高中数学必修5必做16题

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高中数学人教版必修五数列经典例题高考题（附解析答案）

⾼中数学⼈教版必修五数列经典例题⾼考题（附解析答案）黄冈经典例题⾼考题（附答案，解析）等差数列例1、在等差数列{a n}中：1、若a1－a4－a8－a12＋a15=2，则a3＋a13=___________.2、若a6=5，a3＋a8=5，则a10=___________.3、若a1＋a4＋a7=39，a2＋a5＋a8=33，则a3＋a6＋a9=___________.例 2、已知数列{a n}的通项，试问该数列{a n}有没有最⼤项？若有，求最⼤项和最⼤项的项数，若没有，说明理由.例 3、将正奇数1，3，5，7，……排成五列，（如下图表），按图表的格式排下去，2003所在的那列，从左边数起是第⼏列？第⼏⾏？1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25…………例 4、设f(x)=log 2x－log x4（0（1）求数列{a n}的通项公式；（2）判断该数列{a n}的单调性.1.(2009年安徽卷)已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5=105，a2＋a4＋a6=99，则a20等于（）A.－1B.1C.3D.72.（2009年湖北卷）古希腊⼈常⽤⼩⽯⼦在沙滩上摆成各种形状来研究数，⽐如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，……，由于这些数能够表⽰成三⾓形，将其称为三⾓形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，……这样的数为正⽅形数，下列数中既是三⾓形数⼜是正⽅形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．13783.(江西卷)在数列{a n}中，，则a n=( )A.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnnD.1＋n＋lnn等差数列前N项和、等⽐数列例 1 、在等差数列 {a n}中，（1）已知a15=33，a45=153，求a61；（2）已知S8=48，S12=168，求S4；（3）已知a1－a4－a8－a12＋a15=2，求S15；（4）已知S7=42，S n=510，a n－3=45，求n.例 2 、已知数列 {a n}的前n项和，求数列{|a n|}的前n项和S n′.例 3 、设数列 {a n}的⾸项a1=1，前n项之和S n满⾜关系式：3tS n－(2t＋3)S n－1=3t（t>0，n=2，3，4…）（1）求证：数列{a n}为等⽐数列；（2）设数列{a n}的公⽐为f(t)，作数列{b n}，使（n=2，3，4，…），求b n.（3）求和：b1b2－b2b3＋b3b4－…＋(－1)n＋1b n b n＋1.例 4、⼀个⽔池有若⼲出⽔量相同的⽔龙头，如果所有⽔龙头同时放⽔，那么 24分钟可注满⽔池，如果开始时，全部放开，以后每隔相等的时间关闭⼀个⽔龙头，到最后⼀个⽔龙头关闭时，恰好注满⽔池，⽽且最后⼀个⽔龙头放⽔的时间恰好是第⼀个⽔龙头放⽔时间的5倍，问最后关闭的这个⽔龙头放⽔多少时间？例 5 、在 XOY平⾯上有⼀个点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，P n（a n，b n），…，对每个⾃然数n，点P n位于函数y=2000（0（2）若对每个⾃然数n，以b n，b n＋1，b n＋2为边长能构成⼀个三⾓形，求a的取值范围；（3）设B n=b1·b2·…·b n（n∈N*）.若a取（2）中确定的范围内的最⼩整数，求数列{B n}的最⼤项的项数.1.（2009年宁夏、海南卷）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知，,则m=（）A.38B.20C.10D.92.(2009年全国1卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=72,则=_________.3.（2009年福建卷）等⽐数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.等⽐数列前N项和、数列的应⽤例 1 、 {a n} 为等差数列（d≠0） , {a n} 中的部分项组成的数列恰为等⽐数列，且 k1=1 ，k2=5 ， k3=17 ，求 k1＋k2＋k3＋……＋k n的值 .例 2、已知数列 {a n} 满⾜条件： a1=1 ， a2=r(r ﹥ 0) 且 {a n·a n+1} 是公⽐为 q(q ﹥ 0) 的等⽐数列，设 b n=a2n －1＋a2n(n=1,2, …… ).（1）求出使不等式 a n a n+1＋a n+1a n+2> a n+2 a n+3 (n ∈ N*) 成⽴的 q 的取值范围；（2）求 b n；（3）设，求数列的最⼤项和最⼩项的值 .例 3 、某职⼯年初向银⾏贷款 2万元⽤于购房，银⾏为了推⾏住房制度改⾰，贷款优惠的年利率为10%，按复利计算，若这笔贷款要求分10年等额还清，每年⼀次，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？（精确到1元）例 4、在⼀次⼈才招聘会上，有 A、B两家公司分别开出它们的⼯资标准：A公司允诺第⼀年⽉⼯资为1500元，以后每年⽉⼯资⽐上⼀年⽉⼯资增加230元；B公司允诺第⼀年⽉⼯资为2000元，以后每年⽉⼯资⽐上⼀年的⽉⼯资的基础上递增5%.设某⼈年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该⼈分别在A公司或B公司连续⼯作n年，则他在第n年的⽉⼯资收⼊分别是多少？（2）该⼈打算连续在⼀家公司⼯作10年，仅从⼯资收⼊总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该⼈应该选择哪家公司，为什么？（3）在A公司⼯作⽐在B公司⼯作的⽉⼯资收⼊最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由.1.(2009年全国2卷)设等⽐数列{a n}的前n项和为S n，若，则=___________.2.（2009年北京卷）若数列满⾜：，则___________；前8项的和___________.（⽤数字作答）3.（2009年辽宁卷）等⽐数列{a n}的前n 项和为S n，已知,,成等差数列.（1）求{a n}的公⽐q；（2）若a1－a3＝3，求S n.答案&解析等差数列例⼀分析：利⽤等差数列任两项之间的关系：a m=a n＋(m－n)d以及“距⾸末两端等距离两项的和相等”的性质可简化解答过程．解：，故 5=10－d，∴ d=5.故 a10=a6＋4d=5＋4×5=25.例⼆分析：考察数列{a n}在哪⼀范围是递增数列，在哪些范围是递减数列，即可找到最⼤项．解：由有n≤9.⽽ a n>0，∴当n≤9时，有a n＋1≥a n.即 a1a11>a12>…∴数列{a n}中存在最⼤项，最⼤项的项数为9或10，最⼤项为.点评：最⼤项与最⼤项的项数是不同概念，⼀个是项，⼀个是项号．例三分析：考虑到每⾏占有四个数，利⽤周期性进⾏处理，每⼀个周期占两⾏⽤ 8个数，只须确定2003是第⼏个正奇数，问题就得到解决. 解：设2003是第n个正奇数.则 2003=1＋(n－1)·2．∴ n=1002.⽽ 1002=8×125＋2.∴ 2003在第251⾏第3列.例四分析：依据条件列出关于a n的⽅程，解⽅程并注意f(x)的定义域0⼜∵ f(x)定义域为0（2）则数列{a n}为递增数列．1. 答案：B2.答案：C解析：根据图形的规律可知第n个三⾓形数为，第n个正⽅形数为b n=n2,由此可排除D（1378不是平⽅数），将A、B、C选项代⼊到三⾓形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项，故选C．3.答案：A等差数列前N项和、等⽐数列例1 解析：（1） a45 －a15=30d=153 －33 得 d=4 ， a61=a45＋16d=217.（2）⽅法 1 S4， S8－S4， S12－S8成等差数列，则 S4＋（168 －48） =2（48 －S4）解得 S4= －8⽅法 2 成等差数列，则，∴ d=2.故.则 S4= －8.（3）∵（4） S7=7a4=42 ∴ a4=6∴ n=20例⼆解析：∴ a n=63 －3n≥0 有 n ≤ 21 误解⼀=误解⼆例三解析：（1）∵ n≥2 时∴ {a n} 为等⽐数列 .（2）∵则 {b n} 为等差数列，⽽ b1=1.∴∴当 n 为偶数时，当 n 为奇数时例四解析：设有 n 个⽔龙头，每个⽔龙头放⽔时间依次为 x1， x2， x3，…， x n，则数列 {x n} 为等差数列且每个⽔龙头 1 分钟放⽔池⽔，故最后关闭的⽔龙头放⽔时间为 40 分钟 .例五解析：（1）∵.（2）∵ 0要使 b n， b n＋1， b n＋2为边能构成三⾓形，（3）故{B n} 中最⼤项的项数为n=20.1.答案：C解析：因为{a n}是等差数列，所以，由，得：2－＝0，所以＝2，⼜，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选C.2.答案：24解析：∵{a n}是等差数列,由,得，.3.解析：（1）设的公⽐为，由已知得，解得..（2）由（1）得，，则，.设的公差为，则有，解得.从⽽.所以数列的前项和.等⽐数列前N项和、数列的应⽤例⼀解答：设公⽐为 q ，例⼆解答：（1）由题意得 rq n－1＋rq n＞ rq n+1.由题设 r ﹥ 0,q ﹥ 0 ，故上式 q2－q－1﹤0 ，（2）因为，所以，b1=1＋r≠0 ，所以 {b n} 是⾸项为 1＋r ，公⽐为 q 的等⽐数列，从⽽ b n=(1＋r)q n－1．（3）由（2）知 b n=(1＋r)q n－1，从上式可知当 n－20.2 ＞ 0 ，即 n ≥ 21(n ∈ N) 时， c n随 n 的增⼤⽽减⼩，故①当 n－20.2＜0 ，即 n ≤ 20(n ∈ N) 时， c n也随着 n 的增⼤⽽减⼩，故②综合①、②两式知对任意的⾃然数 n 有 c20≤ c n≤ c21故 {c n} 的最⼤项 c21=2.25 ，最⼩项 c20=－4.例三解⼀：我们把这类问题⼀般化，即贷款年利率为 a ，贷款额为 M ，每年等额归还 x 元，第 n 年还清，各年应付款及利息分别如下：第 n 次付款 x 元，这次⽋款全还清 .第 n－1 次付款 x 元后，过⼀年贷款全部还清，因此所付款连利息之和为 x(1＋a) 元；第 n－2 次付款 x 元后，过⼆年贷款全部还清，因此所付款连利息之和为 x(1＋a)2元；……第⼀次付款 x 元后，⼀直到最后⼀次贷款全部还清，所付款连利息之和为 x(1＋a)n－1元．将 a=0.1 ， M=20000 ， n=10 代⼊上式得故每年年初应还 3255 元．解⼆：设每年应还 x 元，第 n 次归还 x 元之后还剩⽋款为 a n元；则 a0=20000 ， a1=20000(1＋10%)－x ，a n＋1=a n(1＋10%)－x ，∴ a n＋1－10x=1.1(a n－10x) ，故数列 { a n－10x} 为等⽐数列．∴ a n－10x= (a0－10x)×1.1n，依题意有 a10=10x＋(20000－10x) ×1.110=0 ．．故每年平均应还 3255 元．例四解答：（1）此⼈在 A 、 B 公司第 n 年的⽉⼯资数分别为：a n=1500＋230 × (n－1)(n ∈ N*) ，b n=2000(1＋5%)n－1(n ∈ N*) ．（2）若该⼈在 A 公司连续⼯作 10 年，则他的⼯资收⼊总量为：12(a1＋a2＋…＋a10)=304200 （元）；若该⼈在 B 公司连续⼯作 10 年，则他的⼯资收⼊总量为：12(b1＋b2＋…＋b10) ≈ 301869 （元）．因此在 A 公司收⼊的总量⾼些，因此该⼈应该选择 A 公司 .（3）问题等价于求 C n=a n－b n=1270＋230n－2000×1.05n－1(n ∈ N*) 的最⼤值 .当 n ≥ 2 时， C n－C n－1=230－100×1.05n－2，当 C n－C n－1＞ 0 ，即 230－100×1.05n－2＞ 0 时， 1.05n－2＜2.3 ，得 n＜19.1,因此，当 2 ≤ n ≤ 19 时， C n－1＜C n；于是当 n ≥ 20 时， C n≤ C n－1.∴ C19=a19－b19≈ 827 （元） .即在 A 公司⼯作⽐在 B 公司⼯作的⽉⼯资收⼊最多可以多827 元．1.答案：3解析：设等⽐数列的公⽐为q.当q=1时，.当q≠1时，由.2. 答案：16；255解析：依题知数列{a n}是⾸项为1，且公⽐为2的等⽐数列，.3. 解析：（1）依题意有.由于，故.⼜，从⽽.（2）由已知可得.故.从⽽.。

2019年人教版高中数学必修五考点练习：求解目标函数的取值范围或最值(含答案解析)

，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为32.
x y ≤ 8,
x y ≤ 8,
2 y x ≤ 4, x 2 y ≥ 4,
15.
解析
因为
x
≥
0,
所以
x
≥
0,
y ≥ 0,
y ≥ 0,
由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，
-4 x-2y=-4
y
8
xz
17. ）.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
A. 0 C. 2
执行如图所示的程序框图，如果输入的 x, y R ，那么输出的 S 的最大值为（
B. 1 D. 3
入入入入 x入 y
x≥0入 y≥0
x+y≤1入
入
入
S=2x+y
S=1
入入S
入入
18.
如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D ， P x, y 为 D 中任意一点，则
x
y
3…
0
，则
z
x
2y
的取值范围是（
）.
x 2 y„ 0
A.0, 6 B.0, 4 C.6, D.4,
3. 已知实数x，y满足：Error!z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是( )
[ ]5 ，5 A. 3
B．[0,5]
C．[0,5)
[ )5 ，5 D. 3
4. 不等式组Error!的解集记为D.有下面四个命题：
y A
y = 2∙x
y= x
y=2
O
x
当直线 l ： y 2x 向左平移时， 2x y的值在逐渐变小，当 l 通过点 A2, 2时， 2x y 6 ．故选A.

高中数学必修五习题及解析

必修五第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320<0，∴B 为钝角．答案 C2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A>B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C 3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6.答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC →的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．15 D ．－15 解析在△ABC 中，由余弦定理得cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17.∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．假设三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( ) A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分别为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a2－2a22·a ·3a＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a2＋3a2－a 22·2a ·3a＝32， ∴B ＝30°，∴C ＝60°. 因此三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，假设a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解 D ．解的个数不确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinAa ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析根据正弦定理，原式可化为2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ， ∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32.∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3.答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinBsinC 的值为( )A.85B.58C.53D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3.答案 A11．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 kmD.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝ACtan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1. 答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.假设a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( ) A ．2 B ．4＋2 3 C ．4－2 3D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，假设b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________. 解析由B ＝A ＋60°，得sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA.又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA.即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0， ∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案 30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______. 解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案 60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7. 答案 11：9：7三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)． (1)求证：A ＝2B ；(2)假设a ＝3b ，试判断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA2sinB，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.假设A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B. (2)∵a ＝3b ，由a 2＝b(b ＋c)，得3b 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b. 又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．(12分)锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin(A ＋B)－3＝0.求： (1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32.19．(12分)如右图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 nmile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求： (1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，AB ＝126，由正弦定理，得AD ＝ABsinBsin ∠ADB＝126×2232＝24(nmile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理，得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos30°. 解得CD ＝83(nmile)．∴A 处与D 处的距离为24 nmile ，灯塔C 与D 处的距离为8 3 nmile.20．(12分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)假设m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)假设m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a ＝b.故△ABC为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得 4＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0.解得ab ＝4，ab ＝－1(舍去)．∴△ABC 的面积S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3.第二章数列1．已知正项数列{a n }中，a 1=l ，a 2=2，2a n 2=a n+12+a n−12〔n ≥2〕，则a 6=〔〕 A ．16 B ．4 C ．2√2 D ．45【解答】解：∵正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，2a n 2=a n+12+a n ﹣12〔n ≥2〕， ∴a n+12﹣a n 2=a n 2﹣a n ﹣12，∴数列{a n 2}为等差数列，首项为1，公差d=a 22﹣a 12=3，∴a n 2=1+3〔n ﹣1〕=3n ﹣2，∴a n =√3n +2 ∴a 6=√3×6−2=4，故选：B 2．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加〔〕 A ．47尺 B ．1629尺 C ．815尺 D ．1631尺【解答】解：设该妇子织布每天增加d 尺，由题意知S 30=30×5+30×292d =390，解得d=1629．故该女子织布每天增加1629尺．故选：B ．3．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1={2a n ,(n 为正奇数）a n +1,(n 为正偶数），则其前6项之和是〔〕A ．16B ．20C ．33D ．120【解答】解：∵a 1=1，a n+1={2a n ,(n 为正奇数）a n +1,(n 为正偶数），∴a 2=2a 1=2，a 3=a 2+1=2+1=3，a 4=2a 3=6，a 5=a 4+1=7，a 6=2a 5=14 ∴其前6项之和是1+2+3+6+7+14=33故选C ． 4．定义n p 1+p 2+⋯+p n为n 个正数p 1，p 2，…p n 的“均倒数”．假设已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+1，又b n =a n +14，则1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b 10b 11=〔〕A ． 111 B ． 910C ． 1011 D ． 1112【解答】解：由已知得，na1+a 2+⋯+a n=12n+1∴a 1+a 2+…+a n =n 〔2n+1〕=S n当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=4n ﹣1，验证知当n=1时也成立，∴a n =4n ﹣1， ∴b n =a n +14，∴1bn ′b n+1=1n −1n+1∴1b1b 2+1b2b 3+⋯+1b10b 11=(1-12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(110−111)=1−111=1011．故选C ．5．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．假设a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= 63 ．【解答】解：解方程x 2﹣5x+4=0，得x 1=1，x 2=4．因为数列{a n }是递增数列，且a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，所以a 1=1，a 3=4．设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2=a 3a 1=41=4，所以q=2．则S 6=a 1(1−q 6)1−q=1×(1−26)1−2=63．故答案为63．6．如图给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为a ij 〔i ≥j ，i ，j ∈N *〕，则a 53等于，a mn = 〔m ≥3〕．14 12,14 34,34,316【解答】解：①第k 行的所含的数的个数为k ，∴前n 行所含的数的总数=1+2+…+n=n(n+1)2．a 53表示的是第5行的第三个数，由每一列数成等差数列，且第一列是首项为12，公差d=12−14=14的等差数列，∴第一列的第5 个数=14+(5−1)×14=54;又从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q=3834=12，∴第5行是以为首项，12为公比的等比数列，∴a 53=54×(12)2=516．②a mn 表示的是第m 行的第n 个数，由①可知：第一列的第m 个数=14+(m −1)×14=m4，∴a mn =m 4×(12)n−1=m 2n+1．故答案分别为516， m2n+1．7．等差数列{a n }中，a 7=4，a 19=2a 9，〔Ⅰ〕求{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕设b n =1na n，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】8E ：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】〔I 〕由a 7=4，a 19=2a 9，结合等差数列的通项公式可求a 1，d ，进而可求a n 〔II 〕由b n =1na n=2n(n+1)=2n −2n+1，利用裂项求和即可求解【解答】解：〔I 〕设等差数列{a n }的公差为d ∵a 7=4，a 19=2a 9，∴{a 1+6d =4a 1+18d =2(a 1+8d)解得，a 1=1，d=12∴a n =1+12(n −1)=1+n 2〔II 〕∵b n =1na n=2n(n+1)=2n −2n+1∴S n =2(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+18．已知等差数列{a n }，的前n 项和为S n ，且a 2=2，S 5=15，数列{b n }满足b 1=12，b n+1=n+12n b n ．〔1〕求数列{a n }，{b n }的通项公式；〔2〕记T n 为数列{b n }的前n 项和，f (n )=2S n (2−T n )n+2，试问f 〔n 〕是否存在最大值，假设存在，求出最大值，假设不存在请说明理由．将b n+1=n+12nb n 整理，得到{b n n}是首项为12，公比为12的等比数列，应用等比数列的通项即可求出b n ；〔2〕运用错位相减法求出前n 项和T n ，化简f 〔n 〕，运用相邻两项的差f 〔n+1〕﹣f 〔n 〕，判断f 〔n 〕的增减性，从而判断f 〔n 〕是否存在最大值．【解答】解：〔1〕设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则{a 1+d =25a 1+10d =15解得a 1=1，d=1，∴a n =n ，又b n+1n+1=b n 2n ，即{b nn }是首项为12，公比为12的等比数列， ∴bn n =b 11(12)n−1，∴b n =n2n ；〔2〕由〔1〕得：T n =12+222+323+⋯+n2n ，12T n=123+223+324+⋯+n−12n +n2n+1，相减，得12T n =12+122+123+⋯+12n +n2n+1， =12(1−12n )1−12，∴T n =2−n+22n，又S n =12n 〔n+1〕，∴f (n )=2S n (2−T n )n+2=n 2+n 2n，∴f (n +1)−f (n )=(n+102+n+12n+1−n 2+n 2n=(n+1)(2−n)2n−1，当n ＞3时，f 〔n+1〕﹣f 〔n 〕＜0，数列{f 〔n 〕}是递减数列，又f (1)=1,f (2)=32,f (3)=32 ∴f 〔n 〕存在最大值，且为32．9．设数列{a n }的前项n 和为S n ，假设对于任意的正整数n 都有S n =2a n −3n .〔1〕设b n =a n +5，求证：数列{b n }是等比数列，并求出{a n }的通项公式。

新课程高中数学分层章节练习题(必修5)含答案

（数学5必修）第一章：解三角形[基础训练A 组]一、选择题1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150 二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

三、解答题1．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

高中数学必修5基本不等式精选题目（附答案）

高中数学必修5基本不等式精选题目（附答案）高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤? ????a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <="">D ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：? ????1a －1? ????1b －1? ??1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<="">x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bc< p="">C.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg< p="">a＋b2＝R.所以P<q<r.< p="">3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得? ????2b a ＋a 2b ＋? ????3c a ＋a 3c ＋? ????3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴? ????2b a ＋a 2b －1＋? ????3c a ＋a 3c －1＋? ????3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得? ????1a －1? ????1b －1? ????1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·?2x ＋3y 22＝16·? ????622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·? ??1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6? 2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6? ????2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6? ?5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<="">lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤?a ＋b 22≤? ??422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝? ????2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当 a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4? ??900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )? ????1x ＋3y ＝4＋? ????y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.</q<r.<></lg<></bc<>。

人教版高中数学(理)必修5(实验班)全册同步练习及答案

人教版高中数学（理）必修5（实验班）全册同步练习及答案1.1.1 正弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，10a =，60B =，45C =，则c = ( )A ．10B ．1)C ．1)D ．2.在ABC ∆中，下列关系式中一定成立的是（） A ．sin a b A > B ．sin a b A = C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥3. 在ABC ∆中，已知60A =，a =sin sin sin a b cA B C++=++ （）A B D ．4. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则此三角形是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．直角或等腰三角形5. 在锐角ABC ∆中，已知4AB = ，1AC = ，ABC S ∆=，则AB AC的值为（）A ．2-B ．2C ．4±D ．2±6. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan tan B C B C += ，则ABC ∆的面积为（）A ．．34二、填空题7．在ABC ∆中，若1b =，c =C ＝2π3，则a =________．8．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．三、解答题9．根据下列条件，解ABC ∆.（1）已知4b =，8c =，30B =，解此三角形；（2）已知45B =，75C =，2b =，解此三角形.10. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ,B ,C 的对边，若2a =，4C π=，cos25B =，求ABC ∆的面积S .1.1.1正弦定理一、选择题1.B2.D3.B4.D5.B6.C 二、填空题 7．1 8. 1三、解答题9. 解：（1）由正弦定理得sin 8sin30sin 14c B C b ===由c b >知30150C << ，得90C =从而60A = ，a ==（2）由180+=A B C + 得60A =∵sin sin a b A B = ∴sin 2sin 60sin sin 45b A a B ===同理sin 2sin 751sin sin 45b C c B ===10. 解：由2cos 2cos12B B =-知43cos 2155B =⨯-=又0B π<<，得4sin 5B ==sin sin[()]sin()A B C B C π∴=-+=+sin cos cos sin 10B C B C =+= 在ABC ∆中，由sin sin a c A C =知sin 10sin 7a C c A == 111048sin 222757S ac B ∴==⨯⨯⨯=.1.1.2 余弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，已知13,34,8===c b a ，则ABC ∆的最小角为（） A ．3π B ．4π C ．4π D ．12π 2．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角A 等于（）A ．030B ．060C ．0120D ．01503．在ABC ∆中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（） A ．12 B ．221C ．28D ．36 4．在ABC ∆中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，并有sin 2sin cos A B C =,那么ABC ∆是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5.在ABC ∆中，60A = ，1b =，ABC S ∆，则sin sin sin a b cA B C++=++ （）A B D 6．某班设计了一个八边形的班徽(如右图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C ．3sin 1αα+D ．2sin cos 1αα-+ 二、填空题7．在ABC ∆中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_______ .8. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，若)cos cos c A a C -=，则cos A = .三、解答题9．在△ABC 中，已知030,35,5===A c b ，求C B a 、、及面积S .10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知：b ＝2，c ＝4，cos A ＝34.(1)求边a 的值；(2)求cos(A －B )的值．1.1.2余弦定理一、选择题1.B2.B3.D4.B5.B6.A 二、填空题 7．8.三、解答题9. 解由余弦定理，知A bc c b a cos 2222-+=2530sin 3552)35(5022=⨯⨯-+= ∴5=a 又∵b a =∴030==A B ∴00120180=--=B A C432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S10. 解：(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝22＋42－2×2×4×34＝8，∴a ＝2 2.(2)∵cos A ＝34，∴sin A ＝74，a sin A ＝bsin B ，即2274＝2sin B .∴sin B ＝148.又∵b <c ，∴B 为锐角．∴cos B ＝528. ∴cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝34×528＋74×148＝11216.1.1.3 正、余弦定理的综合应用一、选择题1．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是（）A ．6π B ．56π C ．3πD ．23π2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，如果c =，30B =，那么角C等于 ( ) A ．120B ．105C ．90D ．753．ABC ∆的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A B C D ． 4．在ABC ∆中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-5．在ABC ∆中，A ∠满足条件cm BC cm AB A A 32,2,1cos sin 3===+，ABC ∆的面积等于（）A ．3B ．CD 6．在ABC ∆中，2sin22A c b c-= (a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边)，则ABC ∆的形状为 ( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形二、填空题7．已知在ABC ∆中，060A =，最大边和最小边的长是方程0322732=+-x x 的两实根，那么BC 边长等于________.8．已知锐角ABC ∆的三边a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且222()tan b c a A +-，则角A 的大小_________.三、解答题9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且满足(2)cos cos a c B b C -=.(1)求角B 的大小；(2)若b =4a c +=，求ABC ∆的面积．10．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，已知1cos 24C =-. (1)求sin C 的值；(2)当2a =，2sin sin A C =时，求b 及c 的长．1.1.3正、余弦定理的综合应用一、选择题1.C2.A3.C4.C5.C6.B 二、填空题 7．78.60三、解答题9. 解：(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理，得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又sin A >0，∴2cos B ＝1，由B ∈(0，π)，得B ＝π3. (2)由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .将b ＝7，a ＋c ＝4，B ＝π3代入整理，得ac ＝3.∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝32sin60°＝334.10. 解：(1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，所以sin C ＝±104，又0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，且0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4，或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1.2应用举例（二）一、选择题1. 在某测量中，设A 在B 的南偏东3427' ，则B 在A 的（） A.北偏西3427'B. 北偏东5533'C. 北偏西5533'D. 南偏西5533'2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为（）A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h3．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC a =，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、()βαβ>，则A 点离地面的高AB 等于（） A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-a D ． )cos(cos cos βαβα-a4.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）A ．1公里B ．sin10°公里C ．cos10°公里D ．cos20°公里5. 如右图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30米至C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103米至D 处，测得顶端A 的仰角为4θ，则θ的值为 ( )A ．15°B ．10°C ．5°D ．20°6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°西，则这只船的速度是每小时（）A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里° 二、填空题7．我舰在敌岛A 南偏西50 相距12n mile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10 的方向以10n mile /h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 .8．在一座20m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60 ，塔底俯角为45 ，那么这座塔的高为___ ____.三、解答题°9．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45 方向，距A有9n mile并以/h的速度航行用多20n mile/h的速度沿南偏西15 方向航行，若甲船以28n mile少小时能尽快追上乙船？10.在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．1.2应用举例（二）一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.C 二、填空题 7．14nmile/h8. 20（1+3）m三、解答题9. 解：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。

人教B版高中数学必修5同步练习题及答案全册汇编最新

人B版高中数学必修5同步习题目录第1章1.1.1第一课时同步练习第1章1.1.1第二课时同步练习第1章1.1.2第一课时同步练习第1章1.1.2第二课时同步练习第1章1.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1第一课时同步练习第2章2.2.1第二课时同步练习第2章2.2.2第一课时同步练习第2章2.2.2第二课时同步练习第2章2.3.1第一课时同步练习第2章2.3.1第二课时同步练习第2章2.3.2第一课时同步练习第2章2.3.2第二课时同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1同步练习第3章3.1.2第一课时同步练习第3章3.1.2第二课时同步练习第3章3.2第一课时同步练习第3章3.2第二课时同步练习第3章3.3第一课时同步练习第3章3.3第二课时同步练习第3章3.4同步练习第3章3.5.1同步练习第3章3.5.2第一课时同步练习第3章3.5.2第二课时同步练习第3章章末综合检测人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.8381B.2393C.393D ．27 解析：选B.由比例的运算性质知a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，故a sin A ＝1332＝2393. 3．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形5．在△ABC 中，已知b ＝16，A ＝30°，B ＝120°，求边a 及S △ABC .解：由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝16×sin30°sin120°＝1633.又C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1633×16×12＝6433.1．在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC 等于( ) A.3 B ．2 C. 5 D. 6解析：选D.∠BAC ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB＝3×sin 45°sin 60°＝ 6.2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.3．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.4．三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2B ．152cm 2C ．8 cm 2D ．10 cm 2 解析：选A.设其夹角为θ，由方程得cos θ＝－35，∴sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝m ∶(m ＋1)∶2m ，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞2 B ．m ＜0C ．m ＞－12D ．m ＞12解析：选D.由已知和正弦定理可得：a ∶b ∶c ＝m ∶(m ＋1)∶2m .令a ＝mk ，b ＝(m ＋1)k ，c ＝2mk (k ＞0)，则a ，b ，c 满足三角形的三边关系，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a .得m ＞12.6．△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则△ABC 中最长的边是( )A ．aB ．bC ．cD ．b 或c解析：选A.cos B b ＝cos Cc，∴tan B ＝tan C ，∴B ＝C ， sin A a ＝cos B b ＝cos B a sin B sin A＝sin A ·cos Ba sin B，∴tan B ＝1，∴B ＝4＝π4，A ＝π2，故a 最长．7．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 68．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R (sin A －2sin B ＋sin C )sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：29．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2 310．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.11．已知△ABC 中，A 、B 、C 分别是三个内角，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且C ＝π3，求△ABC 面积S 的最大值．解：S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝3R 2sin A sin B ＝32R 2[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝32R 2[cos(A －B )＋12]．当cos(A －B )＝1，即A ＝B 时，(S △ABC )max ＝334R 2＝334×144＝108 3.12．在平面四边形OAPB 中，∠AOB ＝120°，OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，且AB ＝23，求OP 的长．解：如图，在平面四边形OAPB 中，∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴O 、A 、B 、P 四点共圆．∴OP 的长就是四边形OAPB 外接圆的直径．∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，在△AOB 中，∠AOB ＝120°，AB ＝23，∴2R ＝AB sin ∠AOB ＝23sin 120°＝4，∴△AOB 外接圆的直径为4，即OP 的长为4.人教B 版必修5同步练习1．(2011年开封高二检测)在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则∠A 的大小为( )A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°解析：选D.∵∠B 为锐角，又c sin B ＜b ＜c ，∴三角形有两解．4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π65．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a sin B ＝b sin A C ．a cos A ＝b cos B D ．a cos B ＝b cos A解析：选B.由正弦定理得：a sin A ＝b sin B，故a sin B ＝b sin A . 2．(2009年高考广东卷)已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3解析：选A.sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12，由正弦定理得b ＝asin A ·sin B ＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.4．(2011年青岛高二检测)在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB的取值范围是( )A ．[33，6]B ．(2,43)C ．(33，43]D ．(3,6]解析：选D.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin B sin A ＝3·sin Bsin π3＝23sin B ，AB ＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23sin B ＋23sin C ＝23(sin B ＋sin C )＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B )＝23(32sin B ＋32cos B )＝23×3(32sin B ＋12cos B )＝6sin(B ＋π6)，∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴AC ＋AB ＝6sin(B ＋π6)∈(3,6]．5．在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝60°，a ＝1，则最短边的边长是( )A.63B.62C.12D.32解析：选C.由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝12，∵∠B 最小，∴最小边是b .6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝csin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.7．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：328．(2011年盐城高二检测)在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝bsin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 39．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：010．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sinB sinC ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.11．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.12．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解：因为2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°，A ＋C ＝120°. 所以0°＜A ＜120°，0°＜C ＜120°.又因为a ＋2b ＝2c ，所以sin A ＋2sin B ＝2sin C ，所以sin(120°－C )＋2sin60°＝2sin C ，所以3sin C －cos C ＝2，即sin(C －30°)＝22.又因为0°＜C ＜120°且sin(C －30°)＞0，所以0°＜C －30°＜90°. 所以C －30°＝45°，C ＝75°.所以sin C ＝sin75°＝6＋24.人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b22ab＞0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C.∵cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． 2．如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k ＝8 3 B ．0＜k ≤12 C ．k ≥12 D ．0＜k ≤12或k ＝8 3 解析：选D.设AB ＝x ，由余弦定理得 122＝x 2＋k 2－2kx cos60°，化简得x 2－kx ＋k 2－144＝0，因为方程的两根之和x 1＋x 2＝k ＞0，故方程有且只有一个根，等价于k 2－4(k 2－144)＝0或k 2－144≤0，解得0＜k ≤12或k ＝8 3.3．在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，那么a 、b 、c 的关系是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋c ＝2bC ．b ＋c ＝2aD ．a ＝b ＝c解析：选B.cos 2C 2＝1＋cos C 2，cos 2A 2＝1＋cos A2，代入已知条件等式，得a ＋c ＋a cos C ＋c cos A ＝3b ，a ＋c ＋a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc＝3b ，整理，得a ＋c ＝2b .4．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________.解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°5．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A，得AB ＝sin Csin ABC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.1．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c .3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．4．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.5．已知△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ＝c 2－(a －b )2，则tan C2等于( )A.12B.14C.18D ．1 解析：选B.依题意知S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －2ab cos C ＝12ab sin C ，得sin C ＋4cos C ＝4，即2sin C 2cos C 2＋4(2cos 2C2－1)＝4，即2sin C 2cos C 2＋8cos 2C 2sin 2C 2＋cos 2C 2＝8，得2tan C 2＋8tan 2C 2＋1＝8.解得tan C 2＝14或tan C2＝0(舍去)．6．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°解析：选B.设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或618．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)9．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3. 答案：2 310．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝cb.由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，c ＝3b .求： (1)ac的值； (2)cot B ＋cot C 的值．解：(1)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(13c )2＋c 2－2·13c ·c ·12＝79c 2，故a c ＝73.(2)cot B ＋cot C ＝cos B sin C ＋cos C sin B sin B sin C ＝sin (B ＋C )sin B sin C ＝sin Asin B sin C，由正弦定理和(1)的结论得sin A sin B sin C ＝1sin A ·a 2bc＝23·79c 213c ·c ＝1433＝1439，故cot B ＋cot C ＝1439.12．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.证明：法一：右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝a ·cos B －cos A ·b c＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b 2＋c 2－a 22bc·bc＝a 2＋c 2－b 2－b 2－c 2＋a 22c c ＝a 2－b 2c 2＝左边．法二：左边＝sin 2A －sin 2Bsin 2C＝1－cos 2A 2－1－cos 2B2sin 2C＝cos 2B －cos 2A 2sin 2C＝－2sin (B ＋A )sin (B －A )2sin 2C＝sin C ·sin (A －B )sin 2C ＝sin (A －B )sin C＝右边．人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案： 35．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析：选B.易知c 最小，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. 又∵0＜C ＜π，∴C ＝π6.2．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)解析：选C.因为a 是最大的边，所以A >π3.又a 2<b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，所以A <π2，故π3<A <π2.3．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.4．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 等于( ) A ．30° B ．60° C ．45°或135° D ．120°解析：选C.由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，得(a 2＋b 2－c 2)2＝2a 2b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±22，所以C ＝45°或135°.5．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π3解析：选C.由a 2＝b 2＋bc ＋c 2得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，联想到余弦定理，∴cos A ＝－12，∴∠A ＝2π3.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.22解析：选B.由b 2＝ac ，又c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.7．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19. 答案：－198．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋(k －1)2－(k ＋1)2＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：789．设△ABC 中，AB →＝(1,2)，AC →＝(－x,2x )(x >0)．若△ABC 的周长为65时，则x 的值为________．解析：c ＝5，b ＝5x ，∴a ＝(5－x )5，由余弦定理得cos A ＝5x －12x ，又cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝35， ∴x ＝3011.答案：301110．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，求边c 的长．解：由题意得a ＋b ＝5，ab ＝2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝25－4＝21， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21－2＝19. ∴c ＝19.11．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.12．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.人教B 版必修5同步练习1．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a 和cB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α解析：选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC 即可看作基线，在△ABC 中，能够测量到的边角分别为b 和α.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 解析：选B.利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×(－12)＝3a 2.∴AB ＝3a .3．在200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.4003 mB.40033mC.20033 mD.2003m解析：选A.如图，设塔高为AB ，山顶为C ，在Rt △CDB 中，CD ＝200，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BC ＝200cos30°＝40033.在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝120°，BC sin120°＝ABsin30°，∴AB ＝BC ·sin30°32＝4003(m)．4．一河两岸有A 、B 两地，为了测出AB 的距离，在河岸上选取一点C ，测得∠CAB ＝60°，∠ACB ＝45°，AC ＝60 m ，则AB ≈________.(精确到1 m)．解析：在△ABC 中，先由三角形的内角和定理求出∠B ，再由正弦定理求出AB . 答案：44 m5．已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°方向，甲船从A 点以50海里/小时的速度向B 航行，同时乙船从B 点以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？解：如图所示，设航行x 小时以后，甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC ＝100－50x (海里)(0≤x ≤2)，BD ＝30x (海里)，∠CBD ＝60°，由余弦定理得： CD 2＝(100－50x )2＋(30x )2－2(100－50x )·30x ·cos60° ＝4900x 2－13000x ＋10000，作为二次函数考虑，当x ＝130002×4900＝6549(小时)时，CD 2最小，从而得CD 最小．故航行6549小时，两船之间距离最小．1．海面上有A ，B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成30°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063海里C ．5 2 海里D ．5 3 海里解析：选D.在由A ，B ，C 三岛组成的△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°，所以BC ＝AB ·sin60°＝5 3.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：选B.∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，又∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝180°－80°2＝50°，又90°－50°－30°＝10°， ∴塔A 在塔B 的北偏西10°.3．如图，D 、C 、B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D 、C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1)mD ．5(3＋1) m解析：选D.在△ACD 中，由DC sin (45°－30°)＝ACsin30°得AC ＝10×12sin (45°－30°)＝56－24＝5(6＋2)．在△ABC 中，AB ＝AC ·sin45°＝5(6＋2)×22＝5(3＋1)．4. 如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角θ为2°，若θ的弧度数很小时，可取sin θ为θ的弧度数，由此可估计该气球的高BC 约为( )A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m解析：选B.由题意，知∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC .又圆的半径为3 m ，sin1°＝sinπ180≈π180，所以AC ≈3×180π，即BC ＝12AC ≈270π≈86 (m)．5．(2011年温州质检)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)．旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度为50秒，升旗手应以多少米/秒的速度升旗( )A.15B.35C.35D.65 解析：选B.∠ABC ＝180°－60°－15°＝105°， ∠CAB ＝180°－105°－45°＝30°.∴AB ＝BC sin ∠CAB ·sin ∠BCA ＝106sin 30°·sin 45°＝20 3.在Rt △OAB 中，OA ＝AB sin ∠ABO ＝203·sin 60°＝30.∴v ＝3050＝35(米/秒)．故选B.6．在某个位置测得某山峰的仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后，测得仰角为原来的2倍，继续在地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 m解析：选B.如图所示，在三角形ABC 中，BC ＝AC ＝600.在三角形ADC 中，DC ＝AD ＝2003，所以AD sin2θ＝AC sin (180°－4θ)＝ACsin4θ，所以2003sin2θ＝6002sin2θcos2θ，所以cos2θ＝32，2θ＝30°，所以在三角形ADE 中，AE ＝AD sin4θ＝2003×32＝300(m)．7．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．解析：如图所示，AB ＝60 km ，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝180°－30°－105°＝45°.由MB sin30°＝AB sin45°，得MB ＝30 2 km. 答案：30 2 km8.某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°.在C 处测得距C 为31里的公路上有一人正沿公路向A 城走去，走了20里之后，到达D 处，此时CD 间的距离为21里，问此人还要走__________里路可到达A 城．解析：在△CDB 中，由余弦定理得cos ∠DBC ＝DB 2＋BC 2－CD 22·DB ·BC ＝2331，∴sin ∠DBC ＝12331，∴sin ∠ACB ＝sin[π－(∠DBC ＋∠DAC )]＝sin(∠DBC ＋π3)＝35362，在△CAB 中，由正弦定理得AB ＝BC ·sin ∠ACBsin ∠CAB＝35，∴AD ＝35－20＝15. 答案：159．如图所示的是曲柄连杆结构示意图，当曲柄OA 在水平位置时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针旋转α角时，P 和Q 之间的距离为x ，已知OA ＝25 cm ，AP ＝125 cm ，若OA ⊥AP ，则x ＝________(精确到0.1 cm)．解析：x ＝PQ ＝OA ＋AP －OP ＝25＋125－252＋1252 ≈22.5(cm)．答案：22.5 cm10．在2008年北京奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出．由经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问游击手在这种布置下能否接着球？解：假设游击手能接着球，接球点为B ，游击手从A 点跑出，本垒为O 点，球速为v ，如图所示，则∠AOB ＝15°，OB ＝v t ，AB ≤v t4.在△AOB 中，由正弦定理，得OB sin ∠OAB ＝ABsin15°，所以sin ∠OAB ＝OB sin15°AB≥v t v t 4·6－24＝6－ 2. 因为(6－2)2＝8－43>8－4×1.73>1，即sin ∠OAB >1，所以∠OAB 不存在，即游击手不能接着球． 11．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是 3a n mile/h ，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解：如图，设经过t h 两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B，得sin ∠CAB ＝BC sin BAC＝at ·sin120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°. 即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．12．(2011年济南调研)A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，在A 处看见塔在东北方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路的距离．解：如图所示，设BN ＝x，则PQ ＝x ，P A ＝2x ，∵AB ＝BC ，∴CM ＝2BN ＝2x ，PC ＝2PQ ＝2x . 在△P AC 中，由余弦定理，得： AC 2＝P A 2＋PC 2－2P A ·PC ·cos 75°，即4＝2x 2＋4x 2－42x 2·6－24，解得x 2＝2(4＋3)13.过P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，则线段PD 的长即为塔到直路的距离．在△P AC 中，由12AC ·PD ＝12P A ·PC sin 75°，得PD ＝P A ·PC ·sin 75°AC ＝22x 2·sin 75°2＝2·2(4＋3)13 ·6＋24＝7＋5313.故塔到直路的距离为7＋5313km.人教B 版必修5第1章章末综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011年福州高二检测)在△ABC 中，a ＝1，∠A ＝30°，∠B ＝60°，则b 等于( )A.32B.12C. 3 D ．2解析：选C.由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝1·sin60°sin30°＝ 3.2．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，∠A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解解析：选B.由a sin A ＝bsin B得sin B ＝100×sin45°80＝528＜1，又∵a ＜b ， ∴B 有两解．故三角形有两解．3．(2011年临沂高二检测)在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.c 2＝72＋82－2×7×8×1314＝9，∴c ＝3，∴B 最大．cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3解析：选A.由余弦定理cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠BAC ＝2π3.5．在△ABC 中，∠B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°解析：选 C.设最大角为∠A ，最小角为∠C .由∠B ＝60°得∠A ＋∠C ＝120°.根据正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝3＋12，所以2sin(120°－C )＝(3＋1)·sin C ，即3cos C ＋sin C＝3sin C ＋sin C ，所以tan C ＝1，又0°＜∠C ＜180°，所以∠C ＝45°，所以∠A ＝75°.6．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，∴23×12ab ·sin 60°＝a 2＋b 2－ab ，得2a 2＋2b 2－5ab ＝0，即a ＝2b 或b ＝2a .当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2；当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2. 故△ABC 为直角三角形． 7．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1523 mC ．15 3 mD ．45 m 解析：选B.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝180°－120°＝60°.∴AD ＝AC ·sin60°＝1532(m)．8．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A. 152B.15C ．2D ．3解析：选A.∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c .∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152.9．锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定解析：选C.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，所以b 2＋c 2－a 2＞0，a 2＋c 2－b 2＞0， a 2＋b 2－c 2＞0，所以1＋4－a 2＞0， a 2＋4－1＞0，a 2＋1－4＞0，即3＜a 2＜5，所以3＜a ＜ 5. 又c －b ＜a ＜b ＋c ，即1＜a ＜3.由⎩⎨⎧3＜a ＜5，1＜a ＜3.得3＜a ＜ 5.10．△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3解析：选C.2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33.11．在△ABC 中，下列结论：①a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.①a 2＞b 2＋c 2⇒b 2＋c 2－a 2＜0⇒b 2＋c 2－a 22bc＜0⇒cos A ＜0⇒A 为钝角⇒△ABC为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ⇒b 2＋c 2－a 2＝－bc ⇒b 2＋c 2－a 22bc ＝－12⇒cos A ＝－12⇒A ＝120°；③与①同理知cos C ＞0，∴C 是锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形． ④A ∶B ∶C ＝1∶2∶3⇒A ＝30°，B ＝60°，C ＝90° ⇒a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.12．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则ba的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，2)D ．(2，3)解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ＝sin2Asin A＝2cos A ，又∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝2A ＜90°A ＋2A ＞90°，∴30°＜A ＜45°，则ba＝2cos A ∈(2，3)．二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.解析：在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝cos120°＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ，即25＋AC 2－492×5×AC＝－12.解得AC ＝－8(舍去)或AC ＝3. 答案：3。

高中数学必修五复习题(基础题)

必修五复习卷1、在△ABC 中，45601,B C c ===，，则b =___________；2、在△ABC 中 ,如果c =,B=300,那么角C=3、在△ABC 中，如果a=3,b=5,c=6，那么cos C 等于___________；4、在ABC ∆中。

若1b =，c =23c π∠=，则a=___________；已知ABC ∆中5,3,120a b C === ,则sin A =5、在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，c = 1, 则C=6、在⊿ABC 中，已知ba c b a 2222+=+，则∠C=_________；7、在△ABC 中， a 8,b 5==，0C=30∠，则三角形面积为 ___________；8、在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则c = ___________；9、在等差数列{}n a 中，已知a 1＝1, d=2则a 4=____________；s 3=___________； 10、等差数列{}n a 中，已知,31,10125==a a ，则1a =_____；d =______；q =________； 11、在等差数列{}n a 中，若6473=+a a ，则=+a a 82 12、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a = ___________；13、已知等比数列{}n a 的首项1a =2，公比1q=2，则n s =___________；14、等比数列{}n a 中，35a =12a =48，，那么q = _；7a = _；15、若数列221m m m ++，，成等比数列，则m =___________； 16、在正项等比数列{}n a 中，, 且a a 73= 64 , 则a 5= ___________；17、设}{n a 为等比数列,其中==652143,5a a a a a a 则___________； 18、设数列{a n }的前n 项和2n S n =，则8a = 19、数列 121, 241, 381, 4161, 5321, …, n n 21, 的前n 项之和等于___________； 20、不等式102x x ->+的解集是；21、若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b= ；22、不等式24x ≥的解集为___________________；若222x ax -+≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______________；23、若不等式x-2y+a ＜0所表平面区域包含点（0,1），则a 的取值范围是___________；24、原点O 和点A （1，1）在直线x+y=a 两侧，则a 的取值范围是___________；25、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为_____；26、若x ＜0 , 则 xx y 1+=的最大值是 27、函数(32)(01)y x x x =-≤≤的最大值是 28、已知x ＞3，则函数y ＝2x －3＋x 的最小值为________． 29、设0,0x y >>且21x y +=,求11x y+的最小值 . 30、若x 、y ∈R +, x +4y =20,则xy 的最大值为___________；31、函数2x -4x+1y=x（x ＞ 0）的最小值___________；31、下列结论正确的是（）A 当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B 21,≥+>x x x 时当C 21,2的最小值为时当x x x +≥D 无最大值时当xx x 1,20-≤<二、解答题 32、解不等式 ①0322>-+-x x②223x x -+＞ 033、设函数2(x)mx mx 1f =--⑴若对于一切实数,(x)x f ＜0恒成立，求实数m 的取值范围；⑵对于[]1,3,(x)x f ∈＜m 5-+恒成立，求实数m 的取值范围。

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1. 在△ABC 中，已知a =，b =B =45︒ ，求A 、C 及c . （☆P 4 8）
2. 在△ABC 中，若cos cos a A b B =，判断△ABC 的形状. （☆P 3）
3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2＋b 2＝c 2
.
（1）求C ；（2）若
tan 2B a c -=，求A ．（☆P 6 8） 4. 如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于C
，D ，已知△ACD 为边长等于a 的正三角形．当目标出现于B 时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，试求炮击目标的距离AB ．（☆P 8）
5. 如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30︒，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75，求山顶的海拔高度. （☆P
例2）
6. 已知数列{}n a 的第1项是1，第2项是2，以后各项由12(2)n n n a a a n --=+>给出.
（1）写出这个数列的前5项；（2）利用上面的数列{}n a ，通过公式1n n n
a b a +=
构造一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的前5项
. （◎P 34 B3）
7. 已知数列{}n a 的前n 项和为212
n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（◎P 例3）
8.（09年福建卷.文17）等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==. （☆P 38 8）
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .
9. 若一等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？（◎P 2）
10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1(1)()3
n n S a n N =-∈. （☆P 32 9）
（1）求12,;a a （2）求证：数列{}n a 是等比数列.
11. 已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集是B . （☆P 42 9）（1）求A
B ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是,A B 求20ax x b ++<的解集.
12. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？（◎P 6）
13. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min ，广告时间为1 min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min ，广告时间为1 min ，收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min 广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率? （◎P 3）
14. 已知,x y 为正数. （☆P 52 8）
（1）若
191x y
+=，求2x y +的最小值；（2）若22x y +=.
15. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？（◎P 例2）
16. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600
v y v v v =>++．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？。