1.1线性规划的数学模型及其标准形
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第1章 线性规划-标准型和图解法
Y
x－y≥1
－ x+2y≤0
O A1 X
39
例
max z=x+2y s.t. － x+2y≥1 x+y≤ － 2 x、y ≥0
x+y≤ － 2
Y
－ x+2y≥1
O
X
40
图解法的启示：
1. 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 无穷多最优解，无界界，无可行解； 无穷多最优解，无界界，无可行解； 2. 若线性规划问题可行域存在，在可行域是一个凸 若线性规划问题可行域存在， 集； 3. 若线性规划问题最优解存在，在最优解或最优解 若线性规划问题最优解存在， 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 4. 解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其目标 解题思路是，先找凸集的任一顶点， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优，则逐 点转移，直到找到最优解。 点转移，直到找到最优解。
C(1,3) 2x+2y=8 B(3,1) 4x+12y=24
x=7
2 4 6 7 (2,0) (4,0) A(6,0)G(7,0)
43
22
例
max = − x − y x + y ≥ 2 s.t.x ≤ 3 x , y无约束
23
解：令
x,当x ≥ 0 x′ = 0,当x < 0
y,当y ≥ 0 y′ = 0, 当y < 0
0, 当x ≥ 0 x ′′ = − x, 当x < 0
0,当y ≥ 0 y′′ = − y, 当y < 0
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
线性规划的标准型
线性规划的标准型线性规划是运筹学中的一种重要方法，它在管理、经济、工程等领域都有着广泛的应用。
线性规划的标准型是线性规划问题的一种特定形式，通过将问题转化为标准型，可以更方便地进行求解和分析。
本文将对线性规划的标准型进行详细介绍，包括标准型的定义、特点、转化方法以及实际应用等方面的内容。
首先，我们来看一下线性规划的标准型是如何定义的。
线性规划的标准型是指将线性规划问题转化为一种特定形式的数学模型，其数学表达形式为：Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为各决策变量的系数，a11,a12, ..., amn为约束条件的系数，b1, b2, ..., bm为约束条件的常数项，z为线性规划的目标函数，Max表示最大化目标函数的求解目标。
线性规划的标准型具有一些特点，首先是目标函数和约束条件均为线性关系，其次是决策变量的取值范围为非负实数。
这种形式的线性规划问题可以通过各种线性规划算法进行求解，求得最优解。
接下来，我们来讨论线性规划问题如何转化为标准型。
对于一般的线性规划问题，可以通过添加松弛变量、人工变量等方式，将其转化为标准型。
通过这种转化，可以将原始问题转化为一种更加方便求解的形式，从而简化求解过程。
线性规划的标准型在实际应用中具有广泛的价值。
例如，在生产计划中，可以利用线性规划的标准型来优化生产资源的配置，最大化生产效益；在运输调度中，可以利用标准型来优化运输路线，降低运输成本；在市场营销中，可以利用标准型来制定最优的营销策略，最大化市场份额等。
线性规划ppt课件
a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
(*)
am1x1+am2x2++amnxn=bm
x1, x2, , xn≥0
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
或者更简洁的，利用矩阵与向量记为
max z CT x
s.t. Ax b
(**)
x0
其中C和x为n维列向量，b为m维列向量， b≥0,A为m×n矩阵，m<n且rank(A)=m
⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1 加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有
⑶约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≥b1 减去非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx剩n -余xn变+1=量b1，有
⑷变量xj无约束。
令xj= xj - xj，对模型中的进行变量代换。
1.2 线性规划问题的求解——单纯形法 1.2.1 基本概念
可行解 满足约束条件（包括非负条 件）的一组变量值，称可行解。
所有可行解的集合称为可行域。
最优解 使目标函数达到最大的可行解 称为最优解。
基本解 对于有n个变量、m个约束方程的标准 型线性规划问题，取其m个变量。若这些变量在约 束方程中的系数列向量线性无关，则它们组成一组 基变量。确定了一组基变量后，其它n-m个变量称 为非基变量。
x0 必非最优解。
证 （1）显然
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是一种数学优化方法，用于解决一些实际问题，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
线性规划的标准形式是指将问题转化为一个标准的数学模型，以便于使用线性规划方法进行求解。
在本文中，我们将介绍线性规划的标准形式以及相关的数学概念和方法。
首先，让我们来定义线性规划的标准形式。
一个线性规划问题可以表示为：\[。
\begin{aligned}。
& \text{maximize} \quad c^Tx \\。
& \text{subject to} \quad Ax \leq b \\。
& \quad x \geq 0。
\end{aligned}。
\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是一个n维向量，表示决策变量；A是一个m×n的矩阵，表示约束条件的系数；b是一个m维向量，表示约束条件的右端项。
在这个标准形式中，我们的目标是最大化目标函数c^Tx，同时满足约束条件Ax≤b和x≥0。
这个问题可以用线性规划方法求解，得到最优的决策变量x和最优解c^Tx。
为了更好地理解线性规划的标准形式，让我们来看一个简单的例子。
假设有一个工厂需要生产两种产品A和B，利润分别为3和5。
同时，工厂有两种资源，分别是材料和人工，资源A和资源B的使用量分别为1和2。
工厂的资源总量分别为4和12。
那么，我们可以将这个问题表示为一个线性规划问题：\[。
\begin{aligned}。
& \text{maximize} \quad 3x_1 + 5x_2 \\。
& \text{subject to} \quad x_1 + 2x_2 \leq 4 \\。
& \quad x_1 + x_2 \leq 12 \\。
& \quad x_1, x_2 \geq 0。
\end{aligned}。
\]在这个例子中，目标函数是3x1+5x2，表示生产产品A和B的总利润；约束条件是资源A和资源B的使用量不超过总量。
线性规划的标准型和基本概念
（1）可行域可以是个凸多边形，可能无界，也可能为 空；
（2）若线性规划问题的最优解存在，它一定可以在 可行域的某一个顶点上得到；
（3）若在两个顶点上同时得到最优解，则该两点连 线上的所有点都是最优解，即LP有无穷多最优解；
（4）若可行域非空有界，则一定有最优解。
24
线性规划的标准形式
标准线性规划模型
minZ 3x1 2x2
st. -2x1 x 2 2
x1-3x2 3
x1 0,x2 0
x2 -2x1+x2=2
4
3 2
-▽Z=(3,2)
minZ 3x1 2x2
-2x1 x 2 2
x1-3x2 3
x1 0,x2 0
Z=
Z x1
，Z x 2
=（-3,-2）
x1-3x2=3
有限资源的合理配置有两类问题 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经 营活动，使所消耗的资源数最少。
例１，某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生 素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每 周可提供的资源总量如下表所示：
j=1
j=1
其中 x为n+k非负剩余变量。
(3) 右端项为负
约束两端乘以（－1） (4) 非负变量与符号不受限制的变量
若 xi的符号不受限制，则可引进非负变量xi1,xi2，令 xi = xi1-xi2，这样就可以使线性规划里所有的变量都转化为有非负限 制的变量。
例7，将下述线性规划问题化为标准型
线性规划的一般数学模型
线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下，
（2）若线性规划问题的最优解存在，它一定可以在 可行域的某一个顶点上得到；
（3）若在两个顶点上同时得到最优解，则该两点连 线上的所有点都是最优解，即LP有无穷多最优解；
（4）若可行域非空有界，则一定有最优解。
24
线性规划的标准形式
标准线性规划模型
minZ 3x1 2x2
st. -2x1 x 2 2
x1-3x2 3
x1 0,x2 0
x2 -2x1+x2=2
4
3 2
-▽Z=(3,2)
minZ 3x1 2x2
-2x1 x 2 2
x1-3x2 3
x1 0,x2 0
Z=
Z x1
，Z x 2
=（-3,-2）
x1-3x2=3
有限资源的合理配置有两类问题 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经 营活动，使所消耗的资源数最少。
例１，某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生 素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每 周可提供的资源总量如下表所示：
j=1
j=1
其中 x为n+k非负剩余变量。
(3) 右端项为负
约束两端乘以（－1） (4) 非负变量与符号不受限制的变量
若 xi的符号不受限制，则可引进非负变量xi1,xi2，令 xi = xi1-xi2，这样就可以使线性规划里所有的变量都转化为有非负限 制的变量。
例7，将下述线性规划问题化为标准型
线性规划的一般数学模型
线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下，
第一章 线性规划
第四节 线性规划的典型案例
线性规划
【开篇案例】
一、人力资源分配的问题
某旅行社为了迎接旅 游黄金周的到来，对一日 游导游人员的需求经过统 计分析如表所示。为了保 证导游充分休息，导游每 周工作 5天，休息两天， 并要求休息的两天是连续 的。问应该如何安排导游 人员的作息，既满足工作 需要，又使配备的导游人
下午5时14分
什么是规划？
• 以上问题无一例外都属于规划问题，涉及到求解最大值 和最小值
• 人们经常谈规划，比如国家有5年规划、10年规划、城市 有城市规划，个人有自己的人生规划.
• 规划是在现有的人力、物力水平下，使得目标达到最优 的全面、理性的计划
下午5时14分
线性规划
• 线性规划简介： • 运筹学中最成熟的一个分支 • 静态规划：单周期决策
第一节 下午5时14分 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
1. 模型隐含假定
作为严密的数学模型，线性规划蕴含着以下假定： （1）线性化假定
函数关系式f(x)= c1x1+c2x2+… +cnxn，称线性函数。 经济学中大多数函数都是非线性，通过偏导求最优。但在企业
运营决策中，经常考虑比较短时间内的计划安排，通过线性化 更便于应用。
乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲
乙
丙
资源限制
铸造工时(小时/件)
5
10
7
8000
机加工工时(小时/件)
6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件)
3
5
4
外协铸件成本(元/件)
线性规划
【开篇案例】
一、人力资源分配的问题
某旅行社为了迎接旅 游黄金周的到来，对一日 游导游人员的需求经过统 计分析如表所示。为了保 证导游充分休息，导游每 周工作 5天，休息两天， 并要求休息的两天是连续 的。问应该如何安排导游 人员的作息，既满足工作 需要，又使配备的导游人
下午5时14分
什么是规划？
• 以上问题无一例外都属于规划问题，涉及到求解最大值 和最小值
• 人们经常谈规划，比如国家有5年规划、10年规划、城市 有城市规划，个人有自己的人生规划.
• 规划是在现有的人力、物力水平下，使得目标达到最优 的全面、理性的计划
下午5时14分
线性规划
• 线性规划简介： • 运筹学中最成熟的一个分支 • 静态规划：单周期决策
第一节 下午5时14分 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
1. 模型隐含假定
作为严密的数学模型，线性规划蕴含着以下假定： （1）线性化假定
函数关系式f(x)= c1x1+c2x2+… +cnxn，称线性函数。 经济学中大多数函数都是非线性，通过偏导求最优。但在企业
运营决策中，经常考虑比较短时间内的计划安排，通过线性化 更便于应用。
乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲
乙
丙
资源限制
铸造工时(小时/件)
5
10
7
8000
机加工工时(小时/件)
6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件)
3
5
4
外协铸件成本(元/件)
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运 筹 学
–
第一章.线性规划
简写为
max Z c j x j
j 1
n
aij x j bi j 1 x 0 j
n
i 1,2,...m j 1,2,...,n
运 筹 学 – 用向量表示
max Z CX n Pj x j b i 1 x 0 j 1,2,...n j 其中： x1 x 2 X ... xn
I 1 4 0 2
II 2 0 4 3
资源限量 8 台时 16kg 12kg
运 筹 学
第一章.线性规划
如何安排生产 使利润最大
？
产品 2
产品 I
第一章.线性规划 运 筹 学问题中要确定的未知量，表
•基本பைடு நூலகம்念
决策变量（Decision variables） 目标函数（Objective function它是决策变量的函数 ） 约束条件（Constraint conditions） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 最优解（Optimal solution) ，通常表达为含决策变
运 筹 学
第一章.线性规划
§1.1 线性规划的数学模型 及其标准形式
Linear Programming
线性规划问题的实例 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划问题的标准形式
运 筹 学
第一章.线性规划
•问题的提出
• 例1: 生产计划问题
设备 原材料 A 原材料 B 利润
运 筹 学
第一章.线性规划
第2步 --定义目标函数
Max Z =
x1 +
x2
运 筹 学
第一章.线性规划
第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
运 筹 学
第一章.线性规划
第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1、 x2 0
量的等式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值 满足约束条件的决 策变量的取值范围
明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定 和控制。
运 筹 学 • 第1步 -确定决策变量
•设 X1——I的产量 X2——II的产量 Z——利润
第一章.线性规划
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
3x1 x2 2( x4 x5 ) x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0
3 x1 x2 2 x3 7
x3 x1 , x2 0, x3无约束 x4 x5
运 筹 学
解 ：标准形为
第一章.线性规划
max x1 x1
z x1 2 x2 3( x4 x5 ) 0 x6 0 x7 x2 ( x4 x5 ) x6 x2 ( x4 x5 ) 7 x7 2 7
线性规划模型的一般形式
目标函数最大 线性规划问题的标准形式 • 标准形式为: 约束条件等式 决策变量非负
运 筹 学
第一章.线性规划
Max Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 .......... .......... .......... .. .......... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 ,..., xn 0 b1 , b2 ,... m 0 b
一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量 例： max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5
8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 4 x2 x5 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
第一章.线性规划
C (c1 , c 2 , ) a1 j a2 j Pj ... amj b1 b 2 b ... bm
运 筹 学
– 用矩阵表示 Z CX max
第一章.线性规划 C—价值向量向量 X—决策变量向量 b—资源
x2
运 筹 学
车)
第一章.线性规划
•例2. 生产策略问题,(I为大轿车,II为载重汽
劳动力 材料 A 原材料 B 利润
I 5 2 1 4
II 2.5 2 0 3
资源限量 2500 1600 400
•问:如何安排生产才能获得最大?
运 筹 学
第一章.线性规划
该计划的数学模型
目标函数 Max Z = 4x1 + 3x2
运 筹 学
第一章.线性规划
一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量
例： 目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
运 筹 学
第一章.线性规划
约束条件 5x1 + 2.5x2 2500 2x1 + 2x2 1600 x1 400 x1、 x2 0
运 筹 学
第一章.线性规划
线性规划问题的共同特征
• 一组决策变量X表示一个方案. • 约束条件是线性等式或不等式。 • 目标函数是线性的.求目标函数最大化 或最小化
运 筹 学
第一章.线性规划
运 筹 学
第一章.线性规划
• “” 约束： 减去非负剩余变量； • xk 可正可负（即无约束）； ' " ' " 令 xk xk Maxxk , xk 0 x6 xk
例 ： m in z x 2 x 3 x 1 2 3
x1 x1
x2 x3 7 x 7 x2 x3 2
max Z CX AX b AX b X X 0 0
0 0 aa a11 ..... 1n11 .....a1n 0 0 .... ( P , P ,...,P .......... .......... ( P , P2 ,...,P ) ) 0 3 A .... 1 0 ... 1 2 n a ...... mn ... a m1 0 a ......a mn m1 0 资源向量 C - 价值向量 - 决策变量向量 X
设备 原材料 A 原材料 B 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
运 筹 学
第一章.线性规划
该计划的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1