1.1线性规划的数学模型及其标准形

运 筹 学
第一章.线性规划
• “” 约束： 减去非负剩余变量； • xk 可正可负（即无约束）； ' " ' " 令 xk xk Maxxk , xk 0 x6 xk
例 ： m in z x 2 x 3 x 1 2 3
x1 x1
x2 x3 7 x 7 x2 x3 2
x2
运 筹 学
车)
第一章.线性规划
•例2. 生产策略问题,(I为大轿车,II为载重汽
劳动力 材料 A 原材料 B 利润
I 5 2 1 4
II 2.5 2 0 3
资源限量 2500 1600 400
•问:如何安排生产才能获得最大?
运 筹 学
第一章.线性规划
该计划的数学模型
目标函数 Max Z = 4x1 + 3x2
I 1 4 0 2
II 2 0 4 3
资源限量 8 台时 16kg 12kg
运 筹 学
第一章.线性规划
如何安排生产 使利润最大
？
产品 2
产品 I
第一章.线性规划 运 筹 学问题中要确定的未知量，表
•基本概念
决策变量（Decision variables） 目标函数（Objective function它是决策变量的函数 ） 约束条件（Constraint conditions） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 最优解（Optimal solution) ，通常表达为含决策变
max Z CX AX b AX b X X 0 0
0 0 aa a11 ..... 1n11 .....a1n 0 0 .... ( P , P ,...,P .......... .......... ( P , P2 ,...,P ) ) 0 3 A .... 1 0 ... 1 2 n a ...... mn ... a m1 0 a ......a mn m1 0 资源向量 C - 价值向量 - 决策变量向量 X
约束条件 5x1 + 2.5x2 2500 2x1 + 2x2 1600 x1 400 x1、 x2 0
运 筹 学
第一章.线性规划
线Leabharlann Baidu规划问题的共同特征
• 一组决策变量X表示一个方案. • 约束条件是线性等式或不等式。 • 目标函数是线性的.求目标函数最大化 或最小化
运 筹 学
第一章.线性规划
运 筹 学
–
第一章.线性规划
简写为
max Z c j x j
j 1
n
aij x j bi j 1 x 0 j
n
i 1,2,...m j 1,2,...,n
运 筹 学 – 用向量表示
max Z CX n Pj x j b i 1 x 0 j 1,2,...n j 其中： x1 x 2 X ... xn
运 筹 学
第一章.线性规划
一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量
例： 目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
运 筹 学
第一章.线性规划
运 筹 学
第一章.线性规划
§1.1 线性规划的数学模型 及其标准形式
Linear Programming
线性规划问题的实例 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划问题的标准形式
运 筹 学
第一章.线性规划
•问题的提出
• 例1: 生产计划问题
设备 原材料 A 原材料 B 利润
量的等式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值 满足约束条件的决 策变量的取值范围
明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定 和控制。
运 筹 学 • 第1步 -确定决策变量
•设 X1——I的产量 X2——II的产量 Z——利润
第一章.线性规划
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量 例： max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5
8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 4 x2 x5 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
线性规划模型的一般形式
目标函数最大 线性规划问题的标准形式 • 标准形式为: 约束条件等式 决策变量非负
运 筹 学
第一章.线性规划
Max Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 .......... .......... .......... .. .......... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 ,..., xn 0 b1 , b2 ,... m 0 b
3 x1 x2 2 x3 7
x3 x1 , x2 0, x3无约束 x4 x5
运 筹 学
解 ：标准形为
第一章.线性规划
max x1 x1
z x1 2 x2 3( x4 x5 ) 0 x6 0 x7 x2 ( x4 x5 ) x6 x2 ( x4 x5 ) 7 x7 2 7
第一章.线性规划
C (c1 , c 2 ,...cn ) a1 j a2 j Pj ... amj b1 b 2 b ... bm
运 筹 学
– 用矩阵表示 Z CX max
第一章.线性规划 C—价值向量向量 X—决策变量向量 b—资源
3x1 x2 2( x4 x5 ) x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0
运 筹 学
第一章.线性规划
第2步 --定义目标函数
Max Z =
x1 +
x2
运 筹 学
第一章.线性规划
第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
运 筹 学
第一章.线性规划
第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1、 x2 0
设备 原材料 A 原材料 B 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
运 筹 学
第一章.线性规划
该计划的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1