12压杆稳定
压杆稳定的概念
二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j= 则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1）边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2）又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3）若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。
如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =klπn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl得 ln EI P K j l π== 又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min 2l EI P j l π= ——临界力欧拉公式j l P ——临界力m in I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min 25.0l EI P j l π=u=0.5三、临界应力 ()()()2222min22min2r ul EA ul EI A ul EI A P lj l j πππσ==== ——（1）式中： A I r m in =——截面的回转半径 λ=rul ——压杆的长细比 （1）式可成： 22λπσE j l =12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p E E σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p E σπλ=时 22λπσE jl *=方成立。
那么j l σ适用的范围总：p λλ≥如：钢 100≥p λ铸铁 80≥p λ木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式 其中： s σ——材料的屈服极限α——系数 0.43 Sc E σπλ57.0= 例： S A 钢： cm kg s 2400=σ 26102cmkg E ⨯= 20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=A P j jl l K P P ≤ 其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力 则： []j j j j j l l l l l K K A P A P σσσ==*≤= 其中σ为实际杆内力[]j l σ 为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤[]j j j l l l K σσ= ，[]K σσ=[]︒*=∴σσσK K J J J L L L ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表又[]σϕσ≤=∴AP 说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。
第十二章 压杆稳定教学教案
两端铰支 ＝1.0 一端自由，一端固定 ＝2.0 两端固定 ＝0.5 一端铰支，一端固定 ＝0.7
l 相当长度(effective length)
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-17
12.3 Columns with others support
C
conditions
Pcr
2 EI (l)2
第十二章 压杆稳定 Chapter 12 Stability of Columns
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-1
Contents
12.1 Introduction 12.2 Euler’s formula 12.3 Columns with others support conditions 12.4 Critical stresses 12.5 Some measurements improving the stability
C
12.1 Introduction
q
2020/8/7
Typ biuccap klalitn fte o grrn -w tshaicn llyeld i(naidn )
comn parn(ed b isn )stioorfsoaip rornesdscuyrliizn
Kylinsoft
MOM-12-12
v(0)0,v(l)0
B 0 , A sk i n l0
A0
kl Pln
EI
Pn2l22EI
P cr (P )m in 0 Pcr2lE 2 I2El2m Iin
vAsiknxAsinx l
fonr1,elasctiucrivse
材料力学 (12)
π EI Fcr 2 ( 2l )
2
π EI Fcr 2 (0.7l )
C— 挠曲 线拐点 2
π 2 EI Fcr 2 (0.5l )
其它约束情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI Fcr 2 ( l )
上式称为细长压杆临界压力的一般形式
欧拉公式
—长度系数（或约束系数）。 l —相当长度
记
2E 2 p 或写成
2E p p
2E p
p
则 欧拉公式的适用范围：
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
2 2E 206 10 9 p 100 6 p 200 10
M w EI
F w w EI
w
F
w
F w w0 EI F 2 2 w k w0 令k , EI
（3）微分方程的解：w
Asin kx B cos kx
（4）确定积分常数：由边界条件 x=0，w=0；x=l，w=0 确定
由x 0, w 0,得B 0,
2 EImin Fcr ( l )2
(2 500) 2 76.8 103 (N) 76.8(kN)
l i
i I A
≤ 2，粗短杆
2E 1 P
a s 2 b
Fcr cr A
例 F
已知：压杆为Q235钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长 压杆的临界压力。
解：I min I y 3.89cm 4 3.89104 mm 4
y0 x x1 x0 z0 x0 x x1 y0
所以，只有压杆的长细比λ≥100时，才能应用欧拉公式计算其 临界压力。
材料力学第12章 能量法
范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧，如图12.5（a）所示。两端横截
面有相对转动，其夹角为θ ，由第7章求弯曲变形的方法可以求出
图12.5 与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到M0时
，梁两端截面相对于转动产生的夹角也从零逐渐增加到θ ，M0与θ 的关系也
是斜直线，如图12.5（b）所示，所以杆件纯弯曲变形时的应变能为
dW在图12.2（a）中以阴影面积来表示。拉力从零增加到FP的整个加载过程
中所做的总功则为这种单元面积的总和，也就是说是△OAB的面积，即
可以将以上的分析推广到其他受力情况，因而静载荷下外力功的计算式可以
写为 式中的 F是广义力，它可以是集中力或集中力偶；Δ 是与广义力F相对应的
位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。式（12.2）表明，当外力
在工程实际中，最常遇到的是横力弯曲的梁。这时梁横截面上同时有剪力和
弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：弯矩产生的应变能和剪力产生的应变 能。在细长梁的情况下，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可以不
计，常只计算弯曲应变能。另外，此时弯矩通常均随着截面位置的不同而变
化，类似于式（12.5）与式（12.9），梁的弯曲应变能为
表面上的剪力与相应的位移方向垂直，没有做功。因此，单元体各表面上的 剪切力在单元体变形过程中所做的功为
故单元体内积蓄的应变能为
则单元体内积蓄的应变比能为
下
这表明，vε 等于γ 直线
的面积。由剪切胡克定律=Gγ ,比能又可以写成下列形式
（3）扭转 如图12.4（a）所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T
，积蓄在弹性体内的应变能Vε 及能量耗损Δ E在数值上应等于载荷所做的功 ，既 如果在加载过程中动能和其他形式的能量耗损不计，应有
12 压杆稳定测试选择题(10题)和答案
1、 中心受压细长直杆丧失承载能力的原因为（ ）。
（A ） 横截面上的应力达到材料的比例极限；（B ） 横截面上的应力达到材料的屈服极限；（C ） 横截面上的应力达到材料的强度极限；（D ） 压杆丧失直线平衡状态的稳定性2、一细长压杆当轴向压力F =F cr 时发生失稳而处于微弯平衡状态。
此时若解除压力F ，则压杆的微弯变形（ ）。
A 、完全消失；B 、有所缓和；C 、保持不变；D 、继续增大。
3、压杆失稳将在（ ）的纵向平面内发生。
A 、长度系数μ最大；B 、截面惯性半径i 最小；C 、柔度λ最大；D 、柔度λ最小。
4、欧拉公式的适用条件是（ ）。
()A λ≤()B λ≥()C λ≥()D λ5、两根细长压杆a 、b 的长度，横截面面积、约束状态及材料均相同，若其横截面形状分别为正方形和圆形，则两压杆的临界压力F acr 和F bcr 的关系为（ ）。
A 、F acr <F bcr ；B 、F acr =F bcr ；C 、F acr >F bcr ；D 、不可确定。
6、在稳定性计算中，有可能发生两种情况：一是用细长杆的公式计算中长杆的临界压力；一是用中长杆的公式计算细长杆的临界压力。
其后果是（ ）。
A 、前者的结果偏于安全，后者偏于不安全；B 、二者的结果都偏于安全；C 、前者的结果偏于不安全，后者偏于安全；D 、二者的结果都偏于不安全。
7、由低碳钢制成的细长压杆，经过冷作硬化后，其（ ）。
A 、稳定性提高，强度不变；B 、稳定性不变，强度提高；C 、稳定性和强度都提高；D 、稳定性和强度都不变。
8、一正方形截面细长压杆，因实际需要在n-n 横截面处钻一横向小孔如图所示。
（1）在计算压杆的临界力时，所用的惯性矩为（ ）；4()12b A 44()1264b d B π- 43()1212b bd C - 43()1212b b d D - （2）在对杆进行强度计算时，横截面面积应取（ ）。
12 压杆稳定测试选择题(10题)和答案
1、 中心受压细长直杆丧失承载能力的原因为（ ）。
（A ） 横截面上的应力达到材料的比例极限；（B ） 横截面上的应力达到材料的屈服极限；（C ） 横截面上的应力达到材料的强度极限；（D ） 压杆丧失直线平衡状态的稳定性2、一细长压杆当轴向压力F =F cr 时发生失稳而处于微弯平衡状态。
此时若解除压力F ，则压杆的微弯变形（ ）。
A 、完全消失；B 、有所缓和；C 、保持不变；D 、继续增大。
3、压杆失稳将在（ ）的纵向平面内发生。
A 、长度系数μ最大；B 、截面惯性半径i 最小；C 、柔度λ最大；D 、柔度λ最小。
4、欧拉公式的适用条件是（ ）。
()A λ≤()B λ≥()C λ≥()D λ5、两根细长压杆a 、b 的长度，横截面面积、约束状态及材料均相同，若其横截面形状分别为正方形和圆形，则两压杆的临界压力F acr 和F bcr 的关系为（ ）。
A 、F acr <F bcr ；B 、F acr =F bcr ；C 、F acr >F bcr ；D 、不可确定。
6、在稳定性计算中，有可能发生两种情况：一是用细长杆的公式计算中长杆的临界压力；一是用中长杆的公式计算细长杆的临界压力。
其后果是（ ）。
A 、前者的结果偏于安全，后者偏于不安全；B 、二者的结果都偏于安全；C 、前者的结果偏于不安全，后者偏于安全；D 、二者的结果都偏于不安全。
7、由低碳钢制成的细长压杆，经过冷作硬化后，其（ ）。
A 、稳定性提高，强度不变；B 、稳定性不变，强度提高；C 、稳定性和强度都提高；D 、稳定性和强度都不变。
8、一正方形截面细长压杆，因实际需要在n-n 横截面处钻一横向小孔如图所示。
（1）在计算压杆的临界力时，所用的惯性矩为（ ）；4()12b A 44()1264b d B π- 43()1212b bd C - 43()1212b b d D - （2）在对杆进行强度计算时，横截面面积应取（ ）。
欧拉临界应力 屈曲计算
Bd
Pcr
L A Pcr
B
L A
例123 试导出两端固定压杆 的欧拉公式。
Pcr
L
边界条件： M A Pcr d 2 x 0 ： y 0 ， y ' 0 ， y " k d EI EI x L：y d，y" M ( L ) 0 失 EI 稳 将边界条件代入统一微 分方程的通解得： L 模 0 1 0 1 0 C L 式 1 k 0 1 0 0 如 A C 2 图 0 k 2 0 0 k 2 C 3 0 C sin kL cos kL L 1 1 y A 4 2 2 d k sinkL k coskL 0 0 0 L MA=Pcrd P 有非零解的充要条件为 ：系数行列式值为零； cr 解得压杆失稳特征方程 为：coskL 0 C P kL cr L n ( n 0， 1， 2) EI 2 2 取n 1，得一端固定一端自由 压杆临界力的欧拉公式 为：Pcr EI ( 2L) 2
2)p≥≥0—中粗杆(中柔度杆)； a s s 304 240 3)对于A3钢： 0 60 b 1.12 2 s a b ②抛物线公式： cr 1 1
a 1和b 1是与材料有关的常数。
2.scr=sS时: 强度破坏，采用强度公式。
三、临界应力总图
scr scr=ss scr=ab B C
x Pcr P cr B B d 相当于2L长两端铰支压杆的临界力
x QB Pcr B 失 稳 模 式 如 图 A端QA、MA及B端QB不为零。 边界条件： x 0：y 0，y ' 0 M(L) x L ： y 0 ， y " 0 EI 将边界条件代入统一微 分方程的通解得： 0 1 0 1 C1 k 0 1 0 C 2 0 coskL L 1 C 3 sinkL 2 2 k sinkL k coskL 0 0 C 4
材料力学——第12章(压杆稳定计算)
情况(b)： I z =hb3 /12
FPcrb2
l/2
z x
b h x
h b
2 EI z
2 l 2 10 10 9 0.2 0.12 3 44.4kN 2 12 8 FPcrb2 / FPcrb1 44.4 / 493.5 9% FPcra 2 / FPcra1 123.4 / 177.6 70%
32
②S< 时：
cr
S
P
0 的杆为小柔度杆，其临 界应力为屈服极限。
cr s
cr a b
③临界应力总图
2E cr 2
l
i
33
0 s a b
P 2E P
2.抛物线型经验公式 对于由结构钢、低合金结构钢等材料制成的非细长杆， 可采用抛物线型经验公式计算其临界应力
E cr 2 P
2
2E P
令
P
E
P
P
29
满足
P
压杆
细长杆（大柔度杆）
即只有当压杆为细长杆时，才能用欧拉公式计算其临界应 力和临界力。 λ P 值仅与材料的弹性模量 E 及比例极限σ P 有关，所 以，λ P值仅随材料而异。例如，对于 Q235 钢（ E = 206 GPa ，σ P＝200 MPa ) ，λ P的理论值为
35
36
37
[例12-2] Q235钢制成的矩形截面压杆，受力及两端约 束情况如图所示，在A、B两处为销钉连接。若已知l=2300mm, , b=40mm,h=60mm，材料的弹性模量E=206GPa,λ P=101。试求此 杆的临界力。
解：⑴确定压杆将首 先在哪个平面内屈曲。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
填空
1. 细长压杆在两端铰支的情况下长度因数为
2. 细长压杆在一端固定另一端铰支的情况下长度因数为
3. 细长压杆在两端固定的情况下长度因数为
4. 细长压杆在一端固定另端自由的情况下长度因数为
5. 细长压杆在两端固定但可沿横向相对移动的情况下长度因数 为
6. 长细比的表达式为
简答
1.解释临界应力
2.解释失稳的定义
3.什么是大柔度杆和小柔度杆？
4.什么是稳定因数？
5.提高杆件承载能力的措施有哪些？
大题
1.如图所示。
AB 为刚杆，CD 为圆截面杆，直径d=40mm ，E=200GPa ， 60s λ=，p 100λ=，中柔度杆临界应力公式为：cr a b σλ=-，其中：461a MPa =，
2.568b MPa =。
试按结构稳定性求临界荷载cr q
2.如图所示，AB为圆截面杆。
直径d=40mm，E=200GPa，比例极限
200 p MPa
σ=。
（1）求AB杆的临界应力
（2）如果CD梁用10号工字钢制造，试根据AB杆临界荷载是1/3计算CD梁的最大弯曲应力。
3.推导两端固定、弯曲刚度为EI，长度为l的等截面中心受压直杆的临界力
cr
F。