二重积分的计算()三
二重积分的计算法2
D
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. 2. ( x 2 y 2 )d 其中 D 是由直线
D
y x , y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域. 3. R2 x 2 y 2 d ,其中 D 是由圆周
D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域. 2 2 2 2 4. , 其中 D : x y 3. x y 2 d
三、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 r 2 上一段
弧( 0 )与直线 所围成,它的面密度为 2 2
( x , y ) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
四、 计算以 xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭区域为底， 而以曲面 z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积.
D1
(1 x y )
R
D1
(1 r )
r 2 1 (1 R ) 1 d d r 2 1 0 (1 r ) 0
I lim I ( R) lim
R
2 1 (1 R ) R 1
2
, 当 1 1 1 当 1 ,
d e r rdr
2
2 0
a
a x
0
D
2
0
1 r2 a ( e ) 0 d 2
2
0
1 a2 a2 (1 e )d (1 e ). 2
通常当积分区域的边界由圆弧、射线组成且被积函数 y 含有x y ， 等形式时，用极坐标计算较为简单. x
2 2
例 2 计算 ( x 2 y 2 )dxdy，其 D 为由圆 x 2 y 2 2 y ，
10.2 二重积分的计算
∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
§10.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 被 函 由曲顶柱体体积的计算可知 当 积 数 f (x, y) ≥ 0 且在D上连续时 且在 上连续时, 若D为 X – 型区域 上连续时 为 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) D: a ≤ x ≤b
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
0
f (x, y)dx
8
例5. 计算 所围成. y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成. 解: 令f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
2
其中D 由
4
y = −3x
y
y = 4 − x2
令ρ = ∆u + ∆v , 则
2 2
T
y
M4
M3
D
M1
M2
o
x
∂x x2 − x1= x(u + ∆u, v) − x(u, v)= ∆u + o(ρ) ∂u (u, v)
18
∂x x4 − x1= x(u, v + ∆v) − x(u, v) = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 同理得 y2 − y1 = ∂ y ∆u + o(ρ) ∂u (u, v) ∂y y4 − y1 = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 充分小时, 当∆u, ∆v充分小时 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 充分小时
二重积分
（2）在还原积分区域时，首先根据积分上下限用不等式表示出积分区域，然后 再画出积分区域的草图。 例 2、设函数 f ( x, y ) 连续,交换二次积分次序得
dy
0
1
0
2 y 2
f ( x, y)dx A
A 2 dx 0
0
1
x 2
f ( x, y )dy .
B 2 dx 1 x f ( x, y)dy .
2
2
或含有较多的 x
D
2
y 2 时，可以考虑用极坐标计算。
直角坐标与极坐标的转换公式为
f ( x, y)dxdy f ( cos , sin ) d d 。
D
例 3、设 D
x, y x
2
y 2 x ,求 xdxdy .
D
二重积分
二重积分的计算思路，是将它化为累次积分，也就是两次定积分，可用的坐标有直角 坐标与极坐标。二重积分的内容包括概念、不等式的性质以及二重积分的计算。 一、二重积分的计算 1、直角坐标系 1）步骤：画出积分区域草图；选择积分次序；确定积分上下限，做定积分计算 2）确定积分次序时遵循两原则：尽可能地避免分类讨论；尽可能地使第一步的积分简单 3）定限方法（以先对 y 积分的情况为例） ： a、画一条与 y 轴平行的直线，观察这条直线与积分区域边界的两交点，下交点为下限，上 交点为上限，即
2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y)dy ；
b、使得直线与积分区域交点 x 的范围便是积分变量 x 的上下限，即 2、极坐标 1）计算公式:
dx
a
b
2 ( x )
高等数学 二重积分的计算
[
]
机动
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例2. 计算
∫∫D xydσ, 其中D 是抛物线
o −1
及直线
y 2 y2 = x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
所围成的闭区域.
则
y2 ≤ x ≤ y + 2 D: −1 ≤ y ≤ 2
∴ ∫∫ xydσ = ∫ dy∫
D
D
2
y +2
2
y = x−2
D2
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二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 θ =常数, 分划区域D 为
θ = θk + ∆θk θ = θk
∆σk (k =1, 2,⋯, n)
o
r = rk x
∆σ k
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
∆σk = 1 (rk + ∆rk )2 ⋅ ∆θk − 1 rk 2 ⋅ ∆θk 2 2 rk ∆θk
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
机动
0
f (x, y)dx
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例5. 计算
其中D 由
2
y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成.
解: 令 f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
4
y = −3x
机动
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结束
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : • 若积分区域为
二重积分的计算法
式，其中积分区域
{( x, y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}. D
解
在极坐标系下 x r cos y r sin
x y 1
2 2
所以圆方程为
r 1,
1 直线方程为 r , sin cos
x y 1
d
x 1( y)
D
x 1( y) x 2( y)
D
x 2( y)
c
c
D
f ( x , y )d
d
dy
c
1
2
( y)
f ( x , y ) dx .
( y)
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域 边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点.
D
f ( x , y ) dxdy
2
d
0
1 1
f ( r cos , r sin ) rdr .
sin cos
例2
计算
e
D
x2 y2
dxdy ，其中
D 是由中心在
原点，半径为 的圆周所围成的闭区域
解
.
在极坐标系下
D： 0 r a ， 0 2 .
D
f ( x , y ) dxdy
D
f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
y x
例1
计算
e
D
y x
高等数学《二重积分的计算》
D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8
二重积分的计算
二重积分的计算二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。
首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。
这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。
二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。
转化的前提是需要将被积区域D 表示为不等式形式。
二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：1）12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先y 后x ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)x x bb Da x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
2）12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先x 后y ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)y y dd Dc y c y f x yd f x y dx dy dy f x y dx ψψψψσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。
在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元d dxdy σ=。
如果被积区域D 是一个矩形区域，则:c y dD a x b≤≤⎧⎨≤≤⎩，而且被积函数可表为(,)()()f x yg xh y =， 此时，二重积分实际变为两个独立定积分的乘积：(,)()()()()b d bdDa c a cf x y dg xh y d y d x g x d x h y d yσ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 这是二重积分计算中最简单的情况。
积分的计算
积分的计算：解决三个问题，1）被积函数；2）积分变元；3）积分区域。
（三）二重积分的计算 (,)Df x y d σ⎰⎰（1）直角坐标系1)被积函数不变(,)f x y ；2）积分变元d dxdy σ=；3）积分区域如下 1°先y 后x 积分法（x 型区域）若D : ⎩⎨⎧<<<<)()(21x y x b x a ϕϕ,则21()()(,)(,)bx ax Df x y dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰⎰⎰.2°先x 后y 积分法（y 型区域）若D :12()()c y dy x y ϕϕ<<⎧⎨<<⎩, 则 21()()(,)(,)d y c y Df x y d dy f x y dx ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰. （2）极坐标系 ()r r θ= （与直角坐标的关系cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩）1)被积函数不变(cos ,sin )f r r θθ；2）积分变元d rdrd σθ=；3）积分区域如下 1°当极点位于区域D 的边界曲线外时D :12()()r r r αθβθθ≤≤⎧⎨≤≤⎩,则(,)Df x y d σ⎰⎰21()()(cos ,sin )r r d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰.2°当极点位于区域D 的边界时D ：⎩⎨⎧≤≤<<)(0θϕβθαr ，则(,)Df x y d σ⎰⎰=rdr r r f d ⎰⎰βαθϕθθθ)(0)sin ,cos (.3°当极点位于区域D 的边界内部时D ：⎩⎨⎧≤≤<<)(020θϕπθr ，则(,)Df x y d σ⎰⎰=rdr r r f d ⎰⎰πθϕθθθ20)(0)sin ,cos (.通常在积分区域是园、环、扇形及被积函数为两变量平方和时使用x（三）三重积分的计算 (1)直角坐标系1)被积函数不变(,,)f x y z ；2）积分变元d dxdydz σ=；3）积分区域如下 1°投影法：121212:()(): :(,)(,)(,)(,)xy xy x a x bD D y x y y x z x y z z x y z x y z z x y -⎧<<⎧⎧⎨⎪<<ΩΩ⎨⎨⎩<<⎩⎪<<⎩()()()()()()2211,,,,,,by x z x y ay x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz Ω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰注意积分顺序 2°截面法： : zc z dD <<⎧Ω⎨⎩21(,,)(,,)zc c D f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(z D 为平行于xoy 面的平面是z 的函数，通常在可将(,,)f x y z 化为与x.y 无关时使用)（2）柱面坐标系（与直角坐标的关系cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩）1)被积函数不变(cos ,sin ,)f r r z θθ；2）积分变元d rdrd dz σθ=；3）积分区域如下1212:()()(,)(,)xy D r r r z r z z r αθβθθθθ⎧≤≤⎧⎨⎪≤≤⎨⎩⎪≤≤⎩2211()(,)()(,)(,,)(cos ,sin ,)r z r r z r f x y z dv d rdr f r r z dz βθθαθθθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.*（3）球面坐标系 （与直角坐标的关系sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩）1)被积函数不变(cos sin ,sin sin ,cos )f r r r θϕϕθϕ；2）积分变元2sin d r drd d σϕϕθ=；3）积分区域如下0200r R θπϕπ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩ 0200(,)r r θπϕαθϕ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2(,,)(cos sin ,sin sin ,cos )sin f x y z dv f r r r r drd d θϕϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22sin (cos sin ,sin sin ,cos )Rd d f r r r r dr ππθϕϕθϕϕθϕ=⎰⎰⎰ 积分区域为球，半球，被积函数为三变量的平方和时使用(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算 I:(,)Lf x y ds ⎰II ：(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰⑴ 基本方法：曲线积分−−−→转化定积分; 曲面积分−−−→转化二重积分 第一类线积分：L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，()t αβ≤≤,或 ,(),x x y f x =⎧⎨=⎩()a x b ≤≤ 此例自己思考1)被积函数不变()()(,)f t t ϕψ；2）积分变元ds ==；3）积分区域 t αβ≤≤其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，则(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰第二类线积分：L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，:t αβ→,或 ,(),x x y f x =⎧⎨=⎩:x a b → 此例自己思考1)被积函数不变()()()()(,);(,)P t t Q t t ϕψϕψ；2）积分变元(),(),dx t dt dy t dt ϕψ'=⎧⎨'=⎩；3）积分区域 :t αβ→''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰【定理10.1】 格林（Green ）公式 设函数(,)P x y 和(,)Q x y 在分段光滑的闭曲线L 所围成的闭区域D 上具有一阶连续偏导数，则有()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ 其中L 是D 的正向边界.基本使用原理： 1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y ∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰ 2)11LL L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy +-+=+++⎰⎰⎰1()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y-∂∂=-++∂∂⎰⎰⎰注意闭合曲线与其所围成区域的方向，辅助曲线与闭合曲线的方向利用两类曲线积分的联系公式 【定理10.2】（两类曲线积分之间的关系） (cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰其中cos ,cos dx dyds dsαβ==，α和β表示曲线的切向量的方向角.（切向量如何求）第一类面积分：当曲面∑由方程(,)z z x y =给出， 要解决 1、被积函数[,,(,)]f x y z x y ，，23、）积分区域为曲面(,)z z x y =的投影区域xy D(,,)[,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰(xy D 为∑在xoy 面上的投影区域)注：如果积分曲面∑由方程(,)x x y z =或(,)y y z x =给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分.第二类面积分：(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰，(其中∑由方程(,)x x y z =给出前侧取正，后侧取负)(,,)[,(,),]yzD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰,(其中∑由方程(,)y y x z =给出右侧取正，左侧取负)(,,)[,,(,)]yzD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰，(其中∑由方程(,)z z x y =给出上侧取正，下侧取负)利用高斯公式(注意公式使用条件，添加辅助面的技巧)； 【定理10．5】高斯(Gauss)公式设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有(),P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰或()(cos cos cos ),P Q R dxdydz P Q R dS x y z αβγΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦应用： 1）(),P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y zΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 2）11Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑∑ ∑∑+-++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()P Q Rdxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑-∂∂∂=+++++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰两类曲面积分的转化.【定理10．4】两类曲面积分之间的联系(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰，即cos ;cos ;cos dydz dS dzdx dS dxdy dS αβγ===其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.（法向量如何求）。
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[
c
则其体积可按如下两次积分计算
D d 2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y ) d x ] d y
y d x 2 ( y) x 1 ( y) y c o x
第3页
第 9章
§9.2 二重积分的计算
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0
第 9章
§9.2 二重积分的计算
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
第1页
第 9章 §9.2 二重积分的计算 一、利用直角坐标计算二重积分
z 引例: 曲顶柱体体积的计算 y 2 ( x) 设曲顶柱的底为 y 1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) a xb D x o a 0 bx 任取 平面 截柱体的 y 1 ( x)
及直线
y 2 y2 x
x y x x 2 y x D1 : D2 : o 0 x 1 1 x 4 1 x yd xyd xyd
D
D1 D2
x x 4 x y x2
D
dx
0
4
1
x
x
第6页
第 9章
§9.2 二重积分的计算
例. 计算
D x yd , 其中D 是抛物线
2
及直线
y 2 y2 x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
所围成的闭区域.
则
y x y2 D: 1 y 2
x yd d y
D
2
o 1
xydy dx
1
4
x
x 2
xydy
1 0 x[ x ( x 2)2 ]dx 1 2 1 5 3 1 4 45 2 4 [ x x 2 x ]1 2 3 4 8
第8页
第 9章
§9.2 二重积分的计算 sin x 例. 计算 d xd y, 其中D 是直线 D x 所围成的闭区域. y
§9.2 二重积分的计算
2 y2
例.求 x e
D
dxdy ，其中 D 是以(0,0), (1,1),
( 0,1)为顶点的三角形.
解 e
y2
dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x
D
2 y2
e
dxdy dy x e
0 0
2
1
y
2 y2
dx
e
0
D1
2
D D D
1
D3
o
x
第 9章
§9.2 二重积分的计算
D
例. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X–型区域, 则D : 1 x 2 y 2 x 2 x 2 yx 2 1 I d x x yd y 2 x y d x y 1 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8 o 1 x 2x yx2 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 9 3 2 1 1 I d y x yd x 2 x y d y 2 y 2 y d y 1 y 1 1 y 8
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 :
yx
0 y x D: 0 x sin x x sin x d xd y dx d y D x 0 x 0
o
D x x
sin x d x
0
2
第9页
第 9章
D
y2
2
y x2
4 x
y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
第7页
第9章 §9.2 二重积分的计算 例. 计算 D x yd , 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解2: 先对 y 后对 x 积分,
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D3
第5页
Dx 2 ( y) Nhomakorabea为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X-型域或Y-型域 , 则
1
y
2
2 1 1 2 y3 y y 2 dy e dy (1 ). 0 6 e 3 6
c
1
D f ( x, y) dx d y a d x ( x)
b
2 ( x)
oa
y 1 ( x) b
x
D
x
第4页
第 9章
§9.2 二重积分的计算
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 则有
D f ( x, y) dx d y
d x
a b
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域 1 ( x) y 2 ( x) D: a xb 则
y
y 2 ( x)
f ( x, y ) d y 1 y x 2 ( y) 1 ( y) x 2 ( y) d 若D为Y –型区域D : y c y d x 1 ( y) c 2 ( y) d 则 x d y ( y ) f ( x, y) dx o
截面积为
故曲顶柱体体积为
V f ( x, y ) d A( x)d x
[
a b
b
( x)
1
D 2 ( x)
a
f ( x, y ) d y ] d x
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第 9章
§9.2 二重积分的计算
同样, 曲顶柱的底为
D ( x, y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d