高考数学大题训练及解析
高考数学大题训练及解析
1.三角知识(命题意图：在三角形中，考查三角恒等变换、正余弦定理及面积公式的应用)
(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 sin C 2＝104. (1)求cos C 的值；
(2)若△ABC 的面积为3154，且sin 2A ＋sin 2
B ＝1316sin 2
C ，求a ，b 及c 的值.
解 (1)因为sin C 2＝10
4， 所以cos C ＝1－2sin 2C
2＝－1
4.
(2)因为sin 2
A ＋sin 2
B ＝1316sin 2
C ，由正弦定理得
a 2＋
b 2＝13
16c 2，①
由余弦定理得a 2
＋b 2
＝c 2
＋2ab cos C ，将cos C ＝－14代入，得ab ＝38c 2
，
②
由S △ABC ＝3154及sin C ＝1－cos 2C ＝15
4，得ab ＝6，③ 由①②③得?????a ＝2，b ＝3，c ＝4，或????
?a ＝3，b ＝2，c ＝4.
经检验，满足题意.
所以a ＝2，b ＝3，c ＝4或a ＝3，b ＝2，c ＝4.
2.数列(命题意图：考查数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题等.)
(本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满
足a n ＝2S 2n
2S n －1
(n ≥2).
(1)求证：数列????
??
1S n 是等差数列；
(2)证明：当n ≥2时，S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n ＜3
2.
证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n
2S n －1
，
S n －1－S n ＝2S n S n －1，1S n
－1
S n －1＝2，
从而????
??
1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列.
(2)由(1)可知，1S n
＝1
S 1
＋(n －1)×2＝2n －1，
∴S n ＝1
2n －1
，
∴当n ≥2时，1n S n ＝1n （2n －1）＜1
n （2n －2）
＝12·1n （n －1）＝12? ????1n －1－1n
从而S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n
＜1＋12? ?
?
??1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝32－12n ＜32.
星期二 (概率统计与立体几何) 2017年____月____日
1.概率统计(命题意图：考查独立性检验及超几何分布列问题) (本小题满分12分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下表是在某单位得到的数据(人数)：
(1)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？ (2)进一步调查：
①从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；
②从反对“男女延迟退休”的9人选出3人进行座谈，设参加调查的女士人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 附：
K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
解 (1)K 2的观测值k ＝25×（5×3－6×11）
2
16×9×11×14
≈2.932＞2.706，
由此可知，有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关. (2)①记题设事件为A ，则所求概率为
P (A )＝C 15C 211＋C 25C 111
C 316
＝1116， ②根据题意，X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 3C 3－k
6
C 39
，k ＝0，1，2，3.
X 的分布列为：
X 的数学期望为E (X )＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×1
84＝1. 2.立体几何(命题意图：考查线线垂直及面面角的求解)
(本小题满分12分)在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点. (1)求证：BD ⊥EG ；
(2)求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.
(1)证明 ∵EF ⊥平面AEB ，AE ?平面AEB ，BE ?平面AEB ，∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，又AE ⊥BE ， ∴BE ，EF ，AE 两两垂直，
以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x ，y ，z 轴.
建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得，A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，4，0)，F (0，3，0)，D (0，2，2)，G (2，2，0)， ∴EG
→＝(2，2，0)，BD →＝(－2，2，2)， ∴BD
→·EG →＝－2×2＋2×2＝0，∴BD ⊥EG . (2)解 由已知得EB
→＝(2，0，0)是平面DEF 的法向量， 设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z ) ， ∵ED
→＝(0，2，2)，EG →＝(2，2，0)， ∴???EG →·n ＝0，ED
→·n ＝0，即?
????y ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－1，1)，
设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ， 则|cos 〈n ，EB →〉|＝n ·EB →|n |·|EB →|＝223＝33，则cos θ＝33. ∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为3
3.
星期三 (解析几何) 2017年____月____日
解析几何(命题意图：考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交情况下的范围问题)
(本小题满分12分)如图，已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，以BF 2为直径的圆D 经过椭圆的上顶点A ，且|BF 1→|＝|AF 1→|，F 1A →·BA →＝6. (1)求椭圆C 的方程及圆D 的方程；
(2)斜率为k 的直线l 过右焦点F 2，且与椭圆C 交于M 、N 两点，若在x 轴上存在点P (m ，0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形为菱形，求实数m 的取值范围.
解 (1)因为以BF 2为直径的圆经过椭圆的上顶点A ，且|BF 1→|＝|AF 1→|， 所以∠BAF 2＝π
2，∠BAF 1＝∠ABF 1， 所以∠F 1AF 2＋∠BAF 1＝∠AF 2B ＋∠ABF 1， 所以∠F 1AF 2＝∠AF 2F 1， 所以△F 1AF 2是等边三角形. 所以|AF 1→|＝|F 1F 2→|＝|BF 1→|＝2c ，
又|AF 1→|2＝|OF 1→|2＋|OA →|2，即4c 2＝c 2＋b 2＝a 2， 则B (－3c ，0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )， 所以F 1A →·BA →＝(c ，b )·(3c ，b )＝3c 2＋b 2＝6， 所以a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1. 由F 1(－1，0)，|AF 1→|＝2，得 圆D 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.
(2)由(1)知F 2(1，0)，则l ：y ＝k (x －1)，
联立???y ＝k （x －1），
x 24＋y 23＝1，
消去y 整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，
设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则Δ＝(－8k 2)2－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16×9(k 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝8k 2
3＋4k 2，y 1＋y 2
＝k (x 1＋x 2－2)，
所以PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2). 由于菱形的对角线互相垂直，则(PM →＋PN →)·MN
→＝0， 因为MN →的一个方向向量是(1，k )，故x 1＋x 2－2m ＋k (y 1＋y 2)＝0，所以x 1＋x 2－2m ＋k 2(x 1＋x 2－2)＝0，
所以k 2? ????8k 2
3＋4k 2－2＋8k
23＋4k
2－2m ＝0，
由已知条件知k ≠0，
所以m ＝k 23＋4k 2＝13
k 2＋4，所以0＜m ＜1
4， 故实数m 的取值范围是? ?
?
??0，14.
星期四 (函数与导数) 2017年____月____日
函数与导数(命题意图：考查曲线的切线、最值及数列不等式的证明等.) (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1，g (x )＝ln(x ＋1).
(1)当实数a 为何值时，函数g (x )在x ＝0处的切线与函数f (x )的图象相切；
(2)当x ∈[0，＋∞)时，不等式f (x )＋g (x )≤x ＋1恒成立，求a 的取值范围；
(3)已知n ∈N *，试判断g (n )与g ′(0)＋g ′(1)＋…＋g ′(n －1)的大小，并证明之.
解 (1)∵g (x )＝ln(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1
x ＋1，g ′(0)＝1，
故g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x .
由?
????y ＝x ，y ＝ax 2
＋1，得ax 2－x ＋1＝0， ∴Δ＝1－4a ＝0， ∴a ＝14.
(2)当x ∈[0，＋∞)时，不等式f (x )＋g (x )≤x ＋1恒成立， 即ax 2＋ln(x ＋1)－x ≤0恒成立. 设h (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)－x (x ≥0)， 只需h (x )max ≤0即可.
h ′(x )＝2ax ＋1
x ＋1－1＝x [2ax ＋（2a －1）]x ＋1
.
①当a ＝0时，h ′(x )＝－x
x ＋1，当x ＞0时，h ′(x )＜0，
函数h (x )在[0，＋∞)上单调递减， 故h (x )≤h (0)＝0成立.
②当a ＞0时，由h ′(x )＝0，得x ＝1
2a －1或x ＝0.
1° 12a －1＜0，即a ＞1
2时，在区间(0，＋∞)上，h ′(x )＞0，则函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，h (x )在(0，＋∞)上无最大值，此时不满足条件.
2° 若12a －1≥0，即0＜a ≤1
2时，函数h (x )在? ??
??0，12a －1上单调递减，
在区间? ??
??
12a －1，＋∞上单调递增，同样h (x )在[0，＋∞)上无最大值，不满足条件.
③当a ＜0时，h ′(x )＜0，函数h (x )在[0，＋∞)上单调递减，故h (x )≤h (0)＝0成立，
综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0]. (3)结论：g (n )＜g ′(0)＋g ′(1)＋g ′(2)＋…＋g ′(n －1).
证明：当a ＝0时，ln(x ＋1)≤x (当且仅当x ＝0时取等号)，令x ＝1n ，
∴ln ? ??
??1n ＋1＜1n ， ∴ln(n ＋1)－ln n ＜1n . 故有ln(n ＋1)－ln n ＜1
n ， ln n －ln(n －1)＜1
n －1，
ln(n －1)－ln(n －2)＜1
n －2，
……
ln 3－ln 2＜1
2，ln 2－ln 1＜1， 所以ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋…＋1
n ， 即g (n )＜g ′(0)＋g ′(1)＋g ′(2)＋…＋g ′(n －1).
星期五 (选考系列) 2017年____月____日
一、(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以
x 轴正半轴为极轴.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ?
????
θ＋π4，
曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a ＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π
4，θ＝φ－π4，θ＝π
2＋φ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D .
(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程；
(2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值.
解 (1)C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝2，C 2：y ＝a ， 因为曲线C 1关于曲线C 2对称，a ＝1，C 2：y ＝1.
(2)|OA |＝22sin ?
????φ＋π4，
|OB |＝22sin ?
????
φ＋π2＝22cos φ，
|OC |＝22sin φ，
|OD |＝22sin ?
????φ＋
3π4＝22cos ?
????φ＋π4
|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |＝4 2.
二、(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |.
(1)若f (x )≤m 的解集为[－1，5]，求实数a ，m 的值；
(2)当a ＝2，且0≤t ＜2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2). 解 (1)因为|x －a |≤m ，所以a －m ≤x ≤a ＋m ，
?????a －m ＝－1，
a ＋m ＝5，
∴a ＝2，m ＝3.
(2)a ＝2时等价于|x －2|＋t ≥|x |，
当x ≥2，x －2＋t ≥x ，∵0≤t ＜2，所以舍去， 当0≤x ＜2，2－x ＋t ≥x ，∴0≤x ≤t ＋2
2，成立. 当x ＜0，2－x ＋t ≥－x 成立，
所以原不等式解集是? ??
??
－∞，t ＋22. 星期六 (综合限时练) 2017年____月____日
解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟.)
1.(本小题满分12分)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *).
(1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n ∈N *)，且λa n ＞2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.
解 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5. 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，
所以{a n }是等差数列，首项为a 1＝1，公差为6，即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n ，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1， 当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6 ＝2n ＋1＋2，
当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，
由λa n ＞2n ＋n ＋2λ得λ＞2n ＋n 2n ＋1＝12＋n
2
n ＋1，
n ＋12n ＋2－n
2n ＋1＝1－n 2n ＋2
≤0， 所以，当n ＝1，2时， 2n ＋n 2
n ＋1取最大值3
4，
故λ的取值范围为? ??
??
34，＋∞.
2.(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 与△P AD 都是等边三角形. (1)证明：PB ⊥CD ；
(2)求二面角A －PD －B 的余弦值.
(1)证明 取BC 的中点E ，连接DE ，则四边形ADEB 为正方形，过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ， 连接OA ，OB ，OE ，OD ，
由△P AB 和△P AD 都是等边三角形可知P A ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，
即点O 为正方形ADEB 对角线的交点，
故OE ⊥BD ，从而OE ⊥平面PBD ，所以OE ⊥PB ， 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD ，因此PB ⊥CD .
(2)解 由(1)可知，OE ，OB ，OP 两两垂直，以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正
方向，OP 方向为z 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系O －xyz .设|AB |＝2，则A (－2，0，0)，D (0，－2，0)，P (0，0，2) AD
→＝(2，－2，0)，AP →＝(2，0，2)， 设平面P AD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∴??
?n ·AD →＝2x －2y ＝0，n ·AP
→＝2x ＋2z ＝0，
取x ＝1，得y ＝1，z ＝－1，即n ＝(1，1，－1)， 因为OE ⊥平面PBD ，设平面PBD 的法向量为m ， 取m ＝(1，0，0)，
则cos 〈m ，n 〉＝13·1＝33
，
由图象可知二面角A －PD －B 的大小为锐角. 所以，二面角A －PD －B 的余弦值为3
3.
3.(本小题满分12分)“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车.” 2015年“7夕”晚8时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图.
(1)求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点，不包括右端点)
(2)求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；
(3)将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x 、y (mg/100 mL)，则事件|x －y |≤10的概率是多少？
解 (1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上者，共有0.05×60＝3人.
(2)由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值＝25×0.25＋35×0.15＋45×0.2＋55×0.15＋65×0.1＋75×0.1＋85×0.05＝47(mg/100 mL). (3)第五组和第七组的人分别有：60×0.1＝6人，60×0.05＝3人. |x －y |≤10即选的两人只能在同一组中.
P (|x －y |≤10)＝C 26＋C 2
3
C 29
＝15＋336＝12.
4.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点?
????
1，32，
一个焦点为(3，0). (1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q .求|AB |
|PQ |的取值范围.
解 (1)由题意得???
a 2－
b 2＝3，1a 2＋3
4b 2＝1，
解得a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)由???y ＝k （x －1），x 24＋y 2＝1，
得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则有x 1＋x 2＝8k 2
1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k
1＋4k 2
.
所以线段AB 的中点坐标为? ????
4k 21＋4k
2，－k 1＋4k 2， 所以线段AB 的垂直平分线方程为 y －－k 1＋4k 2＝－1k ? ??
??x －4k 21＋4k 2. 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q ? ??
??
3k 2
1＋4k 2，0，又点P (1，
0)，
所以|PQ |＝??????1－3k 2
1＋4k 2＝1＋k 2
1＋4k
2.
又|AB |＝
（1＋k 2）[（8k 2
1＋4k 2）2
－4·4k 2－41＋4k 2
]
＝4（1＋k 2）（1＋3k 2）
1＋4k 2
.
于是，|AB |
|PQ |＝4（1＋k 2）（1＋3k 2）
1＋4k 21＋k 21＋4k 2
＝4
1＋3k 2
1＋k 2
＝43－21＋k 2
. 因为k ≠0，
所以1＜3－2
1＋k ＜3.
所以|AB |
|PQ |的取值范围为(4，43).
5.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2ax 2＋bx ＋1)e －x (e 为自然对数的底数).
(1)若a ＝1
2，求函数f (x )的单调区间；
(2)若f (1)＝1，且方程f (x )＝1在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1
2，f (x )＝(x 2＋bx ＋1)e －x ， f ′(x )＝－[x 2＋(b －2)x ＋1－b ]e －x ，
令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－b .当b ＝0，f ′(x )≤0；
当b ＞0时，当1－b ＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＜1－b 或x ＞1时， f ′(x )＜0；
当b ＜0时，当1＜x ＜1－b 时，f ′(x )＞0，当x ＞1－b 或x ＜1时， f ′(x )＜0.
综上所述，b ＝0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)；
b ＞0时，f (x )的单调递增区间为(1－b ，1)，递减区间为(－∞，1－b )，
(1，＋∞)；
b ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，1－b )，递减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞).
(2)由f (1)＝1得2a ＋b ＋1＝e ，b ＝e －1－2a .
由f (x )＝1得e x ＝2ax 2＋bx ＋1，设g (x )＝e x －2ax 2－bx －1，则g (x )在(0，1)内有零点.
设x 0为g (x )在(0，1)内的一个零点，则由g (0)＝0、g (1)＝0知g (x )在区间(0，x 0)和(x 0，1)上不可能单调递增，也不可能单调递减，设h (x )＝g ′(x )，则h (x )在区间(0，x 0)和(x 0，1)上均存在零点，即h (x )在(0，1)上至少有两个零点.g ′(x )＝e x －4ax －b ，h ′(x )＝e x －4a .
当a ≤1
4时，h ′(x )＞0，h (x )在区间(0，1)上递增，h (x )不可能有两个及以上零点；
当a ≥e
4时，h ′(x )＜0，h (x )在区间(0，1)上递减，h (x )不可能有两个及以上零点；
当14＜a ＜e
4时，令h ′(x )＝0得x ＝ln(4a )∈(0，1)， 所以h (x )在区间(0，ln(4a ))上递减，
在(ln(4a )，1)上递增，h (x )在区间(0，1)上存在最小值 h (ln(4a )).
若h (x )有两个零点，则有h (ln(4a ))＜0，h (0)＞0，h (1)＞0. h (ln(4a ))＝4a －4a ln(4a )－b ＝6a －4a ln(4a )＋1－e ?
????1
4＜a ＜e 4.
设φ(x )＝3
2x －x ln x ＋1－e(1＜x ＜e)， 则φ′(x )＝1
2－ln x ，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，
当1＜x ＜e 时φ′(x )＞0，φ(x )递增，当e ＜x ＜e 时φ′(x )＜0，φ(x )递减，
φ(x )max ＝φ(e)＝e ＋1－e ＜0，所以h (ln(4a ))＜0恒成立.
由h (0)＝1－b ＝2a －e ＋2＞0，h (1)＝e －4a －b ＞0，得e －22＜a ＜1
2.当e －22＜a ＜1
2时，设h (x )的两个零点为x 1，x 2，则g (x )在(0，x 1)递增，在(x 1，x 2)递减，在(x 2，1)递增，所以g (x 1)＞g (0)＝0，g (x 2)＜g (1)＝0，
则g (x )在(x 1，x 2)内有零点.综上，实数a 的取值范围是? ??
??
e －22，12. 6.请考生在以下两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为?
??x ＝－1－3
2t ，
y ＝3＋1
2t
(t 为参数)，以坐标原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝
4?
????θ－π6.
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ?
????
θ－π6的公共点，求3x ＋y 的
取值范围.
解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ? ????
θ－π6，
所以ρ2
＝4ρsin ?
????θ－π6＝4ρ? ??
??
32sin θ－1
2cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，
所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，
由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0?(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2， 将?
??x ＝－1－3
2t ，y ＝3＋1
2t
代入z ＝3x ＋y 得z ＝－t ，
又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2， 所以－2≤t ≤2，
所以－2≤－t ≤2.即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]. B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .
(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围.
解 (1)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ， ∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3.
∴a －3＝－2，∴a ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1，令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，
则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝?????
2－4n ，n ≤－12，
4，－12＜n ≤1
2，2＋4n ，n ＞12
，
∴φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞).
高考数学数列大题训练答案版
高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，
（1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．
2020高考理科数学冲刺—压轴大题高分练一
1．(本小题满分12分)(2019陕西咸阳一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 ＝1(a >1)的上顶点为B , 右顶点为A ,直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2 ＝1相切． (1)求椭圆C 的方程． (2)过点N (0,－1 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,求证：BP ⊥BQ . 1．(1)解：由题意知,A (a ,0),B (0,1),则直线AB 的方程为x ＋ay －a ＝0. 由直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切,得圆心M 到直线AB 的距离d ＝2 1＋a 2 ＝1,求得a ＝3, 故椭圆C 的方程为x 23 ＋y 2 ＝1. (2)证明：直线l 的方程为y ＝kx －1 2 ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立? ??y ＝kx －1 2 ， x 23 ＋y 2＝1，消去y 整理得(4＋12k 2)x 2－12kx －9＝0. ∴x 1＋x 2＝12k 4＋12k 2,x 1x 2 ＝－9 4＋12k 2 . 又BP →＝(x 1,y 1－1),BQ → ＝(x 2,y 2－1), ∴BP →·BQ → ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(kx 1－32)·(kx 2－32)＝(1＋k 2)x 1x 2－32k (x 1＋x 2)＋94 ＝ －9（1＋k 2）4＋12k 2－18k 24＋12k 2 ＋94＝0,∴BP ⊥BQ . 2．(本小题满分12分)(2019内蒙古一模)已知函数f (x )＝2ax ＋bx －1－2ln x (a ∈R )． (1)当b ＝0时,确定函数f (x )的单调区间． (2)当x >y >e －1时,求证：e x ln(y ＋1)>e y ln(x ＋1)． 2．(1)解：当b ＝0时,f ′(x )＝2a －2x ＝2（ax －1） x (x ＞0)． 当a ≤0时,f ′(x )＜0在(0,＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0,＋∞)上单调递减．
高考数学前三道大题练习
1 A B C D S E F N B 高考数学试题（整理三大题） （一） 17.已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且?a b m =．求 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜 甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙； 第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求： （1）乙连胜四局的概率； （2）丙连胜三局的概率． 19.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。 (Ⅰ)证明：SA ⊥BC ； (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小； （二） 17.在ABC △中，1tan 4A =，3 tan 5 B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △ 18. 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率； （III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 19. 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、SC 的中点。 求证：EF ∥平面SAD ； （三） 17.已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ?? =+ ??? π的最大值与最小值． 18. 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19. 在Rt AOB △中，π 6 OAB ∠= ，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角 的大小； （III ）求CD 与平面 AOB 所成角的最大值 （四） 17.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，． （I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求： （1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。 （Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 O C A D B E
2014年全国大纲卷高考理科数学试题真题含答案
2014年普通高等学校统一考试（大纲） 理科 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设103i z i =+，则z 的共轭复数为 （ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 【答案】D ． 2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N = （ ） A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[1,0)- D ．(1,0]- 【答案】B. 3.设sin33,cos55,tan35,a b c =?=?=?则 （ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】C ． 4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ） A ．2 B C ．1 D ． 2 【答案】B ． 5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 【答案】C ．
6.已知椭圆C ：22 221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的 直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ?的周长为C 的方程为 （ ） A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．22 1124 x y += 【答案】A ． 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．1 【答案】C ． 8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814 π B ．16π C ．9π D ．274π 【答案】A ． 9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则 21cos AF F ∠=（ ） A ．14 B ．13 C ．4 D ．3 【答案】A ． 10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ． 11.已知二面角l αβ--为60?，AB α?，AB l ⊥，A 为垂足，CD β?，C l ∈，135ACD ∠=?，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ）
2020年高考数学真题汇编答案及解析
2020年高考数学真题汇编答案及解析 (本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1．集合A＝{1,2，a}，B＝{2,3，a2}，C＝{1,2,3,4}，a∈R，则集合(A∩B)∩C不可能是( ) A．{2} B．{1,2} C．{2,3} D．{3} 【解析】若a＝－1，(A∩B)∩C＝{1,2}； 若a＝3，则(A∩B)∩C＝{2,3} 若a≠－1且a≠3，则(A∩B)∩C＝{2}，故选D. 【答案】 D 2．(2020全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有( ) A．3个B．4个 C．5个D．6个 【解析】A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}，故选A. 【答案】 A 3．(2020年广东卷)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如右图
所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) A．3个B．2个 C．1个D．无穷多个 【解析】M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}，有2个． 【答案】 B 4．给出以下集合： ①M＝{x|x2＋2x＋a＝0，a∈R}； ②N＝{x|－x2＋x－2＞0}； ③P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}； ④Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}， 其中一定是空集的有( ) A．0个B．1个 C．2个D．3个 【解析】在集合M中，当Δ＝4－4a≥0时，方程有解，集合不是空集；而Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}＝{y|y≥0}∩{y|y∈R}＝{y|y≥0}，所以不是空集；在P中，P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}＝{x|x＜0}∩R＝{x|x＜0}，不是空集；在N中，由于不等式－x2＋x－2＞0?x2－x＋2＜0，Δ＝－7＜0，故无解，因此，只有1个一定是空集，所以选B. 【答案】 B 5．如右图所示
2017年高考理科数学试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（xx卷）数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年xx，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D． （2）【2017年xx，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D） 【答案】A 【解析】由得，所以，故选A． （3）【2017年xx，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题， 即，均是真命题，故选B． （4）【2017年xx，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0（B）2（C）5（D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，
当其经过直线与的交点时，最大为 ，故选C． （5）【2017年xx，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） （A）160（B）163（C）166（D）170 【答案】C 【解析】，故选C． （6）【2017年xx，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第 二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D． （7）【2017年xx，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，故选B． （8）【2017年xx，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1xx，则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是（） （A）（B）（C）（D）
高考数学大题练习
高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.
2018江苏高考数学试题及答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．已知函数()??? ??<<- +=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为
c 2 3 ，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()() 15f f 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最 小值的和为 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与 直线l 交于另一点D ．若0=?，则点A 的横坐标为 ． 13．在ABC ?中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，ο 120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ， 且1=BD ，则c a +4的最小值为 ． 14．已知集合{ }* ∈-==N n n x x A ,12|，{}* ∈==N n x x B n ,2|．将B A ?的所有元素从小到大依次排 列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．
江苏高考数学答案及解析
绝密★启用前 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据12 ,,,n x x x L 的方差2 2 1111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.若复数 12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★. 【答案】20- 【解析】略 2.已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，||2,||==a b ，则向量a 和向量b 的数量积 =g a b ★ . 【答案】3 【解析】232=?=g a b 。 3.函数 32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ . 【答案】 (1,11)- 【解析】 2 ()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由 (11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
4.函数 sin()(,,y A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如 图所示，则ω= ★ . 【答案】3 【解析】3 2T π =， 23T π =，所以3ω=， 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机 抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s = ★ . 【答案】2 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】略 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ★ . 【答案】22 【解析】略 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略 9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线 3 :103C y x x =-+上， 且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】 (2,15)- w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】略 10.已知 51 2a -= ，函数()x f x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大 小关系为 ★ . 【答案】m n < 0S ← 结束
最新史上最难的全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2）
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S
4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式．
1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -= ． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b ＝1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n ， （2≥n ）， 当n=1时也满足，所以1)3 4 (31-=-n n b ． 2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++
高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题
（重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈
若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.
2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是． 6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是． 9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是． 14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝ 其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； （2）若＝，求sin（B+）的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E．
高考数学理科大题公式(最全版)
高考数学１７题(1)：解三角形 1.正弦定理：______________________ 2.余弦定理：______________________ ______________________ ______________________ 3.三角形面积公式： Ｓ＝____________________________ ４.三角形中基本关系：A+B+C=_____ sin(A+B)=___________ cos(A+B)=___________ tan(A+B)=___________ 注：基本不等式：若________，则______________ 重要不等式：若________，则______________
高考数学１７题(2)：数列 1.知S n 求a n:( 这个关系式对任意数列均成立) a n= _________________ ２．等差数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等差数列性质:若_____________，则__________________３．等比数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，q为常数)． (2)等比中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等比数列性质:若_____________，则__________________
高考数学理科导数大题目专项训练及答案
高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.
高考数学大题训练及解析
高考数学大题训练及解析 1.三角知识(命题意图：在三角形中，考查三角恒等变换、正余弦定理及面积公式的应用) (本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 sin C 2＝104. (1)求cos C 的值； (2)若△ABC 的面积为3154，且sin 2A ＋sin 2 B ＝1316sin 2 C ，求a ，b 及c 的值. 解 (1)因为sin C 2＝10 4， 所以cos C ＝1－2sin 2C 2＝－1 4. (2)因为sin 2 A ＋sin 2 B ＝1316sin 2 C ，由正弦定理得 a 2＋ b 2＝13 16c 2，① 由余弦定理得a 2 ＋b 2 ＝c 2 ＋2ab cos C ，将cos C ＝－14代入，得ab ＝38c 2 ， ② 由S △ABC ＝3154及sin C ＝1－cos 2C ＝15 4，得ab ＝6，③ 由①②③得?????a ＝2，b ＝3，c ＝4，或???? ?a ＝3，b ＝2，c ＝4.
经检验，满足题意. 所以a ＝2，b ＝3，c ＝4或a ＝3，b ＝2，c ＝4. 2.数列(命题意图：考查数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题等.) (本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满 足a n ＝2S 2n 2S n －1 (n ≥2). (1)求证：数列???? ?? 1S n 是等差数列； (2)证明：当n ≥2时，S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n ＜3 2. 证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n 2S n －1 ， S n －1－S n ＝2S n S n －1，1S n －1 S n －1＝2， 从而???? ?? 1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列. (2)由(1)可知，1S n ＝1 S 1 ＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝1 2n －1 ， ∴当n ≥2时，1n S n ＝1n （2n －1）＜1 n （2n －2） ＝12·1n （n －1）＝12? ????1n －1－1n 从而S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n
高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)
1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法
高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2.