高等数学第二章复习题及答案
高数第一二章复习题
高数第一二章复习题一、极限的概念与性质1. 定义极限的概念，说明极限存在的条件。
2. 举例说明无穷小量的概念及其与极限的关系。
3. 描述左极限与右极限的区别，并给出一个例子。
4. 解释函数在某一点的极限存在的必要条件。
5. 证明：若\( \lim_{x \to c} f(x) = L \) 存在，则 \( \lim_{x\to c} [f(x) + g(x)] = L + \lim_{x \to c} g(x) \)。
二、极限的运算法则1. 列举极限的四则运算法则。
2. 利用极限的运算法则计算 \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x- 1} \)。
3. 说明夹逼定理的内容，并给出一个应用夹逼定理求解极限的例子。
三、无穷小量的比较1. 解释无穷小量比较的基本概念。
2. 利用泰勒展开公式比较 \( \sin x \) 和 \( x \) 的无穷小量阶。
3. 给出一个使用洛必达法则求解极限的例子，并说明其适用条件。
四、连续函数的概念与性质1. 定义连续函数的概念，说明连续函数的性质。
2. 举例说明间断点的类型，并解释各类型间断点的特点。
3. 证明函数的连续性与极限的关系。
五、导数的概念与性质1. 定义导数的概念，解释导数的几何意义。
2. 描述导数的物理意义。
3. 列举导数的基本性质，并解释每个性质的含义。
4. 证明链式法则：若 \( y = f(u) \) 且 \( u = g(x) \)，且 \( y \), \( u \), \( g \) 在某点 \( x \) 可导，则 \( y \) 在 \( x \) 可导，且 \( y' = f'(u) \cdot u' \)。
六、基本导数公式1. 列举基本的导数公式。
2. 利用基本导数公式计算 \( \frac{d}{dx} \sin(x^2) \)。
七、复合函数的求导法则1. 解释复合函数的求导法则。
高等数学Ⅱ第二章习题课习题及其解答
高等数学Ⅱ第二章习题课习题1（导数的定义）（1）设函数()y f x =在1x =处可导，且0(13)(1)1lim 3x f x f x ∆→+∆-=∆，求(1)f '。
（2）设函数()y f x =在0x =处连续，且0()lim x f x x →存在，求0(2)lim x f x x→。
【解】：（1）00(13)(1)(13)(1)1lim3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆， 所以 1(1)9f '=（2）因为0()lim x f x x→存在，故0lim ()0x f x →=，又函数()y f x =在0x =处连续，从而0(0)lim ()0x f f x →==，所以00(2)(2)(0)()(0)lim2lim 2lim 2(0)200x x t f x f x f f t f f x x t →→→--'===--2（求导法则）（1）设函数21()(1)(1)f x x x=+-，求()f x '； （2）设函数3()(1)cot f x x arc x =+，求(0)f '； （3）设3ln 1x xy x=+，求y '. 【解】：（1）21()1f x x x x =-++-， 21()21f x x x'=-+-（2）33()(1)cot (1)(cot )f x x arc x x arc x '''=+++32213cot 1x x arc x x +=-+所以 (0)1f '=-（3）33323232(ln )(1)(ln )(1)(1ln )(1)(ln )(3)(1)(1)x x x x x x x x x x x y x x ''+-+++-'==++ 33321ln (12)(1)x x x x ++-=+3（一元复合函数求导）（1）设函数()lnsin f x x =，求()f x '；（2）设函数ln y =y '； （3）设(4)ln f x x =，求()f x '；（4）设cos2f x =，求()f x '. 【解】：（1）2cos ()sin xf x x'=+（2）y '==（3）在(4)ln f x x =两边同时对x 求导，得 14(4)f x x '=，从而1(4)4f x x'= 所以 1()f x x'=（4）在cos2f x =两边同时对x 求导，得 2sin 2f x '=-，从而2f x '⋅=-所以 2()4sin 2f x x x '=-4（分段函数求导）（1）设函数212()2ax x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩在2x =处可导，求,a b ；（2）设函数20()20x ae x f x bx x ⎧<=⎨-≥⎩处处可导，求,a b 及()f x '；【解】：（1）函数在2x =处可导，在2x =处必连续。
高等数学(东北大学出版社)第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案
四、综合题
1.函数 在点 处不连续，在点 处连续，函数的图像略。
2.设函数 则 =1, 在点 处连续。
3.设函数 ，当 时， 在 处连续。
4.（略）
第2章导数与微分
习题
1.已知质点作直线运动方程为 ，则该质点在 时的瞬时速度为10.
2.用函数 在 的导数 表示下列极限:
（1） （2）
（3） （4）
（6）若 的定义域是 ，则 的定义域是
3.判别下列函数的奇偶性.
（1） 是奇函数（2） 是奇函数
（3） 是非奇非偶函数（4） 是奇函数
（5） 是偶函数（6） 是偶函数
（7） 是奇函数（8） 是偶函数
⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的.
（1） 在其定义域内不是单调的
（2） 在其定义域内是单调递增的
（3） 在其定义域内不是单调的
第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案
第1章函数、极限与连续
习题
⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是
（1） 是同一函数（2） 是同一函数
（3） 不是同一函数（4） 不是同一函数
⒉指出下列函数的定义域.
（1） 的定义域是 （2） 的定义域是
（3） 的定义域是
（4） 的定义域是
（5）若 的定义域是 ，则 的定义域是
（3） 是周期函数，最小正周期是
（4） 是周期函数，最小正周期是
7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.
（1） 不可以构成复合函数
（2） 不可以构成复合函数
（3） 不可以构成复合函数
（4） 可以构成复合函数
8.将下列复合函数进行分解.
（1）对复合函数 的分解结果是：
（2）对复合函数 的分解结果是：
高等数学第2章课后习题及答案
-----高等数学第2章课后习题及答案习题211 设物体绕定轴旋转 在时间间隔 [0 t]内转过的角度为从而转角是 t 的函数(t) 如果旋转是匀速的 那么称为该物体旋转的角速度 如果旋转t是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻t 0 的角速度？解 在时间间隔 [t 0 t 0t] 内的平均角速度为(t 0t ) (t 0 )tt故 t 0 时刻的角速度为l i ml i m l i m(tt) (t 0) (t )t 0t 0 tt 0t2 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却 若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 T T(t) 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔 [t 0 t 0t]内 温度的改变量为T T(tt) T(t)平均冷却速度为T T (t t) T(t) t t故物体在时刻 t 的冷却速度为limT lim T (t t ) T (t ) T (t) t 0t t 0 t 3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元 此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本 f (x)的实际意义解 f(x x)f(x)表示当产量由 x 改变到 x x 时成本的改变量f (x x) f (x)表示当产量由 x 改变到 x x 时单位产量的成本xf (x)lim 0f (x x) f ( x)表示当产量为 x 时单位产量的成本x x4 设 f(x)10x 2 试按定义 求 f ( 1)解 f ( 1)limf ( 1 x) f ( 1)10( 1x)2 10( 1)2xlimxxx 010 lim0 2 xx 2 10 lim ( 2x) 20xxx 05 证明 (cos x) sin x解 (cosx) limcos(x x) cosxxx2s i nx(x) s i nxlim2 2x 0 xlim [ s i nx(x ) s i n x] s i nx 2 x 0 2x26 下列各题中均假定 f (x 0)存在 按照导数定义观察下列极限指出 A 表示什么(1) lim f ( x 0x) f ( x 0 ) A xx 解 Alim0f (x 0x) f (x 0)xxl i mf ( xx) f (x 0) f ( x 0 )x 0x(2) lim f (x)A 其中 f(0) 0 且 f (0)存在x 0 x解 Alim f ( x) lim f (0 x) f (0) f (0)x 0 x x 0x (3) lim f (x 0 h) f (x 0 h)Ah 0h解A lim f ( x 0 h 0 lim[ f (xh 0limf (xh 0h)f (x 0 h) hh) f ( x 0 )] [ f (x 0 h) f (x 0)]h h) f (x 0)limf (xh) f ( x 0 ) hh 0hf (x 0) [ f (x 0)] 2f (x 0)7 求下列函数的导数(1)y x 4(2) y 3 x 2(3) y x1 6-----(4) y1 x(5) y1x23 5 x(6) y x232(7) y x x解 (1)y (x 4) 4x 4 1 4x 322 1 2 x (2) y (3 x 2 ) ( x 3 )2x 3331 3(3)y (x 1 6) 1 6x 1 6 1 1 6x 0 61 1 x(4) y ( 1) (x 2)x21 121 x 23 2(5) y(1)( x 2 )2x 3x 23 516 16 16 116 11 (6) y (x x) (x 5)x 5 x 555(7) y ( x2 3 x21 111 x ) (x 6) 1 x 6x 5665 68 已知物体的运动规律为 s t 3(m) 求这物体在 t 2 秒 (s)时的速度解 v(s) 3t 2 v|t 2 12(米 /秒)9 如果 f(x)为偶函数且 f(0)存在 证明 f(0)证明 当 f(x)为偶函数时 f( x) f(x)所以f (0) l i mf (x)f (0) l i m f (x) f (0) l i m f ( x) f (0)x 0xx 0x 0x 0x 0从而有 2f (0) 0 即 f (0) 010 求曲线 ysin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x 解 因为 y cos x 所以斜率分别为2 1k 1 c o sk 2 cos 13 2f (0)2x311 求曲线 y cos x 上点 ( , 1) 处的切线方程和法线方程式3 2解 ysin x ysin3x3 23故在点 (, 1) 处 切线方程为 y 1 3(x)3 22 23法线方程为 y 1 2(x )23 312 求曲线 y e x在点 (0 1)处的切线方程 解 y e xy |x 0 1 故在 (0 1)处的切线方程为y 1 1 (x 0)即 y x 113 在抛物线 y x 2上取横坐标为 x 1 1 及 x 2 3 的两点 作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 yy(3) y(1)9 1 42x 割线斜率为 k132令 2x 4 得 x 2因此抛物线 y x 2 上点 (2 4)处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在 x 0 处的连续性与可导性(1)y |sin x| (2) yx 2sin 1x 0xx 0解 (1)因为y(0) 0 lim y lim |sin x | lim ( sin x) 0x 0x 0x 0 lim ylim |sin x|lim sin xx 0x 0x所以函数在 x 0 处连续又因为y (0)l i m y( x)y(0) l i m |si nx | |si n0 |l i m s i nx1x 0x 0x 0x 0x 0xy (0) lim y( x) y(0) lim |sin x | |sin0|lim s i nx 1x 0 x 0 x 0x 0 x 0 x而 y (0) y (0) 所以函数在 x 0 处不可导-----解 因为 lim y(x) lim x 2sin10 又 y(0)0 所以函数在 x 0 处连续x 0 x 0x 又因为21 0y(x) y(0)xs i n1 l i mx l i ml i mxs i n 0 x 0xx 0xx 0x所以函数在点 x 0 处可导 且 y (0) 015 设函数 f (x)x 2x 1为了使函数 f(x)在 x 1 处连续且可导a b 应取什ax b x 1么值？解 因为lim f ( x) lim x 21 limf (x) lim (ax b)a b f(1) a bx 1x 1x1x 1所以要使函数在 x1 处连续 必须 a b 1 又因为当 a b1 时f (1)x 2 12l i m1x 1 xf (1) lim ax b 1 lim a( x 1) a b 1 lim a(x 1) ax 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 所以要使函数在 x 1 处可导 必须 a 2 此时 b 116已知 f (x)x 2x 0求 f (0)及 f(0) 又 f (0)是否存在？x x 0解 因为f(0) lim f (x) f (0)lim x 0x 0 x x 0x f(0) lim f (x) f (0)lim x 2 0xxx 0x 而 f (0) f (0) 所以 f (0)不存在17 已知 f(x)sin x x0 求 f (x)x x解 当 x<0 时 f(x) sin x f (x) cos x 当x>0 时 f(x) x f (x) 11因为 f (0) lim f (x) f (0) lim sin x 0 1x 0 x x 0xf (0) lim f (x)f (0) lim x 0 1所以 f (0) 1 从而x 0x x 0x f (x)cosx x1 x18 证明 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2解 由 xy a 2得 ya 2k ya 2xx 2设 (x 0 y 0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为y a2x 0 ) y 02 ( xx 02y x 2令 y 0并注意 x 0y 0a 解得 xx 0 2x 0为切线在 x 轴上的距 a 2令 x 0并注意 x 0y 0 a 2 解得 y a 2y 2 y0 为切线在 y 轴上的距x 0 0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为S1|2x 0 ||2y 0 | 2|x 0 y 0 | 2a 22习题221 推导余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x(csc x)csc xcot x解 (cot x)(cosx )sin x sin x cosx cosxsin xsin 2 x2 21 2s i nx c o s x2 2 c s cxs i nxs i nx( c sxc) ( 1 ) c o xsc s cx c o xt s i nx 2s i n x 2 求下列函数的导数(1) y4 7 2 12x 5 x 4x-----(2) y 5x 3 2x 3e x (3) y 2tan x sec x 1 (4) y sin x cos x (5) y x 2ln x (6) y 3e x cos x(7) yln xxx(8) y e 2 ln 3x(9) y x 2ln x cos x(10) s 1 sint1 cost解 (1) y ( 4 7 2 12)(4x 5 7x 4 2x 112)x 5 x 4 x20x628x52x220282x6x5x2(2) y (5x 32x 3e x ) 15x22xln2 3ex(3) y (2tan x sec x 1)2sec x tan x sec x(2sec x tan x)2sec x (4) y (sin x cos x) (sin x) cos x sin x (cos x)cos x cos x sin x ( sin x) cos 2x(5) y (x 2ln x) 2x ln x x 21 x(2ln x 1)x(6) y (3e x cos x) 3e x cos x 3e x ( sin x) 3e x(cos x sin x)ln x1 x ln x1 ln x(7) y ( ) xx x 2 x 2(8) y ( e x ln 3) e x x 2 e x 2x e x ( x 2)x 2 x 43x(9) y221cos x x 2ln x ( sin x)(x ln x cos x) 2x ln x cos x x x2x ln x cos x x cos x x 2 ln x sin x(10) s (1sin t ) cost(1 cost) (1 sin t)( sin t)1 sin t cost1 cost(1 cost)2(1 cost)23 求下列函数在给定点处的导数(1) y sin x cos x 求 y和 yxx46(2)sin1cos 求d2d4(3) f (x)3 x 2求 f (0)和 f (2)5 x 5解 (1)ycos x sin xyc o s s i n3 1 3 1x22266 6yc o s s i n22 2x2 244 4(2)dsincos1sin1sincosd22d1s i nc o s 1 2 422(1)d4 244 4 2 22 42(3) f (x)32x f (0)3 f (2) 17(5 x)2525154 以初速 v 0 竖直上抛的物体其上升高度 s 与时间 t 的关系是 s v 0t 1gt 22求(1)该物体的速度 v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解 (1)v(t) s (t) v 0 gt(2)令 v(t) 0 即 v 0 gt 0 得 t v 0这就是物体达到最高点的时刻g5 求曲线 y 2sin x x 2 上横坐标为 x 0 的点处的切线方程和法线方程 解 因为 y 2cos x 2x y |x 0 2又当 x 0 时 y 0 所以所求的切线方程为y 2x所求的法线方程为-----y 1x即x 2y 0 26求下列函数的导数(1)y (2x 5)4(2)y cos(4 3x)(3) y e 3x 2(4)y ln(1x2)(5)y sin2x(6) y a2x2(7)y tan(x2)(8)y arctan(e x)(9)y(arcsin x)2(10) y lncos x解 (1) y4(2x 5)4 1 (2x5) 4(2x 5)3 2 8(2x 5)3 (2)y sin(4 3x) (4 3x)sin(4 3x) ( 3) 3sin(4 3x)(3) y e 3 x2 ( 3x2 )(4)y1 (1 x2)1x2(5)y 2sin x (sin x) e 3x 2(6x)6xe 3x212x2x1 x2 1 x22sin x cos x sin 2x(6) y [( a21] 1 (a211(a2 x2 ) x2) 2x2) 221 (a2x2 )1x2 ( 2x)x2 2a2 (7) y sec2(x2) (x2)2xsec2(x2)(8) y1x2 (e x)e x2x1(e ) 1 e2 arcsin x (9) y2arcsin x (arcsin x)1x2(10) y1 (cosx)1( sin x) tan xcosx cosx 7 求下列函数的导数(1) y arcsin(1 2x)(2) y11 x 2x(3) y e 2 cos3x(4) y arccos 1x(5) y1 ln x1 ln x (6) y sin 2xx(7) y arcsin x(8) y ln(x a 2 x 2 ) (9) y ln(sec x tan x)(10) y ln(csc x cot x)解 (1) y1(1 2x)21 1 (1 2x)2x x 21 (1 2x) 2(2) y [(111 1 x 2)x 2) 2]1(1 x 2) 2(1213x(1 x 2 ) 2 ( 2x)x 22(1 x 2 ) 1xxxx) cos3xx(3) y (e 2) cos3x e 2(cos3x) e 2(e 2( sin 3x)(3x)21 e xxx2 c o 3sx 3e 2 s i n3x 1e 2( c o3sx6s i n3x)22-----(4) y1 1 (1)1 1 ( 1 )|x|1 (2 x 1 ( ) 2x2x 2x21)xx1(1 l n x) (1 ln x)12(5) yxx(1ln x) 2x(1 ln x)2(6) ycos2x 2 x sin 2x 1 2x cos2x sin2xx2x2(7) y1( x)1111 ( x)21 ( x )22 x 2 x x 2(8) y1x 2 (xa 2x 2 )1x 2 [1 1(a 2 x 2) ]xa 2x a 22 a 2 x 21[112 (2x)]1x a 2 22 a 2x a 2x 2x(9) y1(secx tan x) secxtan x(10) y1(csc x cot x)csc x cot xsecx tan x sec 2x secxsecx tan x cscx cot x csc 2 x cscxcscx cot x8 求下列函数的导数(1) y (arcsin x )22(2) y ln tan x2(3) y 1 ln 2 x(4) y e arctan x(5) y sin nxcos nx(6) y arctanx 1x 1(7) y arcsinxarccosx(8) y=ln[ln(ln x)](9) y1x 1 x 1 x1 x(10) y arcsin1 x1 x解 (1) y2(arcsin x ) (arcsin x)2 22( a r c s xi)n 1( x)2 1 ( x )2 222( a r c s xi) n1 x 12 1 ( ) 222x2a r c s i n24 x 2(2) y1x (tan x) 1 x sec 2 x( x)tan 2 tan2 22 2(3) y(4) y1 2 x 1x s e c2 c s cxt a n 22 1 ln 2 x 2 1 (1 ln 2 x)1 ln2 x1 2ln x ( l nx)12ln x12 1 ln 2x2 1 ln 2xxln xx1 ln2 xearctan x(arctan x)e arctan x1 x) 2( x)1 (-----e a r c t axn11x e a r c t axn1( x)2 2 2 x(1 x)(5) y n sin n 1x (sin x) cos nx sin n x ( sin nx) (nx)n sin n 1x cos x cos nx sin n x ( sin nx) nn sin n 1x (cos x cos nx sin x sin nx) n sin n 1xcos(n 1)x(6) y1( x 1) 1(x 1) ( x 1)11 ( x 1) 2x 11 (x 1)2(x 1)2 1 x 2x 1x 11arccosx 1 arcsin x1 x2 1 x 2(7) y(arccos x)21 a r c c oxs a r c s ixn1 x22( ar c c ox)s2 1 x 2 ( a r c cxo)2s(8) y1 ln(ln x)1ln(ln x)[ln(ln x)] 11(ln x)ln(ln x) ln x 1 1 1 ln x x xln x l n ( lxn)(1 1 )( 1 x1 x) ( 1 x1 x)(1 1)(9) y2 1 x 2 1 x2 1 x 2 1 x( 1 x1 x)211 x 21 x2(10) y1 (1 x) 1 (1 x) (1 x)1 1 x 1 x 1 1 x(1 x)21 x1 x1(1 x) 2x(1 x)9. 设函数 f(x)和 g(x)可导且 f 2(x) g 2(x) 0 试求函数 y f 2 (x) g 2 (x) 的导数解 yf 1[ f 2(x) g2 (x)]22 (x)g 2(x)1[2 f (x) f ( x) 2g(x) g ( x)] 2f 2(x)g2(x)f (x) f (x)g(x)g (x)f 2 (x)g 2 (x)10设 f(x)可导求下列函数 y 的导数dy dx(1) y f(x2)(2)y f(sin2x) f(cos2x)解 (1) y f (x2) (x2)f(x2) 2x 2x f (x2)(2)y f(sin2x) (sin2x) f (cos2x) (cos2x)f(sin2x) 2sin x cos x f (cos2x) 2cosx ( sin x)sin 2x[f (sin2x)f(cos2x)]11求下列函数的导数(1)y ch(sh x )(2)y sh x e ch x(3)y th(ln x)(4)y sh3x ch2x(5)y th(1 x2)(6)y arch(x2 1)(7)y arch(e2x)(8)y arctan(th x)(9)y ln chx12 x 2ch(10)y ch2( x 1) x 1解 (1) y sh(sh x) (sh x) sh(sh x) ch x(2) y ch x e ch x sh x e ch x sh x e ch x(ch x sh2x)(3) y1(ln x)12 (ln x)2 (ln x)ch x ch-----(4) y3sh 2x ch x 2ch x sh x sh x ch x (3sh x 2) (5) ych 21 2 (1 x 2)2 2xx 2 )(1 x )ch (1 (6) y1 1(x 2 1)2x( x 2 1)x 4 2x 2 2(7) y1(e 2x)2e2x(e 2x )21 e 4 x 1 (8) y 1(th x) 1 1 1 1 1 (thx) 2 1 th 2 x ch 2 x 1 2 2sh x ch xch 2x 1 1ch 2 x sh 2x 1 2sh 2 x(9) y1 (ch x) 1 (ch 2x)ch x2ch 4 xsh x 1 2ch x shxch x2ch 4 xsh x shx sh x ch 2x shxch xch 3x ch 3xsh x (ch 2 x 1) sh 3x th 3xch 3xch 3x(10) y2ch(x1) [ch(x1)] 2ch(x1) sh(x1) ( x 1)x 1x 1x 1 x 1 x 1sh(2x 1(x 1) (x 1)2sh(2 x 1)(x 1)2( x 1)2 )x 1x 112 求下列函数的导数(1) y e x (x 2 2x 3)(2) y sin 2x sin(x 2) (3) y (arctan x )22(4) yln xx ne t e (5) ye t ett(6) y ln cos 1x(7) y e sin 2 1x(8) y x x(9) yxarcsinx4 x 22(10) y arcsin2t1 t 2解 (1) y e x (x 2 2x 3) e x (2x 2) ex( x 2 4x 5)(2) y2 222sin x cos x sin(x ) sin x cos(x ) 2xsin2x sin(x 2) 2x sin 2x cos(x 2)(3) y 2arctanx1 1 4 arctan x2 1 x 2 2 x 2 4 241 xnln x nxn 11 n ln x(4) yxx 2nx n 1(5) y(e te t )(e t e t ) (e t e t )(e te t )4e 2t(e t e t )2(e 2t 1) 211111 1 1(6) y sec x (cos x ) sec x ( sin x ) ( x 2 ) x 2tanx(7) y esin 21 ( sin 21) e sin 21xxx( 2sin 1) cos1( 1 ) xxx2122 1s i nx 2 s i nexx(8) y1x (x x )2 1 (1 1 ) 2 xxx2 x2 x 1 4 xxx(9) y arcsinxx1 12 1 ( 2x) arcsin x21 x2 2 4 x 2 24-----(10) y1 ( 2t ) 12 (1 t 2) 2t (2t) 1 (2t)2 1 t 21 ( 2t )2 (1 t 2) 21 t21 t21 t22(1 t 2)2(1 t 2)(1 t 2)2 (1 t 2 )2 |1 t 2 |(1 t 2 )习题231 求函数的二阶导数(1) y 2x 2ln x (2) y e2x 1(3) y xcos x (4) y e t sin t (5) y a 2 x 2 (6) y ln(1 x 2)(7) y tan x1(8) yx 3 12(9) y (1 x )arctan x(10) ye xx(11) y x 2xe(12) y ln( x 1 x 2 )解 (1) y 4x1 y4 1xx2(2) y e 2x 12 2e 2x 1y 2e2x 1 2 4e 2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) ye tsin t e tcos t e t(cos t sin t)ye t (cos t sin t) e t ( sin t cos t) 2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xa2ya2x2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1 x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x6x(2x3 1) (x3 1)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n2x1 x2(10)y e x x e x 1e x( x 1)x2x2y [e x( x 1) e x] x2 e x( x 1) 2x e x(x2 2x 2)x4x3(11)y e x 2x e x2(2x)e x2(12x2 )yx22x24xx22 e2x (12x )e2xe(32x )(12)y12( x1x2 )12(12x 2 )12x 1 x x 1 x 2 1 x 1 x y1(1 x2 )12x x1 x2 1 x22 1 x2)(1 x) 2 1 x-----2 设 f(x)(x6(2)?10)f解 f(x) 6(x5f(x)43 10)30(x 10) f (x) 120(x 10)f(2)120(210)32073603若 f (x)存在求下列函数 y 的二阶导数d2ydx2(1)y f(x2)(2)y ln[ f(x)]解 (1)y f(x2) (x2) 2xf(x2)y2f(x2)2x 2xf(x2)2f(x2) 4x2f(x2)(2) y1 f (x)f (x)f(x) f (x) f ( x) f(x)f( x) f (x)[ f ( x)] 2 y[ f ( x)]2[ f ( x)]24试从dx 1导出dy y(1) d 2 x ydy 2( y ) 3(2)d 3x3( y )2y y dy3( y )5解(1) d 2x d dx d1d1dx y1ydy2dy dy dy y dx y dy( y )2y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2 s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy2y (C12e x C22e x)2(C1e x C2e x)(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2)y sin2x(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y nx n 1(n1)a1x n 2 (n2)a2x n 3a n 1y n(n1)x n 21 n 32n 4n 2 (n 1)(n2)a x(n 2)(n 3)a x ay(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y 2sin x cos x sin2xy 2c o 2sx 2s i n2(x)2-----y22 c o s2x()22 s i n2x( 2)22y(4)23 c o s2x(2) 23 s i n2(x 3 )22y(n)2n 1s i n2x[ (n 1)]2(3)y ln x 1y 1 x1xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3y(n)(1)( 2)( 3) ( n 2)x n 1( 1)n 2(n 2)!( 1)n (n 2)!x n 1x n 1(4) y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3) y x2sin 2x求y(50) .xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4) cos x所以y(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x v(99)ch x v(100) sh x所以y(100)u(100)v C1 u(99) v C2u(98) v C 98 u v(98) C99 u v(99)u v(100)100100100100100ch x xsh x(3)令 u x2 v sin 2x则有u2x u 2 u0v(48)248 sin(2x48)248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)C5048u v(48)C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x2sin 2x50xc o 2sx12252 (s i n2x)2习题231求函数的二阶导数(1)y 2x2 ln x(2)y e2x 1(3)y xcos x(4)y e t sin t(5)y a2 x2(6)y ln(1 x2)(7)y tan x1(8) yx3 1(9) y (1 x2)arctan x(10) y e xx-----(11) y xe x2(12) y ln( x1x2 )解 (1) y4x1y41x x2(2) y e2x 1 2 2e2x 1y2e2x 1 2 4e2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) y e t sin t e t cos t e t (cos t sin t)y e t(cos t sin t) e t (sin t cos t)2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xx2a2ya2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x 6x(2x3 1) (x31)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n 2x21 x(10)y e x x e x1 e x( x 1)x2x2y[e x ( x 1) e x ] x 2 e x ( x 1) 2x e x (x 2 2x 2)x4x3(11) ye x 2 x e x 2 (2x) e x 2 (1 2x 2 )yx 22x (1 2x 2x22e 2x ) e4x 2xe (3 2x )(12) y1( x1x 2 ) 1 (1 2x ) 1x 1 x 2x 1 x 22 1 x 21 x 2y1(1 x 2) 12xx1 x21 x 22 1 x 2)(1 x) 21 x2 设 f(x) (x 10)6f (2) ?解 f (x) 6(x 10)5 f (x) 30(x 10)4f (x) 120(x 10)3f(2) 120(2 10)3 2073603 若 f (x)存在 求下列函数(1) y f(x 2)(2) y ln[ f(x)]解 (1)yf(x 2) (x 2) 2xf (x 2) y 2f(x 2) 2x 2xf (x 2) (2) y1 f (x)f (x)f (x) f (x) f( x) f (x) y2[ f ( x)]4 试从dx 1导出dy y(1) d 2xydy 2( y ) 3(2)d 3x 3( y )2 y ydy3( y )5解 (1) d 2xd dxd 1dy2dy dydyyd 2 yy的二阶导数d x 22f (x 2) 4x 2f (x 2)f ( x) f (x) [ f ( x)] 2[ f ( x)]2d1dx y 1y dx y dy( y )2 y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy212e x C22x21x2e x)y (C e ) (C e C(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2) y sin2x-----(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y n 11n 2(n2 n 3n 1nx(n 1)a x2)a x ay n(n1)x n 2 (n1)(n2)a1x n 3(n 2)(n 3)a2x n 4a n 2y(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y2sin x cos x sin2xy2c o 2sx 2s i n2(x)2y22 c o s2x() 22 s i n2x( 2)22y(4) 23 cos(2x2) 23 sin(2x 3 )22(n)n 1y 2 s i n2x[ (n 1)](3)y ln x 1y 1x 1 xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3(n)( 1)( 2)( 3)( n 2)x n 1( 1)n 2 (n 2)!( 1)n (n 2)!y x n 1x n 1 (4)y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3)y x2sin 2x 求 y(50) .所以所以xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4)cos xy(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x(99)ch x(100)sh xv vy(100) u(100) v C1 u(99)v C2u(98)v C 98 u v(98)C99 u v(99)u v(100) 100100100100(3)令 u x2u 2xv(48)100ch x xsh xv sin 2x 则有u 2 u0248 sin(2x 48 )248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50) C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x 2sin 2x50xc o 2sx1 2 2 52 (2s i n2x)习题241求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数dydx(1)y2 2x y 9 0(2)x3 y3 3axy 0(3)xy e x y(4)y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得-----2y y 2y 2x y 0于是(y x)y yyyy x(2)方程两边求导数得3x 2 3y 2y 2ay 3axy 0于是(y 2 ax)y ayx 2yay x 2y2ax(3)方程两边求导数得y xy e x y (1 y )于是(x e x y )y e x y ye x yyyx e x y(4)方程两边求导数得y e y xe yy于是(1 xe y )y e yyey1 xey222在点 ( 2a, 2a) 处的切线方程和法线方程2 求曲线 x3y 3a34 4解 方程两边求导数得 2 x31 13 2y 3 y 031于是yx31y3在点 (2a,2a) 处 y 144所求切线方程为y2a ( x2a) 即 x y 2 a442所求法线方程为y2a (x2a) 即 x y 04423 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d ydx22 2(1) x y 1(2) b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2 (3) y tan(x y)(4) y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得2x 2yy 0yx yy ( x)y xxy xy y y 2x 21yy 2y 2y 3 y 3(2)方程两边求导数得2b 2 x 2a 2 yy 0yb 2 xa2yy x( b 2 x)b 2 y xy b 2 a 2 y ya2y2a2y 2b 2 a 2 y 2 b 2 x 2b 4a2a 2 y3a 2 y3(3)方程两边求导数得y sec 2(x y) (1 y )2y)1y s e c( x2y) 2y) 11 s e c(xc o s( x2y)21s i n(xc o s(x y)12y)y 2s i n( xy23 y23( 112 )2(1 y 2 )y 5yyy(4)方程两边求导数得yyy e xe y-----yeyeyey1 xe y1 (y 1)2 yye y y (2 y) e y ( y ) e y (3 y) y e 2 y (3 y)(2 y)2(2 y)2(2 y)34 用对数求导法求下列函数的导数(1) y ( x )x1 x (2) y5x 525 x2(3) yx 2(3 x)4( x 1)5(4) y xsin x 1e x解 (1)两边取对数得ln y xln|x| xln|1 x|，两边求导得1 y ln x x 1 l n1( x) x 1y x 1 x 于是y ( x)x[ l nx1 ]1 x 1 x 1x(2)两边取对数得ln y1ln |x 5|1l nx(22)两边求导得5251 y1 1 12x2y5 x 525 x 2于是y 1 5x 5[11 2x ]5 5 x 2 2x 5 5 x 2 2(3)两边取对数得ln y1l nx( 2) 4 l n3( x) 5l n x( 1)2两边求导得1 y 1 3 45y 2(x 2)x x 1于是yx 2(3x)4 [ 12)4 5 ](x 1)52(x x 3 x 1(4)两边取对数得ln y1ln x1ln s i nx1l n1( e x )两边求导得22 41 y1 1 c o xte xy 2x24(1 e x )于是yxs i nx 1 e x[11c o xte x]2x 2 4(1 e x )1 x 22c o tx e x ]4 xs i nx 1 e [ x e x1 dy5求下列参数方程所确定的函数的导数dxx at 2(1)y bt2x (1 sin ) (2)ycos解 (1)dyy t 3bt 2 3b tdxx t 2at 2ady ycos sin(2) dx x 1 sincos6 已知xe tsin t, 求当 t 3 时 dy的值y e tcost. dx解dy y te t cost e t sin t costsin t dxx t e tsin t e tcost sintcostdy 1 3 1 3 当 t 时 2 2 3 2dx 1 3 1 3 32 27 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1)x sin t在 t处y cos2t4x3at (2)1 t 2在 t=2 处y 3at 21 t 2解 (1) dyy t2sin 2tdxx tcost-----dy 2sin(2)当 t时42 2 2 x02y0 0 dx4cos2242所求切线方程为y 2 2(x2) 即2 2x y 2 0 2所求法线方程为y1(x 2 )即 2x 4y1222(2) y t 6at (1t2 )3at 2 2t6at(1t 2 )2(1t 2 )2x t 3a(1t 2)3at2t3a3at 2 (1t 2 )2(1t 2)2dy y t6at2tdx x t3a3at 21t 2当 t 2 时dy 2 24x 6a ydx1223050所求切线方程为012a 5y12 a 4(x6a)即 4x 3y 12a 0535所求法线方程为y12 a3(x 6a)即 3x 4y 6a 0545d 2 y8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2 x t 2(1)2y 1 t. xacost(2)y bsin t(3)x3e t y2e t(4)x f t (t )设 f(t)存在且不为零y tf t (t) f (t)dy y t1 d 2 y(y x)t1解 (1)t 21 dx x t t dx2x t t t3(2) dy y tbcostbcot tdx x t asin t ab 2 d 2 y (y x )t a csc t b dx 2 x t asin ta 2 sin 3 tdy y t 2e t22t(3) dx x t3e t3ed 2y( y x )t2 2t3 2e4 3tdx 2x t3e te9 (4) dy y t f (t) tf (t) f (t)dx x tf (t)td 2 y ( y x )t 1dx 2x tf (t)9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数(1) x 1 t 2y t t3(2)x ln(1 t 2) y t arctan t解 (1)dy (t t 3)1 3t2dx (1 t 2 )2t1 3t 2d 2y ( 2t )1 ( 1 3) dx 22t4 t 3 t1 1 3d 3y 4 ( t 3t )3(1 t 2)dx 32t8t 5dy (t arctan t)11(2)1 t 21 tdx [ln(1 t 2)]2t 21 t21d 2 y ( 2t) 1 t 2 dx 22t 4t1 t 23d y-----1 t 2d 3 y ( 4t ) t 4 1dx 3 2t 8t 31t 210 落在平静水面上的石头 产生同心波纹 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s 问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为 r 对应圆面积为 S 则 S r 2 两边同时对 t 求导得S t 2 rr当 t 2 时 r 6 2 12 r t 6故 S t t 22 126 144( 米 2 秒)| 其速率为 4m 2/min11 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中 当水深为 5m 时 其表面上升的速度为多少？解水深为 h 时 水面半径为 r1 h 水面面积为 S 1 h 21hS 1 h 1 h 224水的体积为 Vh 33 34 12dV 12 3h 2dh dh 4 dVdt dt dt h 2 dt已知 h 5(m)， dV 4 (m 3/min) 因此 dh 4 dV 4 4 16(m/min)dtdt h 2 dt252512 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中 开始时漏斗中盛满了溶液 已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时 其表面下 降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在 t 时刻漏斗在的水深为 y 圆柱形筒中水深为 h 于是有1 62 18 1r 2 y 52hy 3y3由 r得 r 代入上式得 6 18 31 62 18 1 ( y ) 2 y 23 3 3 5 h即162 18 1y 3 52 h 两边对 t 3 33求导得1 y2 y 52 h32t当 y 12 时 y t1 代入上式得1 122( 1) 16h t32 52 0.64 (cm/min).25。
高中数学第2章_小结与复习 (有答案)
第2章小结与复习一、选择题。
1. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c的值为（）A.1B.2C.3D.42. 已知等比数列{a n}，a1=3，且4a1、2a2、a3成等差数列，则a3+a4+a5等于（）A.33B.72C.84D.1893. 已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）A.4B.6C.8D.104. 在公差不为零的等差数列{a n}中，a1，a3，a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n}的通项a n等于（）A.nB.n+1C.2n−1D.2n+15. 在数列{a n}中，a1=1，a n a n−1=a n−1+(−1)n(n≥2,n∈N+)，则a3a5的值是（）A.15 16B.158C.34D.386. 已知等比数列{a n}的各项均为正数，数列{b n}满足b n=ln a n，b3=18，b6=12，则数列{b n}前n项和的最大值等于（）A.126B.130C.132D.134二、填空题。
一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32:27，则这个等差数列的公差是________.如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b−c)logm x+(c−a)logmy+(a−b)⋅logmz=________.等比数列{a n}中，S3=3，S6=9，则a13+a14+a15=________.三、解答题。
设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，a2=8，S n+1+4S n−1=5S n(n≥2)，T n是数列{log2a n}的前n项和．求数列{a n}的通项公式；求T n．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+2n．(1)设b n=a n2n−1. 证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．求数列{a n}的通项公式；设b n=1n(a n+3)(n∈N∗)，S n=b1+b2+⋯+b n，是否存在t，使得对任意的n均有S n>t36总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析22届_活页_第2章小结与复习一、选择题。
高等数学 线性代数 习题答案第二章
第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。
即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 lim 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231n n n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…； (2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。
专升本高等数学测试及答案(第二章)
高等数学测试（第二章）一．选择题（每小题２分，共20分）1．设函数0()102x f x x ≠=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2eC ．2eD ．e3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x→+--等于（ ）A ．0B ．()f a 'C ．2()f a 'D ．(2)f a '4．设xx x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ）A ．2)1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22)1(x x +- 5．设函数)(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ）A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数D ．若)(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ）A ．)0()0()(lim 0f xf x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0a f ha f h a f h '=-+→C ．)()()(lim 0000x f xx x f x f x '=∆∆--→∆ D ．)(2)()(lim 0000x f xx x f x x f x '=∆∆--∆+→∆7．若)(x f 可导，)(cos ln )(x f x F =，则()F x '= （ ）A ．)(cos sin )(cos x f x x f ' B ．)(cos sin )(cos x f x x f '- C ．)(sin cos )(sin x f x x f ' D ．)(sin cos )(sin x f x x f '- 8．设函数)()()(x g a x x f -=，3)(lim =→x g ax ，则 （ ） A ．0)(='a f B ．2)(='a f C ．3)(='a f D ．)(a f '不存在9．设0()f x x x =在连续，且0()lim x x f x A x x →=-(A 为常数)，则0()f x '=（ ）A ．A ；B ．2A ； C ．3A ； D ．4A10． 31log d x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．3ln 12x B ．xdx x 32log 1- C ．3ln 1x D ．dx x x 3ln ln 12- 二．填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）设方程332e y xy x=++确定y 为x 的函数，则==0x dy ________________．12．（3分）设函数()x f x xe =，则(0)f ''=________________.13．（3分）设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01lim ()n nf x n→∞+=________________.14．（3分）曲线4ln x ty t=⎧⎨=⎩在点（0,1）处法线方程为________________. 15．（3分）33,x y x =+，则(4)___________x y ==．三．计算题（共55分）16.（5分）若sin 1,0,()4,0,a x x f x x b x +≥⎧=⎨+<⎩且(0)f '存在，求,.a b17. （5分）设y =y '.18. （5分）设1(1)xy x=+，求dy.19.（5分）设()()x f x eefy=，其中()xf'存在，求y'.20. （5分）设ln(y x=+y''. 21. （5分）设arctan.yx=求dy22.（5分）求曲线sincos2x ty t=⎧⎨=⎩在6tπ=处的切线方程和法线方程. 23.（5分）求由方程1sin02x y y-+=所确定的隐函数y的二阶导数22d ydx.24.（7分）设函数212()12x x f x ax b x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12x =处可导.25.（8分）若22)()(x x xf x f y =+，其中 ()f x 为可微函数，求dy .四.证明题（共10分）26.（10分）设()x f 在点0=x 处连续，且()A xx f x =→0lim(A 为常数)，证明()x f 在点0=x 处可导.答案：一.选择题1—5 BBCCA 6—10BBCAD二.填空题11. dx e 31-； 12.2； 13.1； 14. 141+-=x y ；15. ()43ln .三.计算题16.若sin 1,0,()4,0,a x x f x x b x +≥⎧=⎨+<⎩且(0)f '存在，求,.a b【解析】因为(0)f '存在，所以()x f 在点0=x 处可导且连续，则可得⎩⎨⎧==41a b .17.设y =y '.【解析】两边取自然对数得11ln 2ln ||ln |1|ln |2|ln |2|33y x x x x =--++--，两边对x 求导得1211113(2)3(2)y y x x x x '=-++-+-；所以211113(2)3(2)y x x x x ⎤'=-++⎢⎥-+-⎦. 18. 设1(1)xy x =+，求dy .【解析】两边取自然对数得()x x y +=1ln 1ln ，两边对x 求导得()()x x x xy y +++-='111ln 112.所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+='x x x x x y x 111ln 1121，故()()()dx x x x x x dy x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=111ln 1121.19.设()()x f x e e f y =，其中()x f '存在，求y '.【解析】()[]()()()[]()()()()()()()()()[]x f e f e e f e x f e e f e e e f e e f e e f y x x x x f x f x x f x x x f x x f x '+'='+'='+'=''''''.20. 设ln(y x =+y ''.【解析】因为y x''=+==所以y'⎛⎫''===.21.设arctan.yx=求dy【解析】对等式两边同时求微分，可得，()ydyxdxyxyxdxxydyxxy22211111222222+⋅+⋅+=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+，即2222yxydyxdxyxydxxdy++=+-，故dxyxyxdy-+=.22.（8分）求曲线sincos2x ty t=⎧⎨=⎩在6tπ=处的切线方程和法线方程【解析】因为sincos2x ty t=⎧⎨=⎩，所以ty sin4-='.当6π=t时，x=21，21=y，2-='y.142;0324=+-=-+yxyx法线方程所以切线方程.23.求由方程1sin02x y y-+=所确定的隐函数y的二阶导数22d ydx【解析】对x求导，可得，0cos211=⋅+-dxdyydxdy，即ydxdycos2111-=.再对x求导，得3222)cos211(sin21)cos211(sin21yyydxdyydxyd--=--=.24.设函数212()12x xf xax b x⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，适当选择,a b的值，使得()f x在12x=处可导【解析】因为()f x 在12x =处可导，则41lim 221=→x x ，()b a b ax x +=+→21lim 21.即4121=+b a .又知121=⎪⎭⎫⎝⎛'-f ， a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛'+21，即41,1==b a . 25.若22)()(x x xf x f y =+，其中 ()f x 为可微函数，求dy【解析】因为22)()(x x xf x f y =+，对x 求导可得，x y dx dy x y 232=++，即xdxy y x dy )32(2--=.四.证明题26.设()x f 在点0=x 处连续，且()A xx f x =→0lim(A 为常数)，证明()x f 在点0=x 处可导.【证明】因为()A x x f x =→0lim ，则()()00lim lim 00=⋅=⋅=→→A x xx f x f x x .又因为()x f 在点0=x 处连续，所以()()00lim 0==→f x f x .于是()()()()A xx f x f x f f x x ==-='→→00lim 0lim 0,故()x f 在点0=x 处可导，且()A f ='0.。
高数答案(全集)第二章
第二章随机变量及其分布1. 一袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中取3只球,以X表示取出的3只球中的最大号码,求X的分布律和分布函数.2. 有一个不均匀的硬币,每次抛掷硬币试验中正面出现的概率均为P,现连续抛掷这一硬币,X表示首次出现正面时所需的实验次数,Y表示正面出现r次为止时抛掷次数,分别X,的分布律.求Y3. 一大楼装有5个同类型的供水设备.调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.2,问在同一时刻，(1) 恰有2个设备被使用的概率是多少? (2) 至少有3个设备被使用的概率是多少? (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少? (4) 至少有一个设备被使用的概率是多少?4 已知一电话交换台每分钟接到的呼唤次数服从参数为4=λ的泊松分布,求： (1) 每分钟恰有8次呼唤的概率. (2) 每分钟呼唤次数至少为8的概率.5. 设连续型随机变量X 的分布函数为0)( 0,00,)(>⎩⎨⎧≤>+=-λλx x Be A x F x求：(1)常数A 、B 的值 ； (2){};11<<-X P (3)X 的概率密度.λ6. 随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤≤≤=32,321,10,)(x a ax x a x ax x f 求 (1)系数a ; (2) {};5.1>X P (3)X 的分布函数7. 设顾客在某银行的窗口等待的时间X (单位:分钟)服从指数分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,51)(51x x e x f x ；某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数.写出的Y 分布律,并求出{}1≥Y P 。
8. 设k 在)5,0(上服从均匀分布,求方程02442=+++k kx x 有实根的概率.9. 某厂决定在工人中增发高产奖,并决定对每月生产额最高的5%的工人发放高产奖,已知每人每月生产额X (单位:公斤)服从)60,4000(2N ,试问：高产奖发放标准应把月生产额定为多少?10. 一工厂的电子管寿命X ~),160(2σN ,若要求{};8.0200120≥<<X P 求σ的最大取值.11. 某机器的螺栓的长度(cm)服从)06.0,05.10(2N ，规定长度在范围12.005.10±内为正品，求一摞拴不为正品的概率。
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高等数学第二章复习题及答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高等数学习题集及解答第二章一、 填空题1、设()f x 在x a =可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--=。
2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)lim 2h f h f h →--=。
3、设1()xf x e -=，则0_____________(2)(2)limh f h f h→--=。
4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2x f x f x x x π'==<<-，则0_______________________()f x =。
5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dydx =。
6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。
7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。
8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。
9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。
10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。
11、设0()1f x '=-，则0___________00lim(2)()x xf x x f x x →=---。
12、设tan x y y +=，则_________________________dy =。
13、设lny =_______________(0)y '''=。
14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是______________________。
15、1cos0()00x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是_______________________。
16、知曲线323y x a x b =-+与x 轴相切 ，则2b 可以通过a 表示为____________。
二、 选择题。
17、设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（ ）。
A 充分了必要条件，B 充分但非必要条件，C 必要条件但非充分条件，D 既非充分条件又非必要条件。
18、函数3221()31xx f x xx ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩在1x =处 （ ）A 左右导数均存在，B 左导数存在，右导数不存在，C 左导数不存在，右导数存在，D 左右导数均不存在。
19、设周期函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，周期为4，又0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点(5,(5))f 处的切线斜率为 （ ）A12， B 0 ， C –10， D –2 。
20、设函数11cos (1)1()0ax x f x ⎧⎪--=⎨⎪⎩11x x ≠= 则实常数a 当()f x 在1x =处可导时必满足（ ） A 1a <-； B 10x -≤<； C 01x ≤<； D 1a ≥21、已知212()2x x x ax b x ϕ⎧->=⎨+≤⎩ ，且(2)ϕ'存在，则常数,a b 的值为 （ ）A 2,1;a b ==B 1,5;a b =-=C 4,5;a b ==-D 3, 3.a b ==- 22、函数()f x 在(,)-∞+∞上处处可导，且有(0)1f '=，此外，对任何的实数,x y 恒有()()()2f x y f x f y xy +=++，那么()f x '=（ ）A ;x eB ;xC 21x +；D 1x +。
23、已知函数()f x 具有任何阶导数，且2()[()]f x f x '=，则当n 为大于2的正整数时，()f x 的n 阶导数()()n f x 是 （ ）A 1![()]n n f x +；B 1[()]n n f x +；C 2[()]n f x ；D 2![()].n n f x 24、若函数()y f x =有01()2f x '=，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的微分dy 是x ∆的（ ）A 等价无穷小；B 同阶但不等价的无穷小；C 低阶无穷小；D 高阶无穷小。
25、设曲线1y x=和2y x =在它们交点处两切线的夹角为ϕ，则tan ϕ= （ ） A 1-； B 1; C 2； D 3 。
26、设由方程组2110y x t te y =-⎧⎨++=⎩ 确定了y 是x 的函数，则202t d ydx ==（ ）A 21e ；B 212e ；C 1e -；D 12e- 。
一、 填空题的答案 1、2)(a f ' 2、-1 ； 3、2141-e ； 4、3 5、-16、6+2ln27、28、19、n! 10、-xx --+313ln 3 11、1 12、dx y dy 1sec 12-=13、23-14、0=-y x 15、2>λ 16、 624a b =二、选择题答案：17、A 18、B 19、D 20、A 21、C 22、C 23、A 24、B 25、D 26、B 三、综合题：27、求曲线cux y =上与直线1=+y x 垂直的切线方程。
剖析：求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。
解：设切点为)(00y x 则点).(00y x 处的切线斜度为01|x x x y k =='=依题意知所求切线（）坐y x +1=垂直，从而11=x 10=x 利切点为)01(、；切线（）为.1=k故所求切线方程为10-=-x y 即：1-=x y 设xex f 1)(-= 则21041)2()2(lim-→-=--e tc f tc f t 9、如果)(x f 为偶函数，且)0(-f 存在 证明0)0(=-f 证明：因为)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =-从而)0(0)0()()(lim 0)0()(lim)0(00f x f x f x f x f x f f x x '-=---=-=--=→-→ ∴:0)0(2='f 故0)0(='f28、讨函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin 2x x xx y 在0=x 处方程连续性与可得解：)0(1sin lim lim 200y xx y x x ==→→，所以函数y 在0=x 处连续 又01sin lim 1sinlim)0(lim 0200===--→→→xx x x x x y y x x x 故函数y 在0=x 处可导、值0|='=x y x29、已知⎩⎨⎧<-≥=0)(2x x x x x f 求)0().0(-+''f f 及是否存在)0(2f '解:0lim 0)0()(lim )0(200==--='++→→+x x x f x f f x x 1lim 0)0()(lim)0(00-=-=--='--→→-xxx f x f f x x 故不存在)0(f ' 30、已知)(00sin )(,x f x xx x x f '⎩⎨⎧≥<=求解： x x f x cos )(.0='<时当1)(.0='>x f x 时当11lim )(lim )0(0=='='++→→+x x x f f所以：1)0(1=f 从而⎩⎨⎧≥<='010cos )(x x x x f 31、证明：双曲线22a xy =上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。
证明：设),(00y x 为双曲线2a xy =上的一点，则该点处切线的斜率为,202x a k -=从而切线方程为)(00202x x x a y y --=-令0=x 得y 轴上的截距为020202x a x a y y =+=令0=y 得x 轴上的截距为02x x =从而 20202|2.2|21|||21a x a x y x s ===32、设xe y x1sin1tan=求y '解：)1(sin 1sin )(1tan 1tan'+'='xe x ey x x)1(1cos 1sin )1)(1(sec 21tan 221tanx x e x xx ex x-+-=33、设)2323(+-=x x f y 在2arcsin )(x x f =' 求0=x dxdy解：设2323),(+-==x x u u f y则：2)23()23(3)23(3)()2323)((+--+'='+-'=x x x u f x x u f dx dy 22)23(12)(arcsin +=x u 222312)2323arcsin(+⋅+-=x x x从而π231arcsin 3|0===x dx dy34、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(22x x xx x f ，讨论0)(='x x f 在点处连续性剖析：本题需先求)(x f '的表达式，再讨论)(x f '在点0=x 处的连续性解：当2232)1(121arctan )(0xx xxx f x +-+='≠时422121arctan x x x +-=21arctanlim 0)0()(lim200π==--='→→x x x x f x f f x x 从而：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-='020121arctan )(422x x x x x x f π由于)0(2121arctan lim )(lim 42200f x x x x f x x '==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-='→→π处连续在点0)(='∴x x f 35、:,)(dx dy y x f 的导数求下列函数可导设（1）)(2x f y = （2）)(cos )(sin 22x f x f y += 解：（1）)(22)(22x f x x x f y '=⋅'='（2）))(cos (cos ))(sin (sin 2222''+''='x x f x x f y=x x x f x x x f sin cos 2)(cos cos sin 2)(sin 22'-' =[])(cos )(sin 2sin 2121x f x f x -37、设)(,)11(lim )(2t f xt x f tx x '+=∞→求 提示：tte t f 2)(=。