2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测(四十一)圆的方程理
2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测(四十)圆的方程
课时达标检测(四十）圆的方程[练基础小题——强化运算能力]1．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.所以△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. 答案：2132．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2543．若圆C 的半径为1，圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为________． 解析：因为圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝14．(2018·淮安中学模拟)已知OP ―→＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ ―→满足OP ―→＋OQ ―→＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )，∵OP ―→＋OQ ―→＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α，∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4.答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝45．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：如图所示，圆心M (3，－1)到定直线x ＝－3上点的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：4[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·姜堰中学月考)设A (－3,0)，B (3,0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离之比为1∶2，则点P 的轨迹图形所围成的面积是________．解析：设P (x ，y )，则由题意有(x ＋3)2＋y 2(x －3)2＋y 2＝14，整理得x 2＋y 2＋10x ＋9＝0，即(x ＋5)2＋y 2＝16，所以点P 在半径为4的圆上，故其面积为16π.答案：16π2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为________．解析：因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.答案：(x －2)2＋y 2＝53．已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为________．解析：如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2＝165， 所以△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112.答案：1124．(2018·南通模拟)已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是________．解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案：455．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为________．解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连结OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.答案：66．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．解析：圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连结C 1′C 2，与x 轴交于点P ，连结PC 1，可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|＝(3－2)2＋(4＋3)2＝52，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.答案：52－47．(2018·徐州期初)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ≥0，b ≥0)始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为________．解析：因为直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，所以圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，从而2a ＋b －1＝0.a 2＋b 2－2a －2b ＋3＝(a －1)2＋(b －1)2＋1，而(a －1)2＋(b －1)2表示点(1,1)与直线2a ＋b －1＝0上任一点的距离d 的平方，其最小值d 2min＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2×1＋1×1－1|22＋122＝45，所以a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为45＋1＝95. 答案：958．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为________．解析：因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.答案：－19．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a ＞0，b ＞0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是________．解析：由圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a ＞0，b ＞0)关于直线x －y －1＝0对称，可得圆心(2a ，－b )在直线x －y －1＝0上，故有2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1≥22ab ，解得ab ≤18，故ab 的最大值为18.答案：1810．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43二、解答题11．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ―→·MQ ―→的最小值． 解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ―→·MQ ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以PQ ―→·MQ ―→＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 又⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4min ＝－1， 所以PQ ―→·MQ ―→的最小值为－4.12.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为6 3 m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA 、FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．解：(1)以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系(图略)．则有E (－33，0)，F (33，0)，M (0,3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2＝r 2， ∵F (33，0)，M (0,3)都在圆上，∴⎩⎨⎧(33)2＋b 2＝r 2，02＋(3－b )2＝r 2，解得b ＝－3，r 2＝36.所以圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2)设限高为h ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ，则|CP |＝h ＋0.5.将点P 的横坐标x ＝11代入圆的方程，得(11)2＋(y ＋3)2＝36，得y ＝2或y ＝－8(舍)． 所以h ＝|CP |－0.5＝(y ＋|DF |)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)． 所以车辆的限制高度为3.5 m.。
高考数学一轮复习 第9章 解析几何 第3节 圆的方程课时跟踪检测 理 新人教A版-新人教A版高三全册
第三节 圆的方程A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届某某市质检)已知圆C ：(x －6)2＋(y ＋8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25解析：选C ∵C (6，－8)，O (0，0)，∴所求圆的圆心为(3，－4)，半径为12|OC |＝5，∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25.故选C ．2．(2019届某某模拟)与圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：选D 若圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．由题意知已知圆的圆心坐标为(2，0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以所求圆的圆心坐标为(1，3)，半径为2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.3．(2019届某某名校联考)圆(x －3)2＋(y －1)2＝5关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －1)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝5解析：选C 由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5，故选C ．4．(2019届某某九校第二次联考)圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2－y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：选C 由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m >0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选C ．5．已知圆C 的圆心在y 轴上，点M (3，0)在圆C 上，且直线2x －y －1＝0经过线段CM 的中点，则圆C 的标准方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝18 B ．x 2＋(y ＋3)2＝18 C ．x 2＋(y －4)2＝25D ．x 2＋(y ＋4)2＝25解析：选C 设圆C 的圆心坐标为(0，b )，则线段CM 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2.因为直线2x －y －1＝0经过线段CM 的中点，所以2×32－b2－1＝0，解得b ＝4，所以圆C 的圆心坐标为(0，4)，半径r ＝|CM |＝（0－3）2＋（4－0）2＝5，所以圆C 的标准方程是x 2＋(y －4)2＝25，故选C ．6．(2019届某某省某某中学高三调考)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0 B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0 C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y ＋1＝0解析：选C 圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1，由题意可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－12在直线y ＝x －1上，即－12＝a4－1，解得a ＝2，∴点C 的坐标为(－2，2)，设圆心P 为(x ，y )，则有（x ＋2）2＋（y －2）2＝|x |，即y 2＋4x －4y ＋8＝0.故选C ．7．(2019届豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．x 2＋(y －1)2＝2 C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 解法一：由题意可得圆心(0，1)到直线x －by ＋2b ＋1＝0的距离d ＝|1＋b |1＋b 2＝1＋2b1＋b2，若求半径最大，即d 最大，又b ≥0，所以d ＝1＋2b 1＋b2≤1＋2b2b＝2，当且仅当b ＝1时取等号．所以半径最大的圆的半径r ＝2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B ．解法二：由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得，该直线过定点A (－1，2)，设圆心为B (0，1)，由题意可知，要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝（－1－0）2＋（2－1）2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B ．8．(2019届某某某某一模)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的比值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A 将x ＝0代入2x －y －3＝0可得P (0，－3)．圆心坐标为(－1，0)，则点P 与圆心的距离为12＋（－3）2＝2.由圆的半径为6，可知较长一段为8，较短一段为4，则较长一段与较短一段的比值为2.故选A ．9．(2019届豫北名校期中联考)已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程．解：(1)设圆A 的半径为r ，因为圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，所以r ＝|－1＋4＋7|5＝25，又圆心为(－1，2)，所以圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝－2，将x ＝－2代入圆A 的方程中，得(－2＋1)2＋(y －2)2＝20，解得y ＝2±19，此时|MN |＝219，则x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 因为Q 是MN 的中点，连接AQ ，所以AQ ⊥MN ，所以|AQ |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝r 2.又知|MN |＝219，r ＝25， 所以|AQ |＝20－19＝1. 由题意得|k －2|k 2＋1＝1，∴(k －2)2＝k 2＋1， 解得k ＝34.所以直线l 的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.综上，满足题意的直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.10．经过点A (0，1)的圆的圆心在y 轴上，且圆截x 轴所得的弦长为2，不过点A 的直线l 与圆交于不同的两点B ，C ，且点B ，C 不在y 轴上．(1)求圆的标准方程；(2)若直线AB 和AC 的斜率之和为－1，求证：直线l 恒过定点．解：(1)由题意，设圆心为(0，b )，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧（1－b ）2＝r 2，b 2＋1＝r 2， 所以b ＝0，r ＝1，所以圆的标准方程为x 2＋y 2＝1. (2)证明：设点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠±1)， 把y ＝kx ＋m 代入x 2＋y 2＝1，得(k 2＋1)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， 则Δ＝4(k 2＋1－m 2)>0，x 1＋x 2＝－2km k 2＋1，x 1x 2＝m 2－1k 2＋1，k AB ＋k AC ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝（y 1－1）x 2＋（y 2－1）x 1x 1x 2＝（kx 1＋m －1）x 2＋（kx 2＋m －1）x 1x 1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k ＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －（m －1）·2km m 2－1＝2k －2kmm ＋1. 又直线AB 和AC 的斜率之和为－1，所以2k －2kmm ＋1＝－1，解得m ＝－2k －1，代入y ＝kx ＋m ，得y ＝kx －2k －1，即y ＝k (x －2)－1，所以直线l 恒过点(2，－1)．当直线l 的斜率不存在时，x 2＝x 1，y 2＝－y 1，k AB ＋k AC ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝y 1－1x 1＋－y 1－1x 1＝－2x 1.因为直线AB 和AC 的斜率之和为－1，所以－2x 1＝－1，x 1＝2.但－1<x 1<1，且x 1≠0，故不合题意，舍去．综上，直线l 恒过定点(2，－1).B 级·素养提升 |练能力|11.(2019届某某模拟)已知动点A (x A ，y A )在直线l ：y ＝6－x 上，动点B 在圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0上，若∠CAB ＝30°，则x A 的最大值为( )A ．2B ．4C ．5D ．6解析：选C 由题意可知，当AB 是圆的切线时，∠CAB 最大，此时|CA |＝4，点A 的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2＝16，与y ＝6－x 联立，解得x ＝5或x ＝1，∴点A 的横坐标的最大值为5.故选C ．12．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2解析：选D 由题意知圆心C (2，1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1.又a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2ab＝3＋22，当且仅当b a＝2a b，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立，∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 13．(2018年卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，所以点P 到直线 x －my －2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x －my －2＝0恒过点(2，0)，所以当m 变化时，圆心(0，0)到直线x －my －2＝0的距离d ＝21＋m2的最大值为2，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离的最大值为3，即d 的最大值为3.故选C ．14．(2019届东北三省四校联考)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．解析：设P (x 0，y 0)，则d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.∵x 2＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案：74。
(通用版)2019版高考数学一轮复习第9章平面解析几何3第3讲圆的方程教案(理)
第3讲圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y －y2)＝0.( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( )(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：选D.因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，选D.方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m <14或m >1C ．m <14D ．m >1解析：选B.由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <14或m >1.点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1－a )2＋(1＋a )2<4， 所以－1<a <1. 答案：(－1，1)求圆的方程(高频考点)求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小．高考对求圆的方程的考查主要有以下两个命题角度： (1)由圆的方程确定参数的值(范围)； (2)由已知条件求圆的方程．[典例引领]角度一 由圆的方程确定参数的值(范围)(2018·福建厦门联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，所以仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆． 【答案】 B角度二 由已知条件求圆的方程求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程．【解】 法一：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又该圆经过A ，B 两点， 所以|CA |＝|CB |，即（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．[通关练习]1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定解析：选B.将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即（0＋a ）2＋（0＋1）2>2a ，所以原点在圆外．2．若圆心在x 轴上，半径为5的圆O ′位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O ′的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5或(x ＋5)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5 D ．(x ＋5)2＋y 2＝5解析：选 D.设圆心坐标为(a ，0)(a <0)，因为圆与直线x ＋2y ＝0相切，所以5＝|a ＋2×0|5，解得a ＝－5，因此圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5. 3．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为__________________．解析：设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝4与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等．高考中对圆的最值问题的考查主要有以下两个命题角度： (1)借助几何性质求最值问题； (2)建立函数关系求最值．[典例引领]角度一 借助几何性质求最值问题已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)． 又圆心到原点的距离为 （2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 角度二 建立函数关系求最值(2018·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA →·PB →的最大值为________．【解析】 由题意，知PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12. 【答案】 12求解与圆有关的最值问题的方法[通关练习]1．如果实数x ，y 满足圆(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________． 解析：(x ，y )在圆上，y ＋3x －1表示的是圆上的点(x ，y )与点(1，－3)连线的斜率，画出图象，求出过点(1，－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k ，切线方程为kx －y －3－k ＝0，圆心到直线的距离等于半径，即|k －3|1＋k2＝1，k ＝43，故取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞2．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析：切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.答案：73．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为________________．解析：设点A ，B 的坐标分别为A (a ，0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.因为直线AB 和圆相切，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a 2＋b 2＝2，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号．又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ， 即a ＝b ＝2，切线l 的方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0与圆有关的轨迹问题[典例引领]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)． (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点， 所以C 1M ⊥AB ，所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得yx －3·y x ＝－1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立． 设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立， 消去y 得：(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.求与圆有关的轨迹方程的方法已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.圆的方程选取的原则(1)已知条件多与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关，则设圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)；(2)已知圆上的三个点的坐标时，则设圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 易错防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程；(2)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一条件．1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A.设圆心为(0，a )，则（1－0）2＋（2－a ）2＝1， 解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A. 2．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：选 D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．3．(2018·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A.将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.4．(2018·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选 C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.5．(2018·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B. 203C ．4D. 163解析：选D.由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，因为圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，所以该直线经过圆心(－1，3)，即－a －3b ＋3＝0，所以a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．所以1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1，1)，B (1，3), 若M (m ，6)在圆C 内，则m 的范围为________．解析：设圆心为C (a ，0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝（2＋1）2＋12＝10. 故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2<10，解得0<m <4. 答案：(0，4)7．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________________．解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝28．已知点P (－2，－3)，圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9，过点P 作圆C 的两条切线，切点为A ，B ，则过P 、A 、B 三点的圆的方程为________________．解析：易知圆C 的圆心为C (4，2)，连接AC 、BC ， 由题意知PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，所以P ，A ，B ，C 四点共圆，连接PC ，则所求圆的圆心O ′为PC 的中点，所以O ′⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，所以所求圆的半径r ′＝（1＋2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32＝614. 所以过P ，A ，B 三点的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝614.答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝6149．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|PA |＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.1．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4，4]D ．[－4，23]解析：选B.由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆.3x ＋y －m ＝0是直线(如图)， 且斜率为－3，在y 轴上截距为m ，又当直线过点(－2，0)时，m ＝－23，设圆心O 到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，所以⎩⎨⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2， 解得m ∈[－23，4]．2．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k ＞0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件，实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0＜k ≤6.答案：(0，6]3.如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5，2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN的中点P 的轨迹方程．解：(1)由已知可知A (－3，0)，B (3，0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )．由|EB |＝|EC |，得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2，解得b ＝1，r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10，所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5，2y －2)，代入x 2＋(y －1)2＝10，得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52. 4．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解：(1)证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是 (x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．(2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，因为OC 垂直平分线段MN .因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12. 所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，OC ＝5，此时，C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 符合题意，此时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。
2019届高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 课时跟踪训练47 圆的方程 文
课时跟踪训练(四十七) 圆的方程[基础巩固]一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4[解析] AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝ [1－－2＋－1－2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. [答案] A2．(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4[解析] 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.[答案] D3．(2017·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2 [解析] 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.[答案] A4．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)[解析] 曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2. [答案] D5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1[解析] 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.[答案] A6．(2017·福建厦门4月联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.[答案] B 二、填空题7．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为__________．[解析] 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.[答案]28．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值为________．[解析] 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.故y －1x －2的最大值为33. [答案]339．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________．[解析] 圆心是AB 的垂直平分线和2x －y －7＝0的交点，则圆心为E (2，－3)，r ＝|EA |＝4＋1＝5，则圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2＝5.[答案] (x －2)2＋(y ＋3)2＝5 三、解答题10．(2017·江西南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．[解] (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.[能力提升]11．(2017·大连统考)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17[解析] 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.[答案] A12．(2018·山西运城模拟)已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22D.3－22[解析] l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1.∴S △min ＝12×(22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.∴选A.[答案] A13．(2017·广州市高三综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是__________________．[解析] 抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.[答案] x 2＋(y －1)2＝214．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．[解析] 本题考查平面向量数量积及其应用，圆的方程的应用及圆与圆的相交．解法一：设P (x ，y )，则由PA →·PB →≤20可得， (－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，x ＋2＋y －2＝65，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－5，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)， 易知－52≤x ≤1.解法二：设P (x ，y )，则由PA →·PB →≤20，可得(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即x 2＋12x ＋y 2－6y ≤20， 由于点P 在圆x 2＋y 2＝50上， 故12x －6y ＋30≤0，即2x －y ＋5≤0，∴点P 为圆x 2＋y 2＝50上且满足2x －y ＋5≤0的点，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)．同解法一，可得N (1,7)，M (－5，－5)， 易知－52≤x ≤1. [答案] [－52，1]15．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．[解] (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为12×4105×4105＝165.16．(2017·吉林省实验中学模拟)已知圆M 过C (1，－1)，D (－1,1)两点，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．[解] (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋－b2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知，四边形PAMB 的面积为S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12(|AM |·|PA |＋|BM |·|PB |)．又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |，而|PA |2＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 所以S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为2|PM |2－4＝2 5.[延伸拓展]1．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是__________．[解析] 由k 2＋4－4(k 2－15)>0， 得－833<k <833.由题意可知，点(1,2)在圆的外部， 所以1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0， 得k <－3或k >2.所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，833.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，8332．(2017·山西运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为________． [解析] 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2. [答案] (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2。
新高考数学一轮复习 课时规范练41 圆的方程 新人教A版高三全册数学试题
课时规范练41 圆的方程基础巩固组1.(2019浙江绍兴模拟,5)已知圆x2+y2+kx+2y+k2=0,当圆的面积最大时,圆心的坐标是()A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(0,-1)2.(2019江西南昌八中、二十三中、十三中联考,7)圆心在x+y=0上,且与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)的圆的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=5B.(x-1)2+(y+1)2=√5C.(x-1)2+(y+1)2=5D.(x+1)2+(y-1)2=√53.(2019福建宁德模拟,6)已知点M(3,1)在圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0外,则k的取值范围为()A.-6<k<12B.k<-6或k>12C.k>-6D.k<124.(2019河南林州一中模拟,5)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.12√2B.3√2C.6√2D.4√25.(2019安徽天长模拟,8)如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,则实数a的取值范围为()A.[√2,2]B.[√2,2√2]C.[1,√2]D.[1,2√2]6.(2019浙江湖州模拟,4)若圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1与圆C2关于原点对称,则圆C2的方程是()A.(x+1)2+(y-2)2=1B.(x-1)2+(y+2)2=1C.(x-2)2+(y-1)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=17.圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心坐标是,直线l:x-y=0与圆C相交于A,B两点,则|AB|=.8.设点P是函数y=-√4-(x-1)2图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为.9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为.x上,并且在x轴上截得的弦长为2√3,则圆M的标准方程10.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=12为.综合提升组),若点P满足OP=1,PA的11.(2019安徽江南十校二联,14)已知在直角坐标系xOy中,A(4,0),B(0,32中点为M,则BM的最大值为.12.(2019河北邢台模拟,18)已知圆M:(x+a)2+(y-a)2=r2的圆心M在直线y=x上,且直线3x+4y-15=0与圆M相切.(1)求圆M的方程;(2)设圆M与x轴交于A,B两点,点P在圆M内,且|PM|2=|PA|·|PB|.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.创新应用组13.如图所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)14.(2019宁夏石嘴山四模,14)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b∈R+,则1x+1+1x的最小值为.参考答案课时规范练41圆的方程1.D当圆的半径最大时,圆的面积最大,已知圆的一般方程x2+y2+kx+2y+k2=0,其圆心为(-x2,-1),半径为r=√4-3x22,可知当k=0时,r取最大值,即圆的面积最大时,圆心的坐标为(0,-1),故选D. 2.A由题意得,圆心在直线x=-1上,∵圆心在直线x+y=0上,∴圆心M的坐标为(-1,1).又A(-3,0),半径|AM|=√(-1+3)2+(1-0)2=√5,则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A.3.A∵圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1-2k ,∴圆心坐标(1,-2),半径r=√1-2x .若M (3,1)在圆C :x 2+y 2-2x+4y+2k+4=0外,则满足√(3-1)2+(1+2)2>√1-2x ,且1-2k>0,即13>1-2k 且k<12,即-6<k<12,故选A .4.A 圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,故该圆圆心是(3,4),半径是3,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意,知最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直,且|BD|=2√32-1=4√2,|AC|=6,所以四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD|=12×6×4√2=12√2,故选A .5.B (x-a )2+(y-a )2=1(a>0),圆心为(a ,a ),半径为1,圆心到原点的距离为√2a ,如果圆(x-a )2+(y-a )2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离∈[2,4],即2≤√2a ≤4⇒√2≤a ≤2√2,故选B .6.D 由题意可得圆C 1圆心为(-2,1),半径为1,由对称性,关于原点对称的圆心(2,-1),半径也是1,∴圆C 2的圆心为(2,-1),半径为1,∴圆C 2的方程为(x-2)2+(y+1)2=1.故选D .7.(1,1) 2 ∵圆C :x 2+y 2-2x-2y+1=0,∴(x-1)2+(y-1)2=1,∴圆C :x 2+y 2-2x-2y+1=0的圆心坐标和半径分别为(1,1),1.∵圆心在直线l :x-y=0,∴|AB|=2.8.√5-2 函数y=-√4-(x -1)2的图象表示圆(x-1)2+y 2=4在x 轴上及下方的部分,令点Q 的坐标为(x ,y ),则{x =2x ,x =x -3,得y=x2-3,即x-2y-6=0,作出图象如图所示,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=√12+(-2)2=√5>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y 2=4相离,因此|PQ|的最小值是√5-2.9.x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)) 设C (x ,y ),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x 2+y 2=2.考虑到A ,B ,C 三点要构成三角形,因此点C 不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C 的轨迹方程为x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 设圆M 的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,由题意可得{12x -x =0,|x |=x ,x 2+3=x 2,解得{x =2,x =1,x =2或{x =-2,x =-1,x =2,所以圆M 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.11.3 由A (4,0),B (0,32),OP=1,则P 点轨迹为x 2+y 2=1,设M (x ,y ),则P (2x-4,2y )⇒(2x-4)2+(2y )2=1⇒(x-2)2+y 2=14,M 的轨迹为圆心为D (2,0),半径为12的圆,故BM 的最大值为|BD|+12=52+12=3.12.解(1)因为圆M 的圆心M (-a ,a )在直线y=x 上,所以-a=a ,即a=0,因为直线3x+4y-15=0与圆M 相切,所以r=√22=3,故圆M 的方程为x 2+y 2=9. (2)由(1)知,圆心M (0,0),A (-3,0),B (3,0).设P (x ,y ),因为点P 在圆M 内,所以x 2+y 2<9.因为|PM|2=|PA|·|PB|,所以x 2+y 2=√(x +3)2+x 2·√(x -3)2+x 2,所以2x 2-2y 2=9.因为直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,所以k 1=x x +3,k 2=xx -3,则k 1k 2=x 2x 2-9=2x 2-92x 2-18=1+92x 2-18.因为{2x 2-2x 2=9,x 2+x 2<9,所以92≤x 2<274,所以-29<12x 2-18≤-19, 则-1<1+92x 2-18≤0.故k 1k 2的取值范围为(-1,0].13.①②④ ∵当-2≤x ≤-1,点P 的轨迹是以A 为圆心,半径为1的14圆,当-1≤x ≤1时,点P 的轨迹是以B 为圆心,半径为√2的14圆,当1≤x ≤2时,点P 的轨迹是以C 为圆心,半径为1的14圆,当3≤x ≤4时,点P 的轨迹是以A 为圆心,半径为1的14圆,∴函数y=f (x )的周期是4.画出函数y=f (x )的部分图象如图所示.①根据图象的对称性可知函数y=f (x )是偶函数,∴①正确.②由图象可知函数的周期是4.∴②正确.③函数y=f (x )在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.④函数y=f (x )在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.故答案为①②④.14.1曲线C可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆,t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=√(x+6)2+(x-6)2,则d表示圆上的点到(-6,6)的距离,则d max=√(2+6)2+(0-6)2+5=15,∴t max=152-222-a=b,整理得a+1+b=4,∴1x+1+1x=141x+1+1x(a+1+b)=14×1+xx+1+x+1x+1.又xx+1+x+1x≥2√xx+1·x+1x=2当且仅当xx+1=x+1x,即a=1,b=2时取等号,∴1x+1+1x≥1 4×4=1,即1x+1+1x的最小值为1.。
2019高考数学一轮复习第九章平面解析几何92圆的方程练习理
哈哈哈哈哈哈哈哈你好§9.2 圆的方程考纲解读考点内容解读要求 高考示例常考题型展望热度2017 课标全国Ⅲ ,20;①掌握确立圆的几何因素 ;2017 江苏 ,13;填空题圆的方程掌握2016 江苏 ,18; ★☆☆②掌握圆的标准方程与一般方程解答题2015 课标Ⅰ ,14;2014 陕西 ,12剖析解读 1. 认识参数方程的观点 , 理解圆的参数方程 .2. 能依据所给条件选用适合的方程形式 , 利用待定系数法求出圆的方程 , 联合圆的几何性质解决与圆有关的问题.3. 高考对本节内容的考察以圆的方程为主 , 分值约为5 分 , 中等难度 , 备考时应掌握“几何法”和“代数法” , 求圆的方程的方法及与圆有关的最值问题.五年高考考点 圆的方程1.(2017 江苏 ,13,5 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点 P 在圆 O:x 2+y 2=50 上 . 若·≤ 20, 则点 P的横坐标的取值范围是 .答案 [-5,1]2.(2015 课标Ⅰ ,14,5 分 ) 一个圆经过椭圆+=1 的三个极点 , 且圆心在 x轴的正半轴上 , 则该圆的标准方程为.答案 +y 2=3.(2014 陕西 ,12,5分)若圆 C 的半径为 1, 其圆心与点 (1,0) 对于直线 y=x 对称 , 则圆 C 的标准方程为.22答案 x +(y-1) =14.(2017 课标全国Ⅲ ,20,12 分 ) 已知抛物线 C:y 2=2x, 过点 (2,0) 的直线 l 交 C 于 A,B 两点 , 圆 M 是以线段 AB 为直 径的圆 .(1) 证明 : 坐标原点 O 在圆 M 上 ;(2) 设圆 M 过点 P(4,-2), 求直线 l 与圆 M 的方程 .分析(1) 设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),l:x=my+2.2由可得 y -2my-4=0, 则 y 1y 2=-4. 又 x 1=,x 2=, 故 x 1x 2==4.所以 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为· == -1, 所以 OA ⊥OB.故坐标原点O 在圆 M 上 .2(2) 由 (1) 可得 y 1+y 2=2m,x 1+x 2=m(y 1+y 2)+4=2m +4.2圆 M 的半径 r=.因为圆 M 过点 P(4,-2),所以 ·=0, 故 (x -4)(x -4)+(y 1+2)(y +2)=0,122即 x 1x 2-4(x 1+x 2)+y 1y 2+2(y 1+y 2)+20=0.由 (1)可得 y 1y 2=-4,x 1x 2=4.所以 22m-m-1=0, 解得 m=1或 m=-.当 m=1时 , 直线 l 的方程为 x-y-2=0,22圆心 M 的坐标为 (3,1), 圆 M 的半径为 , 圆 M 的方程为 (x-3) +(y-1) =10.当 m=-时 , 直线 l 的方程为 2x+y-4=0,圆心 M 的坐标为 , 圆 M 的半径为 , 圆 M 的方程为 +=.5.(2016 江苏 ,18,16 分 ) 如图 , 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知以 M 为圆心的圆 M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点 A(2,4).(1) 设圆 N 与 x 轴相切 , 与圆 M 外切 , 且圆心 N 在直线 x=6 上 , 求圆 N 的标准方程 ;电视播放动画动画哈哈哈哈哈哈哈哈你好(2)设平行于 OA的直线 l 与圆 M订交于 B,C 两点 , 且 BC=OA,求直线 l 的方程 ;(3) 设点 T(t,0)知足:存在圆M上的两点P 和 Q,使得 +=, 务实数 t 的取值范围 .分析圆 M的标准方程为 (x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为 5.(1) 由圆心 N 在直线 x=6 上 , 可设 N(6,y 0).因为圆 N 与 x 轴相切 , 与圆 M外切 ,所以 0<y0<7,于是圆 N 的半径为y0,进而 7-y 0=5+y 0, 解得 y0=1.所以 , 圆 N 的标准方程为 (x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线 l ∥OA,所以直线 l 的斜率为 =2.设直线 l 的方程为y=2x+m,即 2x-y+m=0,则圆心 M到直线 l 的距离d==.2 2因为 BC=OA==2,而 MC=d +,所以 25=+5, 解得 m=5或 m=-15.故直线 l 的方程为2x-y+5=0 或 2x-y-15=0.(3) 设 P(x 1,y 1),Q(x 2 ,y 2).因为 A(2,4),T(t,0),+=, 所以①因为点 Q在圆 M上 , 所以 (x 2-6) 2+(y 2-7) 2=25. ②将①代入② , 得 (x 1-t-4) 2+(y 1-3) 2=25.于是点 1 ,y 1 上 2 2 =25 2 2 与圆P(x )既在圆 M , 又在圆 [x-(t+4)]+(y-3) 上 , 从而圆 (x-6) +(y-7) =25[x-(t+4)] 2+(y-3) 2=25 有公共点 ,所以 5- 5≤≤ 5+5,解得 2- 2≤t ≤2+2.所以 , 实数 t 的取值范围是 [2-2,2+2].三年模拟A 组2016— 2018 年模拟·基础题组考点圆的方程1.(2018湖南益阳模拟,4) 点 (1,1) 在圆 (x-a) 2+(y+a) 2=4 的内部 , 则 a 的取值范围是()电视播放动画动画哈哈哈哈哈哈哈哈你好A.-1<a<1B.0<a<1C.a<-1 或 a>1D.a=±1答案 A2.(2018浙江宁波调研,6) 已知圆 C的圆心坐标为(2,-1),半径长是方程(x+1)(x-4)=0的解,则圆C的标准方程为 ()2 2A.(x+1) +(y-2)=4B.(x-2)2+(y-1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=16D.(x+2) 2+(y-1)2=16答案 C3.(2017 豫北名校 4 月联考 ,4) 圆 (x-2) 2+y2=4 对于直线 y=x 对称的圆的方程是 ( )A.(x-) 2+(y-1) 2=4B.(x-) 2+(y-) 2=4C.x 2+(y-2) 2=4D.(x-1) 2+(y-) 2=4答案 D4.( 人教 A 必 2, 四 ,4-1A,3, 变式 ) 已知圆 C 过坐标原点 , 面积为 2π , 且与直线 l:x-y+2=0 相切 , 则圆 C 的方程是( )A.(x+1) 2+(y+1) 2=2B.(x-1) 2+(y-1) 2=2 或 (x+1) 2 +(y-1) 2=2C.(x-1) 2+(y-1) 2=2 或 (x+1) 2 +(y+1) 2=2D.(x-1) 2+(y-1) 2=2答案 C5.(2017 河南部分要点中学联考,14) 圆心在直线 x=2 上的圆与 y 轴交于两点 A(0,-4),B(0,-2), 则该圆的标准方程为.答案(x-2) 2+(y+3) 2=56.(2017 安徽合肥质检 ,14) 圆 C与直线 x+y=0 及 x+y-4=0 都相切 , 圆心在直线 x-y=0 上 , 则圆 C的方程为 .答案(x-1) 2+(y-1) 2=2B 组 2016— 2018 年模拟·提高题组( 满分 :30 分时间:30 分钟)一、选择题 ( 每题5分,共 10 分 )1.(2018 甘肃兰州模拟 ,7) 已知点 A 是直角三角形ABC的直角极点 , 且 A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2), 则△ ABC的外接圆的方程是 ( )A.x 2+(y-3) 2=5B.x 2+(y+3) 2=5C.(x-3) 2+y2=5D.(x+3) 2+y2=5答案 D2.(2017 福建厦门 4 月联考 ,5) 若 a∈, 则方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示的圆的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3答案 B二、填空题 ( 共 5 分)3.(2017湖南常德一模,14) 已知圆 C 的方程为x2+y2+8x+15=0, 若直线 y=kx-2 上起码存在一点, 使得以该点为圆心 ,1 为半径的圆与圆C有公共点 , 则 k 的取值范围为.答案- ≤k≤0三、解答题 ( 共 15 分)电视播放动画动画哈哈哈哈哈哈哈哈你好4.(2016河南中原名校第三次联考,17) 已知圆 C 的方程为x2+(y-4) 2=1, 直线 l 的方程为 2x-y=0, 点 P 在直线 l 上 , 过点 P 作圆 C 的切线 PA,PB, 切点为 A,B.(1) 若∠ APB=60°, 求点 P的坐标 ;(2) 求证 : 经过 A,P,C( 此中点 C 为圆 C的圆心 ) 三点的圆必经过定点 , 并求出全部定点的坐标 .分析(1) 由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4),PC=2,设P(a,2a),则=2,解得a=2或a=,所以点P的坐标为(2,4) 或 .(2) 设 P(a,2a), 过点 A,P,C 的圆即是以 PC 为直径的圆 , 其方程为 x(x-a)+(y-4)(y-2a)=0, 整理得 x2+y2-ax-4y-2ay+8a=0,即 (x 2+y2 -4y)-a(x+2y-8)=0.由得或∴该圆必经过定点(0,4)和.C 组2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1 求圆的方程的方法1.(2018 海南海口模拟 ,7) 已知圆 M与直线3x-4y=0 及 3x-4y+10=0 都相切 , 圆心在直线 y=-x-4 上, 则圆 M的方程为 ( )A.(x+3) 2+(y-1) 2=1B.(x-3) 2+(y+1) 2=1C.(x+3) 2+(y+1) 2=1D.(x-3) 2+(y-1) 2=1答案 C2.(2017 山西运城二模 ,15) 已知圆 C截 y 轴所得的弦长为 2, 圆心 C到直线 l:x-2y=0 的距离为 , 且圆 C被 x 轴分成的两段弧长之比为3∶1, 则圆 C 的方程为.答案 (x+1) 2+(y+1) 2=2 或 (x-1) 2+(y-1) 2 =23.(2017 河北衡水中学调研 ,18) 已知直角三角形 ABC的斜边为 AB,且 A(-1,0),B(3,0). 求 :(1)直角极点 C的轨迹方程 ;(2)直角边 BC的中点 M的轨迹方程 .分析(1) 解法一 : 设 C(x,y), 因为 A,B,C 三点不共线 , 所以 y≠0.因为 AC⊥BC,所以 k ·k =-1, 又 k =,k =, 所以·=-1, 化简得 x +y -2x-3=0.ACBC AC BC 22所以 , 直角极点 C 的轨迹方程为 x2+y2-2x- 3=0(y ≠0).解法二 : 设 AB 的中点为 D,由中点坐标公式得 D(1,0), 由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2. 由圆的定义知 , 动点C 的轨迹是以 D(1,0) 为圆心 ,2 为半径的圆 ( 因为 A,B,C 三点不共线 , 所以应除掉与x 轴的交点 ).所以直角极点 C的轨迹方程为 (x-1) 2+y2=4(y ≠0).(2) 设 M(x,y),C(x ,y ), 因为 B(3,0),M 是线段 BC的中点 , 由中点坐标公式得x=,y=, 所以 x =2x-3,y =2y.0 0 0 0由 (1) 知 , 点 C 的轨迹方程为 (x-1) 2+y2=4(y ≠0), 将 x0=2x-3,y 0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2) 2+y2=1.所以动点 M的轨迹方程为 (x-2) 2+y2=1(y ≠0).方法 2 解决与圆有关的最值问题的方法4.(2018 福建长汀模拟 ,10) 阿波罗尼斯是古希腊有名数学家, 与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大期间数学三巨匠 , 他对圆锥曲线有深刻而系统的研究, 主要研究成就集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中, 阿波罗尼斯圆是他的研究成就之一, 指的是 : 已知动点 M与两定点 A、 B 的距离之比为λ ( λ >0, λ ≠1), 那么点 M的轨迹就是阿波罗尼斯圆 . 如动点 M与两定点 A、 B(5,0) 的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为x2+y2=9. 下边 , 我们来研究与此有关的一个问题 : 已知圆 O:x 2+y2=1 上的动点 M和定点 A, 已知点 B(1,1), 则 2|MA|+|MB| 的最小值为 ()A. B. C. D.答案 C5.(2017 湖南长沙二模 ,5) 圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的点到直线x-y=2 距离的最大值是 ( )A.1+B.2C.1+D.2+2答案 A电视播放动画动画。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.3 圆的方程学案 理
§9.3圆的方程考纲展示►1.掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．考点1 圆的方程1.圆的定义及方程答案：定点定长(a，b) r2．点与圆的位置关系(1)理论依据：________到________的距离与半径的大小关系．(2)三种情况：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆内．答案：(1)点 圆心 (2)①＝ ②> ③<(1)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－2ax ＋4ay ＝0(a ≠0)的圆心坐标是________，半径r ＝________.答案：(a ，－2a )5|a |解析：根据圆的一般方程的圆心公式和半径公式，可得圆的圆心坐标为(a ，－2a )，半径为5|a |.(2)[教材习题改编]以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)的两端点分别为(2,0)，(0,2)， 所以圆心为(1,1)，圆的半径为1222＋22＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.圆的一般方程：注意表示圆的条件．(1)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________． 答案：－2<a <23解析：∵方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆， ∴a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0， 解得－2<a <23.(2)圆x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a ＝0的半径为2，则a ＝________. 答案：0或1解析：由题意可知，124a 2＋16－4a ＝a 2－a ＋4＝2，解得a ＝0或1，经检验都满足题意，所以a ＝0或1.[典题1] (1)求经过点P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．[解] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，①3D －E ＋F ＝－10.②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④由①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，求圆C 的标准方程．[解] 解法一：因为圆C 的圆心在直线x －2y ＝0上，且与y 轴的正半轴相切， 所以设圆心C (2b ，b )(b >0)，半径r ＝2b .又圆C 截x 轴所得弦的长为23，圆心C 到x 轴的距离为b ， 所以由勾股定理2b2－b 2＝3，解得b ＝1.因此圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.解法二：因为圆C 的圆心在直线x －2y ＝0上，设圆心C (2b ，b )， 所以圆C 的方程为(x －2b )2＋(y －b )2＝r 2， 因为圆C 与y 轴正半轴相切，则r ＝2b >0.① 又圆C 截x 轴所得弦的长为23，由勾股定理，得圆心C 到x 轴的距离为r 2－b 2＝ 3.② 联立①②，得b ＝1，r ＝2.因此圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.[点石成金] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．考点2 与圆有关的最值问题[考情聚焦] 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．主要有以下几个命题角度： 角度一 斜率型最值问题[典题2] [2017·辽宁抚顺模拟]已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y x的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. 角度二 截距型最值问题[典题3] 在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值． [解] y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三 距离型最值问题[典题4] 在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值． [解] 如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 角度四建立目标函数求最值问题[典题5] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1 和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 [答案] B[解析] 由(x －3)2＋(y －4)2＝1知，圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ.∵∠APB ＝90°，即AP →·BP →＝0， ∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0，∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝34，∴0＜m ≤6，即m 的最大值为6.[点石成金] 求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．考点3 与圆有关的轨迹问题(1)[教材习题改编]已知点P 与两个定点O (0,0)，A (－3,3)的距离之比为12，则点P 的轨迹方程是________．答案：x 2＋y 2－2x ＋2y －6＝0 解析：依题意，得|PO ||PA |＝12.设P (x ，y )，则x 2＋y 2x ＋32＋y －32＝12，整理得x 2＋y 2－2x ＋2y －6＝0.(2)[教材习题改编]若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．答案：(－1,1)解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4，即a 2<1，故－1<a <1.1.求圆的标准方程：几何法．经过三点A (4,0)，B (0,2)，C (1,3)的圆的方程为________． 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：因为k BC ·k AC ＝3－21－0·3－01－4＝－1，所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，所以所求圆的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝12|AB |＝1242＋22＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 2．求圆的一般方程：待定系数法．△ABC 的三个顶点分别为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，其外接圆的方程为________． 答案：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0解析：解法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.解法二：由题意可求得线段AC 的中垂线方程为x ＝2， 线段BC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0， 则圆心是两中垂线的交点(2,1)，半径r ＝2＋12＋1－52＝5.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.[典题6] 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．[解] 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．[点石成金] 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，点P 的坐标为(2x －2,2y )． 因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[方法技巧] 1.求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分利用圆的几何性质，简化运算． 3．圆心在过切点且垂直于切线的直线上． 4．圆心在任一弦的中垂线上．5．两圆相切时，切点与两圆心三点共线．[易错防范] 求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．真题演练集训1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析：由题意知，a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知，圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，4－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.2．[2014·陕西卷]若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．答案：x 2＋(y －1)2＝1解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.3．[2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围． 解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋525＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[t ＋4－6]2＋3－72≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]．课外拓展阅读圆中避免求“交点”的几种策略有关圆锥曲线与圆的交点问题，若用解方程组的方法求出交点坐标，往往比较繁琐，有些甚至没有必要，下面举例介绍如何避免求“交点”的几种策略：1．整体代入法[典例1] 已知圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交于两点A ，B ，则公共弦AB 所在的直线方程为________．[解析] 设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0任一交点的坐标是(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＋D 1x 0＋E 1y 0＋F 1＝0，①x 20＋y 20＋D 2x 0＋E 2y 0＋F 2＝0.② ①－②，得(D 1－D 2)x 0＋(E 1－E 2)y 0＋(F 1－F 2)＝0，因为A ，B 的坐标都满足方程(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0，③所以③是过A ，B 两点的直线方程．而过A ，B 两点的直线是唯一的，故方程③就是公共弦AB 所在的直线方程．[答案] (D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝02．数形结合法[典例2] 已知曲线xy ＝1与圆M ：x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0相交于A ，B 两点，则AB 的中垂线方程为________．[解析] 曲线xy ＝1是反比例函数，其图象关于直线y ＝x 对称，而圆M 的圆心(2,2)在直线y ＝x 上，就是说圆M 也关于直线y ＝x 对称，故AB 的中垂线方程为y ＝x .[答案] y ＝x方法点睛数形结合思想，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，往往能起到化繁为简，化难为易的作用，使一些看似复杂的问题通过作图得以轻松解决．3．根与系数之间的关系[典例3] 过点A (0,3)作直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －6＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则直线l 的方程为________．[解析] 由题意，斜率不存在的直线不符合题意，设直线l ：y ＝kx ＋3，代入圆的方程式整理，得(1＋k 2)x 2＋2(k －1)x －9＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－91＋k 2，x 1＋x 2＝－2k －11＋k2.① 所以y 1y 2＝(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9＝－6k 2＋6k ＋91＋k 2.② 而OP ⊥OQ ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，联立①②解得，k ＝0或k ＝1，故所求直线为y ＝3或x －y ＋3＝0.[答案] y ＝3或x －y ＋3＝04．巧设方程法[典例4] 过点A (0,1)，B (4，m )且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程．[解] 设所求的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中r 2＝b 2.将A ，B 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋1－2b ＝0，a 2－8a ＋16＋m 2－2mb ＝0.消去b ，得(1－m )a 2－8a ＋(m 2－m ＋16)＝0.(*)由题设，得知方程(*)只有一解．因此(1)当1－m ＝0，即m ＝1时，方程(*)只有一解，此时a ＝2，b ＝52. 故所求方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522. (2)当m ≠1时，方程(*)为关于a 的一元二次方程，故Δ＝0，解得m ＝0，此时a ＝4，b ＝172. 故所求方程(x －4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －1722＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1722.。
2019-2020学年高三数学一轮复习资料 第九编 解析几何 9.3 圆的方程(学案) 理.doc
2019-2020学年高三数学一轮复习资料第九编解析几何 9.3 圆的方程（学案）理班级姓名等第基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 .2.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是 .3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 .4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 .5.直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2 (r＞0)的圆心位于第象限.例题精讲例1 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C 的方程为 .例2已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.例3已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.巩固练习1.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 .2.已知圆C ：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m ∈R ).（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.3.已知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点.（1）求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y 的最大值和最小值；（3）求12--x y 的最大值和最小值.回顾总结知识方法思想。
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课时达标检测（四十一） 圆的方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 圆的方程1．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)． 根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.2．(2018·河北唐山模拟)圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254解析：选C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a >0)，半径为r ，即圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋12＝r 2，－a 2＝r 2，－a 2＋－2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.故选C.3．(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5解析：选A 因为两平行直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0的距离为d ＝|－6－4|5＝2 5.故所求圆的半径为r ＝5，所以圆心(a,1)到直线2x －y ＋4＝0的距离为5＝|2a ＋3|5，即a ＝1或a ＝－4.又因为圆心(a,1)到直线2x －y －6＝0的距离也为r ＝5，所以a ＝1.因此所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.故选A.4．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0表示的是圆，其标准方程为(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，若圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－3,1)，所以－3＋m ＋4＝0，解得m ＝－1.5．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为____________________．解析：依题意，直线AC 的方程为y ＋13＋1＝x －6－2－6，化为一般式方程为x ＋2y －4＝0.点O到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455>1.又因为|OA |＝－2＋32＝13，|OB |＝－2＋－2＝5，|OC |＝62＋－2＝37，所以原点为圆心的圆若与△ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，故圆的半径为1或37，则圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.答案：x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝376．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝9对点练(二) 与圆的方程有关的综合问题1．(2018·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.2．(2018·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4D.163解析：选D 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b ＝34时取等号，故选D.3．(2018·安徽安庆模拟)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选 D 由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.4．已知A (0,33)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，P 为圆C ：x 2＋y 2＝2x 上的任意一点，则△ABP 面积的最大值为( )A.33＋32B. 3 C ．2D.23＋23解析：选A 化圆为标准方程得(x －1)2＋y 2＝1，因为A (0，33)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332－332＝3，直线AB 的方程为3x ＋y ＝33，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|3－33|4＝ 3.又圆C 的半径为1，所以圆C 上的点到直线AB 的最大距离为3＋1，故△ABP 面积的最大值为S max ＝12×(3＋1)×3＝33＋32.5．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________．解析：设圆心M 坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝96．(2018·北京东城区调研)当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π47．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5[大题综合练——迁移贯通]1．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为2 2 的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0) 的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )， 则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8. 因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， 所以O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8，ba＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y 2＝16，x ＋2＋y －2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长． 3．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ―→·MQ ―→的最小值． 解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ―→·MQ ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ ―→·MQ ―→＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 又⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4min ＝－1， 所以PQ ―→·MQ ―→的最小值为－4.。