高考数学能力考查的新特点及启示

高考数学能力考查的新特点及启示江苏省南京市教学研究室 朱建明综观2007年全国各地高考数学试卷，都着力体现高考性质和素质教育的要求，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生所学知识的内在联系、学科基本规律和方法的理解程度和应用程度等数学能力的考查，突出了数学的思维价值，下面以2007年高考数学试题为例，谈谈高考数学能力考查的新特点．一、高考数学能力考查的新特点1．联系实际，考查学生应用知识解决问题的能力加强应用意识的培养和考查是时代的需要，是教育教学改革的需要．2007年各地的高考数学试卷继续关注对学生应用能力的考查，与往年的试题相比，还有以下新特点：（1）精心选材．密切联系社会实际和学生生活实际，许多试题立意深，情景新，思维价值高．（2）题量增加．各地高考试卷中普遍增加了应用题的题量．（3）范围更广．考查的知识不仅涉及函数、统计、概率知识，还涉及不等式、三角函数、解三角形、线性规划、数列等知识，试题更贴近学生的实际．例1 （2007年·山东卷·理科）如图1，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？评析：本题的载体是常见的有实际背景的船舶航行问题，具有较强的现实意义，所涉及的都是数学基本内容、思想和方法，试题情景新颖别致，熟悉又不难理解．主要考查学生利用正弦定理、余弦定理解三角形的知识和能力．本题突出了数学思想方法和综合分析问题能 力的考查．例2 （2007年·福建卷·理科）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为（12－x ）2万件．（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值 Q （a ）．评析：本题利用生活中常见的产品销售问题来设计试题，重点考查了学生运用函数知识解决实际问题的能力，通过求解还可以使学生经历“理解题意，分析数据，建立函数模型，并对函数关系式进行检验与应用”的全过程，充分体现了“问题情境—建立模型—应用与拓展”的数学学习模式，有效地考查了学生分析问题和解决问题的能力．2．丰富多彩的呈现形式，考查学生的信息加工处理能力今年各地的数学高考试题重视考查学生对数学材料的理解、接收及加工处理的能力，丰富了传递试题信息的方式，试题呈现的信息除了数学符号和文字，还大量使用图形、表格等，使传递的信息空间更广，内涵更丰富．例3 （2007年·广东卷·理科）图2是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10，（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155）内的学生人数）．图3是统计图2中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜9图1 乙 A2 A 1评析：本题中的条形统计图能清楚地表示出某县参加2007年高考的学生身高的人数情况，而算法流程图可以统计出身高在一定范围的学生人数，本题正是利用两种图形的各自的特点，使信息在两种统计图之间交叉呈现，因此解决问题的基础是必须读懂图形，使已知的信息在两种统计图之间相互切换，本题考查了学生利用统计图、流程图进行描述数据和处理数据的能力．例4 （2007年·湖北卷·理科）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝（116）t －a （a 为常数），如图所示．据图4中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 评析：图表是一种直观的数学语言，也是表达试题信息的重要形式，因此，正确获取图表中信息，成了解决问题的关键．本题中，学生需要从室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）的函数关系所对应的图形中获取数据，有效地考查了学生信息加工处理能力．3．构造图形问题，考查学生的空间想象能力有关“立体几何”的构造型问题要求学生构造各种满足条件的图形，有的还需在平面图形和立体图形之间进行相互切换，除了答案具有个性色彩外，还常有思维多向的特征，在构图时需要学生灵活运用各种数学知识解决问题．这类问题对数学思想方法和能力要求均较高，能较好地考查学生的空间想像能力和创新能力．例5 （2007年·宁夏（海南）卷·理科）已知某个几何体的三视图如下，根据图5中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）． 图2图3图5 Ａ．40003cm 3 Ｂ．80003cm 3 Ｃ．2000cm 3 Ｄ．4000cm 3评析：本题要求学生研究三视图，通过空间想像和推理得出这个几何体的形状，然后求出这个几何体的体积．这种通过平面三视图来想像立体图形的问题能较好地考查学生的空间想像能力．例6 （2007年·安徽卷·理科）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．评析：本题需用分类讨论的思想求解，构图时要以正方体上任意选择4个顶点之间的相互关系进行分类，然后再构造图形，并研究图形性质．本题具有较高的思维价值，能有效考查学生的构图能力和空间想像能力．4．阅读与探究结合，考查学生的探究能力阅读理解型试题和探究型试题是数学高考中的常见题型，而将这两类试题有机地结合，不失为一种有益的尝试，也成了今年数学高考试题中的一道亮丽的风景．这些试题首先定义新概念，要求学生在阅读的基础上理解新概念，然后结合新概念对新问题进行探究，具有较高的思维价值，也有效考查了学生的探究能力．例7 （2007年·上海卷·理科）我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x ≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞c ＞0．如图6，点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2分别是“果圆”与x ，y（1）若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，求“果圆”（2）当A 1A 2＞B 1B 2时，求b a的取值范围； （3）连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由． 评析：这是一道题干简洁、图形熟悉的融阅读与探究为一体的新问题，通过解决第（1）题，可以使学生理解新定义，也对这一类特殊图形有一个初步的感性的认识，也为解决第（2）、（3）题做好了铺垫．第（3）题中探究“果圆”的弦的性质，需要对斜率为k 进行分类研究，也把探究的层次进行了提升．本题能有效考查学生的探究能力．二、对高中数学教学的启示1．要注重基础，抓好核心内容的教学．在教学中，教师必须切实抓好基本概念、定理、公式、法则等核心内容的教学，以严谨图6 正视图 侧视图 俯视图的作风引导和规范学生的数学学习行为，抓好基本概念及其性质，基本技能和基本思想方法的教学，让学生真正理解和掌握，并形成合理的网络结构．2．关注教改方向，重视教学方法的改进．在教学中，教师要不断学习和接受新的教育思想，转变观念，坚持“启发式”和“讨论式”，以问题作为教学的出发点，多设计、提出适合学生发展水平的具有一定探究性的问题，创设问题情境，使学生面对适度的困难，开展尝试和探究，让学生经历“再发现”和“再创造”的过程．把培养学生的能力，促进学生的发展放在数学教学工作的首位，而且能力培养要落实在平时的教学过程中，贯穿于教学过程的全过程．3．要加强数学思想方法的教学．数学基础知识和基本技能所反映出来的数学思想方法是数学知识的精髓，在课堂教学中，数学思想方法的教学应渗透在教学全过程中，使学生不仅学好概念、定理、法则等内容，而且能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识．4．要强化过程意识．注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，重视知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在学习期间不是简单地背下一些公式、定理，而要展开思维，弄清楚其背景和来源．真正理解所学知识，同时学习分析、解决问题的方法，并且发展科学精神和创新意识．因此，教学中要加强过程教学，真正做到结论和过程并重．5．联系实际，要重视数学应用的教学．数学教学应联系社会生活实际和学生的实际，选择的教学材料应该具有时代性和地方特色，以此培养学生的应用意识．教学中应多采用“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的模式展开，同时多安排一些让学生走向社会的“做数学”的活动，鼓励学生用数学眼光发现和提出问题，有意识地用自己所学的数学知识解决所遇到的问题，提高用数学的意识和能力．6．教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化．尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平．问题情境的设计，教学过程的展开，练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平．7．教学中要注重学生创新意识的培养．把培养学生创新意识当作数学教学的一个重要目的和基本原则．在教学中要激发学生的好奇心和求知欲，通过学生独立思考，不断追求新知，发现、提出和创造性地解决问题．并引导学生将所学知识应用于实际，从数学角度对某些日常生活、生产和其他学科中出现的问题研究，或对某些数学问题进行深入探讨，充分体现学生的自主性和合作精神．本文发表于《中小学数学·高中版》2008年第1—2期。