32B.32 C ．1D ．2答案 B 解析 42x －1＝42，∴2x －1＝2，x ＝32. 3．设0＜a ＜1，则关于x 的不等式22232223x x x x aa －＋＋－＞的解集为________． 答案 (1，＋∞)解析 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 在R 上是减函数，又∵22232223,x x x x aa －＋＋－＞ ∴2x 2－3x +2 ＜ 2x 2+2x －3解得x ＞1.解得x ＞1.4．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________. 答案 5±12解析 若0<a <1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)． 若a >1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)．综上所述a ＝5±12. 5．用函数单调性定义证明a ＞1时，y ＝a x 是增函数．证明 设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，并令x 2＝x 1＋h (h ＞0)，则有21111(1)x x x h x x h a a aa a a ＋－＝－＝－，∵a ＞1，h ＞0， 101x h a a ∴＞，＞，210x x a a ∴－＞，即12x x a a ＜，故y ＝a x (a ＞1)为R 上的增函数．1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x >a y 的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况进行讨论．(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．(3)形如a x >b x 的不等式，可借助图象求解．一、选择题1．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12) 答案 B解析 ∵函数y ＝(12)x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 2．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.32答案 C解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.3．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的关系为( ) A ．m ＋n <0 B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n 答案 D解析 ∵0<5－12<1，∴f (x )＝a x ＝(5－12)x ， 在R 上单调递减，又∵f (m )>f (n )，∴m <n ，故选D.4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B解析 由f (1)＝19得a 2＝19， 所以a ＝13(a ＝－13舍去)， 即f (x )＝(13)|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.5．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y 1>y 3>y 2，故选D.6．设f (x )＝|3x －1|，c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是() A ．3c <3b B ．3c >3bC ．3c ＋3a >2D ．3c ＋3a <2答案 D解析 f (x )＝|3x －1|的图象如下．由c ＜b ＜a 且f (c )>f (a )>f (b )可知c ，b ，a 不在同一个单调区间上．故有c <0，a >0.∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1.∴f (c )>f (a )，即1－3c >3a －1,3c ＋3a <2，D 对．二、填空题7．函数y ＝(12)221x x ＋－的值域是________．答案 (0,4]解析 设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t 为关于t 的减函数，所以0<y ＝(12)t ≤(12)－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞1，3x ，x ≤1，且f (a )＝16，则a ＝________. 答案 4解析 当a ≤1时，f (a )＝3a ≤3＜16，此时无解；故a ＞1，此时有f (a )＝2a ＝16，所以a ＝4.9．已知0.2x ＜25，则x 的取值范围为________．答案 (－2，＋∞)解析 原不等式即5－x ＜52，∴－x ＜2，x ＞－2.10．某乡镇现在人均粮食占有量为360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%.设x 年后年人均粮食占有量为y 千克，则y 关于x 的解析式是________________．答案 y ＝360(1.041.012)x (x ∈N *) 解析 设该乡镇人口数量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克，经过x 年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%)x ，人口数量为M (1＋1.2%)x ，则经过x 年后，人均占有粮食y ＝360M (1＋4%)x M (1＋1.2%)x千克，即所求函数解析式为y ＝360(1.041.012)x (x ∈N *)． 三、解答题11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫12241x x －＋，求函数的单调区间及值域． 解 令t ＝x 2－4x ＋1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t .又t ＝x 2－4x ＋1＝(x －2)2－3在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12241x x －＋的单调递减区间为[2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，2]． 又∵x ∈R 时，t ≥－3，∴0＜y ≤⎝⎛⎭⎫12－3，即值域为(0,8]．12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，求不等式f (x )<－12的解集．解 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅； 当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立； 当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1. 综上可知x ∈(－∞，－1)．13．已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数；(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．(1)解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，b ＝1.又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.(2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝121212122121x x x x ---++ 122112(12)(21)(12)(21)(21)(21)x x x x x x -+--+=++ 21122(22).(21)(21)x x x x -=++ ∵x 1＜x 2，∴2122x x－＞0，又12(21)(21)x x ＋＋＞0，f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )为R 上的减函数．(3)解 ∵t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，∴f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )， ∵f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)，∵f (x )为减函数，∴t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3(t －13)2－13≥－13. ∴k ＜－13.。
2019-2020学年数学高中人教A版必修1学案：2.1.2.1 指数函数及其性质
第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质(第一课时)学习目标①通过实际问题了解指数函数的实际背景;②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质; ③体会从具体到一般的数学讨论方式及数形结合的思想.合作学习一、设计问题,创设情境情境1:我们来考虑一个与医学有关的例子:大家对“水痘”应该并不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时间里病原体在机体内不断地繁殖,病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一种.我们来看一种球菌的分裂过程:某种球菌分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…一个这样的球菌分裂x 次后,得到的球菌的个数y 与x 的关系式是y=2x .情景2:某种机器设备每年按6%的折旧率折旧,设机器的原来价值为1,经过x 年后,机器的价值为原来的y 倍,则y 与x 的关系为y=0.94x .问题1:你能从上面的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗? 共同点: ; 不同点: .二、自主探索,尝试解决 指数函数的概念:一般地,函数y=a x (a>0,且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 问题2:为什么指数函数对底数有“a>0,且a ≠1”的要求呢?三、信息交流,揭示规律问题3:你能类比以前研究函数性质的思路,提出研究指数函数性质的方法和内容吗? 研究方法: .研究内容:定义域、值域、 、 、 . 问题4:如何来画指数函数的图象呢?画函数图象通常采用: 、 、 .有时,也可以利用函数的有关性质画图.问题5:画出指数函数y=2x ,y=(12)x 的图象并观察图象有什么特征?问题6:函数y=2x 与y=(12)x 的图象有什么关系?能否由y=2x 的图象得到y=(12)x 的图象?问题7:选取底数a的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图象.观察图象,能否发现它们有类似于问题5与问题6中的性质?问题8:通过你们画的图象以及老师的演示,你们能发现怎样的规律呢?问题9:从特殊到一般,指数函数y=a x(a>1)有哪些性质?并类比得出y=a x(0<a<1)的性质.指数函数y=a xa>1 0<a<1强调:利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法,记忆指数函数性质时可以联想它的图象,记住性质的关键在于要脑中有图.四、运用规律,解决问题【例1】已知指数函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图象经过点(3,π),求f(0),f(1),f(-3)的值.【例2】指出下列函数哪些是指数函数.(1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=πx;(6)y=4x2;,且a≠1).(7)y=x x;(8)y=(2a-1)x(a>12五、变式演练,深化提高1.若函数y=(a2-3a+3)·a x是指数函数,则a=.2.函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,则a的取值范围是()A.|a|>1B.|a|<2C.a<√2D.1<|a|<√23.函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)对于任意的实数x,y都有()A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)4.函数f(x)=a x与g(x)=ax-a的图象大致是()5.若a>1,-1<b<0,则函数y=a x+b的图象一定在()A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限6.函数y=a|x|(a>1)的图象是()六、反思小结,观点提炼本节课的目的是掌握指数函数的概念、图象和性质.在理解指数函数的定义的基础上,掌握指数函数的图象和性质是本节课的重点.1.知识点:、和.2.研究步骤:定义→图象→性质→应用.3.思想方法:、.七、作业精选,巩固提高1.课本P59习题2.1A组第6,9题;2.课本P60习题2.1B组第3题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:共同点:变量x与y构成函数关系式,是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数不同点:底数的取值不同二、自主探索,尝试解决问题2:若a=0,当x>0时,a x恒等于0,没有研究价值;当x≤0时,a x无意义;若a<0,例如当a=-2,x=1时,√-2无意义,没有研究价值;2若a=1,则1x=1,a x是一个常量,也没有研究的必要.所以规定a>0且a ≠1. 三、信息交流,揭示规律问题3:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质 研究内容:图象 单调性 奇偶性 问题4:列表 描点 连线问题5:函数y=2x 的图象位于x 轴的上方,向左无限接近 x 轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是上升的,与y 轴交于(0,1)点.函数y=(12)x 的图象位于x 轴的上方,向右无限接近x 轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是下降的,与y 轴交于(0,1)点.问题6:y=2x 与y=(12)x 的图象关于y 轴对称.实质是y=2x 上的点(-x ,y )与y=(12)x 上的点(x ,y )关于y 轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象.问题7:分别取a=3,13,4,14,即在同一平面直角坐标系内作出指数函数y=3x ,y=(13)x ,y=4x ,y=(14)x 的图象.可用多媒体画出y=3x ,y=(13)x ,y=4x ,y=(14)x 的图象如下:问题8:底数分a>1和0<a<1两种情况. 问题9:R (0,+∞) (0,1) R R 四、运用规律,解决问题【例1】解:因为f (x )=a x 的图象经过点(3,π),所以f (3)=π, 即a 3=π,解得a=π13,于是f (x )=πx3. 所以,f (0)=π0=1,f (1)=π13=√π3,f (-3)=π-1=1π.【例2】解:(1)(5)(8)为指数函数;(2)是幂函数(后面2.3节中将会学习); (3)是-1与指数函数4x 的乘积; (4)底数-4<0,故不是指数函数;(6)指数不是自变量x ,而底数是x 的函数; (7)底数x 不是常数.除(1)(5)(8)外,其他都不符合指数函数的定义. 五、变式演练,深化提高1.22.D3.C4.D5.B6.B六、反思小结,观点提炼1.知识点:指数函数的概念图象性质3.思想方法:数形结合分类讨论。
2019-2020学年新人教A版必修一 指数函数及其性质 学案
2.1.2 指数函数及其性质(一)学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性；2.掌握指数函数图象的性质；3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．知识点一 指数函数思考1 细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？这个函数式与y ＝x 2有什么不同？答案 y ＝2x .它的底为常数，自变量为指数，而y ＝x 2恰好反过来．一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 思考2 指数函数定义中为什么规定了a >0且a ≠1? 答案 原因如下：(1)如果a <0，比如y ＝(－4)x ，这时对于x ＝14，x ＝12等，在实数范围内函数值不存在；(2)如果a ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧当x >0时，a x恒等于0，当x ≤0时，a x无意义. (3)如果a ＝1，y ＝1x ＝1，是个常数函数，没有研究的必要． 知识点二 指数函数的图象和性质思考 函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？答案 函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般． 指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质：R类型一 求指数函数的解析式例1 已知指数函数f (x )的图象过点(3，π)，求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝a x，将点(3，π)代入，得到f (3)＝π，即a 3＝π，解得：a ＝13π，于是f (x )＝3πx . 反思与感悟 根据指数函数的定义，a 是一个常数，a x 的系数为1，且a >0，a ≠1.指数位置是x ，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．要求指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的解析式，只需要求出a 的值，要求a 的值，只需一个已知条件即可．跟踪训练1 已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1,2)，求a ，b 的值． 解 由指数函数定义可知2b －3＝1，即b ＝2. 将点(1,2)代入y ＝a x ，得a ＝2. 类型二 指数函数图象的应用例2 直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．解 y ＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x <02x－1，x ≥0，图象如下：由图可知，要使直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点， 需0<2a <1，即0<a <12.反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．跟踪训练2 函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )答案 B解析 函数y ＝a |x |是偶函数，当x >0时，y ＝a x .由已知a >1，故选B. 类型三 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域 例3 求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝3x 1＋3x ；(2)y ＝4x －2x＋1. 解 (1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R,3x ≠－1)． ∵y ＝(1＋3x )－11＋3x ＝1－11＋3x ，又∵3x >0,1＋3x >1， ∴0<11＋3x<1，∴－1<－11＋3x <0，∴0<1－11＋3x<1，∴值域为(0,1)． (2)定义域为R ，y ＝(2x )2－2x ＋1＝(2x －12)2＋34，∵2x >0，∴2x ＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34，同时y 可以取一切大于34的实数，∴值域为[34，＋∞)．反思与感悟 指数函数y ＝a x 与y ＝f (x )的复合方式主要是y ＝a f (x )和y ＝f (a x )．函数y ＝a f (x )(a >0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要达到指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：()1110.3x y -＝；()2y ＝解 (1)由x －1≠0得x ≠1， 所以函数定义域为{x |x ≠1}． 由1x －1≠0得y ≠1，所以函数值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)由5x －1≥0得x ≥15，所以函数定义域为{x |x ≥15}．由5x －1≥0得y ≥1，所以函数值域为{y |y ≥1}．1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1D ．y ＝(13)x答案 D2．若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥12答案 C3．曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x 和y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．a <b <1<d <cC ．b <a <1<c <dD ．b <a <1<d <c答案 D4．已知3x ＝10，则这样的x ( ) A ．存在且只有一个 B ．存在且不只一个 C ．存在且x <2 D ．根本不存在 答案 A5．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |y ＝2x ，x ∈R }，则下列结论错误的是( ) A ．A ∩B ＝A B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝R D ．A ∪B ＝B答案 B1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0且a ≠1)这一结构形式，即a x 的系数是1，指数是x 且系数为1.2．指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的性质分底数a ＞1,0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．由于指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同．4．求函数y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)的值域的方法如下： (1)换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； (2)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(3)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t 在t ∈M 上的值域．一、选择题1．下列函数中指数函数的个数为( )①y ＝(12)x ；②y ＝(12)x －1；③y ＝2·3x ；④y ＝x 12；⑤y ＝1x ；⑥y ＝(12)2x －1.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由定义知除(1)外都不是指数函数． 2．函数y ＝(a 2－4a ＋4)·a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1答案 C解析 由a 2－4a ＋4＝1且a ≠1可得a ＝3.3．当a >2时，函数y ＝a x 和y ＝(a －1)x 2的图象只能是( )答案 A解析 由a >2，得a －1>0，故抛物线开口向上，指数函数在R 上递增，故选A. 4．已知0<a <1，b <－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 取a ＝12，b ＝－2，所以得函数y ＝(12)x －2，由图象平移的知识知，函数y ＝(12)x －2的图象是由函数y ＝(12)x 的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定不过第一象限．5．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为( ) A ．na (1－b %) B ．a (1－nb %) C ．a [1－(b %)n] D ．a (1－b %)n答案 D解析 一年后价值为a －ab %＝a (1－b %)，两年后价值为a (1－b %)－a (1－b %)b %＝a (1－b %)2，…，n 年后价值为a (1－b %)n ，故选D.6．设指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，则下列等式中不正确的是( ) A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )B ．f (x －y )＝f (x )f (y )C ．f (nx )＝[f (x )]n (n ∈Q )D ．[f (xy )]n ＝[f (x )]n [f (y )]n (n ∈N *) 答案 D解析 f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x a y ＝f (x )f (y )，A 对； f (x －y )＝ax －y＝a x a －y＝a x ay ＝f xf y，B 对； f (nx )＝a nx ＝(a x )n ＝[f (x )]n ，C 对；[f (xy )]n ＝(a xy )n ，[f (x )]n [f (y )]n ＝(a x )n (a y )n ≠(a xy )n ，D 错． 二、填空题7．函数y ＝32－2x 的定义域是________． 答案 (－∞，5]解析 要使函数式有意义，需32－2x ≥0,32≥2x,25≥2x ，解得x ≤5. 8．函数y ＝3x 与y ＝(13)x 的图象关于________对称．答案 y 轴解析 y ＝(13)x ＝3－x ，(x ，y )与(－x ，y )关于y 轴对称．9．已知5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab 与0的大小关系是________． 答案 ab <0解析 由f (x )＝5x 与g (x )＝0.7x 的图象可知，5a ＝0.3<1时，a <0，同理b >0.所以ab <0.10．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (x )的值域为________．答案 [8，＋∞)解析 当x ≥3时，2x ≥23＝8；当x <3时，皆可通过有限次加1转化为第一类． 三、解答题11．若函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，求实数a 的值． 解 ∵函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－7a ＋7＝1，a ＞0，a ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝6，a ＞0，a ≠1.∴a ＝6，即a 的值为6.12．求函数y ＝32x －1－19的定义域、值域．解 要使函数有意义可得到不等式32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2，又函数y ＝3x 是增函数，所以2x －1≥－2，即x ≥－12，即定义域是[－12，＋∞)，值域是[0，＋∞)．13．已知x ∈[－3,2]，求f (x )＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．解 f (x )＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝(2－x －12)2＋34，∵x ∈[－3,2]，∴14≤2－x≤8，则当2－x ＝12，即x ＝1时，f (x )有最小值34，当2－x ＝8，即x ＝－3时，f (x )有最大值57.。
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2019-2020学年高中数学 2.1 指数函数及其性质学案 新人教A 版必
修3
学习目标：
1．通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景；理解指数函数的概念和意义，熟练掌握指数函数的性质；提高分析问题、解决问题的能力，增强数学应用的意识。
2．自主学习，合作探究，学会有具体到一般及数形结合的研究方法。
3．通过学习研究，了解数学来自生活有服务于生活。
同时要激情投入，全力以赴，做学习的主人。
重点：指数函数的概念、性质及其应用。
难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用
《预习案》Previewing Case 一 相关知识
1．有理数指数幂的运算性质有哪些？
2．初中学习的描点法作图是按怎样的步骤进行的？ 二 教材助读
1.你能把课文问题2中的死亡生物体内碳14的含量P 写成死亡年数t 的函数吗？ 2．你写的函数关系与课本48页问题1中的函数关系有哪些共同特征？ 3指数函数是怎样定义的？定义域是什么？ 4.指数函数中底数a 的取值范围是什么？
5.你能用描点法做出函数12,2x
x y y ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
的图象吗？试一试
6.请再作出13,3x
x y y ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
的图象，并归纳出底数01a <<和1a >的指数函数有哪些性
质？
7.借助指数函数的图象，你能比较出 1.7
1.3与
2.5
1.3哪个更大一些吗？ 三 预习自测
1．当0a ≠时，函数y ax b =+和ax y b =的图象只可能是图1中的（）
A B C D 2.函数2
()(1)x
f x a =-在R 上是减函数吗，则a 的取值满足（） A.1a > B.2a <
C.a <
1a <<
我的疑惑？请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探
究解决。
《探究案》Exploring Case 一 学始于疑---我思考、我收获
1．形如x y a =的函数叫做指数函数，这种说法对吗？如何判断给定的一个函数是否是指数函数？
2.指数函数的性质有哪些？你能否结合指数函数的图象总结出这些性质？
1.一般地，函数__________(0,1)a a >≠且叫做指数函数,其中x 是自变量，函数的定义域为______________
2.请指出下列关系式中，哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由。
⑴42x y =⨯；⑵(2)x y =-；⑶2x y =-；⑷x y π=；⑸2y x =；⑹24y x =；⑺x y x =；⑻()(1)12x y a a a =->≠且
3.观察指数函数12,2x
x y y ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
的图象，说明它们有什么关系
4.你能用表格形式把指数函数x y a =，当1a >时和当01a <<时的图象性质比较出来吗？
归纳总结
（二）知识综合运用探究 【例1】若函数(33)y a a a =-+是指数函数，求a 的值
思考1.在指数函数的定义中，x
a 的系数是多少？ 思考2. x
a 中底数a 的取值范围是什么？ 规律方法总结
拓展提升：已知01,1a b <<<-则函数x
y a b =+的图象必定不经过（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思考1：指数函数当01a <<时的图象大致是怎样的？
思考2：1b <-说明了什么？(
你能用赋值的方法做这样的选择题吗 )
【例2】比较下列各题中的两个值的大小：⑴0.3 1.31.9 1.9与；⑵-0.3-1.3
0.90.9与
思考：每小题中所给出得两个式子的底数相同，指数不同，你能根据指数大小确定两个值的大小吗？
规律方法总结
拓展提升：比较大小： 0.3-1.3
1.6 1.9与
思考１：0.3-1.3
1.6 1.9
与都是正数吗？
思考２：0.3
1.61与
比较那个大？ 思考3：-1.3
1.91与比较哪个大？ 难点）【例3】已知函数2
273x x y -+=，求⑴函数的值域；⑵函数的单调区间 思考1：该函数可以分解成哪两个基本函数？
思考2：对于函数2
27u x x =-+，它的值域及单调区间如何求？ 规律方法总结：
拓展提升：已知函数1
()(1)1
x x
a f x a a -=>+，⑴判断函数的奇偶性；⑵求该函数的值域； ⑶说明()f x 是R 上的增函数
思考１：函数的定义域是什么？
思考２：()()f x f x -与有说明关系？ 思考３：你能把()f x 化为()(,)1
x
n
f x m m n a =++为常数的形式吗？
三 我的知识网络图---归纳梳理、整合内化
请同学们对本节所学知识加以归纳总结后，列出知识网络图
四
1．设指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠，则下列等式中不正确的是的（） Ａ.()()()f x y f x f y +=⋅ Ｂ.()
()()
f x f x y f y -= Ｃ.()[()]()n f nx f x n Q =∈ Ｄ.()[()][()]()n n n
f xy f x f y n N *=⋅∈
2．函数()2x
f x -=的值域是（） Ａ.(0,1] Ｂ.(0,1) Ｃ.(0,)+∞ Ｄ.R 3.下列关系式正确的是（） Ａ．221333
111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Ｂ.122333
111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Ｃ．21
23
33
111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪
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有错必改。