2020高考数学(理)考前题型增分特训：解答题专项8 Word版含解析

2020高考数学（理）考前题型增分特训 解答题选填题“17～19题”＋“二选一”专项8时间：45分钟 满分：46分17．(12分)数列{a n }中，a 1＝2，(n ＋1)(a n ＋1－a n )＝2(a n ＋n ＋1)． (1)求a 2，a 3的值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1，a n ＝n 2＋1，a n ＝n 2＋n 中的一个，设数列{1a n }的前n 项和为S n ，{a n ＋1－a n }的前n 项和为T n ，若T nS n＞360，求n 的取值范围．思路分析：(1)根据已知条件，分别令n ＝1，n ＝2，求得a 2，a 3的值．(2)根据a 2＝6判断出数列的通项公式为a n ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，利用裂项求和法求得S n 的值，利用累加法求得T n 的值，根据T nS n＞360列不等式，解不等式求得n 的取值范围．解：(1)∵(n ＋1)(a n ＋1－a n )＝2(a n ＋n ＋1)，∴a n ＋1＝n ＋3n ＋1a n ＋2，∴a 2＝1＋31＋1a 1＋2＝6， (2分)a 3＝2＋32＋1a 2＋2＝12.(4分)(2)由数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1，a n ＝n 2＋1，a n ＝n 2＋n 中的一个，和a 2＝6得数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，所以1a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， ∴S n ＝1－1n ＋1.(8分)∵(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )＝a n ＋1－a 1，a n ＝n (n ＋1)， ∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )＝n 2＋3n ， 即T n ＝n 2＋3n . (10分)由T nS n＞360，得n 2＋4n －357＞0，解得n ＞17或n ＜－21. ∵n 是正整数，∴所求n 的取值范围为n ＞17，且n 是正整数． (12分)18．(12分)在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2AD ＝4，∠DAB ＝60°，AE ＝BE ，△PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求二面角P －EC －D 的余弦值；(2)线段PC 上是否存在一点M ，使异面直线DM 和PE 所成角的余弦值为68？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．解：设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥平面ABCD ，又∵AD ＝AE ＝2，∠DAB ＝60°，所以△ADE 为正三角形，OE ⊥AD . 建立如图所示空间直角坐标系O －xyz ，则P ⎝⎛⎭⎫0，0，3，E ⎝⎛⎭⎫0，3，0C ⎝⎛⎭⎫－2，3，0，D ()－1，0，0， 于是PC→＝(－2，3，－3)，PE→＝(0，3，－3)，DP→＝(1,0，3)．(1)设平面PEC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 由PC →·n 1＝0，PE →·n 1＝0得一个法向量n 1＝(0,1,1)， 平面EDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)．设二面角P －EC －D 的平面角为θ，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉＝12＝22.由图知θ为锐角，所以二面角P －EC －D 的余弦值为22.(2) 设PM→＝λPC →(0≤λ≤1)，则PM →＝(－2λ，3λ，－3λ)，DM→＝DP →＋PM →＝(1－2λ，3λ，3－3λ)，PE →＝(0，3，－3)，所以|cos 〈DM→，PE →〉＝|DM→·PE →|DM→‖PE →|＝|6λ－3|6·10λ2－10λ＋4＝68，解得λ＝13或23，所以存在满足题设的点M ，且点M 为线段PC 的三等分点．19．(12分)为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛．已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示．(1)估计这60名参赛学生成绩的中位数；(2)为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上(含60分)的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记ξ为抽取的4人中成绩不合格的人数，求ξ的分布列与数学期望；(3)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ可用样本平均数近似代替，σ2可用样本方差近似代替(同一组数据用该区间的中点值作代表)，若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数(结果根据四舍五入保留整数)．参考数据：P (μ－σ<Z ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ<Z ≤μ＋3σ)≈0.997 3.解：(1)设中位数为x ，则0.005×20＋0.015×20＋(x －60)×0.02＝0.5，解得x ＝65，所以这60名参赛学生成绩的中位数为65. (3分)(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为(0.01＋0.02)×20×10＝6，不合格的人数为10－6＝4.由题意可知ξ的可能取值为0,1,2,3,4.则P (ξ＝0)＝C 46C 410＝114，P (ξ＝1)＝C 14C 36C 410＝821，P (ξ＝2)＝C 24C 26C 410＝37，P (ξ＝3)＝C 34C 16C 410＝435，P (ξ＝4)＝C 44C 410＝1210. 所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝5635.(8分)(3)由题意可得，μ＝(30×0.005＋50×0.015＋70×0.02＋90×0.01)×20＝64，σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，则σ＝18，由Z 服从正态分布N (μ，σ2)，得P (64－18<Z ≤64＋18)＝P (46<Z ≤82)≈0.682 7，则P (Z >82)≈12(1－0.6827)＝0.15865，P (Z >45)≈0.6927＋0.158 65＝0.841 35，所以此次竞赛受到奖励的人数为60×0.841 35≈50.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数且t＞0，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2)曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos β，y ＝1＋sin β(β为参数，且β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ＝1＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，曲线C 4的极坐标方程为ρcos θ＝1.(1)求C 3与C 4的交点到极点的距离；(2)设曲线C 1与C 2交于P 点，C 1与C 3交于Q 点，当α在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2上变化时，求|OP |＋|OQ |的最大值．解：(1)联立曲线C 3，C 4的极坐标方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1＋cos θ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2ρcos θ＝1，得ρ2－ρ－1＝0，解得ρ＝1＋52，ρ＝1－52(舍去)，即交点到极点的距离为1＋52. (5分)(2)由题意得曲线C 1的极坐标方程为 θ＝α，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，ρ＞0，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，联立两方程得ρ＝2sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，即|OP |＝2sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2.曲线C 1与曲线C 3的极坐标方程联立，得ρ＝1＋cos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，即|OQ |＝1＋cos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以|OP |＋|OQ |＝1＋2sin α＋cos α＝1＋5sin(α＋φ)，其中φ的终边经过点(2,1)，当α＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，|OP |＋|OQ |取得最大值为1＋5.(10分)23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知f (x )＝|x －1|＋|ax ＋1|.(1)a ＝1时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤3－x 的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解：(1)a ＝1，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥1，2，－1＜x ＜1，－2x ，x ≤－1，f (x )≥3，则x ≤－32或x ≥32，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x |x ≤－32或x ≥32.(5分)(2)f (x )≤3－x 的解集包含[－1,1]，即为f (x )≤3－x 在[－1,1]上恒成立． 当x ∈[－1,1]，f (x )＝|x －1|＋|ax ＋1|＝1－x ＋|ax ＋1|， 故f (x )≤3－x 即为1－x ＋|ax ＋1|≤3－x ， 即|ax ＋1|≤2，所以－2≤ax ＋1≤2，－3≤ax ≤1. 又因为x ∈[－1,1]，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤(－1)·a ≤1，－3≤1·a ≤1，所以a ∈[－1,1]． (10分)。