2007-2019新课标理 - 三角--有答案教师版

sin2
B 2
1 tan2
B 2
15
2
2 cos2 B sin2 B 1 tan2 B 17
2
2
2
(2)若a c 6,△ABC的面积为2,求b.
(2)由cosB= 15 得sin B 1 cos2 B 8 ,故
17
17
S△ABC
1 ac sin B 2
4 ac 17
2,所以ac
17 2
D
C
17. △ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b, c.已知△ABC
的面积为 a2 . (1)求 sin B sin C; 2017新课标Ⅰ理 3sin A
(1) △ABC的面积S a2 , 且S 1 bc sin A,
3sinA
2
a2
1 bc sin A,a2 3 bc sin2 A
(2) 若 2a b 2c, 求 sin C.
(2)由(1)知B 120 C,由题设及正弦定理得：
2 sin A sin(120 C ) 2sin C,
即 6 3 cos C 1 sin C 2sin C,可得 cos(C 60) 2
22
2
2
由于0 C 120,所以sin(C 60) 2 ,故 2
2016新课标Ⅱ理 2015新课标Ⅰ理 2014新课标Ⅰ理 2014新课标Ⅱ理
2016新课标Ⅲ理
2010新课标理
2011新课标理 2008新课标理
2
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
2019新课标Ⅰ理
17. △ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b, c. 设
(sin B sin C )2 sin2 A sin B sin C. (1) 求A;
BD 5. (1) 求 cos ADB; (2) 若DC 2 2,求BC.
(2) BDC ADB 90,cos BDC sin ADB 2 5
在△BDC中,由余弦定理可知
A
BC 2 BD2 CD2 2BD CD cos BDC
B
25 8 2 5 2 2 2 25, 5
所以BC 5
3sin A 2
2
由正弦定理, 得 : sin2 A 3 sin B sin C sin2 A,
2
sin A 0,sin B sin C 2 3
(2)若6cos B cos C 1, a 3,求△ABC的周长.
(2)由(1)得 sin B sin C 2 ,cos B cos C 1 , A B C π
(2) 若 2a b 2c, 求 sin C.
(1)由已知得sin2 B sin2 C sin2 A sin B sin C, 故由正弦定理得b2 c2 a2 bc.
由余弦定理得 cos A b2 c2 a2 1 ,
2bc
2
因为0 A 180,所以A 60
17. △ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b, c. 设 (sin B sin C )2 sin2 A sin B sin C. (1) 求A;
从而
3 8 S△ABC
3 2
因此△ABC面积的取值范围是
3, 8
3 2
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
2018新课标Ⅰ理
17. 在平面四边形ABCD中,ADC 90,A 45, AB 2,
BD 5. (1) 求 cos ADB; (2) 若DC 2 2,求BC.
(1) 求 cos B
(2)若a c 6,△ABC的面积为2,求b.
(1)由题设及A B C π,可得sin B 8sin2 B ,所以 2
2sin B cos B 8sin2 B , 又sin B 0,所以tan B 1
22
2
2
24
cos B
cos2
B
sin2
B
cos2
B 2
(2)法2 :由题意知BAD 2π π π , 3 26
又因为S△ABD
1 2
AD
AB sinBAD,
S△ ADC
1 AD AC , 2
π
所以 S△ABD
AB sinBAD
4sin 6
1
S△ADC
AC
2
所以S△ ABD
1 2 S△ABC
1 2
1 2
AC
AB sinBAC
C
1 1 2 4 sin 2π 3
sin C sin(C 60 60)
sin(C 60)cos 60 cos(C 60)sin 60 6 2 4
18. △ABC的内角A, B,C的对边分别是a, b, c,
已知a sin A C =b sin A. 2
2019新课标Ⅲ理
(1) 求B;
(1)由题设及正弦定理得 sin Asin A C sin B sin A, 2
又A 2π ,则DAB 2π π π ,
C
3
3 26
1
π
D
S△ABD
2
AD
AB
sin 6
3
A
B
17.△ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b, c,已知 2cos C(a cos B b cos A) c. (1)求C; 2016新课标Ⅰ理
(1)2cos C a cos B bcos A c,由正弦定理,得: 2cos C sin A cos B sin B cos A sin C, 2cos C sin A B sin C,
在△PBA中,由正弦定理得 : 3 sin , sin150 sin(30 )
2 3(sin 30 cos cos 30 sin ) sin ,
C
3 cos 3sin sin ,
3 cos 4sin ,
tan PNA tan sin 3 cos 4
2017新课标Ⅲ理
(1)由sin A 3 cos A 0,可得 tan A 3,因为A (0, π),
故A 2π 3
由余弦定理可知 : b2 c2 2bc cos A a2 ,即
22 c2 2 2c cos 2π
2
7
2
,整理可得c2 2c 24 0,
3
解得c 6(舍去)或c 4
3
6
cos A cos(π B C ) cos(B C )
sin B sinC cos B cos C 1 , A 60 2
由余弦定理, 得：a2 b2 c2 bc 9
由正弦定理得b a sin B, c a sin C,
sin A
sin A
a2 bc sin2 A sin B sin C 8
是△ADC面积的2倍.(1)求 sin B ; sin C
2015新课标Ⅱ理
1
1
(1)S△ABD = 2 AB ADsinBAD, S△ADC = 2 AC ADsinCAD,
因为S△ABD 2S△ADC 由正弦定理可得 :
,
BAD
A
CAD,
所以AB
2
AC
,
sin B AC 1 . sin C AB 2
即7 a2 b2 2ab 1 ,(a b)2 3ab 7 2
S 1 ab sin C 3 ab 3 3 , ab 6
2
4
2
(a b)2 18 7, a b 5,
△ABC的周长为a b c 5 7
三、解答题
17.△ABC中, D是BC上的点, AD平分BAC ,△ABD面积
b2 c2 bc (b c)2 3bc (b c)2 24 9,
(b c)2 33, b c 33,
a b c 3 33,即△ABC的周长为3 33
17. △ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知
sin( A C ) 8sin2 B . 2
2017新课标Ⅱ理
3 26
AB2 AD2 2AB AD cosBAD BD2 ,
即42 x2 8x cos π 2 7
2
x2 4
6
C
1
S△ABD 2 AD AB sinBAD
x2 2 3x 3 0, 解得x 3
D
1 3 4 sin π 3
2
6
A
B
(2) 设D为BC边上一点,且AD AC,求△ABD的面积.
(1) 在△ABD中,由正弦定理得
A
BD AB ,即 5 2 ,
B
sin A sin ADB sin 45 sin ADB
所以sin ADB 2 ,因为ADB 90, 5
所以cos ADB 1 2 23 25 5
D
C
17. 在平面四边形ABCD中,ADC 90,A 45, AB 2,
由余弦定理及a c 6,得
b2 a2 c2 2ac cos B (a c)2 2ac(1 cos B)
36 2 17 (1 15) 4
2
17
所以b 2
17. △ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c.已知
sin A 3 cos A 0, a 2 7, b 2. (1) 求c; (2) 设D为BC边上一点,且AD AC,求△ABD的面积.
范围.
1
3
(2)
S△ABC
ac sin B 2
4
a.
由正弦定理得a c sin A sin(120 C ) 3 1 ,
sin C
sin C
2 tan C 2
由于△ABC为锐角三角形, 故0 A 90, 0 C 90,
由(1)知A C 120, 所以30 C 90, 故 1 a 2, 2