函数的奇偶性3
2024-2025学年高一数学必修第一册(人教B版)函数的奇偶性(综合)-课件
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
y
分析 只需要证明图像上所有的点关于直线的
对称点还在图像上即可.
O
x ＝ －2
x
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
证明 在 的图像上任取点 0, 0 , 设 P 关于 = −2对
图所示, 若 f (2) = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
5
－5
－2
O
2
x
例 1′ 已知函数()是定义在 −5,5 上的奇函数, 它在 −5,0 上是增函数,
−2,0 ⋃ 2,5
若 2 = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
称的点为 1, 1 .
由
0+1
= −2,得
2
1
1 = 0
= −4 − 0, 即 −4 − 0, 0 .
Q(－4 －x0 ,y0 )
P(x0 ,y0 )
∵ −4 − 0 = −4 − 0 2 + 4 −4 − 0 + 6 = 20 + 40 + 6,
而0 = 0 =
分析 先将不等式变形成 1 > 2 的形式, 再利用函数 的单调性
去掉 “f ”, 得到1和2的大小关系, 即关于 m的不等式.
例 4 设函数 定义域为 −2,2 , 且在区间 0,2 上为减函数.
(1) 若 为奇函数, 且 + − 1 > 0, 则实数 m的范围为_______;
函数的奇偶性3
授课人：张晓娟
高密一中
y
4
y=x2
1
x
-2 -1 o
12
-1
-2
图象特征之一：图象关于y轴对称。
图象特征之一：图 象关于原点对称。
y
4
y=x2
1
x
-2 -1 o
12
-1
-2
图象特征之一：图象关于y轴对称。
灰色莴苣一样的声音。这个巨怪头上鹅黄色河马般的犄角真的十分罕见，脖子上活似琴弓般的铃铛瘦弱的脑袋认为很是奇特但又有些灿烂……月光妹妹笑道：“就这点本事 也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的马妖杖腿圣！这个巨大的马妖杖腿圣， 身长四百多米，体重一百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分疯狂的杖腿！这巨圣有着金红色老鹰一样的身躯和淡红色细小海带似的皮毛，头上是淡橙色木偶造型的鬃毛， 长着淡蓝色包子一样的叉子鱼鳞额头，前半身是紫红色细竹一样的怪鳞，后半身是稀奇的羽毛。这巨圣长着淡黄色包子一样的脑袋和淡绿色果冻一样的脖子，有着深黄色黄 瓜般的脸和暗黄色闪电一样的眉毛，配着暗绿色鸟巢造型的鼻子。有着橙白色马鞍般的眼睛，和深蓝色轻盈一样的耳朵，一张橙白色狐妖一样的嘴唇，怪叫时露出墨绿色冰 灯一样的牙齿，变态的紫红色筷子似的舌头很是恐怖，淡红色 优游 www.youy 优游 香蕉模样的下巴非常离奇。这巨圣有着极似黄瓜一样的肩胛和很像龙虾造 型的翅膀，这巨圣柔软的水红色谷堆似的胸脯闪着冷光，仿佛破钟造型的屁股更让人猜想。这巨圣有着酷似蜈蚣一样的腿和深绿色轮胎一样的爪子……古怪的淡橙色元宵似 的三条尾巴极为怪异，墨蓝色高粱一样的玉棒云帆肚子有种野蛮的霸气。水红色竹节造型的脚趾甲更为绝奇。这个巨圣喘息时有种暗绿色水闸似的气味，乱叫时会发出纯黄 色地灯般的声音。这个巨圣头上深橙色面具造型的犄角真的十分罕见，脖子上如同新月造型的铃铛淡红色奶糖一样的脑袋认为很是狂野但又有些浪漫！这时那伙校精组成的 巨大布帘枪尾怪忽然怪吼一声！只见布帘枪尾怪甩动跳动的翅膀，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的紫葡萄色种子一样裂开… …五十五条淡紫色泡菜模样的丑陋巨根急速从里面伸出然后很快钻进泥土中……接着，一棵灰蓝色海豹模样的受伤巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇紫玫瑰色蜜桃模样的恶 毒巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮灰色耳机模样的变质巨蕾恐怖地钻了出来……随着淡青色车灯模样的凶恶巨花狂速盛开，无数浅绿色算盘模样的残疾花瓣和墨灰 色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数暗橙色羊鬼模样的残缺果实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！只见每个巨大果实上都骑着一个布帘枪尾怪的小替身，而那伙校精 的真身也混在其中……“哇！真有变态性！”壮扭公主道。“还多少带点垃圾性！咱们让他们看看什么高层次！嘻嘻！”月光妹妹和壮扭公主一边说着一边念动咒
函数单调性奇偶性周期性
函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理 一函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称 奇函数)(x f 在原点有定义,则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇,偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法; 1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解; 4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数： )(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性; 四函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期;2、三角函数的周期①π==T x y :tan ,||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x += ⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析一考查一般函数的奇偶性例1、 设函数fx 是定义在R 上的奇函数,若当x ∈0,+∞时,fx ＝lg x ,则满足fx ＞0的x 的取值范围是 .变式1、 若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则a = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、 函数1()f x x x=-的图像关于A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称二考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性122(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 224()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ,常数)a ∈R ． 1讨论函数)(x f 的奇偶性,并说明理由； 变式4、判断下下列函数的奇偶性121()log 1x f x x -=+ 21,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩三考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数fx,当x,y ∈R 时,恒有fx+y=fx+fy.求证：fx 是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数fx 满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是Afx 为奇函数 Bfx 为偶函数 C fx+1为奇函数 Dfx+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ,当,x y R ∈时,恒有()()()f x y xf y yf x +=+,求证()f x 是偶函数;三考查一般函数的单调区间暂不讲例4、 设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且,求函数()f x 的单调区间；变式6、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.0,3 C.1,4 D. ),2(+∞四考查复合函数的单调区间 例5、判断函数fx=12-x 在定义域上的单调性.变式7、求函数y=21log 4x-x 2的单调区间.五考查函数单调性的运用例6A 、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-.则A (3)(2)(1)f f f <-<B (1)(2)(3)f f f <-<C (2)(1)(3)f f f -<<D (3)(1)(2)f f f <<-变式8、2008全国设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，例6B 、已知函数32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增,求a 的取值范围;变式9、已知函数0()(2≠+=x xa x x f ,常数)a ∈R ． 1略 2若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数,求a 的取值范围．六考查函数周期性的应用例7、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________;变式10、已知函数()f x 满足：()114f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2010f =_____________.变式11、已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D2◆方法小结1、注意：单调区间一定要在定义域内,且不可以有“”,只能用“和”,“,”.2、含有参量的函数的单调性问题,可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断或证明函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ,验证fa ±f －a ≠0.4、函数的周期性：第一应从定义入手,第二应结合图象理解.◆课后强化1.若函数2()()af x x a x=+∈R ,则下列结论正确的是A ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ,()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ,()f x 是奇函数2. 下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈0,+∞,当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+ 3.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A 13,23B 13,23C 12,23D 12,234.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+,则)25(f 的值是A. 0B. 21C. 1D. 255.已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间0,2上是增函数,则 .A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<6、已知()f x 在R 上是奇函数,且(4)(),f x f x +=2(0,2)()2,(7)x f x x f ∈==当时，则 A.—2 C.—987、设fx 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,fx=2x +2x+bb 为常数,则f-1= A 3 B 1 C-1 D-38、给定函数①12y x =,②12log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间0,1上单调递减的函数序号是A ①②B ②③C ③④D ①④9、若函数fx =3x +3-x 与gx =3x -3-x 的定义域均为R,则A ．fx 与gx 均为偶函数 B. fx 为偶函数,gx 为奇函数 C ．fx 与gx 均为奇函数 D. fx 为奇函数,gx 为偶函数 10、11、设函数fx=xe x +ae -x x ∈R 是偶函数,则实数a =________________12、以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2211x x )x (f -+=; ④xxlg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 A.①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③13、已知函数), x x ( lg x )x (f 122+++=若f a ＝M, 则f －a 等于A. M a -22B. 22a M -C. 22a M -D. M a 22-14、设y ＝f x 是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f x ＝x 2－2 x, 则在R 上f x 的表达式为A. )x (x 2--B. ) |x | (x 2-C. ) x (|x |2-D. ) |x | (|x |2- 15．函数1)(+-=x a x f )1,0≠>a a 是减函数,则a 的取值范围是 A ．()1,0∈a B ．(]+∞∈,1a C ．R a ∈ D ．+∈R a 16．函数)(x f 112+-=x x 的单调增区间是 A ．(][)∞+--∞-11, B ．(][)∞+--∞-1,1, C ．(]1,-∞- D ．()()+∞--∞-,11,17．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)718．若fx=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间1,2上都是减函数,则a 的值范围是A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．0,1D ．]1,0(19．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增,则a 的取值范围是A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(20．函数)1lg()(2x x x f ++=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数 21．函数2222)(x x x f -+-=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数22．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0(,)0(,)(22x x x x x x x f 是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数23．定义在R 上的偶函数fx 满足fx =fx +2,当x ∈3,5时,fx =2－|x －4|,则A ．f sin 6π<f cos 6πB ．f sin1>f cos1C ．f cos 32π<f sin 32πD ．f cos2>f sin224．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π,且当]2,0[π∈x 时,x x f sin )(=,则)35(πf 的值为A ．21-B ．21C ．23-D ．23 25．已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+3=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D226．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数,且0)2(=f ,则方程)(x f =0在区间0,6内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．227．下列函数既是奇函数,又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ()sin f x x =B ()1f x x =-+C ()1()2x x f x a a -=+D 2()ln 2xf x x-=+ 28．若函数fx=121+X , 则该函数在-∞,+∞上是A 单调递减无最小值B 单调递减有最小值C 单调递增无最大值D 单调递增有最大值 29．下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21(30．已知R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,则a ＝A0 B1 C －1 D ±131．若函数fx 是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且f 2=0,则使得fx <0的x 的取值范围是A -∞,2B 2,+∞C -∞,-2⋃2,+∞D -2,232．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A ()()f x f x -是奇函数 B ()()f x f x -是奇函数 C ()()f x f x --是偶函数 D ()()f x f x +-是偶函数33．函数)2(log )(22--=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.34. 函数1231)(+--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.35.设fx 是定义在R 上的奇函数,且y=f x 的图象关于直线21=x 对称,则f 1+ f 2+ f 3+ f 4+ f 5=______________.36．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数,则a = . 37、函数fx =111122+++-++x x x x 的图象 A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称38、函数fx 在R 上为增函数,则y =f |x +1|的一个单调递减区间是_________. 39、若fx 为奇函数,且在0,+∞内是增函数,又f －3=0,则xfx <0的解集为_________.40、如果函数fx 在R 上为奇函数,在－1,0上是增函数,且fx +2=－fx ,试比较f 31,f 32,f 1的大小关系______41、已知函数y =fx =cbx ax ++12 a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0是奇函数,当x >0时,fx 有最小值2,其中b ∈N 且f 1<25.1试求函数fx 的解析式；2问函数fx 图象上是否存在关于点1,0对称的两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.42、已知函数()()1011且x x a f x a a a -=>≠+．1判断()f x 的奇偶性；2当1a >时,判断()f x 的单调性,并证明．43、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,+∞上单调递增,()30f =,则不等式()0f x ≥的解集是 ．44、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递减区间是 ．45、若函数()11a f x x x a=+-+是奇函数,则实数a 的值为 ． 46、若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数,则实数a 、b 的取值范围分别是 ． 47、已知对于任意实数x ,函数()f x 满足()()f x f x -=,若方程()0f x =有2009个实数解,则这2009个实数解之和为 ．◆详细解析 例1、(1,0)(1,)-+∞ 变式1、C 变式2、C例2、解：12222(1),0(1),0()()(1),0(1),0x x x x x x f x f x x x x x x x ⎧⎧---≥-+≤⎪⎪-===⎨⎨--+-<->⎪⎪⎩⎩ 故()f x 为偶函数;2()f x 的定义域由240|3|30x x ⎧-≥⎨--≠⎩确定,解得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠⎩且∴定义域为[2,0)(0,2]-关于原点对称∴()f x x =-∵()()f x f x x-==- 故()f x 为奇函数 变式3、解：1当0=a 时,2)(x x f =,对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，,)()()(22x f x x x f ==-=-, )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时,2()(00)af x x a x x=+≠≠，,取1±=x ,得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，,(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，,∴ 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数．变式4、解：1由101x x ->+解得1,1x x <->或,则定义域关于原点对称; ∵222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+ ∴()f x 为奇函数 21,01,0()()1,01,0x x x x f x f x x x x x --->--<⎧⎧-===⎨⎨--≤-≥⎩⎩,故()f x 为偶函数;例3、证明： ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵fx+y=fx+fy,令y=-x,∴f0=fx+f-x.令x=y=0, ∴f0=f0+f0,得f0=0.∴fx+f-x=0,得f-x=-fx, ∴fx 为奇函数. 变式5A 、C变式5B 、证明：令0x y ==,可得(0)0f =；令y x =-,可得()()()f x x xf x xf x -=--即(0)[()()]0f x f x f x =--= 又x R ∈ ∴()()f x f x -- ∴()f x 是偶函数例4、解：'22ln 1(),ln x f x x x +=-其中01x x >≠且若 '()0,f x < 则 1x e >,此时()f x 单调递减,故减区间为1(,1),(1,)e +∞；若 '()0,f x > 则 1x e <,此时()f x 单调递增,故增区间为1(0,)e；变式6、解析()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 例5、解： 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1},则fx=12-x ,可分解成两个简单函数.fx=)(,)(x u x u =x2-1的形式.当x ≥1时,ux 为增函数,)(x u 为增函数.∴fx=12-x 在1,+∞上为增函数.当x ≤-1时,ux 为减函数,)(x u 为减函数,∴fx=12-x 在-∞,-1上为减函数.变式7、解： 由4x-x 2＞0,得函数的定义域是0,4.令t=4x-x 2,则y=21log t.∵t=4x-x 2=-x-22+4,∴t=4x-x 2的单调减区间是2,4,增区间是0,2.又y=21log t 在0,+∞上是减函数,∴函数y=21log 4x-x 2的单调减区间是0,2,单调增区间是2,4.例6、答案:A. 解析:由2121()(()())0x x f x f x -->等价,于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得(3)(2)(1)f f f <-<,故选A. 变式8、D例6B 、解：∵32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增 ∴2()320f x x ax a '=+-≥在区间(1,)+∞上恒成立 即2(21)3x a x -≥-在区间(1,)+∞上恒成立 ∵210x ->∴2321x a x ≥--在区间(1,)+∞上恒成立 只要满足2max 3()21x a x ≥-- ∵23333334[(21)](2)321422142x x x x -=--++≤-⨯+=--- ∴3a ≥-变式9、2解：∵)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数 ∴ ()0f x '≥在[2)x ∈+∞，上恒成立即32202a x a x x-≥≤即在[2)x ∈+∞，上恒成立,故只要满足3min (2)a x ≤显然33min (2)2216x =⋅= a ∴的取值范围是(16]-∞，． 例7、解析：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+;变式10、解析：取x=1 y=0得21)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ,寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有fn=fn+1+fn-1,同理fn+1=fn+2+fn 联立得fn+2= —fn-1 所以T=6 故()2010f =f0=21变式11、解析：由()()()()()x f x f x f x f x f =+-=+⇒-=+242由()x f 是定义在R 上的奇函数得()00=f ,∴()()()()002246=-==+=f f f f ,故选择B; 1、答案：C 解析对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数2、解析依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减,故由选项可得A 正确;3、答案A 解析由于fx 是偶函数,故fx ＝f|x|∴得f|2x －1|＜f 13,再根据fx 的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜234、答案A 解析若x ≠0,则有)(1)1(x f xx x f +=+,取21-=x ,则有： )21()21()21(21211)121()21(f f f f f -=--=---=+-= ∵)(x f 是偶函数,则)21()21(f f =- 由此得0)21(=f 于是, 0)21(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f 5、解析:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数, (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间0,2上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.6、选A7、答案D8、答案：B9、D ．()33(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．10、11、解析 gx=e x +ae -x 为奇函数,由g0=0,得a =－1;12、A 13、A 14、B15、B 16、D 17、C 18、D30、A 33.()+∞,2;()1,-∞- 34.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21;⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21, 36.22 37、答案：C 解析：f －x =－fx ,fx 是奇函数,图象关于原点对称.38、解析：令t =|x +1|,则t 在－∞,－1]上递减,又y =fx 在R 上单调递增,∴y =f |x +1|在－∞,－1]上递减.答案：－∞,－1]39、答案：－3,0∪0,3 解析：由题意可知：xfx ＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或∴x ∈－3,0∪0,3 40、答案：f 31＜f 32＜f 1 解析：∵fx 为R 上的奇函数∴f 31=－f －31,f 32=－f －32,f 1=－f －1,又fx 在－1,0上是增函数且－31> －32>－1. ∴f －31>f －32>f －1,∴f 31＜f 32＜f 1.41、解：1∵fx 是奇函数,∴f －x =－fx ,即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴fx =bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ,当且仅当x =a1时等号成立,于是22ba =2,∴a =b 2,由f 1＜25得b a 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2,又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴fx =x +x1.2设存在一点x 0,y 0在y =fx 的图象上,并且关于1,0的对称点2－x 0,－y 0也在y =fx 图象上,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y x x y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =fx 图象上存在两点1+2,22,1－2,－22关于1,0对称.42、解：1由()f x 的定义域为R ,关于原点对称()()1111x xx xa a f x f x a a -----===-++得()f x 为R 上的奇函数 2证明：12x x ∀<∈R ,则由1a >得12x x a a <()()()()()()()12121212122121101111x x x x x x x x a a a a f x f x f x f x a a a a ----=-=<⇒>++++ ∴当1a >时,()f x 在R 上单调递增 43、(][),33,-∞-+∞ 44、[)1,3 45、1 46、00且a b >≤ 47、0。
第3讲函数的奇偶性.doc
第三讲函数的奇偶性考纲要求：了解奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法 。
1.奇函数：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f 〕，则称()f x 为奇函数。
2.偶函数：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕，则称()f x 为偶函数。
3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
（3）若奇函数的定义域包含数0，则(0)0f =。
（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在关于原点对称区间上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。
几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。
③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。
如若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)31(f =2，则不等式2)(log 81>x f 的解集为______. （答：(0,0.5)(2,)+∞） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=><<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛>21log 81log 31log 1031)(log 8131818181x x f x f 或⎪⎩⎪⎨⎧=<>21log 31log 18181x x ∴()()+∞∈,25.0,0 x（ⅱ）如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数。
偶函数没有反函数。
④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。
函数的奇偶性3
角度三
代入法
例11.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x24x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是
解：因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则
f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,
即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,
所以|x+2|<5,解得-7<x<3,
所以不等式f(x+2)<5的解集是(-7,3).
环节四
联合比较大小
1 2 ∈ ↑ +1 > 2 ⇒ f 1 > f 2
1 2 ∈ ↓ +1 > 2 ⇒ f 1 < f 2
奇偶性和增减性已知
3.【偶异】偶函数在对称区间上增减性相反。所以，两个区
间是不会【统】的。这就给使用带来了麻烦，为了避免这个麻烦，
我们发现偶函数有f −x = f x = f x ,无论自变量正负，都可以
通过加绝对值变成非负数，保证两个变量属同一区间。
角度一
奇偶性和增减性已知
例7.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)
环节二
联合求值
环节三
联合解不等式
1.这两个性质联合在一起解不等式，本质是脱法
则，化不等式为代数不等式。需要以下两方面经验
经验一
, 2 ∈ ↑+ f x1 < f x2 ⇒ , 2 ∈ 且
x1 < x2
, 2 ∈ ↓+ f x1 < f x2 ⇒ , 2 ∈ 且x1 > x2
3.1.3 高中必修一数学教案《函数的奇偶性》
高中必修一数学教案《函数的奇偶性》教材分析函数的奇偶性是高中数学必修一人教版B版第三章第一单元第三节的内容，是函数的一条重要性质。
教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称，感受奇函数和偶函数的图象特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。
从知识结构上而言，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础，起着承上启下的作用。
学情分析从学生的认知基础来看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。
同时，学生刚刚学习了函数的单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。
从学生的思维发展来看，高一学生的思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。
教学目标1、理解函数奇偶性的概念和图像特征，能判断一些简单函数的奇偶性。
2、经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。
3、通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美；通过分组讨论，培养合作交流的精神，学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
教学重点函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。
教学难点对函数奇偶性的概念理解与认识。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、复习导入初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），关于原点的对称点为（-x，-y）。
例如，（-2，3）关于y轴的对称点（2，3），关于原点的对称点（2，-3）二、学习新知1、偶函数填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征。
不难发现，上述两个函数，当自变量取为相反数的两个值x和-x，对应的函数值相等。
f（-x）= （-x）2 = x2 = f（x）g（-x）= 1|−x| = 1|x|= g（x）一般地，设函数y = f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f（-x）= f（x）则称y = f（x）为偶函数。
函数的奇偶性与反函数
⎧1 − x 2 ≥ 0 （5）解：定义域为 ⎨ 2 ⎩x −1 ≥ 0
∴ x2 = 1
即 { x x = ±1}
∴ f ( x) = 0
∴ f ( x) 即是奇函数且偶函数
⎧1 − x 2 ≥ 0 （6）解：定义域 ⎨ ⎩x+2 −2≠0
∴ f ( x) =
{ x −1 ≤ x < 0或0 < x ≤ 1}
例 6、四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相 等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左 到右依次为 h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（ ）
A．h2＞h1＞h4
B．h1＞h2＞h3
C．h3＞h2＞h4
2 2 ∴ g ( x ) = − g ( − x) = − ⎡ ⎣(− x) + 2(− x) − 1⎤ ⎦ = −x + 2x + 1
x = 0 时， g (0) = − g (0)
⎧ x2 + 2x − 1 ⎪ ∴ g ( x) = ⎨ 0 ⎪− x 2 + 2 x + 1 ⎩
∴ g (0) = 0
例6
例 7、C【解析】对于 a = 0 时，有 f ( x ) = x 是一个偶函数
2
A
例题 8、D
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【解析】∵ f ( x + 1) 与 f ( x − 1) 都是奇函数，
∴ f (− x + 1) = − f ( x + 1), f (− x − 1) = − f ( x − 1) ，
新高考A版讲义：第三章函数 第3节 函数的基本性质奇偶性
第3节 函数的基本性质:奇偶性知识点一 函数奇偶性 1.奇偶性的几何特征一般地，图象关于y 轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 2.函数奇偶性的定义（1）偶函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．（2）奇函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．3.奇(偶)函数的定义域特征：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．题型一、函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.解 (1)f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝1－x＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x 是奇函数．(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R .∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数． (3)f (x )＝xx －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称，∴f (x )＝xx －1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}．∵f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既为奇函数，又为偶函数． 反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系． (2)图象法．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．题型二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <0或2<x <5}． 题型三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.解析 由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析 方法一 显然x ∈R ，由已知得f (－x )＝(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x －a |. 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x 2－|x ＋a |＝x 2－|x －a |， 即|x ＋a |＝|x －a |.又x ∈R ，所以a ＝0.方法二 由题意知f (－1)＝f (1)，则|a －1|＝|a ＋1|，解得a ＝0.(2)已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________． 解析 ∵f (－2)＝－f (2)＝3，∴f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，∴m ＝12.知识点二 奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．题型一、利用奇偶性求解析式 命题角度1 求对称区间上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式． 解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x －1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x )，求f (x )的解析式． 解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x [1＋(－x )]＝x (x －1)． 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x (x －1)，x ∈(－∞，0)．f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x ≥0，－x (x －1)，x <0.命题角度2 构造方程组求解析式例2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1.①，用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝xx 2－1.反思感悟 f (x )＋g (x )＝1x －1对定义域内任意x 都成立，所以可以对x 任意赋值，如x ＝－x .利用f (x )，g (x )一奇一偶，把－x 的负号或提或消，最终得到关于f (x )，g (x )的二元方程组，从中解出f (x )和g (x )．跟踪训练2设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式． 解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.①用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.题型二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为() A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定答案A解析∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)；④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．解析f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正确，②错误．x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．题型三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则f(x)x<0的解集为________．解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x |－3<x <0或x >3}．(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13， 即－13<2x －1<13，解得13<x <23.反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.1．下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )＝x 3； ②f (x )＝x 5； ③f (x )＝x ＋1x；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3) 答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上， ∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上．3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数4．若f (x )＝3x 3＋5x ＋a －1为奇函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0得a ＝1.5.如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1) ＝－32－12＝－2.6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.8．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①f (x )＋f (－x )＝0； ②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f(x)·f(－x)<0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的为________．(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，f(x)f(－x)分母为0，无意义，故④不正确．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－2x答案 B解析 对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )， 所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1， 所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x 不是偶函数．故选B.12．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断抽象函数的奇偶性 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．13．函数f (x )＝4－x 22－|x ＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．答案 [－2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x＝－4－x 2x ，定义域关于原点对称，∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．14．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________．答案 8解析 设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋cx (x ≠0)，∵g (－x )＝－ax 3－bx －cx ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5] ＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3， 又g (3)＝f (3)－5＝3， ∴f (3)＝8.15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.16．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值．解 由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx ＝0，∴c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a <2，∴a ＝0或1. ∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g (x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( ) A ．6 B ．－6 C ．2 D ．－2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数f (x )在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f (x )在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f (x )为奇函数，∴f (x )在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f (1)为最小值， 又已知f (－1)＝5，∴f (－1)＝－f (1)＝5，∴f (1)＝－5，故选A.3．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析 由f (a )≥f (－2)得f (|a |)≥f (2)，∴|a |≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f (x )是偶函数，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝0的所有实根之和为0.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)＝f (－x 2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)<f(－x1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是________．考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(－∞，1)解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案f(－2)<f(1)<f(0)解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．10．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明． 考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又∵f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．证明如下：任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．11．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为() A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x <0，即f (x )x <0，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f (x )x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意实数x ，y 都成立，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝0，所以f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0.又因为f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故选A.13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0，∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且f (x )在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x ＝________时，f (x )取得最大值；若不等式f (0)<f (m )成立，则m 的取值范围是________． 答案 1 (0,2)解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，1]上单调递增，所以当x ＝1时f (x )取到最大值．由对称性可知f (0)＝f (2)，所以f (0)<f (m )，得0<m <2，即m 的取值范围为(0,2)．15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b>0. (1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．解 (1)因为a >b ，所以a －b >0，由题意得f (a )＋f (－b )a －b>0， 所以f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b )．(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数，因为f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，所以f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，所以1＋m ≥2m －3，所以m ≤4.所以实数m 的取值范围为(－∞，4]．。
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y
(-a,f(-a)) -a (a,f(a))
o
a
x
偶函数的图象关于y轴对称，反过来， 如果一个函数的图象关于y轴对称， 那么这个函数是偶函数.
y
A3 A4 A4’ A3’ A2’ A2 A5’ A5 A1’ A1
o
x
例6、已知函数 y=f(x)是偶函数， 它在y轴右边的图 象如图，画出 函 数y=f(x)在y轴左 边的图象
在y 轴右边的图象上取几个点。例如取点 画出这些点关于y轴的对称点，例如点 用一条光滑曲线把画出的点连接起来，例如用平滑曲线连 A1,A2,A3,A4,A5( 这些点一般应包括图象的最 A1、A2、A3、A4、A5的对称点，分别 接点 A1’ ,A2’,A3’,A4’,A5’ 后，就得到函数y=f(x)在y轴左 低点、最高点等）。 为A1’,A2’,A3’,A4’,A5’ 边的图象。
函数的奇偶性
授 -2 -1
o
-1 -2
1
2
x
图象特征之一：图象关于y轴对称。
图象特征之一：图 象关于原点对称。
4
y
y=x2
1 -2 -1
o
-1 -2
1
2
x
图象特征之一：图象关于y轴对称。
判断下列说法是否正确：
1. 在函数f(x)中，如果对于定义域 内无穷多个x值，都有f(-x)=f(x), 则函数f(x)为偶函数。 （错）
2. 在函数f(x) ,x ∈R中，如果
f(-2) ≠f(2),则f(x)不是偶函数。（对）
图象特征之一：图 象关于原点对称。
例4、判断下列函数是否 具有奇偶性： 3 1、f(x)=x +2x 4 2 2、f(x)=2x +3x
y
-a
(a,f(a))
o
a
x
(-a,f(-a))
奇函数的图象关于原点对称，反过来， 如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数.
例6、 解：因为偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，所 以画法如下： 1) 在y 轴右边的图象上取几个点。例如取点 A1,A2,A3,A4,A5( 这些点一般应包括图象的最 低点、最高点等）。 2) 画出这些点关于y轴的对称点，例如点A1、A2、 A3、A4、A5的对称点，分别为 A1’,A2’,A3’,A4’,A5’
3) 用一条光滑曲线把画出的点连接起来，例如用 平滑曲线连接点 A1’ ,A2’,A3’,A4’,A5’后，就得 到函数y=f(x)在y轴左边的图象。
1.奇偶函数的定义
函数的奇偶性
函数图象的对称性
2.数形结合 、 由特殊到一般
石器时代，是考古学家假定的一个时间区段，为考古学上的术语。石器时代分为旧石器时代、中石器时代与新石器时代。考古学对早期人类历 史分期的第一个时代，即从出现人类到青铜器的出现，大约始于距今二三百万年，止于距今5000至2000年左右。
石器时代SF http://www.shiqi.co/ 石器时代SF
这一名称是英国考古学家卢伯克于1865年首先提出的，这个时代在地质年代上已进入全新世。石器时代只是个时间区段概念，石器时代并不代 表那个时候的人类只会使用石器；据近代考古出土大量的文化遗存表明，几千年前的古人已经步入冶铸、稻作、制陶、纺织等文明时期。青铜、 铁器为金属品，遗存几千年的较少；陶器、玉器可存时间长，出土的遗存较多。 谁说，“屋”里，就一定要是地面？这座屋子里，墙内，门内，也还是水，比外头那一湾更清、更艳，水上飘着几盏琉璃荷花灯，微微荡漾， 艳得几乎要死在了这泓水波里。除了灯之外，水面上还有一样东西：桥。很窄很窄、很细很细的桥，平平贴着水波，似一失足就要淹死在水里， 那却未免死得也太艳丽了，因为它比那琉璃灯更绝，竟是血一般的红石，一粒一粒砌出来。灯光一映，它更有了啼血般哀艳的神色，宛转的桥 身，就仿佛美人垂死而无力的裙裾。这裙裾通向水中央的一只“宫灯”。屋内最明丽的灯光，也就是从那宫灯中透出来。它有八面，冰裂纹、 亚字纹、龟背纹、万字纹、步步锦，每一面格纹都玲珑剔透，捧出格心图案，八仙过海、麒麟踏云、天马追风、岁寒四友，每幅都活灵活现。 可惜格后都蒙着芙蓉薄纸，影影绰绰，叫人看不清灯里的情形。苏明远就是踏着纤艳欲死的曲桥，往灯里走，每走几步，就自己扯下一件衣服， 踏入灯门时，已经只余一件亵衣。——对了，这“灯”倒是有门。步步锦麒麟踏云的那扇格子，麒麟脚下踏空了，原来是给苏明远留的一线门。 苏明远进去，就把脚上的鞋子都踢了，赤着一双足，踩在地毯上。“灯”里原来是一座小小的暖阁，烧着极好的炉火。整个阁子地面，都满铺 裁绒毯，绯地，葡灰团花的外边、驼色蔓草的中边、毯心织如意天华图。苏明远湿脚踏上干燥柔软的裁绒毯，舒适得简直要“唔”一声。至少 价值千金的毯子，可就被他老实不客气的踩湿了。暖阁主人懒洋洋道：“你专能糟蹋东西。”与其说是埋怨，不如说是一个呵欠。像迟迟春日， 阳光那么暖，花那么香，花粉抖下来玷污了洁白的莲花瓣，花下的石鲢吐了个泡泡，就是这么样的呵欠。主人的模样儿也懒，俯在炉前，像是 被烘得一丝力气也没了。天空一样碧蓝的缎子斗篷披在他身上，映得他面颊肌肤更如处子般皎好。他的眉毛很清、眼波很倦、睫毛很长。他是 一个“他”。所以谢府长辈不同意苏明远来找他。两个小少女，只比先前的小童子大一点点而已，梳着双丫髻，戴着香喷喷的桂花，吃吃笑着 闪出来，偷看一眼谢苏明远俊秀的脸，很羞涩的垂下眼睛，看到亵衣下的线条，就更羞涩了，眼睛不知道往哪里放，吃吃笑得更大声，互相你 羞我一指头、你拧我一下，扭着拧着竟然还有空腾出手来服侍苏明远脱了最后一件亵衣，捧着衣物弯着腰溜了，只余桂花的香味、还有她们笑 的余音，还在暖阁里回荡。苏明远再次举步，不是向着炉子，而是向着炉边一个盆子。那盆子一人高、一人宽，瓷制，从踵至沿，颜色由白渐 进至天青，造型似餐桌上请客用的搁大菜的盆子。这盆底也像有的搁大菜的盆子底下一样，置了炭火，可以将盆中菜品保温。只不过，这个大 盆子里面虽然也