第六章习题及自测题详解

习题6 答案详解1．解：（1）1(1)x dx-+⎰是图中阴影三角形的面积，所以0111(1)1122x dx-+=⋅⋅=⎰.（2）2sin xdxπ⎰是图中面积的代数和，面积大小相等，但定积分值的符号相反，故20sin xdxπ⎰=0.2．证明：()f x当为奇函数时，曲线()f x关于原点对称，与x轴所围的几何图形的代数和为零，故()0aaf x dx-=⎰；()f x当为偶函数时，曲线()f x关于y轴对称，与x轴所围的几何图形也关于y轴对称，和为零，故()2()a aaf x dx f x dx-=⎰⎰。

即(),()0,()2(),aaaf xf xf x dxf x dx-⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰当为奇函数时当为偶函数时.得证.3．解：（1）在第一象限内2sin sinx x≤，故22200sin sinxdx xdxππ≤⎰⎰成立；(2)当112x≤≤时，20,ln0x x>≤，1212ln0x xdx≤⎰，所以原式不成立；(3)设()1,(0,1)xf x e x x=--∈，()10,(0,1)xf x e x'=->∈，()f x是单调递增函数，而()(0)0f x f>=，故1,(0,1)xe x x>+∈，故1100(1)xe dx x dx>+⎰⎰成立；(4)原不等式可变形为333322sin cos sin cos0x xdx x xdxππ--⋅=-⋅>⎰⎰，当(,0)2xπ∈-时，33sin cos0x x⋅<，所以0333322sin cos sin cos0x xdx x xdxππ--⋅=-⋅>⎰⎰成立.(2)22()0xx e dx -⎰．设2(),()21f x x x f x x '=-=-，解得驻点为12x =，11(0)0,(),(2)222f f f ==-=，故()f x 的最大值为2，最小值为14-，2()x x e-是单 调递增函数，故21()24x x eee --≤≤，所以212()2422x x eedx e --≤≤⎰.5．解：（1）22221(cos )cos ()2cos xy tdt x x x x '''==⋅=⎰；(2)5(3sin )3sin xy t tdt x x '==-⎰；(3)0()()xx xt t t x y xe dt x e dt e dt xe '''===+⎰⎰⎰；(4)322322322264431113232()()()()()x x x x y dt x x t x x x x x x''''==⋅-=-=-⎰． 6．解：(1)222002limlim0xx x x t x x ee dt→→==⎰；(2)2223200()21limlim lim 222xx x x x tdtx x x x x x x x →→→'-⋅-===⎰． 7．解：(1)2234312111811121()()()()133324338x dx x x x +=-=---=⎰；(2)11201(1)12d x =+==⎰⎰ (3)42220022221113313(1)11(3)111x x x x dx dx x dx x x x ---++++==++++⎰⎰⎰ 300arctan 1114x xπ=+=+--；(4)224440tan (sec 1)(tan )14d d ππππθθθθθθ=-=-=-⎰⎰；(5)22222222222211112(1)11()(1)(1)1x x x dx dx dx x x x x x x+++==++++⎰⎰⎰ 211(arctan )arctan 2124x xπ=-+=-+；(6)2420sin cos (cos sin )(sin cos )x x dx x x dx x x dx ππππ-=-+-⎰⎰⎰2(sin cos )(sin cos )1)404x x x x πππ=+-+=；(7)21cos 2222t t tdt dt ππ+==⎰；(8)21132311(5)1114()(5)286t t dt t dt t --⋅-=-=⎰⎰． 8．解：2121()()()f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰1222301121118(1)()()012263x dx x dx x x x =++=++=⎰⎰9．解：(1)44400sin 1tan ln cos ln cos ln cos cos cos cos x x xdx xdx xd x xx πππ⋅=⋅=-⋅⎰⎰⎰224011ln cos ln cos (ln cos )ln 2428xd x x ππ=-=-=-⎰；(2)2222222001111sin sin cos cos 222224x x dx x dx x ππππ⋅==-=-⎰⎰；(3)11(ln 1)1)ee x =+==⎰⎰；(4)111001112100x x xx x xe dx xde xe e dx e e e-----=-=-+=--=-⎰⎰⎰； (5)2222001cos 211(sin )cos 2222x x x dx x dx x dx x xdx ππππ-⋅=⋅=-⋅⎰⎰⎰⎰32322001111sin 2[sin 2sin 2]006464x x d x x x xdx πππππ=-=--⎰⎰33001111sin 2cos 26264x xdx xd x ππππ=+=-⎰⎰ 33001111[cos 2cos 2]cos 2064644x x xdx xdx ππππππ=--=-+⎰⎰111πππ(6)1111ln ln ln eeeex dx xdx xdx =-+⎰⎰⎰1111ln ln ln ln 11eee x x xd x x x xd x e=-++-⎰⎰111111111(1)(1)2(1)e e x dx e x dx e e e x x e e e=-+⋅+-⋅=-+-+--=-⎰⎰．10．证明:设2x t π=-，0x =时，2t π=，2x π=时，0t =，则220022sin sin ()()cos cos 22nnnn xdx t d t tdt xdx ππππππ=--=-=⎰⎰⎰⎰.11．证明：设1()ef x dx a =⎰，则111()(ln ())eeea f x dx x f x dx dx ==-⎰⎰⎰11(ln )ln (1)e ex a dx xdx a e =-=--⎰⎰ln (1)(1)1(1)1ex x e a e a e =----=--1(1)a a e =--解得 1a e =，即⎰=e edx x f 1.1)(12．解：(1)2111ln 111ln ln ln 1x dx xd x d x x x x x+∞+∞+∞+∞=-=-+⎰⎰⎰ 21ln 11lim 11x x dx x x x +∞→+∞+∞=-+=-=⎰； (2)1122111(23)(23)2(23)dx d x x x -∞-∞=---⎰⎰ 11112232x =-⋅=-∞-； (3)222222202()()()x x x x xedx ed x ed x ed x +∞+∞+∞-----∞-∞-∞=--=----⎰⎰⎰⎰22000xxe e --+∞=--=-∞；(4)222211()111dx dx x x x +∞+∞=---+⎰⎰ 1x +∞+∞-13．解：(1)440044x ==-==⎰⎰是瑕点，；(2)2110(1)21t tdt x t +⋅=⎰是瑕点,12301182(1)2()033t dt t t =+=+=⎰；(3)11arcsin(ln )12eeex e x π====⎰⎰是瑕点，；(4)2122220011(1)(1)(1)dx dx dxx x x x ==+---⎰⎰⎰是瑕点，120110(1)1dx x x =-=+∞--⎰，221211(1)1dx x x =-=-∞--⎰． 所以22(1)dxx -⎰发散.14．解：用定积分的定义求极限，设()f x =[0,1]x ∈，将区间[0,1]n 等分，取小区间的右端点为i i n ξ=，()i f ξ=1n，则01111lim lim cos2cos22102n nn i n xdxx xdx πππππ→∞→∞========⎰⎰⎰L15．解：（1）如图所示，2,y x y x ==所围平面图形图中阴影部分，交点坐标为(1,1),(0,0)，122301111()()0236A x x dx x x =-=-=⎰；(2)所围平面图形如图所示，解方程组232y x y x ⎧=-⎨=⎩，得交点坐标为(1,2),(3,6)--，123231132(32)(3)333A x x dx x x x -=--=--=-⎰；（1） (2)（3） （4） (3) 所围平面图形如图所示，解方程组ln 1y xy =⎧⎨=⎩，得交点坐标为(,1),(1,0)e ，10110y yA e dy e e ===-⎰ ；(4) 所围平面图形如图所示，曲线,0,0,1xy e y x x ====的交点坐标为(0,0),(1,0),(1,)e ．1110x xA e dy e e ===-⎰16．解：(1)如图所示，两条曲线的交点坐标(0,0),(1,1)112242512001113[()()][]()02510y V x y x y dy y y dy y y ππππ=-=-=-=⎰⎰.（1）(2)(2) 如图所示，两条曲线的交点坐标(,),(2,)2aa a a442222312221[()()]2a ax a aaa aV y x y x dx dx aax xππππ=-==-=⎰⎰.(3) 如图所示，22(5)16x y+-=绕x轴旋转所得旋转体体积244222221244[()()][(165)(165)] xV y x y x dx x x dx ππ--=-=-+---+⎰⎰242222[(165)(165)]x x dxπ=-+---+⎰4240164sinx dxx tπ=-=⎰22404cos4cos160t tdtπππ=⋅=⎰（3）17题17．解：函数21xy-=，(1,0)2(1,0)2y x'=-=-，即切线的斜率2k=-. 切线方程为2(1)y x=--，即22y x=-解方程2122y xy x⎧=-⎨=-⎩得交点为(1,0))如图所示，所围图形面积为1121200[()()][(22)(1)]A y x y x dx x x dx=-=---⎰⎰12230111(12)()033x x dx x x x =-+=-+=⎰ 18．解：（1）222514(2)(32)5V x dx a πππ==-⎰； 222244420222a yV a a dy a a a πππππ=⋅-=-=⎰.18题（2）54124()(32)5V a V V a a ππ=+=-+，43()44V a a a ππ'=-+，解得唯一驻点1a =。