高中数学：第二章 平面向量的实际背景及基本概念
高中数学第二章平面向量2.1.1平面向量的实际背景及基本概念aa高一数学
已知两个非零向量(xiàngliàng)a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫 做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O
当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
第六页，共二十三页。
A
A
B
O
B
B
b
Oa A
我们(wǒ men)学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
第十九页，共二十三页。
作1、 业(zu若 òyè|)：a||b|1,ab且2a3b与ka4b也 互 2、相 设 a是 垂非 直 k零 的 ，向 值 求量 。 b， c,求 且证：
abaca(bc)
第二十页，共二十三页。
3、用向量(xiàngliàng)方法证明：直径所对的圆 周角为直角。
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °
=2
第十一页，共二十三页。
a·b的几何(jǐ hé)意义：
bB
(3 )当 a 与 b 同向 a b |a 时 |b ||;
θ
O
A
B1 a
当 a 与 b 反向 a b 时 |a |b ||;，
特别(tèbié) 地
(4)cos
aa|a|2
ab | a||b|
或|a|
高中数学必修四 第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
则点������, ������, ������, ������必在同一条直线上; ⑤有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中说法错误的个数是( )
专题突破
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 向量的有关概念
【例 1】 下列说法正确的是( ) A. ������������ ∥ ������������就是������������所在的直线平行于������������所在的直线 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量的长度等于 0 D.共线向量是在同一条直线上的向量 解析: ������������ ∥ ������������包含������������所在的直线与������������ 所在的直线平行和重合两种情况,故 A 项错;相等向量不仅要求长度 相等,还要求方向相同,故 B 项错;按定义,零向量的长度等于 0,故 C 项正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互 相平行的向量,故 D 项错. 答案:C
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.对向量有关概念的理解要全面、准确,要注意相等向量、 共线向量之间的区别和联系.
2.共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同 或相反,向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义 不同于平面几何中“共线”的含义.
3.零向量是与任一向量共线的,因此,向量共线不具有传递性.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:以 A 为原点,正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴正方向 建立直角坐标系.
高中数学平面向量的实际背景及基础概念
平面向量的实际背景及基础概念【知识与技能】1.理解平面向量、有向线段的概念，掌握向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量共线向量等概念3.会辨认图形中的相等向量;4.清楚认识现实生活中的向量和数量两个不同概念，把握其本质区别，提高辨识能力.【过程与方法】向量的概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量关系的运算.向量不同于数量，它是一种新的量，既有大小又有方向，关于数量的运算在向量范围内不一定适用.因此，本章在介绍向量概念时，说明了向量与数量的区别.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形来区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.一、教学目标1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.二、教学重点⑴向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．⑵向量是一种新的量，其特征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键，还要让学生理解向量和数量的区别联系，建立一种新的量的思维体系．⑶相等向量只与方向、大小有关，与位置没有关系，进一步理了解学习的向量是自由向量，为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础．三、教学难点⑴向量概念的理解．由于向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；⑵引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用.四、教学具准备直尺、投影仪．五、教学过程㈠设置情境问：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？答：不能，因为没有给定发射的方向．问：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向． ㈡向量的概念：力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1平面向量的实质背景及基本观点向量的物理背景与观点向量的几何表示相等向量与共向量学目： 1. 理解向量的有关观点及向量的几何表示．( 要点 )2. 理解共向量、相等向量的观点． ( 点 )3. 正确划分向量平行与直平行．(易混点 )[自主·探新知]1．向量与数目(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数目：只有大小，没有方向的量称数目．2．向量的几何表示(1)有方向的段叫做有向段．它包括三个因素：起点、方向、度．→→→(2) 向量能够用有向段表示．向量AB的大小，也就是向量AB的度(或称模)，作| AB |. 向量也能够用字母a， b， c，⋯表示，或用表示向量的有向段的起点和点字母表示，→→比如， AB，CD.思虑： (1) 向量能够比大小？(2)有向段就是向量？[ 提示 ] (1) 向量不可以比大小，但向量的模能够比大小．(2)有向段不过表示向量的一个形工具，它不是向量．3．向量的有关观点零向量度 0 的向量，作 0位向量度等于 1 个位的向量方向同样或相反的非零向量平行向量向量 a， b 平行，作( 共向量 )定：零向量与任一直量平行度相等且方向同样的向量相等向量向量 a 与 b 相等，作 a＝ b[ 基自 ]1．思虑辨析(1)零向量没有方向． ()(2)→→)向量 AB的长度和向量BA的模相等．((3)单位向量都平行． ()(4)零向量与随意愿量都平行． ()[ 分析 ] (1) 错误．零向量的方向是随意的．(2) 正确． (3) 错误．单位向量的方向不一定同样或相反，因此不必定平行．(4) 正确．[答案] (1) ×(2) √(3) ×(4) √2．有以下物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．此中能够当作是向量的有()A．1个B．2 个C．3个D．4 个B [ ①②③不是向量，④⑤是向量．]3．如图 2-1-1 ，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________( 填序号 ) ．图 2-1-1→→→→(1)AD与 BC；(2) OB与 OD；→→→ →(3)AC与 BD；(4) AO与 OC.(1)(4)[ 由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：→→→→AD＝ BC，OB≠ OD→→→→AC≠ BD，AO＝ OC.][合作研究·攻重难]向量的有关观点判断以下命题能否正确，请说明原因：(1)若向量 a 与 b 同向，且| a|>| b|，则 a>b；(2)若向量 | a| ＝ | b| ，则a与b的长度相等且方向同样或相反；(3) 关于随意愿量 || ＝ |b | ，若a与b的方向同样，则＝；a a b(4)因为 0 方向不确立，故 0 不与随意愿量平行；(5)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向同样或相反．[ 思路研究 ]解答此题应依据向量的有关观点，注意愿量的大小、方向两个因素．[ 解 ] (1) 不正确．因为向量由两个因向来确立，即大小和方向，因此两个向量不可以比较大小．(2)不正确．由 | a| ＝ | b| 只好判断两向量长度相等，不可以确立它们的方向关系．(3) 正确．因为 || ＝ || ，且a 与b同向，由两向量相等的条件，可得＝ .a b a b(4)不正确．依照规定： 0 与随意愿量平行．(5)不正确．因为向量 a 与向量 b 如有一个是零向量，则其方向不定．[ 规律方法 ] 1. 理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是随意的，全部的零向量都相等．(2)单位向量不必定相等，易忽视向量的方向．2．共线向量与平行向量．(1)平行向量也称为共线向量，两个观点没有差别；(2)共线向量所在直线能够平行，与平面几何中的共线不一样；(3)平行向量能够共线，与平面几何中的直线平行不一样．提示：解决与向量观点有关题目的要点是突出向量的中心——方向和长度．[ 追踪训练 ]1．给出以下命题：①若 a∥ b， b∥ c，则 a∥ c.②若单位向量的起点同样，则终点同样．③起点不一样，但方向同样且模相等的几个向量是相等向量；→→④向量 AB与 CD是共线向量，则A， B，C， D四点必在同向来线上．此中正确命题的序号是________．③[ ①错误．若b＝ 0，则①不建立；②错误．起点同样的单位向量，终点未必同样；③正确．关于一个向量只需不改变其大小和方向，是能够随意挪动的．→→④错误．共线向量即平行向量，只需求方向同样或相反即可．其实不要求两个向量 AB，CD一定在同向来线上． ]向量的表示及应用(1)如图2-1-2 ，B，C是线段AD的三平分点，分别以图中各点为起点和终点，能够写出 ________个向量．图 2-1-2(2)在如图 2-1-3 所示的坐标纸上 ( 每个小方格边长为 1) ，用直尺和圆规画出以下向量：图 2-1-3①→→2，点A在点O北偏东 45°；OA，使|OA|＝4②→→B 在点A正东；，使 || ＝4，点AB AB→→③ BC，使|BC|＝6，点 C在点 B 北偏东30°.【导学号： 84352172】→→→→→→(1) 12 [(1)能够写出12 个向量，分别是：AB， AC， AD， BC， BD，CD，→→→→→→BA， CA，DA， CB，DB， DC(2) ①因为点A在点 O北偏东45°处，因此在座标纸上点 A 距点 O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又→2，小方格边长为 1，因此点 A 距点 O的横向小方格数与纵向| OA| ＝4小方格数都为 4，于是点A地点能够确立，画出向量→OA如下图．②因为点B 在点A→| ＝ 4，因此在座标纸上点B距点A的横向小方格正东方向处，且 |AB数为 4，纵向小方格数为→0，于是点B地点能够确立，画出向量AB如下图．③因为点C 在点B北偏东 30°处，且 |→C距| ＝ 6，依照勾股定理可得：在座标纸上点BC点 B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为→3 3≈5.2 ，于是点C地点能够确立，画出向量BC如下图． ][ 规律方法 ] 1.向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确立向量的起点，再确立向量的方向，最后依据向量的长度确立向量的终点．(2) 字母表示法：为了便于运算可用字母a ，，c表示，为了联系平面几何中的图形性b→→→质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB， CD， EF等．2．两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量办理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．[ 追踪训练 ]2．某人从A点出发向东走了 5 米抵达B点，而后改变方向按东北方向走了10 2米抵达C点，抵达 C点后又改变方向向西走了10 米抵达D点．→→→(1)作出向量 AB， BC， CD；→(2)求AD的模．→→→[ 解 ](1) 作出向量AB，BC，CD，如下图：(2)由题意得，△ BCD是直角三角形，此中∠ BDC＝90°， BC＝10 2 米，CD＝ 10 米，因此BD＝ 10 米．△ABD是直角三角形，此中∠ ABD＝90°， AB＝5米， BD＝10米，因此 AD＝52＋ 102＝5 5( 米) ，因此 |→5米 .| ＝ 5AD找寻相等向量和共线向量[ 研究问题 ]1．两个相等的非零向量的起点与终点能否都分别重合？提示：不必定．因为向量都是自由向量，只需大小相等，方向同样就是相等向量，与起点和终点地点没关．→→→→2．若AB∥CD，则从直线AB与直线CD的关系和AB与CD的方向关系两个方面考虑有哪些状况？提示：分四种状况→→(1)直线 AB和直线 CD重合， AB与CD同向；→→(2)直线 AB和直线 CD重合， AB与CD反向；→→(3)直线 AB∥直线 CD， AB与 CD同向；→→(4)直线 AB∥直线 CD， AB与 CD反向．如图 2-1-4 ，四边形为边长为 3 的正方形，把各边三平分后，共有16 个ABCD交点，从中选用两个交点作为向量的起点和终点，→2 2的向量有哪些？则与 AC平行且长度为( 在图中标出有关字母，写出这些向量)【导学号： 84352173】图 2-1-4[ 思路研究 ]所求向量有以下两个特点：(1) 表示此向量的有向线段所在直线与AC平行或重合． (2) 长度是边长为 2 的正方形的对角线．→→→→→→→→→8[ 如下图，知足与AC平行且长度为 2 2的向量有AF，FA，EC，CE，GH，HG，IJ，JI 共8个．]→2的向量有几个？母题研究： 1. 本例中，与向量AC同向且长度为 2[ 解 ]→2 2的向量占与向量→2 2的向量中的一与向量 AC同向且长度为AC平行且长度为半，共 4 个．→2．本例中，如图2-1-5 ，与向量AO相等的向量有多少个？图 2-1-5[ 解 ] 图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量→方向同样的AO向量与其相等，共有8 个．[ 规律方法 ]相等向量与共线向量的研究方法(1)找寻相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确立哪些是同向共线．(2)找寻共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再结构同向与反向的向量，注意不要遗漏以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提示：与向量平行有关的问题中，不要忽视零向量．[当堂达标·固双基]1．以下结论正确的个数是( )(1) 温度含零上和零下温度，因此温度是向量； (2) 向量的模是一个正实数；(3) 向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；(4) 若 | a |>| b | ，则 a >b .A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3B [(1) 错误．温度是数目不是向量；(2) 错误．零向量的模为0.(3) 正确．因为零向量与随意愿量共线； (4) 错误．向量不可以比较大小．]→ → → →)2．设 O 是正方形 ABCD 的中心，则向量 AO ， BO ， OC ， OD 是(A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有同样起点的向量D ．模相等的向量→ → → →D [ 由正方形的性质知 | AO |＝ | BO | ＝ | OC |＝ | OD |.]3．在以下判断中，正确的选项是 ()①长度为 0 的向量都是零向量；②零向量的方向都是同样的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤随意愿量与零向量都共线. 【导学号： 84352174】A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤D [ 由定义知①正确， ②因为零向量的方向是随意的，故两个零向量的方向能否同样不确立，故不正确．明显③⑤正确，④不正确，应选D.]4．在以下命题中：①平行向量必定相等；②不相等的向量必定不平行；③共线向量一定相等； ④相等向量必定共线； ⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．④⑥[ 由向量的有关观点可知④⑥正确．]5．如图 2-1-6 所示菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 订交于 O 点， ∠DAB ＝60°， 分别以 A ，B ，C ，D ，O 中的不一样两点为始点与终点的向量中，图 2-1-6→(1)写出与 DA平行的向量；→(2)写出与 DA模相等的向量．[ 解 ]由题图可知，→→ → →→(1) 与DA平行的向量有：AD，BC，CB； (2)与DA模相等的向量有：→→→→→→ →→ →AD， BC，CB， AB，BA， DC， CD， BD， DB.。
平面向量的实际背景和基本概念
1200公里
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
一、向量的物理背景的概念
定义：既有大小又有方向的量叫向量。 注：1.向量两要素： 大小，方向 2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能
b
a
c
d
e
小结：
知识要点
向量
向量的概念 向量的关系 单 位 向 量 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
向 量 的 定 义
表 零 示 向 方 量 法
作业：
教材习题2.1 1， 2 ， 3 题
例1. 如图，试根据图 中的比例尺以及三地 的位置，在图中分别
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
P
（四）向量间的关系----相等向量和相反向量 相等向量： 长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量。记作：a d
a 相反向量： 长度相等且方向相反的向量叫做 C B 思考：单位向量和单位向量一定相等吗？ 相反向量。记作： b a c d c AB DC a b d c
带着问题奔向课堂
Questioning
向量与数量的区别 向量与数量的区别
向量用什么来表示？
相等向量相反向量
认真听讲
仔细思考 积极发言
知识 方法 技能
2.1 平面向量的实际背景 及基本概念
引例
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
平面向量的实际背景及基本概念
向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律，即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时，向量减法不满 足结合律。
• 意义：数乘向量在实际问题中具有重要意义，如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义：两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结 果是一个实数，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质：向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$，$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质：点乘满足交换律和分配律，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$， $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外， 点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。
平面向量的实际背景及基本概念
数乘向量
• 数乘向量：一个实数与一个向量的乘积是一个向量，其模 等于该实数乘以原向量模，其方向与原向量方向相同或相 反（当实数为负时）。
03
平面向量的性质与运 算
向量的模
向量的模的性质
• 齐次性：对于任意实数λ和向量 a，有|λa|=|λ||a|。
向量的模定义：向量的大小或长 度称为向量的模。记作|a|，其中a 为向量。
速度与加速度的合成
总结词
平面向量在速度和加速度的计算中有着重要的应用， 通过速度和加速度的合成可以更好地分析物体的运动 状态。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的重 要物理量，可以用向量表示其大小和方向。通过将速 度和加速度进行合成，可以更好地分析物体的运动状 态，例如，在曲线运动中，可以将速度分解为多个分 量，然后分别对每个分量进行分析，以确定物体在曲 线上的位置、速度和加速度。此外，在航天工程中， 也需要利用平面向量来计算卫星轨道和航天器姿态等 参数。
VS
向量的积分
向量的积分可以表示向量在某个区间内的 累积效果，其计算方法与函数的积分类似 。
THANK YOU
05
平面向量的扩展与延 伸
向量的空间几何意义
向量的长度
表示向量的大小，可以通过模长来衡 量。
向量的夹角
表示两个向量之间的角度，可以通过 向量的点积来计算。
向量的平行
当两个向量共线时，它们是平行的。
向量的垂直
当两个向量正交时，它们是垂直的。
向量的函数表示
向量的线性函数
向量的线性函数是指与向量成正比的函数， 可以表示为y=mx+b的形式。
向量的二次函数
向量的二次函数是指与向量平方成正比的函数，可 以表示为y=mx²+bx+c的形式。
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课题
平面向量的实际背景及基本概念 课型 新授课 课时 1 学习目
标 1. 通过目标分解一，认识了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； 2.通过目标分解二，对向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相
等向量、共线向量等概念有进一步的理解。
重难点 向量与数量的区别、向量的表示（几何表示、字母表示）
合作探究
【课前预习区】
基础知识
目标分解一：向量的实际背景、平面向量的概念和向量的几何表示
（一）、情景设置：
如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否
追到老鼠？
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量. 请同学举例指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
（二）、阅读课本74-76页后回答：
向量的概念：我们把既有_________又有_________的量叫_________。
1、数量与向量有何区别？
____________________________________________
2、如何表示向量？
__________________________________________________
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
____________________________________________________________
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ A B C D
6、相等向量定义：长度 且方向 的向量叫相等向量。
说明：（1）向量a r 与向量b r 相等，记作a b =r r ；
（2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示。
与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．
，（向量可以平移）。
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为 （与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
例1.判断及解答：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
练习：
判断正误
①向量就是有向线段。
（ ）
②如果AB CD >，那么AB CD >。
（ ）
③力、速度和质量都是向量。
（ ）
练习：
1.如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与
向量OA 、OB 、OC 相等的向量.
变式一：与向量OA 长度相等的向量有多少个？
变式二：是否存在与向量OA 长度相等、方向相反的向量？
a b =，b c =，则a c =；
AB ＝DC ，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点a b ，b c ，则a c ；
在四边形ABCD 中，向量AB 与向量AB CD ≠，则四边形BD = .。