江苏省常熟市2018-2019学年高二下学期期中考试(文)数学试题(解析版)
常熟市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
常熟市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}，则A ∩（∁R B ）=（ ）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A ．y=﹣x+4B ．y=xC ．y=x+4D ．y=﹣x3． 已知函数，关于的方程（）有3个相异的实数根，则的()x e f x x=x 2()2()10f x af x a -+-=a R Îa 取值范围是（）A ．B ．C ．D ．21(,)21e e -+¥-21(,)21e e --¥-21(0,21e e --2121e e ìü-ïïí-ïïîþ【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．4． 若复数z 满足i 1i z =--,则在复平面内,z 所对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 5． 已知向量=（1，2），=（m ，1），如果向量与平行，则m 的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．﹣26． 把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的图象关于直线x=对称，则φ的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．7． 有以下四个命题：①若=，则x=y ．②若lgx 有意义，则x ＞0．③若x=y ，则=．④若x ＞y ，则 x 2＜y 2．则是真命题的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④8． 抛物线E ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2），若线段AF 的中点B 在抛物线上，则|BF|=（）A ．B ．C ．D ．9． 直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如果双曲线经过点P （2，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（ ）A ．x 2﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=112．如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③D ．③④二、填空题13．已知，，那么.tan()3αβ+=tan()24πα+=tan β=14．已知一组数据，，，，的方差是2，另一组数据，，，，（）1x 2x 3x 4x 5x 1ax 2ax 3ax 4ax 5ax 0a >的标准差是，则 ．a =15．满足tan （x+）≥﹣的x 的集合是 ．16．在中，有等式：①；②；③；④ABC ∆sin sin a A b B =sin sin a B b A =cos cos a B b A =.其中恒成立的等式序号为_________.sin sin sin a b cA B C+=+17．已知函数f （x ）=，若f （f （0））=4a ，则实数a= ．18．已知正四棱锥的体积为，O ABCD -2则该正四棱锥的外接球的半径为_________三、解答题19．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E：+=1，（1）过点M（，）且被M点平分的弦所在直线的方程；（2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；（3）求与椭圆E有公共焦点，与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．20．（本小题满分12分）成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示.（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立xOy (1,2)P -l 45ox 极坐标系，曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为．C 2sin 2cos ρθθ=l C ,A B （1（223．已知椭圆C 1： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为e=，直线l ：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切．（1）求椭圆C 1的方程；（2）抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）与椭圆C 1有公共焦点，设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R ，S 在C 2上（R ，S 与Q 不重合），且满足•=0，求||的取值范围．24．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA ﹣sinC （cosB+sinB ）=0．（1）求角C 的大小； （2）若c=2，且△ABC 的面积为，求a ，b 的值．常熟市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．2．【答案】A【解析】解：∵点A（1，1），B（3，3），∴AB的中点C（2，2），k AB==1，∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y﹣2=﹣（x﹣2），整理，得：y=﹣x+4．故选：A．3．【答案】D第Ⅱ卷（共90分）4． 【答案】B 【解析】 5． 【答案】B 【解析】解：向量，向量与平行，可得2m=﹣1．解得m=﹣．故选：B ． 6． 【答案】B【解析】解：把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）=cos[2（x+）+φ]=cos （2x+φ+）的图象关于直线x=对称，则2×+φ+=k π，求得φ=k π﹣，k ∈Z ，故φ=﹣，故选：B ． 7．【答案】A【解析】解：①若=，则，则x=y ，即①对；②若lgx 有意义，则x ＞0，即②对；③若x=y ＞0，则=，若x=y ＜0，则不成立，即③错；④若x ＞y ＞0，则 x 2＞y 2，即④错．故真命题的序号为①②故选：A ． 8．【答案】D【解析】解：依题意可知F坐标为（，0）∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=，∴抛物线准线方程为x=﹣，所以点B到抛物线准线的距离为=，则B到该抛物线焦点的距离为．故选D．9．【答案】D【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆：圆心（2,1），半径2．圆心到直线的距离为：，所以直线与圆相交。
江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题
【全国百强校】江苏省常熟中学2020-2021学年高二下学期期中考试文数试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}2,4A =，{}2,3B a a =+，若{}2A B ⋂=，则实数a 的值为__________. 2．设函数()()2log (32),01,0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()2f =__________ . 3．复数23i i+-的虚部等于__________ . 4．已知幂函数()f x 过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f x =__________ .5．若4cos 5α=-且32παπ<<，则cos 2α=__________ . 6．函数()Inx f x x=的单调递增区间是__________. 7．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.8．设lg 2m =，lg3n =，则5log 12=__________.（用含m ，n 的式子表示） 9．已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递减，且()20f =，则不等式()0f x ≥的解集为__________ .10．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________ . 11．在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为__________ .12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +=__________.13．已知()()y f x x R =∈的图像过点()1,0，()'f x 为函数()f x 的导函数，若当0x >时恒有()'1xf x >，则不等式()ln f x x ≤的解集为__________.二、解答题 14．已知函数()2cos sin cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求224f απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos )cos 0(C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围．16．设复数(,0)z a bi a b R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<. （1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围；（3）设11z u z-=+，求证：u 为纯虚数. 17．如图，某小区内有两条互相垂直的道路1l 与2l ，平面直角坐标系xOy 的第一象限有一块空地OAB ，其边界OAB 是函数()y f x =的图象，前一段曲线OA 是函数y =AB 是一条线段.测得A 到1l 的距离为8米，到2l 的距离为16米，OB 长为20米.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形OPQB （其中PQ ，OB 为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.18．已知函数()221f x x x kx =-++，且定义域为()0,2. （1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；（2）若()f x 在区间()0,2上单调减函数，求实数k 的取值范围；（3）若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两个不同的实根，求实数k 的取值范围. 19．设函数()ln f x x =，()()()01m x n g x m x +=>+. （1）当1m =时，函数()f x ，()g x 在1x =处的切线互相垂直，求n 的值；（2）当函数()()y f x g x =-在定义域内不单调时，求证：3m n ->；（3）是否存在实数k ，使得对任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，都有函数()k y f x x=+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）参考答案1．2【解析】分析：根据交集的定义知2a =或232a +=（无解），从而得解.详解：集合{}2,4A =，{}2,3B a a =+， 若{}2A B ⋂=，则2a =或232a +=（无解）.所以2a =，此时{}2,7B =.故答案为2.点睛：本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2．1【解析】分析：将2x =代入分段函数，由自变量的范围结合函数关系求解即可.详解：由函数()()()2log 32,01,0x x f x f x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩， 得()()()()()22?211110log 21f f f f f =-==-===. 故答案为：1.点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，属于基础题.3．12【解析】 分析：利用复数的除法运算化简得1122i +，进而得解. 详解：复数()()()()232651113339122i i i i i i i i ++++-===+--++. 虚部为12. 故答案为：12.点睛：本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.4．12x - 【解析】分析：设幂函数()a f x x =，将点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入求解a 即可. 详解：设幂函数()af x x =， 由()f x 过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得142a =，解得12a =-. 所以()12f x x-=. 故答案为12x -.点睛：本题主要考查了待定系数法求解幂函数的解析式，属于基础题.5． 【解析】 分析：利用余弦的二倍角公式2cos 212cosαα=-，可得22cos α，结合2α的范围可得解. 详解：由24cos 2125cos αα=-=-，解得21210cos α=. 又32παπ<<，所以3224παπ<<，所以cos 02α<.即cos 210α=-. 点睛：本题主要考查了余弦的二倍角公式，属于基础题.6．()0,e【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间.【详解】因为()Inx f x x=，则其定义域为()0,+∞， ()21lnx f x x-'=，令()0f x '>，即可得10lnx ->，解得x e <，结合函数定义域可知，函数()f x 的单调增区间为()0,e .故答案为：()0,e .【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域. 7．23π 【分析】根据正弦定理到35a b =，75c a =，再利用余弦定理得到1cos 2C =-，得到答案. 【详解】 3sin 5sin A B =，则35a b =，2b c a +=，故75c a =. 根据余弦定理：22222294912525cos 32225a a a abc C ab a a +-+-===-⋅，故23C π=. 故答案为：23π. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.8．21m n m+- 【解析】 分析：利用换底公式及对数的运算法则得512322log 12512lg lg lg lg lg +==-，带入条件可得解. 详解：512lg 34322log 12510212lg lg lg lg lg lg lg lg ++===--. 由lg2m =，lg3n =， 得52log 121m n m+=-. 点睛：本题主要考查了对数的换底公式：(0m a m log b log b m log a =>且1)m ≠.属于基础题.9．(][],20,2-∞-【解析】分析：利用奇函数的中心对称性及函数的单调性和奇函数满足()00f ，=可求解. 详解：在()0,+∞上()f x 单调递减，且()20f =，当()0f x ≥时，有02x <≤.又()f x 为奇函数，图象关于原点对称，所以在()0,+∞上，()0f x ≥可得2x ≤-.又奇函数满足()00f =.所以不等式()0f x ≥的解集为(][],20,2-∞-⋃.故答案为：(][],20,2-∞-⋃.点睛：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系及数形结合进行求解是解决本题的关键．解这种题型往往是根据函数所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性（偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同），然后再根据单调性列不等式求解.10 【解析】 分析：由同角三角函数关系得222sin 11666cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，诱导公式得5cos cos π cos 666πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，进而得解.详解：由cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，得22212sin 11166633cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5cos cos π cos 666πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：23+. 点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式，属于基础题.11．1:27【解析】由题意，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的边长比为1:2，其面积比为边长比的平方，即为1:4，以此类比，又正三角形中心点是对应高的三等分点，则易知，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的边长比为1:3，因此其体积比为1:27.12．0【解析】分析：由函数的奇偶性分别得()()1?10f x f x -+--=，()()11f x f x --=+， 从而得()()1?10f x f x -++=，进而得解. 详解：()()1g x f x =-，()()1g x f x -=--.由()g x 是定义在R 上的奇函数，可得()()()()1?10g x g x f x f x +-=-+--=. 又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()11f x f x --=+.综上可得()()1?10f x f x -++=. 所以()()()()2017201920181201810f f f f +=-++=.故答案为：0.点睛：本题中主要考查了函数的奇偶性的性质，以及抽象复合函数的奇偶性，属于难点，需要区别以下难点：()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=--，()f x 是奇函数，则()()f x a f x a +=---， ()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，()f x a +是奇函数，则()()f x f x a =--+.13．(]0,1【解析】分析：构造函数()()(0)g x f x lnx x =->，并求导可得在（0，+∞）上单调递增，由()f x lnx ，即得()()01g x g =，即可得出结论．详解：构造函数()()(0)g x f x lnx x =->,则()()()'11''0xf x g x f x x x-=-=>， ∴()()g x f x lnx =-在()0,+∞上单调递增，由()f x lnx ，即得()()01g x g =，∴01x <，故答案为：(]0,1.点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：()()f x xf x +'，构造xf (x )；2xf (x )+x 2f ′(x )，构造x 2f (x )； ()()xf x f x '-，构造()f x x ; ()()f x f x '-，构造()x f x e ；()()f x f x '+，构造() x e f x .等等.14．（1）()82k x k Z ππ=+∈；（2. 【解析】分析：（1）化简函数得()1242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()242x k k Z πππ+=+∈，可得对称轴；（2）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α=-，1sin 224232f αππα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用和角的正弦展开代入求解即可.详解：（1）()1cos21sin222x f x x +=+ 1242x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.令()242x k k Z πππ+=+∈，解得()82k x k Z ππ=+∈，即为所求的对称轴方程.（2）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4cos 5α==-，而11sin cos cos sin 22432332f αππππααα⎛⎫⎛⎫⎫+=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将3sin 5α=，4cos 5α=-代入上式，求得：1022420f απ+⎛⎫+=⎪⎝⎭. 点睛：研究三角函数()()f x Asin x ωϕ=+的性质，最小正周期为2πω，最大值为A .求对称轴只需令π2,2x k k Z ωϕπ+=+∈，求解即可， 求对称中心只需令,x k k Z ωϕπ+=∈，单调性均为利用整体换元思想求解.15．（1）3B π=；（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得tan B ，进而得角B 的大小； （2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得12b ≥，再结合三角形边关系求得b 的取值范围. 【详解】（1）∵cos cos )cos 0(C A A B +=，∴cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，即cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B A B A B -++=， ∵sin 0A ≠，∴tan B =∴3B π=．（2）由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，代入可得22222()3132a c b a c ac a c ac +⎛⎫=+-=+-≥-⨯ ⎪⎝⎭2111324⎛⎫=-⨯=⎪⎝⎭，当且仅当12a c ==时取等号， ∴12b ≥，又1b a c <+=， ∴b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题. 16．（1）1；（2）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解； （2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；（3）化简()()2222121a b biu a b ---=++，由（1）知221a b +=，则()22211bbu i i aa b=-=-+++，从而得证.详解：（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则220bb a b -=+，由0b ≠，解得221a b +=，所以1z ==，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212111111111a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦ ， 由（1）知221a b +=，则()22211bbu i i aa b=-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.17．（1）()16240,1620x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（2）当梯形的高为203米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为230027平方米 【解析】分析：（1）以()16,8A代入y =，得2k =，再由A ，B 两点可得直线AB ，从而利用分段函数表示即可；（2）设梯形的高为t 米，则08t <<，进而得2112024PQ t t =--，梯形的面积()21112020224S t t t t ⎡⎤⎛⎫=--+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求导利用函数单调性求解最值即可. 详解：（1）以()16,8A代入y =，得2k =， 因为()20,0B ，得直线AB ：240y x =-+，所以()16240,1620x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩.（2）设梯形的高为t 米，则08t <<，且2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，120,2Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2112024PQ t t =--， 所以梯形的面积()2321111120202022484S t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫=--+⋅=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 由()()()2311'203208828S t t t t t =--+=--+， 令()'0S t =，得20t =，列表如下：所以当203t =时，()S t 取得极大值，即为最大值为230027. 答：当梯形的高为203米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为230027平方米.点睛：本题主要考查了分段函数的额解析式，函数的实际应用问题，属于中档题.18．（1）x ；（2）(],8-∞-；（3）712k -<<-【解析】分析：（1）由题意得22130x x -+-=，讨论(]0,1x ∈和()1,2x ∈两种情况去绝对值解方程即可；（2）由()21,0121,12kx x f x x kx x +<≤⎧=⎨+-<<⎩，函数单减则有024k k <⎧⎪⎨-≥⎪⎩，从而得解；（3）讨论01x <≤和12x <<下解方程即可.详解：（1）令()3f x kx =+，即有22130x x -+-=.当(]0,1x ∈时，方程即为22130x x -+-=，方程无解；当()1,2x ∈时，方程即为22130x x -+-=，解得x =.综上，方程的解为x =（2）()21,0121,12kx x f x x kx x +<≤⎧=⎨+-<<⎩，由()f x 在()0,2上单调递减，则024k k <⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得8k ≤-，所以实数k 的取值范围是(],8-∞-. （3）当01x <≤时，1kx =-， ① 当12x <<时，2210x kx +-=， ② 若0k =，则①无解，②的解为()1,2x =，故0k =不成立； 若0k ≠，则①的解为1x k=- . （Ⅰ）当(]10,1k-∈，即1k ≤-时，中280k ∆=+>， 则一个根在()1,2内，另一根不在()1,2内，设()221g x x kx =+-，因为12102x x =-<，所以()()1020g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩，解得712k -<<-，又1k ≤-，则此时712k -<<-， （Ⅱ）当(]10,1k -∉，即10k -<<或0k >时，②在()1,2内有不同两根， 由12102x x =-<，知②必有负数根，所以不成立，综上712k -<<-.点睛：分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是二次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于二次函数，要关注开口方向和对称轴与区间的位置关系.两段分别递减还不行，还需要在两段交接的地方减，这样才能满足在R 身上单调递减.19．（1）5n =；（2）见解析；（3）1【解析】分析：（1）求导得切线斜率为()'1g 和()'1f ，由垂直得斜率积为-1，从而得解； （2）()()()ln 1m x n y f x g x x x +=-=-+，求导得()()2221'1x m mn x y x x +-++=+，令()()221p x x m mn x =+-++，要使函数在定义域内不单调，只需要()0p x =在()0,+∞有非重根，利用二次方程根的分别即可得解； （3）ln x k e x x <-对1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立，令()ln x h x e x x =-，()'ln 1x h x e x =--，令()ln 1xr x e x =--，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0'0r x =，即010x e x -=，则00ln x x =-，()r x 取到最小值()000001ln 110xr x e x x x =--=+->, 所以()'0h x >，即()h x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，从而得解. 详解：（1）当1m =时，()()21'1ng x x -=+，则()y g x =在1x =处的斜率为()1'14ng -=， 又()y f x =在1x =处的斜率为()'11f =，则114n-=-，解得5n = . （2）函数()()()ln 1m x n y f x g x x x +=-=-+，则()()()()2221211'11m n x m mn x y x x x x -+-++=-=++ . ∵0x >，∴()210x x +>，令()()221p x x m mn x =+-++，要使函数在定义域内不单调，只需要()0p x =在()0,+∞有非重根， 由于()p x 开口向上，且()01p =只需要()2202240m mn m mn -+⎧->⎪⎨⎪∆=-+->⎩，得()14m n ->，因为0m >，所以41n m->-，故4113m n m m ->+-≥=，当且仅当2m =时取等号，命题得证 . （3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln x k e x x x +<对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，即ln xk e x x <-对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立 .令()ln xh x e x x =-，则()'ln 1xh x e x =--，令()ln 1xr x e x =--，则()1'xr x e x=-， 因为()'r x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，121'202r e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()'110r e =->，且()'r x 的图象在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上不间断， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0'0r x =，即010x e x -=，则00ln x x =-， 所以当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()r x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()r x 单调递增. 则()r x 取到最小值()000001ln 11110xr x e x x x =--=+-≥=>， 所以()'0h x >，即()h x 在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增， 所以11221111ln ln2 1.995252222k h e e ⎛⎫≤=-=+= ⎪⎝⎭，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1 . 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .。
江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题(含精品解析)
江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．.1. 已知集合，，若，则实数的值为__________.【答案】2【解析】分析：根据交集的定义知或（无解），从而得解.详解：集合，，若，则或（无解）.所以，此时.故答案为2.点睛：本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2. 设函数，则__________ .【答案】1【解析】分析：将代入分段函数，由自变量的范围结合函数关系求解即可.详解：由函数，得.故答案为：1.点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，属于基础题.3. 复数的虚部等于__________ .【答案】【解析】分析：利用复数的除法运算化简得，进而得解.详解：复数.虚部为.故答案为：.点睛：本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.4. 已知幂函数过点，则__________ .【答案】【解析】分析：设幂函数，将点代入求解即可.详解：设幂函数，由过点，得，解得.所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了待定系数法求解幂函数的解析式，属于基础题.5. 若且，则__________ .【答案】【解析】分析：利用余弦的二倍角公式，可得，结合的范围可得解.详解：由，解得.又，所以，所以.即.点睛：本题主要考查了余弦的二倍角公式，属于基础题.6. 函数的单调递增区间为__________ .【答案】【解析】y′＝.令y′>0，得1－ln x>0，∴0<x<e.故增区间为(0，e)答案：(0，e)点睛：求函数单调区间的方法：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7. 设的内角，，所对边的长分别为，，.若且，则角__________ . 【答案】【解析】分析：利用正弦定理得，结合条件得，由余弦定理可得，代入求解即可. 详解：由正弦定理，可得：，即.又，可得.由余弦定理可得.所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了运用正弦定理边角互化，余弦定理求解三角形内角，属于基础题.8. 设，，则__________.（用含，的式子表示）【答案】【解析】分析：利用换底公式及对数的运算法则得，带入条件可得解.详解：.由，，得.点睛：本题主要考查了对数的换底公式：且.属于基础题.9. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为__________ . 【答案】【解析】分析：利用奇函数的中心对称性及函数的单调性和奇函数满足可求解.详解：在上单调递减，且，当时，有.又为奇函数，图象关于原点对称，所以在上，可得.又奇函数满足.所以不等式的解集为.故答案为：.点睛：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系及数形结合进行求解是解决本题的关键．解这种题型往往是根据函数所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性（偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同），然后再根据单调性列不等式求解.10. 已知，则的值为__________ .【答案】【解析】分析：由同角三角函数关系得，诱导公式得，进而得解.详解：由，得..所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式，属于基础题.11. 在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为__________ .【答案】1:27【解析】由题意，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的边长比为，其面积比为边长比的平方，即为，以此类比，又正三角形中心点是对应高的三等分点，则易知，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的边长比为，因此其体积比为.12. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则__________.【答案】0【解析】分析：由函数的奇偶性分别得，，从而得，进而得解.详解：，.由是定义在上的奇函数，可得.又是定义在上的偶函数，所以.综上可得.所以.故答案为：0.点睛：本题中主要考查了函数的奇偶性的性质，以及抽象复合函数的奇偶性，属于难点，需要区别以下难点：是偶函数，则，是奇函数，则，是偶函数，则，是奇函数，则.13. 已知的图像过点，为函数的导函数，若当时恒有，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】分析：构造函数，并求导可得在（0，+∞）上单调递增，由，即得，即可得出结论．详解：构造函数,则，∴在上单调递增，由，即得，∴，故答案为：.点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：，构造xf(x)；2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；，构造;，构造；，构造.等等.14. 设钝角的内角为，，，且，若，则的取值范围是__________. 【答案】【解析】分析：由三角形内角和的关系将条件变形为，记，进而化简得，利用以，所以，得，而，从而得解.详解：内角满足.所以，由，得：.记，则上式为：.进而得：，展开得：.两边同时除以可得：.可得：.由，且为钝角三角形，所以，所以.，所以.所以.又.故答案为：.点睛：本题主要考查了三角形内角和的关系，及和差角公式的灵活应用，还有同角三角函数的弦切互化，本题的难点在于建立于条件的关系，解本题的关键在于设，及将和作为整体化简求值求范围.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求函数的对称轴方程；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）化简函数得，令，可得对称轴；（2）由，，得，，利用和角的正弦展开代入求解即可.详解：（1）.令，解得，即为所求的对称轴方程.（2）由，，则，而，将，代入上式，求得：.点睛：研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为.求对称轴只需令，求解即可，求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解.16. 在中，角，，所对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和和与差公式化简可得角B的大小；（2）利用正弦定理，边化角，根据三角函数的有界限即可求解b的取值范围．试题解析：（1）由已知得：，即，∵，∴，即，又为三角形的内角，则；（2）∵，即，，∴由余弦定理得：，即，∵，∴，则．17. 设复数，且，.（1）求复数的模；（2）求复数实部的取值范围；（3）设，求证：为纯虚数.【答案】（1）1；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）由，由得，从而虚部为0，得，进而可得解；（2）由（1）知，从而求范围即可；（3）化简，由（1）知，则，从而得证.详解：（1），由得，则，由，解得，所以，（2）由（1）知，所以，即复数的实部的取值范围是.（3），由（1）知，则，应为，所以为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.18. 如图，某小区内有两条互相垂直的道路与，平面直角坐标系的第一象限有一块空地，其边界是函数的图象，前一段曲线是函数图象的一部分，后一段是一条线段.测得到的距离为8米，到的距离为16米，长为20米.（1）求函数的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形（其中，为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.【答案】（1）；（2）当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米【解析】分析：（1）以代入，得，再由，两点可得直线，从而利用分段函数表示即可；（2）设梯形的高为米，则，进而得，梯形的面积，求导利用函数单调性求解最值即可.详解：（1）以代入，得，因为，得直线：，所以.（2）设梯形的高为米，则，且，，所以，所以梯形的面积，由，令，得，列表如下：所以当时，取得极大值，即为最大值为.答：当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米.点睛：本题主要考查了分段函数的额解析式，函数的实际应用问题，属于中档题.19. 已知函数，且定义域为.（1）求关于的方程在上的解；（2）若在区间上单调减函数，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】分析：（1）由题意得，讨论和两种情况去绝对值解方程即可；（2）由，函数单减则有，从而得解；（3）讨论和下解方程即可.详解：（1）令，即有.当时，方程即为，方程无解；当时，方程即为，解得（负值舍去）.综上，方程的解为.（2），由在上单调递减，则，解得，所以实数的取值范围是.（3）当时，，①当时，，②若，则①无解，②的解为，故不成立；若，则①的解为 .（Ⅰ）当，即时，中，则一个根在内，另一根不在内，设，因为，所以，解得，又，则此时，（Ⅱ）当，即或时，②在内有不同两根，由，知②必有负数根，所以不成立，综上.点睛：分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是二次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于二次函数，要关注开口方向和对称轴与区间的位置关系.两段分别递减还不行，还需要在两段交接的地方减，这样才能满足在身上单调递减.20. 设函数，.（1）当时，函数，在处的切线互相垂直，求的值；（2）当函数在定义域内不单调时，求证：；（3）是否存在实数，使得对任意，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，）【答案】（1）；（2）见解析；（3）1【解析】分析：（1）求导得切线斜率为和，由垂直得斜率积为-1，从而得解；（2），求导得，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，利用二次方程根的分别即可得解；（3）对恒成立，令，，令，存在，使得，即，则，取到最小值, 所以，即在区间内单调递增，从而得解.详解：（1）当时，，则在处的斜率为，又在处的斜率为，则，解得 .（2）函数，则 .∵，∴，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，由于开口向上，且只需要，得，因为，所以，故，当且仅当时取等号，命题得证 .（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立，即对恒成立 .令，则，令，则，因为在上单调递增，，，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增.则取到最小值，所以，即在区间内单调递增，所以，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为1 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .。
【数学】江苏省常熟市2019-2020学年高二下学期期中考试
江苏省常熟市2019-2020学年高二下学期期中考试注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含选择题(第1题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)，本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卷交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效。
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知复数z＝21ii(其中i是虛数单位)，则复数z的虛部为A.－1B.－iC.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.4t ＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s2?A.32s B.2s C.52s D.73s3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成二面角的正弦值为D.1 34.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数f(x)＝x3－3bx＋2在区间(2，3)内单调递增，则实数b的取值范围是A.b≤4B.b<4C.b≥4D.b>46.如图，在圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB＝60°，有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V，则V1：V的值为A.13B.49C.59D.237.若函数()2x x f x ax e=-存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1e ) B.(0，1e ) C.(－∞，0)∪{1e } D.(－∞，0)∪(0，1e) 8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为A.252B.216C.162D.228二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
江苏省常熟市2019-2020学年高二下学期期中考试数学含答案
2019－2020学年第二学期期中试卷高二数学2020.05注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含选择题(第1题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)，本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卷交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效。
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知复数z＝21ii(其中i是虛数单位)，则复数z的虛部为A.－1B.－iC.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.4t ＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为 2.8m/s2A.32s B.2s C.52s D.73s3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成二面角的正弦值为A.33B.22C.63D.134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数f(x)＝x3－3bx＋2在区间(2，3)内单调递增，则实数b的取值范围是A.b≤4B.b<4C.b≥4D.b>46.如图，在圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB＝60°，有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V，则V1：V的值为A.13B.49C.59D.237.若函数2xx f xax e存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是A.(－∞，1e) B.(0，1e) C.(－∞，0)∪{1e} D.(－∞，0)∪(0，1e)8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为A.252B.216C.162D.228二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
【数学】江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试(文)
江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试（文）第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．. 1.已知集合{}2,4A =，{}2,3B a a =+，若{}2AB =，则实数a 的值为 .2.设函数()()2log (32),01,0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()2f = .3.复数23ii+-的虚部等于 . 4.已知幂函数()f x 过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x = .5.若4cos 5α=-且32παπ<<，则cos 2α= .6.函数ln xy x=的单调递增区间为 . 7.设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若2b c a +=且3sin 5sin A B =，则角C = .8.设lg 2m =，lg3n =，则5log 12= .（用含m ，n 的式子表示） 9.已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上单调递减，且()20f =，则不等式()0f x ≥的解集为 .10.已知3cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 . 11.在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 . 12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f += .13. 已知()()y f x x R =∈的图像过点()1,0，()'f x 为函数()f x 的导函数，若当0x >时恒有()'1xfx >，则不等式()ln f x x ≤的解集为 .14.设钝角ABC 的内角为A ，B ，C ，且B A C <<，若()sin 2sin cos2A B C A-=，则tan C 的取值范围是 .第Ⅱ卷（共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数()2cos sin cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求224f απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围.17. 设复数(,0)za bi ab R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围；（3）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数.18. 如图，某小区内有两条互相垂直的道路1l 与2l ，平面直角坐标系xOy 的第一象限有一块空地OAB ，其边界OAB 是函数()yf x =的图象，前一段曲线OA 是函数y k x =图象的一部分，后一段AB 是一条线段.测得A 到1l 的距离为8米，到2l 的距离为16米，OB 长为20米. （1）求函数()yf x =的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形OPQB （其中PQ ，OB 为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.19. 已知函数22()1f x x x kx =-++，且定义域为()0,2.（1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；（2）若()f x 在区间()0,2上单调减函数，求实数k 的取值范围；（3）若关于x 的方()0f x =程在()0,2上有两个不同的实根，求实数k 的取值范围.20. 设函数()ln f x x =，()()()01m x n g x m x +=>+.（1）当1m =时，函数()f x ，()g x 在1x =处的切线互相垂直，求n 的值；（2）当函数()()yf xg x =-在定义域内不单调时，求证：3m n ->；（3）是否存在实数k ，使得对任意1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，都有函数()k y f x x =+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）参考答案一、填空题1. 22. 13. 124. 12x -5.1010-6.()0,e 7. 23π 8. 21m n m+- 9. (][],20,2-∞-10.233+ 11. 1:27 12. 0 13. (]0,1 14. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6,012⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、解答题 15.（1）()1cos 21sin 222x f x x +=+ 21sin 2242x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 令()242x k k Z πππ+=+∈，解得()82k x k Z ππ=+∈，即为所求的对称轴方程. （2）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则24cos 1sin 5αα=--=-， 而2121sin sin cos cos sin 2242322332f αππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将3sin 5α=，4cos 5α=-代入上式，求得：32461022420f απ-+⎛⎫+=⎪⎝⎭. 16. （1）由已知可得：()cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B -++-=，即有sin sin 3sin cos 0A B A B -=，由()0,A π∈，则sin 0A >，则有sin 3cos B B =，即tan 3B =，由()0,B π∈，所以角3B π=. （2）由余弦定理得2222cos ba c ac B =+-，由1a c +=，1cos 2B =，()22213131324a c b a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭， 则12b ≥（当且仅当12a c ==时等号成立），又1b ac <+=， 综上，b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 17.（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i za bi ab a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则22bb a b -+，由0b ≠，解得221a b +=，所以221z a b =+=，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212111111111a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡--⎤⎡+-⎤---⎣⎦⎣⎦====+++⎡++⎤⎡+-⎤++⎣⎦⎣⎦， 由（1）知221ab +=，则()22211bbu i i aa b=-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数. 18.（1）以()16,8A 代入y kx =，得2k =，因为()20,0B，得直线AB ：240y x =-+，所以()2,016240,1620x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩.（2）设梯形的高为t 米，则08t <<，且2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，120,2Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2112024PQt t =--，所以梯形的面积()21112020224St t t t ⎡⎤⎛⎫=--+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 32112084t t t =--+，由()()()2311'203208828S t t t t t =--+=--+， 令()'0S t =，得203t =，列表如下： t200,3⎛⎫ ⎪⎝⎭20320,83⎛⎫ ⎪⎝⎭()'S t＋ 0 － ()S t↗极大值↘所以当203t=时，()S t 取得极大值，即为最大值为230027. 答：当梯形的高为203米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为230027平方米. 19. （1）令()3f x kx =+，即有22130x x -+-=.当(]0,1x ∈时，方程即为22130x x -+-=，方程无解；当()1,2x ∈时，方程即为22130x x -+-=，解得2x =（负值舍去）.综上，方程的解为2x =.（2）()21,0121,12kx x f x x kx x +<≤⎧=⎨+-<<⎩，由()f x 在()0,2上单调递减，则024k k <⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得8k≤-，所以实数k 的取值范围是(],8-∞-.（3）当01x <≤时，1kx =-， ①当12x <<时，2210x kx +-=， ②若0k=，则①无解，②的解为()21,22x =±∉，故0k =不成立； 若0k≠，则①的解为1x k=- .（Ⅰ）当(]10,1k-∈，即1k ≤-时，中280k ∆=+>， 则一个根在()1,2内，另一根不在()1,2内，设()221g x x kx =+-，因为12102x x =-<，所以()()1020g g ⎧<⎨>⎩，解得712k -<<-， 又1k≤-，则此时712k -<<-，（Ⅱ）当(]10,1k-∉，即10k -<<或0k >时，②在()1,2内有不同两根， 由12102x x =-<，知②必有负数根，所以不成立， 综上712k -<<-. 20.（1）当1m =时，()()21'1ng x x -=+，则()yg x =在1x =处的斜率为()1'14ng -=， 又()yf x =在1x =处的斜率为()'11f =，则114n-=-，解得5n = . （2）函数()()()ln 1m x n yf xg x x x +=-=-+，则()()()()2221211'11m n x m mn x y x x x x -+-++=-=++ . ∵0x >，∴()210xx +>，令()()221p x x m mn x =+-++，要使函数在定义域内不单调，只需要()0p x =在()0,+∞有非重根，由于()p x 开口向上，且()01p =只需要()2202240m mn m mn -+⎧->⎪⎨⎪∆=-+->⎩，得()14m n ->， 因为0m >，所以41n m->-， 故441213m n m m m m->+-≥⋅-=，当且仅当2m =时取等号，命题得证 . （3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln x k e x x x +<对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，即ln x k e x x <-对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立 .令()ln x h x e x x =-，则()'ln 1x h x e x =--， 令()ln 1x rx e x =--，则()1'x r x e x=-， 因为()'r x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，121'202r e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()'110r e =->，且()'r x 的图象在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上不间断， 所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0'0r x =，即0010x e x -=，则00ln x x =-，所以当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()r x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()r x 单调递增.则()rx 取到最小值()000000011ln 112110x r x e x x x x x =--=+-≥⋅-=>， 所以()'0h x >，即()h x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以11221111ln ln 2 1.995252222k h e e ⎛⎫≤=-=+= ⎪⎝⎭，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1 .。
江苏省常熟市2019-2020学年高二下学期期中考试试题 数学【含答案】
江苏省常熟市2019-2020学年高二下学期期中考试试题数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知复数z＝21ii-(其中i是虛数单位)，则复数z的虛部为A.－1B.－iC.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.4t＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s2?A.32s B.2s C.52s D.73s3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成二面角的正弦值为A.3B.22C.6D.134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数f(x)＝x3－3bx＋2在区间(2，3)内单调递增，则实数b的取值范围是A.b≤4B.b<4C.b≥4D.b>46.如图，在圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB＝60°，有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V，则V1：V的值为A.13B.49C.59D.237.若函数()2 x xf x axe=-存在两个不同零点，则实数a的取值范围是A.(－∞，1e) B.(0，1e) C.(－∞，0)∪{1e} D.(－∞，0)∪(0，1e)8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为A.252B.216C.162D.228二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.以下函数求导正确的是A.若f(x)＝2211x x -+，则f'(x)＝()2241x x + B.若f(x)＝e 2x ，则f'(x)＝e 2x C.若f(x)＝21x -，则f'(x)＝21x - D.若f(x)＝cos(2x －3π)，则f'(x)＝－sin(2x －3π) 10.下列关于复数的四个命题中，真命题有A.若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈RB.若复数z ∈R ，则z ∈RC.若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝2zD.若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R 11.以下关于函数f(x)＝x ＋21x的说法正确的是 A.函数f(x)在(0，＋∞)上不单调 B.函数f(x)在定义域上有唯一零点C.函数f(x)的最小值为3322D.x ＝32是f(x)的一个极值点 12.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，将△ABD 沿对角线BD 翻折到△PBD 位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是A.PC 与平面BCD 所成的最大角为45°B.存在某个位置，使得PB ⊥CDC.当二面角P －BD －C 的大小为90°时，PC 6D.存在某个位置，使得B 到平面PDC 3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年苏州市常熟市高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年苏州市常熟市高二下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共42.0分）1.已知数列，()，若，且，则中是1的个数为．2.已知复数，且，则．3.由0，1，2，3，4，5这六个数字．能组成______ 个无重复数字的四位偶数．4.已知(1+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1−2a2+3a3−4a4=______ ．5.随机变量ξ的分布如表，则E(5ξ+4)=______．ξ024P0.40.30.36.已知函数f(x)=x3−3x2−2，过点(2,m)(m≠−6)可作曲线y=f(x)的三条切线，则m的取值范围是______．7.复数z满足(3−4i)z=5+10i，则|z|=______．8.在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=______ ．9.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是___________10.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是______ ．11.平面内有n(n∈N∗)个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成f(n)个区域，那么f(n)=______ ．)n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中x的系数为______.(用数字作答) 12.已知(2x+√x)n的二项展开式中的第五项是常数，则自然数n的值为______ ．13.若(√x−2x14.设x1、x2是函数f(x)=ax3+bx2−a2x(a>0)的两个极值点，且|x1|+|x2|=2√2，则b的最大值为______ ．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在复平面内描出表示下列复数的点和向量：(1)2+5i；(2)−3+2i；(3)3−2i；(4)−2i−4；(5)3；(6)−3i；(7)4i；(8)−2．16.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．17.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数组成没有重复数字的七位数，试问：(1)三个偶数排在一起的有几个？(2)偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？(3)任意两偶然都不相邻的七位数有几个？18.一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4；白球3个，编号分别为1，2，3.从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同)．(Ⅰ)求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；(Ⅱ)在取出的4个球中，红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19.19.(本小题满分12分)数列中，，，数列满足，．(Ⅰ)若数列是等差数列，求数列的前项和；(Ⅱ)若数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式．20.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a>0)在x=1处有极值10．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：33解析：试题分析：，所以中是1的个数为考点：本小题主要考查计数原理的应用．点评：解决本小题的关键是根据题意求出，再结合，即可求解，要注意转化思想的应用．2.答案：解析：试题分析：，则解得即．考点：1.复数的运算；2.复数的恒等．3.答案：156解析：当末位是数字0时，可以组成A53个数字；当末位不是0时，末位可以是2，4，有两种选法，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C21C41A42种结果，根据计数原理得到结果．本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想．数字问题是排列中经常见到问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，注意数字0的双重限制，即可在最后一位构成偶数，又不能放在首位．解：(1)本题需要分类来解，当末位是数字0时，可以组成A53=60个，当末位不是0时，末位可以是2，4，有两种选法，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C21C41A42=96种结果，根据分类计数原理知共有60+96=156种结果，故答案为：156．4.答案：−8解析：先对二项展开式求导函数，对求导后的式子中的x赋值−1，求出代数式的值．本题考查复合函数的求导法则、利用赋值法解决代数式的系数和问题．解：对二项式的展开式求导得到8(1+2x)3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3令x=−1得到−8═a1−2a2+3a3−4a4.故答案为−8．5.答案：13解析：解：由题意可得：E(ξ)=0×0.4+2×0.3+4×0.3=1.8，∴E(5ξ+4)=5×1.8+4=13．故答案为：13．利用分布列，求解期望，通过期望公式，转化求解即可．本题考查了概率的性质，数学期望的计算，属于基础题．6.答案：(−7,−6)解析：解：∵点(2,m)(m≠−6)不在曲线y=f(x)上，∴设切点为(x0,y0)，则y0=x03−3x02−2．∵f′(x0)=3x02−6x0，∴切线的斜率为3x02−6x0．则3x02−6x0=x03−3x02−2−m，即2x03−9x02+12x0+2+m=0，x0−2因为过点(2,m)(m≠−6)，可作曲线y=f(x)的三条切线，所以方程2x03−9x02+12x0+2+m=0有三个不同的实数解．即函数g(x)=2x3−9x2+12x+2+m有三个不同的零点．则g′(x)=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−2)(x−1)，令g′(x)=0，解得x=1或x=2．x(−∞,1)1(1,2)2(2,+∞)g′(x)+0−0+g(x)↗极大值↘极小值↗∴{g(2)<0，即{7+m>06+m<0,解得−7<m<−6．故答案为：(−7,−6)．求出函数的导数，根据导数的几何意义建立条件关系，构造函数，求得导数和单调性、极值，即可得到结论．本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系以及导数的几何意义，要求熟练掌握导数的综合应用．7.答案：√5解析：本题考查了复数的运算；熟记运算法则是关键；属于基础题．首先通过复数的除法运算得到复数z，然后求模长．解：因为(3−4i)z=5+10i，所以z=5+10i3−4i =(5+10i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−25+50i25=−1+2i，则|z|=√12+22=√5；故答案为：√5．8.答案：2解析：解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，如图对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=ACAC1，cosβ=AB1AC1，cosγ=AD1AC1，∴cos2α+cos2β+cos2γ=AC2+AB1 2+AD1 2AC1 2，令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos2α+cos2β+cos2γ=AC2+AB1 2+AD1 2AC1 2=a2+b2+a2+c2+b2+c2a2+b2+c2=2故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可．本题考查类比推理及棱柱的结构特征，线面角的定义，综合性强是一个常考的题型．9.答案：解析：试题分析：总人数为5人，其中有小丽1人，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是考点：古典概型的概率点评：求古典概型的概率，只有确定要求事件的数目和总的数目，然后求出它们的比例即可。
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2018-2019学年第二学期期中试卷高二数学（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．.1.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为________．【答案】1【解析】【分析】利用复数的除法求出后可得．【详解】因为，所以．故，填．【点睛】本题考查复数的除法及复数的概念，属于基础题．2.已知集合,,则_________.【答案】.【解析】【分析】分别根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合和，再根据交集的定义求出.【详解】∵集合，，∴，故答案为:．【点睛】本题考查集合的交集的运算，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用，是基础题.3.已知幂函数过点，则________．【答案】【解析】【分析】设，代入点可得，从而可得幂函数的解析式．【详解】设，则，，所以，填．【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，属于容易题．4.在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点横坐标为，则的值是________．【答案】【解析】【分析】先由三角函数的定义可得的值，再利用倍角公式可得的值．【详解】由三角函数的定义可得，．填．【点睛】本题考查三角函数的定义及二倍角公式，是基础题．5.已知，则的值是________．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和商数关系式可得的值．【详解】因为，所以，故，填【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的基本关系式，是基础题．6.计算：________．【答案】1【解析】【分析】用对数的运算性质计算即可．【详解】，填．【点睛】对数的运算性质可以分类如下几类：（1）；；（2）；；（3）．7.已知在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则_________．【答案】【解析】【分析】先求，再利用正弦定理可以得到．【详解】因为，，故，由正弦定理可以得到，故．【点睛】本题考查正弦定理，属于容易题．8.已知函数，若，则_________．【答案】【解析】【分析】先求，从而得到，故可得的值．【详解】，，故，填．【点睛】本题已知分段函数的函数值，要求参数的取值，此类问题属于基础题．9.若定义在上的偶函数满足，对任意恒成立，则__________．【答案】1【解析】【分析】先由得到函数周期，从而，再利用及可得从而得到．【详解】因为，故，故为周期函数且周期为，所以，令，则即，因，故，所以，故填．【点睛】一般地，定义在上的函数满足，总有（），则为周期函数且周期为；如果定义在上的函数满足，总有（），则为周期函数且周期为．10.已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】先根据得到的单调性，再利用复合函数的单调性的判断方法得到的性质，从而求得实数的取值范围．【详解】因为任意两个不相等的实数，都有不等式成立，所以为上的增函数，故在上为增函数且恒成立所以，解答，填．【点睛】复合函数的单调性的讨论应依据“同增异减”的原则，注意讨论的单调性的时候要关注在给定范围上的值域必须是外函数定义域的子集．11.在二维空间中，正方形的一维测度（周长）（为正方形的边长），二维测度（面积）；在三维空间中，正方体的二维测度（表面积）（为正方形的边长），三维测度（体积）；应用合情推理，在四维空间中，“超立方”的三维测度，则其四维测度__________．【答案】【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度），从而得到，从而得到．【详解】在二维空间中，二维测度与一维测度（周长）的关系是；在三维空间中，三维测度与二维测度的关系是，故在四维空间中，若“超立方”的三维测度，则其四维测度满足，所以，故（为常数），类比各个维度测度的解析式的形式可得，故，填．【点睛】本题考查类比推理，属于基础题．12.已知，则的最小值是__________．【答案】0【解析】【分析】利用倍角公式可得，配方后利用可得原式的最小值．【详解】，因为，故，故，所以当时，有最小值，填．【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.13.设定义在上的奇函数满足：时，（其中为常数）.若，，，则，，的大小关系是_________.（用“”连接）【答案】【解析】【分析】先利用求出，构建新函数，利用导数可判断为上的增函数，从而得到即，故可得.【详解】因为为上的奇函数，故，而，所以，故当时，，令，则为上的偶函数，当时，，，当时，则，所以，故，所以为上的增函数，所以，即，所以，故.填.【点睛】判断给定的各数的大小，我们可依据它们的形式构建具体的函数，通过函数的单调性来判断它们的大小，而单调性可根据导数的符号来讨论.14.已知为常数，函数，若关于的方程有且只有2个不同的解，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】画出及的图像，根据方程解的个数动态确定动直线的位置为：与函数的图像相切或与的图像有两个公共点，从而可得实数的范围．【详解】因为关于的方程有且只有2个不同的解，所以的图像与直线有两个不同的交点，又及的图像如图所示：当时，因的图像与直线有两个不同的交点，故直线与相切，与有一个交点，设切点为，从而，解得，．当时，因的图像与直线有两个不同的交点，故直线与有两个公共点，所以方程有两个不同的解，即有两个不同的解，即，所以，故，综上，．故填．【点睛】已知分段函数的零点的个数求参数的取值范围时，要根据零点的个数及各段函数图像的特点确定动曲线与定曲线之间的关系，必要时可结合函数的导数分类讨论图像的特点．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.已知复数（，是虚数单位）.（1）若是纯虚数，求值；（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第四象限，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）化简z＝1－2m＋(2m＋1)i，若z是纯虚数，只需1－2m＝0且2m＋1≠0即可；（2）求得1－2m－(2m＋1)i，得＋2z=3－6m＋(2m＋1)i，只需即可.试题解析：（1）z＝＝＝1－2m＋(2m＋1)i．因为z是纯虚数，所以1－2m＝0且2m＋1≠0，解得m＝．（2）因为是z的共轭复数，所以＝1－2m－(2m＋1)i．所以＋2z＝1－2m－(2m＋1)i＋2[1－2m＋(2m＋1)i]＝3－6m＋(2m＋1)i．因为复数＋2z在复平面上对应的点在第一象限，所以解得－＜m＜，即实数m的取值范围为(－，)．点睛:形如的数叫复数,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.当时复数为实数,当时复数为虚数,当时复数为纯虚数.16.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：⑴由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得，又因为，求出，结合的范围可求的值⑵利用三角形内角和定理可求，利用三角形面积公式求，在中，利用余弦定理可求，在中，利用正弦定理可求解析：（1）由，得，由正弦定理可得，，因为，所以，因为，所以.（2）因为，故为等腰三角形，且顶角，故，所以，在中，由余弦定理可得，，所以，在中，由正弦定理可得，，即，所以.17.设函数，其中，已知.（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到图象向右平移个单位，得到函数的图象，求在上的取值范围.【答案】（1）4；（2）.【解析】【分析】（1）利用辅助角公式把化为，再利用得到满足的关系式，结合可求的值.（2）利用周期变换得到，算出后可得的值域.【详解】（1），由，则，所以，则，由，可知.（2）因为，所以，由，则，所以，即的取值范围是.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．18.如图，在本市某旧小区改造工程中，需要在地下铺设天燃气管道.已知小区某处三幢房屋分别位于扇形的三个顶点上，点是弧的中点，现欲在线段上找一处开挖工作坑（不与点，重合），为铺设三条地下天燃气管线，，，已知米，，记，该三条地下天燃气管线的总长度为米.（1）将表示成的函数，并写出的范围；（2）请确定工作坑的位置，使此处地下天燃气管线的总长度最小，并求出总长度的最小值. 【答案】（1）；（2）当长为米时，此处天燃气管线的长度最短为米.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可求得、，从而得到，其中. （2）利用导数可求的最小值. 【详解】（1）因为为弧的中点，有对称性可知，，，又，，由正弦定理，得，又，得，，所以，由题意，的取值范围是.（2）令，，则，令，得，列表：所以当时，米，有唯一极小值.此时有最小值米.答：当长为米时，此处天燃气管线的长度最短为米.【点睛】导数背景下的应用题，关键在于利用题设条件构建数学模型，这些数学模型通常是三次函数、三角函数或分式函数，建模时注意自变量的合适选取及其相应的范围的确定.解模时可以利用导数等工具讨论其性质.19.已知函数，.（1）解方程：；（2）设，求函数在区间上的最大值的表达式；（3）若且，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）令，解方程后可得.（2）令，则，分类讨论可求的最大值的表达式.（3）根据题设有，利用基本不等式求出的最小值后可得的最大值从而得到的最大值. 【详解】（1）由题意，，解得，（舍去）.所以原方程的解为：.（2），，令，则，设函数，则.当，即时，；当，即时，；当，即时，.综上， .（3）由题意，得，所以，其中，所以，由知的最大值是，又单调递增，所以，，即的最大值为.【点睛】复合函数的值域一般通过换元来处理，通过换元把复杂函数转化为基本初等函数（如二次函数、指数函数、对数函数等）的值域，换元时注意中间变量的范围.二元等式条件下的最值问题，往往利用线性规划或基本不等式来处理.20.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在时恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数，求证：函数的极大值小于1.【答案】（1）见解析；（2）（3）见证明【解析】【分析】（1）先对函数求导，分别讨论和，即可得出结果；（2）先将函数在时恒成立，转化为在上恒成立，再设，，利用导数方法求出的最大值，即可得出结果；（3）先由题意得到，对求导，利用导数的方法研究其单调性，即可求出其极大值，得出结论. 【详解】解：（1）由于，，当时，，在上单调递减；当时，由得，由得；所以在上单调递减，上单调递增.（2）若在上恒成立，只需，.令，，则，由得，所以，随的变化情况如下：所以，所以.（3）由题知，，令，，则函数在上单调递减，，，所以存在唯一的，当时，；当时，.所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，其中，所以函数有极大值.函数的极大值是，由，得，所以，因为，所以，即，所以的极大值小于1. 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要先对函数求导，用导数方法研究函数单调性、极值、最值等，属于常考题型.。