四川省成都市树德中学2016届高三数学下学期入学考试(第六期)试题 文

树德中学高2016届高三第二学期入学考试数学试卷(文科)满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知复数z 满足z ＝2i1＋i，那么z 的共轭复数在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{0，1}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为( )A ．{1}B ．{0}C ．{0，1}D ．Φ3. 已知点A (－1，5)和向量→a ＝(2，3)，若AB →＝3→a ，则点B 的坐标为( )A ．(7，4)B ．(7，14)C ．(5，4)D ．(5，14)4. 最近,国家统计局公布:2015年我国经济增速为6.9%，创近25年新低. 在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急.为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是()5．在单位圆122=+y x 内随机均匀产生一点),(y x ，使得⎩⎨⎧≥+≥-0303y x y x 成立的概率是( )A ．41 B ．43 C ．121 D ．61 6.如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A 、B 、C 对面的字母依次分别为()A ．D 、E 、FB ．E 、D 、FC ．E 、F 、D D ．F 、D 、E7.若a ＜b ＜0，则下列不等式错误的是( )A. 1a ＞1bB.1a －b ＞1aC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 28. 命题p ：R b ∈∃，使直线y x b =-+是曲线33y x a x =-的切线．若p ⌝为真，则实数a 的取值范围是( )A ．31<a B ．31≤a C ．31>a D ．31≥a 9.已知抛物线y 2＝12x 的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( ) A ．2 2B ．2 3C ． 3D ．410．如图，已知半平面l αβ= ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在半平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥4AD =，6,8AB BC ==，在半平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则棱锥P ABCD -体积的最大值是( ).A ．144B ．96C ．64D ．48二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．5lg 21lg)101(1⋅的值是___________. 12．双曲线1222=-my x 与椭圆15922=+y x 的焦点相同，则双曲线的离心率是_________. 13．若32)4sin(=+πα，则=α2sin ______________. 14. 在△ABC 中，若AB →·AC →＝AB →·CB →＝2，则边AB 的长等于________．15．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为___________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）数列{}n a 的各项全为正数，且在如图所示的算法框图图中，已知输入2k =时，输出13S =；输入5k =时, 输出49S =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n an b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n T .17．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，试证明AF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB 上是否存在点M ,使得EM ⊥平面PCD ?（直接给出结 论，不需要说明理由）18．（本小题满分12分）某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2)，第二组[2，4)，第三组[4，6)，第四组[6，8)，第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)分别求第三，四，五组的频率； (Ⅱ)该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率．19．（本小题满分12分）将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象向右平移π4个单位后得到g (x )的图象，已知g (x )的部分图象如图所示，该图象与y 轴相交于点F (0，1)，与x 轴相交于点P ，Q ，点M 为最高点，且△MPQ 的面积为π2.(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，g (A )＝1，且a ＝5，求△ABC 面积的最大值．20．（本题满分13分）已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13. (Ⅰ)求圆C 的标准方程；(Ⅱ)设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB . 是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．21．（本题满分14分）已知函数f (x )＝ln xx，x ∈(0，＋∞)．(Ⅰ)求函数f (x )的极值；(Ⅱ)若对任意的x ≥1，都有f (x )≥k (x ＋3x)＋2，求实数k 的取值范围树德中学高2016届高三第二学期入学考试数学试卷(文科)参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1． D 2． C 3. D 4. A. 5．A 6. B 7. B.. 8. A 9. C 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．10112．2 13． 95- 14．2. 15． (－1，4)三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由框图知：当2k =时，12113S a a ==①；当5k =时，12233445111149S a a a a a a a a =+++=， 即)11(1)11111111(151********a a d a a a a a a a a d -=-+-+-+-51151a a a a d -⋅= 944415151==⋅=a a a a d d , 所以951=a a ② 由①②得()()1111349a a d a a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，（4分）所以112a d =⎧⎨=⎩，*21,.n a n n N =-∈（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得nn a n nb 4212212⋅===-， 所以)14(3241)41(421)4...44(2121-=--=+++⋅=n n nn T .（12分）17．（本题满分12分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AB ∥平面PCD ．又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =， 所以AB ∥EF ． （5分）（Ⅱ）在正方形ABCD 中，CD AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =， 所以CD ⊥平面PAD ． 又AF ⊂平面PAD 所以CD AF ⊥．由（Ⅰ）可知AB ∥EF ，又因为AB ∥CD ,所以CD ∥EF .由点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点． 在△PAD 中，因为PA AD =，所以AF PD ⊥．又因为PD CD D = ，所以AF ⊥平面PCD ． （10分） （Ⅲ）不存在． （12分）18．（本小题满分12分）解 (Ⅰ)第三组的频率是0.150×2＝0.3； 第四组的频率是0.100×2＝0.2；第五组的频率是0.050×2＝0.1 （5分）(Ⅱ)设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A ，由题意可知，第三、四、五组中分别抽取3个，2个，1个产品．（6分）不妨设第三组抽到的产品是A 1，A 2，A 3；第四组抽到的产品是B 1，B 2；第五组抽到的产品是C 1，在这6个产品中随机抽取2个所含基本事件总数为：{}A 1，A 2，{}A 1，A 3，{}A 2，A 3，{}A 1，B 1，{}A 1，B 2，{}A 1，C 1，{}A 2，B 1，{}A 2，B 2，{}A 2，C 1，{}A 3，B 1，{}A 3，B 2，{}A 3，C 1，{}B 1，B 2，{}B 1，C 1，{}B 2，C 1，（9分）在A 1，A 2，A 3共3个产品中随机抽取2个所含基本事件数为：{}A 1，A 2，{}A 1，A 3，{}A 2，A 3，所以P (A )＝315＝15. （12分）19．（本小题满分12分）解 (Ⅰ)由题意可知g (x )＝2sin[ω(x －π4)＋φ] （1分）由于S △ABC ＝12·2·|PQ |＝π2，则|PQ |＝T 2＝π2，∴T ＝π，即ω＝2（4分）又由于g (0)＝2sin(φ－π2)＝1，且－π2<φ－π2<π2，则φ－π2＝π6，∴φ＝2π3，即g (x )＝2sin[2(x －π4)＋2π3]＝2sin(2x ＋π6)．（6分）(Ⅱ)g (A )＝2sin(2A ＋π6)＝1，2A ＋π6∈(π6，13π6)则2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3（8分）由余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2＝5，∴5＝b 2＋c 2－bc ≥bc （10分） ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤534，当且仅当b ＝c ＝5时，等号成立，故S △AB C 的最大值为534.（12分）20．（本题满分13分）解 (Ⅰ)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋42＝R ，a 2＋3＝R ，（3分） 解得a ＝1或a ＝138，又∵s ＝πR 2＜13，∴a ＝1，∴圆C 的标准方程为：(x －1)2＋y 2＝4. （5分）(Ⅱ)当斜率不存在时，直线l 为：x ＝0，不满足题意．（7分） 当斜率存在时，设直线l 为：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又∵直线l 与圆C 相交于不同的两点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，（x －1）2＋y 2＝4，消去y 得：(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0，（8分） ∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0， 解得k ＜1－263或k ＞1＋263，x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2，（9分） 在▱OADB 中，OD →＝(OA →＋OB →)＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，∴3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2， 解得k ＝34（12分）但∉43 (－∞，1－263)∪(1＋263，＋∞)，假设不成立．∴不存在这样的直线l . （13分）21．（本题满分14分）解 (Ⅰ)f ′(x )＝1－ln xx2，令f ′(x )＝0，解得x ＝e. 当0<x <e 时，f ′(x )>0， 当x >e 时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝e 处取得极大值1e . （5分）(Ⅱ)f (x )≥k (x ＋3x)＋2(x ≥1)等价于ln x －kx 2－2x －3k ≥0(x ≥1)， （6分）设函数g (x )＝ln x －kx 2－2x －3k (x ≥1)， g ′(x )＝1x －2kx －2＝－2kx 2－2x ＋1x.由题意知g (1)≥0，即k ≤－12. （8分）当k ≤－12时，设h (x )＝－2kx 2－2x ＋1， （9分）其图象开口向上，对称轴x ＝－12k≤1，h (1)＝－2k －1≥0，所以h (x )≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以g ′(x )≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即g (x )在x ∈[1，＋∞)上为增函数， （12分） 所以g (x )≥g (1)≥0. （13分）。