初中奥数系列：.一次函数B级.第03讲.学生版
【精品】第03讲定义新运算与找规律(学生版)A4
f (a3) ，…
则 a3 ______， a1 a2 a3
a2014 ______________
题模二：图形类
例 2.2.1 如图，图①是一块边长为 1，周长记为 P1 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为
1 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前 2
a、 b，都有 a
A． 25
B． m2 1
C． 5
b
2
b
1 ，例如 7
D． 26
2
2
2
1
5，
随练 1.3 定义一种新运算：观察下列式：
1⊙ 3=1× 4+3=7 3 ⊙（﹣ 1） =3× 4﹣1=11 5 ⊙ 4=5× 4+4=24 4 ⊙（﹣ 3） =4× 4﹣
3=13
（ 1）请你想一想： a⊙ b=
n 果为 2k （其中
k 是使得
n 2k 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取
n 6 ，则：
6
F② 第 1次
3
F① 第 2次
10
F② 第 3次
5，若 n 1 ，则第 2 次“ F 运算”的结果是 _______ ；若 n 13 ，则
；
（ 2）若 a≠ b，那么 a⊙ b
b⊙ a（填入“ =”或“≠”）
（ 3）若 a⊙（﹣ 2b） =4，请计算 （ a﹣ b）⊙（ 2a+b）的值．
随练 1.4 符号 f 表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1） f 1 0， f 2 1 ， f 3 2 ， f 4 3 ，
（2） f 1 2 ， f 1 3 ， f 1 4 ， f 1 5，
《一次函数第3课时》示范教学设计
第十九章一次函数19.2函数19.2.2一次函数第3课时一、教学目标1.学会用待定系数法求一次函数的解析式，感受待定系数法是求函数解析式的基本方法，体会用“数”和“形”结合的方法求函数解析式．2.初步了解分段函数．二、教学重点及难点重点：用待定系数法求一次函数解析式，进一步体会数形结合的思想．难点：从实际问题中抽象出函数的解析式和图像．三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源微课、知识卡片五、教学过程（一）问题导入1、什么是一次函数？它的图像形状是什么？学生答：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数是一次函数．它的图像是一条直线。
由此你知道:要画出一条已知直线，需要确定几个点？那几个点最简单？学生答：需要确定两个点，与两个坐标轴的交点最简单.2.一次函数的图像与k、b有怎样的关系？当k＞0,，y随x增大而增大；k＞0,b＞0时，直线经过第一、二、三象限.k＞0,b＜0时，直线经过第一、三、四象限.当k＜0时，y随x增大而减小．k＜0,b＞0时，直线经过第一、二、四象限.k＜0,b＜0时，直线经过第二、三、四象限.反之，如果已知k、b的值，能否确定函数解析式呢？这就是今天要探究的的内容.（二）探究新知例1 已知一次函数图像过点（3，5）与（－4，－9），求这个一次函数的解析式． 联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图像之间的转化规律吗？教师活动：引导学生分析思考解决由图像到解析式转化的方法过程，从而总结归纳两者转化的一般方法．学生活动：在教师指导下经过独立思考，探究讨论顺利完成转化过程．概括阐述一次函数解析式与图像转化的一般过程．分析：求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式，关键是求出k ，b 的值．因为图像经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k ，b 的二元一次方程组，解之可得．解：设这个一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ．因为y ＝kx ＋b 的图像过点（3，5）与（－4，－9），所以3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，．解之，得21k b =⎧⎨=-⎩，． 所以这个一次函数的解析式为y ＝2x －1．结论：像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法．此例又一次说明了函数解析式和函数图像可以相互转化，实现这种转化的工具就是点的坐标，它是连接数与形两种对象的纽带．下面用框图形式表现函数解析式和函数图像的相互转化．设计意图：通过活动掌握待定系数法在函数中的应用，进而经历思考分析，归纳总结一次函数解析式与图像之间的转化规律，增强数形结合思想在函数中的重要性的理解．例2“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg．如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折．（1）填写下表：（2）写出购买种子数量（单位：kg）与付款金额（单位：元）之间的函数解析式，并画出函数图像．解：（1）（2）设购买量为x kg，付款金额为y元．当0≤x≤2时，y＝5x；当x＞2时，y＝10＋0.8×5(x－2)＝4x＋2．函数图像如图：设计意图：通过此例题让学生了解分段函数的表示及其图像；初步应用一次函数模型解决现实生活中的问题．（三）课堂练习1．已知一次函数y＝kx＋2，当x＝5时y＝4，求k的值．设计意图：通过练习进一步掌握待定系数法在函数中的应用．2．已知直线y＝kx＋b经过点（9，0）和点（24，20），求k、b的值．设计意图：通过练习进一步掌握待定系数法在函数中的应用．3．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点（－1，1）和点（1，－5），求当x＝5时，函数y的值．设计意图：考查用待定系数法求一次函数解析式，以及求函数值．4．已知一次函的图像如下图，写出它的解析式．设计意图：考查一次函数图像和解析式之间的相互转化，以及数形结合的思想．5．为缓解用电紧张，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示．（1）当每月用电量不超过50度时，收费标准是；当每月用电量超过50度时，收费标准是．（2）根据图像，请分别求出当0≤x≤50和x＞50时，y关于x的函数解析式．设计意图：考查一次函数图像和解析式之间的相互转化，以及应用一次函数模型解决现实生活中的问题．学生独立完成．答案：１．解：∵当x＝5时y＝4，即4＝5k＋2，∴k＝25．2．解：因为直线y＝kx＋b经过点（9，0）和点（24，20），所以902420k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得4312k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．3．解：因为一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点（－1，1）和点（1，－5），所以15k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，．解方程组，得32k b =-⎧⎨=-⎩，． 所以这个函数解析式为y ＝－3x －2．当x ＝5时，y ＝－3×5－2＝－17．4．解：设所求的一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．因为直线经过点（2，0），（0，－3），把这两点坐标代入解析式，得203k b b +=⎧⎨=-⎩，．解得323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．所以所求的一次函数的解析式是323-=x y ． 点拨：从“形”看，图像经过x 轴上横坐标为2的点，y 轴上纵坐标是－3的点．从“数”看，坐标（2，0），（0，－3）满足解析式．5．解：（1）0.5元/度，0.9元/度；（2）当0≤x ≤50时，y ＝0.5x ；当x ＞50时，y ＝25＋0.9×(x －50)＝0.9x －20．（四）课堂小结1．用待定系数法求一次函数解析式的解题步骤.2．用一次函数解析式解决实际问题时，要注意自变量的取值范围．3．用一次函数解决实际问题.设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，掌握用待定系数法求一次函数解析式的解题步骤，以及用一次函数解析式解决实际问题时要注意的问题．（五）板书设计19.2.2一次函数（3）1.待定系数法2.用待定系数法求一函数解析式的步骤。
【初升高数学衔接教材讲义系列】第03章 一次函数与一次不等式(解析版)
第3章 一次函数与一次不等式【知识衔接】————初中知识回顾————1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。
（1）它的图象是一条斜率为k ，过点（0，b ）的直线。
（2）k>0⇔是增函数；k<0⇔是减函数。
2、不等式ax>b 的解的情况：（1）当a>0时，ab x >； （2）当a<0时，a b x <； （3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。
类似地，请同学们自行分析不等式ax <b 的解的情况。
————高中知识链接————一次函数y =kx +b （k ≠0，b ≠0）的图象所经过的象限有四种情况：①当k >0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限；②当k >0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限；③当k <0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限；④当k <0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限．一次函数y =kx +b (k ≠0)中，|k |越大，直线y =kx +b 越靠近y 轴，即直线与x 轴正半轴的夹角越大；|k |越小，直线y =kx +b 越靠近x 轴，即直线与x 轴的夹角越小．学#科网【经典题型】初中经典题型1．一次函数y ＝(m －2)x ＋3的图象如图所示，则m 的取值范围是（ ）A．m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜0 D．m＞2【答案】A【解析】如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，∴m﹣2＜0，解得m＜2，故选A．2．如图，把Rt∆ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将∆ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．82【答案】C3．已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为_____．【答案】(,)【解析】分析：利用待定系数法求出点A坐标，再利用轴对称的性质求出点B坐标即可；详解：由题意A（-，），∵A、B关于y轴对称，∴B（，），故答案为（，）．4．星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是__千米．【答案】1．5．【解析】分析：首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k、b的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t=45代入即可．点睛：本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．5．一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出不等式组的解集，再在数轴上表示. 详解：解不等式组得－3＜x ≤2，在数轴上表示为：故选D .点睛：解一元一次不等式组，通常采用“分开解，集中定”的方法，即单独的解每一个不等式，而后集中找它们的解的“公共部分”．在找“公共部分”的过程中，可借助数轴或口诀两种方法确定不等式组的解集．其中确定不等组解集的方法为：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”．在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号取实心点，不含等号取空心圆圈.6．若实数3是不等式2x –a –2<0的一个解，则a 可取的最小正整数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】解：根据题意，x =3是不等式的一个解，∴将x =3代入不等式，得：6﹣a ﹣2＜0，解得：a ＞4，则a 可取的最小正整数为5，故选D ．学-科网点睛：本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解得定义及解不等式的能力是解题的关键．高中经典题型1．若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值之差为2，则实数a =（ ）A ． 2B ． 2-C ． 2或2-D ． 0【答案】C【解析】1y ax =+，若0a =，则y 的最大与最小之差为0（舍），若0a >，则()()max 221f x f a ==+，()()min 11f x f a ==+，则()2112a a a +-+==（符合），若0a <，则()()max 11f x f a ==+， ()()min 221f x f a ==+，则()1212a a a +-+=-=，则2a =-（符合），故选C ． 2．若()()0f x ax b a =+>,且()()41ff x x =+，则()3f =__________． 【答案】193【解析】由()()()241f f x af x b a x ab b x =+=++=+， ()24,10a ab b a ∴=+=>，解得()112,,233a b f x x ==∴=+，于是()1933f =，故答案为193． 3．如图，已知函数f(x)的图象是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f(x)－f(－x)>－1的解集是______________．【答案】 (－1，－ 12)∪[0,1)4．已知函数()()()110f x ax x a a =+->，且()f x 在[]0,1上的最小值为()g a ，求()g a 的最大值． 【答案】1【解析】试题分析：（1）由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，分三种情况讨论，即可求解函数的最小值，得出()g a 的表达式，即可求解()g a 的最大值． 试题解析：由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（1）当a 1>时， 1a 0a ->，此时()f x 在[]0,1上为增函数，∴()()1g a f 0a ==；（2）当0a 1<<时， 1a 0a-<，此时()f x 在[]0,1上为减函数，∴()()g a f 1a == ；（3）当a 1=时， ()f x 1=，此时()g a 1=，∴(),01,g a { 1,1,aa a a <<=≥其在()0,1上为增函数，在[)1,∞上是减函数，又当a 1=时，有1a 1a==，∴当a 1=时， ()g a 取得最大值1． 点睛:本题考查了函数最值问题及其应用，其中解答中涉及到一次函数的单调性的应用，以及分段函数的性质，同时考查了分类讨论的思想方法，本题的解答中注意1a =的情况，容易导致错解，试题有一定的基础性，属于基础题．5．(1)求函数y ＝ax ＋1(a≠0)在[0，2]上的最值．(2)若函数y ＝ax ＋1在[0，2]上的最大值与最小值之差为2．求a 的值．【答案】(1)详见解析;(2) a ＝±1．6．某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．学-科网（1)求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍。
一次函数(第3课时)
8
s=-6t+12 （4＜t≤6）
4
O
24 6t
练习二
1、问题：为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电
收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如
图所示.
（1）根据图象，请分别求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x
的函数解析式. （2）请回答： 当每月用电量不超过50度时，收费标准是 0.5元/；度 当每月用电量超过50度时，收费标准是 0.9元./度
O
2、春、秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到
0℃以下的天气现象称为“霜冻”．由霜冻导致植物生长受 到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．
某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3小时，即遭受霜 冻灾害，需采取预防措施．右图是气象台某天发布的该地区 气象信息，预报了次日0时～8时气温随时间变化情况，其中 0时～5时，5时～8时的图象分别满足一次函数关系．请你根 据图中信息，针对这种植物判断次日是否需要采取防霜冻措 施，并说明理由． y/ oC
3k+b=5， 解得 k=2，
-4k+b=-9.
b=-1.
所以这个一次函数的解析式为：y=2x-1
确定正比例函数的解析式需要两个条件
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中 未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待 定系数法.
在前面的学习过程中我们能发现数与形之间是可 以互相转化的。
函数解析式
所以这个解析式为：y=2x-3
方法2：设解析式y=kx-3，代入点（2，1），得 2k-3=1. 解得 k=2，
所以这个解析式为：y=2x-3
2、已知一次函数的图象经过点（9,0）与（24，20）. 求这个一次函数的解析式.
第03讲 成对数据的统计分析 (精练)(学生版)
2．（2022·陕西西安·高一期末）如图是根据,x y 的观测数据()(),1,2,,10i i x y i =得到的散点图，可以判断变量,x y 具有线性相关关系的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④11b X a =+，33b X a =+，则（A ．123<b b b <，1a a <B ．132b b b <<，1a a < ．231b b b <<，1a a <．231b b b <<，3a a <．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知变量,x y 的成对样本数据的四个样本点23(1,1),(2,3),(3,4),A A ，用最小二乘法得到回归方程1:l y bx =y mx n =+，给出下列m >； n >；bx a =+的斜率的最小二乘估计值为121i ii ni i x y b x ===-∑∑）；预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为．9.4元元．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球①x，y是负相关关系；用y bx a=+拟合时的相关指数为高一期末）每到夏季，许多人选择到水上乐园游玩，某水上乐园统计了开业后第(1)求a的值；bx +（若bx +中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121i ii nii x y b x==-=-∑∑bx -，2≈残差e通过残差分析，对于残差绝对值最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为的身高与体重的线性回归方程，((11iinixb==-=∑∑，a y bx=-，i ie y bx a=--.参考数226112，168=x226.y x 2 的关系，并求出其回归方程（b 保留到小数点后．．．．．．是否成立，并给出理由．参考公式：((11ii ni x b ==-=∑∑bx -．（其中i u x =8=， 71i x =∑71567，71i i u y =∑。
MSDC.初中数学.一次函数B级.第01讲.学生版
一、函数的相关概念1．常量与变量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量．如在圆的面积公式2πS R =中，π是常数，是一个常量，而S 随R 的变化而变化，所以S 、R 是变量． 2．自变量、因变量与函数在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 注意：⑴对于每一个给定的x 值，y 有一个唯一确定的值与之对应，否则y 就不是x 的函数．例如2y x =就不是函数，因为当4x =时，2y =±，即y 有两个值与x 对应．⑵对于每一个给定的y 值，x 可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．二、函数自变量的取值范围函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： ⑴整式：自变量的取值范围是任意实数．⑵分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数． ⑶根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． ⑷零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．知识点睛函数及图像注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．三、函数的表示方法1．函数的三种表示方法：⑴列表法：通过列表表示函数的方法．⑵解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． ⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 2．对函数的关系式（即解析式）的理解：⑴函数关系式是等式．例如4y x =就是一个函数关系式． ⑵函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y x 是自变量，y 是x 的函数．⑶函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13yx -=就表示x 是y 的函数．求y 与x 的函数关系时， 必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．三、函数的图象1．函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象． 2．函数图象的画法⑴列表； ⑵描点； ⑶连线． 3．函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点(),P x y 中的x ，y 都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的j 解析式，如果满足函数解析式，这个店就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．模块一、函数及其自变量取值范围【例1】 判断下列式子中y 是否是x 的函数．⑴22(35)y x =-⑵y ⑶12y x =- ⑷8y x =-【例2】 下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是()A B C D【例3】 求下列函数中自变量x 的取值范围：⑴3231y x x =++ ⑵223x y x -=-⑶y⑷y⑸y =⑹211y x=+【例4】 等腰ABC ∆周长为10cm ，底边BC 长为cm y ，腰长为cm x 。
初中一次函数讲义
环球雅思教育学科教师讲义讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：【考纲说明】1、了解一次函数的定义、一般式以及定义域。
2、掌握一次函数与正比例函数各自的函数性质、图象特征，它们二者的关系。
3、理解一次函数的图像，掌握图像的画法，直线的截距的意义。
4、运用一次函数解决实际问题。
5、本部分在中考中占10分左右。
【趣味链接】老师从家打出租车到环球雅思，出租车的收费标准是：行驶一次3公里以内按7.5元/3公里，若超出三公里，超出以后的按1.5元/公里计算。
老师家到环球雅思的距离大于3公里，那么请你用一个多项式表示老师打出租车一次需要花费多少钱？【知识梳理】一、一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。
当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数．⑶当b=0，k=0时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、正比例函数的性质正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 三、一次函数的性质一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>0b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.五、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）六、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.【经典例题】1. （2011安徽芜湖，7，4分）已知直线y kx b =+经过点(,3)k 和(1,)k ，则k 的值为（ ）.A B ． C D ．2. （2011广东广州市，9，3分）当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y =4x +1中y 的取值范围是（ ）． A ．y ≥－7B ．y ≥9C ．y ＞9D ．y ≤93. （2011山东滨州，6，3分）关于一次函数y=－x+1的图像，下列所画正确的是( )4. （ 2011重庆江津， 4，4分）直线y=x －1的图像经过象限是( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限5. （2011山东泰安，13 ，3分）已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ）A.m ＞0,n ＜2B. m ＞0,n ＞2C. m ＜0,n ＜2D. m ＜0,n ＞26. （2011浙江省，9，3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A （－2,4），B （4，2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（ ）A.-5B.-2C.3D. 5第6题7. （2011江西，5，3分）已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）.A.-2B.-1C.0D.28. （2011江苏苏州，10,3分）如图，已知A 点坐标为（5,0），直线y=x ＋b （b>0）与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b 的值为（ ） A.3 B.335 C.4 D.4359. （2011江西，14，3分）将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案。
4.3.2 一次函数的图象与性质 课件 2024-2025学年北师大版八年级数学上册
同，图象都经过点 (0 , 3))
y = 5x - 2 的图象经过点 ( 0 , -2 )
一次函数 y = kx+ b 的图象经过点 ( 0 , b )
图象与 y 轴交点的纵坐标就是 b 的值
y = -x + 3
y = 5x - 2
y = -x
归纳总结
一次函数 y = kx + b 的图象是一条经过 ( 0 , b
一次函数 y=kx+b图像有什么特点？
一次函数的图象：一次函数y=kx＋b的图象是一条经过点(0,b)的直线，
通常也称为直线y=kx＋b.
y=kx+b
y
b
( k , 0)
(0, b)
O
x
一次函数图象的画法
画图时通常取两点(0，b)与( b ，0)(k≠0)，有时也可取横、纵坐标均为
整数的点.
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
B )
3. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则k，b的
取值范围为(
C
)
A. k＞0，b＞0
B. k＞0，b＜0
C. k＜0，b＜0
D. k＜0，b＞0
第3题图
4.在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x－4的图象与y轴交于点A.
y = -2x向上平移一个单位得到y = -2x + 1；
y = -2x向下平移一个单位得到y = -2x - 1；
y = -2x - 1
(3)平移直线y = -2x+ 1，能得到y = -2x，y = -2x - 1吗？
y = -2x
y = -2x + 1
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一、一次函数的应用
【例1】 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工
作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟
【例2】 有一个装有进、出水管的容器，单位时间内进、出的水量都是一定的，已知容器的容积为600升，
又知单开进水管10分钟可把空容器注满，若同时打开进、出水管，20分钟可把满容器的水放完。
现已知水池内有水200升，先打开进水管5分钟，再打开出水管，两管同时开放直至把容器的水放完。
则能正确反映这一过程中容器的水量Q （升）随时间t (分钟)变化的图象是（ ）
【例3】 甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s (千米)
和行驶时间t (小时)之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了18千米；② 甲在途中停留了
0.5小时；③乙比甲晚出发0.5小时；④相遇后，甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地。
其中符合图象描述的说法有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
例题精讲
一次函数与综合应用
(小时)
【例4】 某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工
过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复。
已知机器运行需运行185分钟才能将这批工件加工完。
如图是油箱中油量y (升)与机器运行时间x (分)之间的函数图象。
根据图象回答下列问题：
⑴求在第一个加工过程中，油箱中油量y (升)与机器运行时间x (分)之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)
⑵机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？ ⑶加工完这批工件，机器耗油多少升？
【例5】 东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两
种优惠办法．
甲：买一枝毛笔就赠送一本书法练习本． 乙：按购买金额打九折付款．
某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10枝，书法练习本(10)x x 本．
⑴写出每种优惠办法实际的金额y 甲（元），y 乙（元）与x （本）之间的函数关系式； ⑵比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；
⑶如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时选两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10枝和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．
【例6】 一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y
（百元）
关于观众人数x （百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：
⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式和成本费用s （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式；
⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？
（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）
二、一次函数与几何综合
【例7】 如图所示，已知正比例函数y x =和3y x =，过点()20A ，
作x 轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交与B C ，两点，求三角形OBC 的面积（其中O 为坐标原点）。
【例8】 如图,直线6y kx =+与x 轴y 轴分别相交于点E F 、. 点E 的坐标为 8, 0-（）, 点A
的坐标为。