2014年(北师大版)数学必修二课件：第一章《立体几何初步》阶段复习课
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高中高中数学北师大版必修2课件第一章立体几何初步 1.6.1.2精选ppt课件
正确;(3)两条直线还可能相交或异面,错误.
答案:(1)(2)
M Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12345
1下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线 a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角 相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面 内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在 棱上的位置没有关系,其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 答案:B
∴平面ABC⊥平面SBC.
题型一 题型二 题型三
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知识梳理
HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
方法二:∵SA=SB=SC=a, 又∠ASB=∠ASC=60°, ∴△ASB,△ASC都是等边三角形. ∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D, ∵AB=AC=AS,∴D为△BSC的外心. 又△BSC是以BC为斜边的直角三角形, ∴D为BC的中点,故AD⫋平面ABC. ∴平面ABC⊥平面SBC.
(3)如图所示,α∩β=l,a⫋α,a⊥l, 但不一定有α⊥β,错误. (4)b与β的位置关系为相交、平行或b⫋β,错误. 答案:(1)(2)
题型一 题型二 题型三
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知识梳理
HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
北师大版必修2高中数学第一章《立体几何初步》ppt章末归纳提升课件
图 1－4
【证明】 ∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE， ∴BED1F是平行四边形， ∴D1E∥BF， 又∵D1 E 平面BGF，BF 平面BGF， ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线， ∴FG∥AD1， 又AD1 平面BGF，FG 平面BGF， ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1， ∴平面AD1E∥平面BGF.
如图1－5所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱 柱侧面过棱CC1到M的最短距离为 29 ，设这条最短路线与 CC1的交点为N.求：
图1－5 (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长．
【思路点拨】 借助于侧面展开图计算最短路线问题． 【规范解答】 (1)三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一 个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图，将侧面BB1C1C绕CC1旋转120°使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1， 则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
一个圆锥底面半径为R，高为 3 R，求此圆锥 的内接正四棱柱表面积的最大值．
【思路点拨】 画出其轴截面，转化为平面问题．
【规范解答】
设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝
2 2 a.
∵△SDE∽△SAO，∴DAOE＝SSOE .
∵AO＝R，SO＝
2
3 R，∴
2a ＝ R
3R－h， 3R
∴h＝
几何体的结构、表面积与体积
准确理解几何体的定义，熟练掌握直观图与三视图的画 法，能更好地把握几何体的特征．三视图是几何体的平面表 示形式，常与几何体的结构、表面积与体积结合命题，是高 考命题的热点，解决此类问题的关键是利用三视图获取表面 积、体积公式中所涉及的基本量的有关信息，进而解决问题．
【证明】 ∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE， ∴BED1F是平行四边形， ∴D1E∥BF， 又∵D1 E 平面BGF，BF 平面BGF， ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线， ∴FG∥AD1， 又AD1 平面BGF，FG 平面BGF， ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1， ∴平面AD1E∥平面BGF.
如图1－5所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱 柱侧面过棱CC1到M的最短距离为 29 ，设这条最短路线与 CC1的交点为N.求：
图1－5 (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长．
【思路点拨】 借助于侧面展开图计算最短路线问题． 【规范解答】 (1)三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一 个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图，将侧面BB1C1C绕CC1旋转120°使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1， 则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
一个圆锥底面半径为R，高为 3 R，求此圆锥 的内接正四棱柱表面积的最大值．
【思路点拨】 画出其轴截面，转化为平面问题．
【规范解答】
设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝
2 2 a.
∵△SDE∽△SAO，∴DAOE＝SSOE .
∵AO＝R，SO＝
2
3 R，∴
2a ＝ R
3R－h， 3R
∴h＝
几何体的结构、表面积与体积
准确理解几何体的定义，熟练掌握直观图与三视图的画 法，能更好地把握几何体的特征．三视图是几何体的平面表 示形式，常与几何体的结构、表面积与体积结合命题，是高 考命题的热点，解决此类问题的关键是利用三视图获取表面 积、体积公式中所涉及的基本量的有关信息，进而解决问题．
北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》习题课课件
-9-
习题课
平行关系与垂直关系 的综合应用
题型二 题型三
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
题型一
题型二
平行、垂直关系的证明
【例2】 如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F 分别是CD,PC的中点.求证: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 分析:(1)利用面面垂直的性质,得线面垂直;(2)由BE∥AD易 证;(3)EF是△CPD的中位线.
名师点拨使用有关平行、垂直的判定定理时,要注意其具备的条 件,缺一不可.
-5-习题课Fra bibliotek平行关系与垂直关系 的综合应用
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
3.平行关系及垂直关系的转化
-6-
习题课
平行关系与垂直关系 的综合应用
题型二 题型三
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UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
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题型一
题型一 空间线面位置关系的判定
【例1】 设a,b表示直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列命题中正确 的是( ) A.若a⊥α且a⊥b,则b∥α B.若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β C.若a∥α且a∥β,则α∥β D.若γ∥α且γ∥β,则α∥β 分析:判断空间线面关系的基本思路:利用定理或结论;借助实物模 型肯定或否定. 解析:A错,应该是b∥α或b⫋α;B错,如墙角出发的三个面就不符合 题意;C错,α∩β=m,当a∥m时,满足a∥α,a∥β,但是α∥β不正确,故选D. 答案:D
习题课
平行关系与垂直关系 的综合应用
题型二 题型三
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UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
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题型一
题型二
平行、垂直关系的证明
【例2】 如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F 分别是CD,PC的中点.求证: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 分析:(1)利用面面垂直的性质,得线面垂直;(2)由BE∥AD易 证;(3)EF是△CPD的中位线.
名师点拨使用有关平行、垂直的判定定理时,要注意其具备的条 件,缺一不可.
-5-习题课Fra bibliotek平行关系与垂直关系 的综合应用
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3.平行关系及垂直关系的转化
-6-
习题课
平行关系与垂直关系 的综合应用
题型二 题型三
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UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
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题型一
题型一 空间线面位置关系的判定
【例1】 设a,b表示直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列命题中正确 的是( ) A.若a⊥α且a⊥b,则b∥α B.若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β C.若a∥α且a∥β,则α∥β D.若γ∥α且γ∥β,则α∥β 分析:判断空间线面关系的基本思路:利用定理或结论;借助实物模 型肯定或否定. 解析:A错,应该是b∥α或b⫋α;B错,如墙角出发的三个面就不符合 题意;C错,α∩β=m,当a∥m时,满足a∥α,a∥β,但是α∥β不正确,故选D. 答案:D
高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步§1 1-1 1-2
[构建· 体系]
1．给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是( A．①② C．①③ ) B．②③ D．②④
3 为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为 2 a＝ 3，圆锥的母线即为圆锥的 轴截面正三角形的边，所以母线长为 2.
【答案】 3，2
5． 如图 114 所示为长方体 ABCDA′B′C′D′， E、 F 分别为棱 A′B′、 C′D′上的点，且 B′E＝C′F，当用平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后， 各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．
[小组合作型]
旋转体的结构特征
下列叙述中，正确的个数是( )
(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； (2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台； (3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； (4)圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球． A．0 个 C．2 个 B．1 个 D．3 个
棱锥 SAC 或棱锥 SABCDE
棱台 AC′或棱台 ABCDA′B′C′D′
两个面 互相平行，其余 有 一 个 面 是 多 边 用 一 个 平 行 于 棱 锥 结构 各面都是四边形，并且 形，其余各面是 底面的平面去截棱
特征 每相邻两个四边形的公 有一个公共顶点的 锥，底面与截面之间 共边都互相平行 三角形 的部分
【答案】 (2)(3)(4)
判断棱锥、棱台形状的两个方法： (1)举反例法： 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说 法不正确． (2)直接法： 棱锥 定底面 看侧棱 为底面 相交于一点 面 延长后相交于一点 棱台 只有一个面是多边形，此面即 两个互相平行的面，即为底
北师大版数学必修2 第一章 立体几何初步归纳总结课件(64张)
4.三视图与直观图的画法 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几 何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空 间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间 几何体的形状，两者之间可以相互转化． 5．直线和平面平行的判定方法 (1)定义：a∩α＝∅⇒a∥α； (2)判定定理：a∥b，a α，b α⇒a∥α； (3)线面平行的性质：b∥a，b∥α，a α⇒a∥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a α⇒a∥β.
8．证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为 90° ； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a⊥α，b α⇒a⊥b； (4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
9．判定两个平面平行的方法 (1)依定义采用反证法； (2)利用判定定理： a∥β，b∥β，a α，b α，a∩b＝A⇒α∥β； (3)垂直于同一条直线的两个平面平行： a⊥α，a⊥β⇒α∥β； (4)平行于同一平面的两个平面平行： α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
12．垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂 线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂 线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟 练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问 题的关键．
明朗化的立体几何问题．
[例 2] 如下图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝3 3，BC＝ 3.沿对角线 BD 将△BCD 折起，使点 C 移到点 C′，且 C′O ⊥平面 ABD 于点 O，点 O 恰在 AB 上．
7．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线垂直⇒a⊥α； m、n α，m∩n＝A ⇒l⊥α； (2)判定定理 1： l⊥m，l⊥n (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质；α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l⇒a⊥β.
高中数学必修二第一章立体几何初步第一节简单几何体北师大版ppt课件
A1B1C1D1 .
D1 A1
B1 C1
D A
C B
1.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，
则这个几何体一定是 ( C )
A.圆柱
B.圆锥
C.球体
D.圆柱，圆锥，球体的组合体
【解析】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形 和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．
2.下列说法正确的是( D ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱. B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫 棱柱. C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫 棱锥. D.棱台各侧棱的延长线交于一点.
线段叫作球的半径. 5.连接_球__面__上两点并且过_球__心__的线段叫作球的
直径.
直径 球面
球心
半径
二、圆柱、圆锥、圆台
（Hale Waihona Puke ）圆柱1.以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余 各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作 圆柱. 2.在旋转轴上这条边的长度叫做圆柱的高. 3.垂直于旋转轴的边旋转形成的圆面叫做圆 柱的底面.
第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
情境引入
课堂探究
简单旋转体 一、球
1.以半圆的_直__径__所__在__的__直__线__为旋转轴，将半圆旋
转所形成的曲面叫作球面. 2._球__面__所围成的几何体叫作球体，
简称球.
3.半圆的_圆__心__叫作球心.
O
4.连接球心和_球__面__上__任__意__一__点__的
3.以下四个叙述：
① 正棱锥的所有侧棱相等；
② 直棱柱的侧面都是全等的矩形；
③ 圆柱的母线垂直于底面；
北师大版数学必修二同步课件：第一章 立体几何初步章末复习提升课
栏目 导引
第一章 立体几何初步
因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以点 O 是 BD 的中点． 又点 E 是 PD 的中点，所以 EO∥PB. 因为 PB⊆/ 平面 AEC，EO 平面 AEC， 所以 PB∥平面 AEC.
栏目 导引
第一章 立体几何初步
6．有一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形， 在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正 好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
栏目 导引
第一章 立体几何初步
画三视图时，要认清几何体的基本结构，可以把垂直投影面 的视线想象成平行光线，从正前方、正左方、正上方射向几 何体，其可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以通过想象透视到 的轮廓线)就是所要画出的视图．主视图反映几何体的长和高， 左视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽．
栏目 导引
第一章 立体几何初步
[解] (1)证明：由已知得 AM＝23AD＝2. 取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 的中点知 TN∥BC， TN＝12BC＝2.
又 AD∥BC，故 TN∥═ AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于
是 MN∥AT.
因为 AT 平面 PAB，MN⃘平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB.
栏目 导引
第一章 立体几何初步
(2016·高考全国卷丙)如图，四棱 锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥ BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． (1)证明 MN∥平面 PAB； (2)求四面体 N-BCM 的体积．
栏目 导引
第一章 立体几何初步
(2)因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为12PA. 取 BC 的中点 E，连接 AE，由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC，AE ＝ AB2－BE2＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 S△BCM＝12×4× 5＝ 2 5. 所以四面体 N-BCM 的体积 VN-BCM＝13×S△BCM×P2A＝435.
第一章 立体几何初步
因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以点 O 是 BD 的中点． 又点 E 是 PD 的中点，所以 EO∥PB. 因为 PB⊆/ 平面 AEC，EO 平面 AEC， 所以 PB∥平面 AEC.
栏目 导引
第一章 立体几何初步
6．有一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形， 在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正 好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
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第一章 立体几何初步
画三视图时，要认清几何体的基本结构，可以把垂直投影面 的视线想象成平行光线，从正前方、正左方、正上方射向几 何体，其可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以通过想象透视到 的轮廓线)就是所要画出的视图．主视图反映几何体的长和高， 左视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽．
栏目 导引
第一章 立体几何初步
[解] (1)证明：由已知得 AM＝23AD＝2. 取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 的中点知 TN∥BC， TN＝12BC＝2.
又 AD∥BC，故 TN∥═ AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于
是 MN∥AT.
因为 AT 平面 PAB，MN⃘平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB.
栏目 导引
第一章 立体几何初步
(2016·高考全国卷丙)如图，四棱 锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥ BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． (1)证明 MN∥平面 PAB； (2)求四面体 N-BCM 的体积．
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第一章 立体几何初步
(2)因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为12PA. 取 BC 的中点 E，连接 AE，由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC，AE ＝ AB2－BE2＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 S△BCM＝12×4× 5＝ 2 5. 所以四面体 N-BCM 的体积 VN-BCM＝13×S△BCM×P2A＝435.
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§1.1
圆锥；若绕其斜边所在的直线旋转得到的是两个同底面圆锥
构成的一个几何体，如图(1)．B项错误，没有说明这两个平行 截面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确，其他
情况则结论是错误的，如图 (2) ． D 项错误，通过圆台侧面上
一点，只有一条母线，如图(4)．C项正确，如图(3)．
栏目 导引
第一章
由圆柱、圆锥、圆台定义可知,三者分别为矩形、
三角形、直角梯形旋转而得，所以其上、下底面都是圆面， 故正确； B 圆台的母线是直角梯形不垂直于旋转轴的边，不
是上、下底面圆周上任意两点的连线，故错误； C 球的截面
一定是圆，用平行于圆柱底面的面截圆柱得到的截面是圆， 其他平面截得的截面不是圆，故错误； D 以直角三角形的一 条直角边所在的直线为轴旋转，其余各边旋转而成的旋转面 形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥，以斜边为轴旋转形成
第一章
立体几何初步
第一章 立体几何初步
栏目 导引
第一章
立体几何初步
§1 简单几何体
1．1 简单旋转体栏目 导引Fra bibliotek第一章
立体几何初步
学习导航
学习目标
理解
实例 ― ― → 旋转体
了解
― ― → 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 重点难点 重点：圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．
难点：多面体和旋转体概念的理解及几何体形状的判断．
栏目 导引
第一章
立体几何初步
想一想 2.“ 直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体必是圆
锥”，这种说法正确吗？
提示：不正确，当以斜边所在直线为轴旋转时，其余各边 旋转形成的曲面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，是
由两个同底圆锥组成的几何体．
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9.关于直线与平面垂直的其他性质：
(1)如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内
的任意一条直一个平面，则另一条也垂直
于该平面.
(3)若l⊥α 于点A，AP⊥l，则AP
α.
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行. (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直 于另一个平面.
提醒：简单几何体的三视图与直观图的互化问题应注意确定主 视、俯视、左视的方向与直观图的对应性，同一物体放置位置 的不同，其三视图可能会有不同.
【补偿训练】(2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，
底面是正方形，其正(主)视图如图所示，该四棱锥侧面积和体
积分别是( )
A.4 5， 8
8 B.4 5， 3
(2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中作对应 的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的 线段，在直观图中平行于z′轴且长度不变.
2.画空间几何体的三视图要注意的问题
(1)三个视图要配合画，并做到“主左一样高，主俯一样长，
俯左一样宽”. (2)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线， 分界线和可见轮廓线都用实线画出，看不见的轮廓线画成虚线 . (3)与视线垂直的平面内的线段，其在三视图中的长度与其实 际长度相同.
8 C.4( 5 1)， 3
D. 8， 8
【解析】选B.由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，
V= 1 ×2×2×2= 8 ，
3 3
侧面积需要计算侧面三角形的高h=
22 12 5 ，
S侧= 4 ( 1 2 5) 4 5.
2
主题二
空间几何体的表面积、体积
【典例2】(1)(2014·焦作高一检测)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a.将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块，再将 这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的表 面积为________.
7.球与两种几何体之间的关系 (1)球与正方体的组合体： ①球内切于正方体：此时球半径R与正方体棱长a有关系式 2R=a成立. ②球外接于正方体：2R= 3 a. ③球与正方体的12条棱相切：2R= 2 a.
(2)球与正四面体的组合体： ①球内切于正四面体：球半径R与正四面体的高h有关系式 R= 1 h(可以用分割法). ②球外接于正四面体：R= 3 h.
易求得圆锥高h= 所以V=π·42·20+
52 42 =3(cm)， 1 π·42·3=336π(cm3)， 3
S=π·42+2π·4·20+π·4·5=196π(cm2). 所以该几何体的体积为336πcm3，表面积为196πcm2.
【方法技巧】 1.画空间几何体的直观图的基本步骤 (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直 观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′， 且使∠x′O′y′=45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴 的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴.已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y轴的线段，长度变 为原来的一半.
3.球的有关概念
(1)球的截面都是圆面.
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于
截面.
(3)设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面圆的距离
就是球心O到截面圆心O1的距离，它们的关系是：OO1=
R2 r2 .
4.几种常见几何体的三视图 (1)直立放置的圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图为圆. (2)直立放置的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视 图是圆及圆心. (3)直立放置的圆台的主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图 是两个同心圆. (4)球的三视图都是圆.
5.表面积与体积公式
(1)柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②体积：V=S底h(h为柱体的
高).
(2)锥体：①表面积：S=S侧+S底；②体积：V= 1 S底h(h为锥体
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的高). (3)台体：①表面积：S=S侧+S上底+S下底；②体积：V= 1 (S上底+
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S上底S下底 +S下底)h(h为台体的高).
阶段复习课 第 一 章
【答案速填】 ①简单旋转体； ②简单多面体； ③三视图； ④相交直线； ⑤异面直线； ⑥平行关系的传递性； ⑦线面平行； ⑧线面垂直； ⑨柱、锥、台的体积.
【核心解读】 1.多面体的性质 (1)棱柱的侧面、过不相邻侧棱的截面都是平行四边形. (2)棱锥、棱台的高与其侧棱(或其他线段)能共处于同一三角 形中. 2.旋转体的有关性质 (1)球面无法展开成平面；圆柱、圆锥、圆台的侧面可以展开 成平面. (2)圆柱、圆锥、圆台中与底面平行的截面是圆面.
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即一个正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3.
8.面面平行的性质定理的几个有用推论 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另 一个平面. (2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互 相平行.
主题一
直观图与三视图
【典例1】(1)(2014·亳州高一检测)平面图形的直观图如图所 示，它原来的面积是________.
(2)一几何体的三视图如图所示.计算该几何体的体积与表面积.
【自主解答】(1)由直观图知原图是直角三角形，两直角边的 长为2，4，故面积为4. 答案：4 (2)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底 圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示 . 由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为 8cm， 高为20cm的圆柱，上部为底面直径为8cm，母线长 为5cm的圆锥.
(4)球体：①表面积：S=4π R2；②体积：V= 4 π R3.
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6.三棱锥顶点在底面的投影与三角形三心的关系
(1)三棱锥中：侧棱长相等(或侧棱与底面所成角相等)⇔顶点 在底面投影为底面三角形的外心. (2)侧棱两两垂直(或对棱垂直)⇔顶点在底面的投影为底面三 角形的垂心. (3)斜高相等(或侧面与底面所成角相等)⇔顶点在底面的投影 为底面三角形的内心.