2019版高考数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程作业本理
2019版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第12章 选4系列 12.2 参数方程
12.2 参数方程[知识梳理]1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数Error!，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)Error!(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2Error!(θ为参数)椭圆＋＝1(a >x 2a 2y 2b 2b >0)Error!(φ为参数)提醒：直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[诊断自测]1．概念思辨(1)直线Error!(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段的数量．( )M 0M → (3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程Error!(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝，点O 为原点，则直线OM 的斜率为.( )π33答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(选修A4－4P 39T 1)直线Error!(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长等于( )A. B. C. D.12512559259105答案 B解析 直线的普通方程为x －2y ＋3＝0.圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3.∴圆心到直线的距离d ＝＝.35355∴弦长为2＝.故选B.r 2－d 21255(2)(选修A4－4P 24例2)已知点(x ，y )满足曲线方程Error!(θ为参数)，则的最小值是( )y x A. B. C. D ．132323答案 D解析 曲线方程Error!(θ为参数)化为普通方程得(x －4)2＋(y －6)2＝2，∴曲线是以C (4,6)为圆心，以为半径的圆，2∴是原点和圆上的点的连线的斜率，yx 如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA 时，取最小值，设yx 过原点的切线方程为y ＝kx ，则圆心C (4,6)到切线y ＝kx 的距离：d ＝＝，即7k 2－24k ＋17＝0，|4k －6|k 2＋12解得k ＝1或k ＝，177∴的最小值是1.故选D.yx3．小题热身(1)(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A. B ．2 C. D ．2141422答案 D解析 由Error!消去t ，得x －y －4＝0，由ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴C (2,0)，r ＝2.∴点C 到直线l 的距离d ＝＝，|2－0－4|22∴所求弦长＝2＝2.故选D.r 2－d 22(2)(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为Error!(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 25解析 直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2－x 2＝4.由Error!得x 2＝，即x ＝±，1222则|AB |＝|x A －x B |＝×＝2.1＋k 2AB1＋3225题型1 参数方程与普通方程的互化 (2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C ：＋＝1，直线典例x 24y 29l ：Error!(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．(1)用公式法，代入消参法；(2)过P 作PH ⊥l ，垂足为H ，当|PH |最长时，|PA |取最大值．解 (1)曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|，55则|PA |＝d sin30°＝|5sin(θ＋α)－6|，255其中α为锐角，且tan α＝.43当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为.2255当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为.255方法技巧将参数方程化为普通方程的方法1．将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形．冲关针对训练已知直线l 的方程为y ＝x ＋4，圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的交点的极坐标；(2)若P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值．解 (1)由题知直线l ：y ＝x ＋4，圆C ：x 2＋(y －2)2＝4，联立Error!解得Error!或Error!其对应的极坐标分别为，.(22，3π4)(4，π2)(2)解法一：设P (2cos θ，2＋2sin θ)，则d ＝＝，|2cos θ－2sin θ＋2|2|2cos (θ＋π4)＋2|当cos ＝1时，d 取得最大值2＋.(θ＋π4)2解法二：圆心C (0,2)到直线l 的距离为＝，圆的半径为2，|2|22所以点P 到直线l 的距离d 的最大值为2＋.2题型2 参数方程的应用 (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数典例方程为Error!(θ为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为，求a .17(1)方程组法；(2)代入点到直线的距离公式，采用分类讨论思想求解．解 (1)曲线C 的普通方程为＋y 2＝1.x 29当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由Error!解得Error!或Error!从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，.(－2125，2425)(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝.|3cos θ＋4sin θ－a －4|17当a ≥－4时，d 的最大值为.a ＋917由题设得＝，所以a ＝8；a ＋91717当a ＜－4时，d 的最大值为.－a ＋117由题设得＝，－a ＋11717所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.方法技巧直线的参数方程在交点问题中的应用1．若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则||||＝|t 1t 2|，||＝|t 2－t 1|＝.M 0M 1→ M 0M 2→ M 1M 2→ (t 2＋t 1)2－4t 1t 22．若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝.t 1＋t 223．若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.提醒：对于形如Error!(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．冲关针对训练(2017·湘西模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ·sin 2θ＝2cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．解 (1)由ρ·sin 2θ＝2cos θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ，即y 2＝2x .∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝，t 1t 2＝－，2cos αsin2α1sin2α∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝，(2cos αsin2α)2＋4sin2α2sin2α当α＝时，|AB |的最小值为2.π21．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，故C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组Error!若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.2．(2017·河南洛阳一模)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin＝5，射线OM ：θ＝与(θ＋π6)3π6圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解 (1)因为圆C 的参数方程为Error!(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由Error!解得ρ1＝2，θ1＝.π6设Q (ρ2，θ2)，则由Error!解得ρ2＝5，θ2＝.π6所以|PQ |＝3.[基础送分 提速狂刷练]1．(2017·山西太原一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．π2解 (1)C 1的普通方程为＋y 2＝1，C 1的极坐标方程为x 22ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ－2＝0，C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝，21＋sin2α联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝4sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝＋4sin 2α＝＋4(1＋sin 2α)－4，21＋sin2α21＋sin2α令t ＝1＋sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝＋4t －4，当0<α<时，t ∈(1,2)．设f (t )2t π2＝＋4t －4，易得f (t )在(1,2)上单调递增，2t ∴|OA |2＋|OB |2∈(2,5)．2．(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 的直角坐标为P (2,1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，并且|PA |·|PB |＝，求tan α的值．283解 (1)将方程ρsin 2θ＝4cos θ两边同乘以ρ，得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得y 2＝4x .经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式．所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将Error!代入y 2＝4x ，得sin 2α·t 2＋(2sin α－4cos α)t －7＝0，因为P (2,1)在直线l 上，所以|t 1t 2|＝＝，所以sin 2α＝，α＝或α＝，即|－7sin2α|28334π32π3tan α＝或tan α＝－.333．(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C 1：Error!(t 为参数)，C 2：Error!(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝，Q 为C 2上的动点，求PQ π2的中点M 到直线C 3：Error!(t 为参数)距离的最小值．解 (1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：＋＝1，x 264y 29C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，π2故M ，(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到C 3的距离d ＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|3sin θ－4cos θ＋13|5555＝|5sin(θ－φ)＋13|，55(其中φ满足tan φ＝43)所以d 的最小值为.8554．(2017·宣城二模)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是ρ＝a sin θ，直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)．(1)若a ＝2，直线l 与x 轴的交点是M ，N 是圆C 上一动点，求|MN |的最大值；(2)直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的倍，求a 的3值．解 (1)当a ＝2时，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.∴圆C 的圆心坐标为C (0,1)，半径r ＝1.令y ＝t ＝0得t ＝0，把t ＝0代入x ＝－t ＋2得4535x ＝2.∴M (2,0)．∴|MC |＝＝.22＋125∴|MN |的最大值为|MC |＋r ＝＋1.5(2)由ρ＝a sin θ得ρ2＝aρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2＝ay ，即x 2＋2＝.(y －a 2)a 24∴圆C 的圆心为C ，半径为，(0，a 2)|a 2|直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0.∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的倍，3∴圆心C 到直线l 的距离为圆C 半径的一半．＝，解得a ＝32或a ＝.|3a2－8|42＋32|a 4|32115．(2017·锦州二模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是Error!(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝，求直线14的倾斜角α的值．解 (1)∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，∴(x －2)2＋y 2＝4.(2)将Error!代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得：(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则Error!∴|AB |＝|t 1－t 2|＝＝，(t 1＋t 2)2－4t 1t 24cos2α＋12∵|AB |＝，14∴ ＝.4cos2α＋1214∴cos α＝±.22∵α∈[0，π)，∴α＝或α＝.π43π4∴直线的倾斜角α＝或α＝.π43π46．(2017·湖北模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ＝.(θ－π4)2(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.解 (1)由Error!消去参数α得＋y 2＝1，x 29即C 的普通方程为＋y 2＝1.x 29由ρsin ＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)(θ－π4)2将Error!代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为.π4(2)由(1)，知点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，即Error!(t 为参数)，代入＋y 2＝1并化简，得5t 2＋18t ＋27＝0，x 292Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，2设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－<0，t 1t 2＝>0，1825275所以t 1<0，t 2<0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝.1825。
极坐标系与参数方程一轮复习
极坐标系与参数方程♦知识梳理 、极坐标在象限确定.二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程（1） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ；（2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。
2、直线的极坐标方程（1） 过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程是 __________ ；（2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程1、极坐标定义：M 是平面上一点,表示0M 的长度,是MOx ，则有序实数实数对（,）,叫极径，叫极角；一般地,2、极坐标和直角坐标互化公式:COS2 2 x 2y sin或t tany （x 0）的象限由点（x, y ）所[0,2 ）， 0x y第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换知识点】点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。
称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 2： 在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。
若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。
【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程；(II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.练习:定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换x' x( y' y(00))的作用下，在平面直角坐标系中，设图形 的对应点为P(x, y )则有:即有:x x h， y y k在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y)xh x h 所确定的变换是一个平移变换。
【教育专用】高三数学（理）人教版一轮训练：第十二篇第2节参数方程
第2节参数方程【选题明细表】·广东省潮州二模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点R的极坐标为(2,),曲线C的参数方程为(θ为参数)(1)求点R的直角坐标;化曲线C的参数方程为普通方程;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.解:(1)点R的极坐标转化成直角坐标为R(2,2).由消参数θ,得曲线C的普通方程为+y2=1.(2)设P(cos θ,sin θ)根据题意,得到Q(2,sin θ),则|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,所以矩形PQRS的周长为:2(|PQ|+|QR|)=8-4sin(θ+).由0≤θ<2π知当θ=时,sin(θ+)=1,所以矩形的最小周长为4,点P(,).C:(θ为参数)和直线l:(其中t为参数,α为直线l的倾斜角).(1)当α=时,求圆上的点到直线l距离的最小值;(2)当直线l与圆C有公共点时,求α的取值范围.解:(1)当α=时,直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,圆C的圆心坐标为(1,0),圆心到直线的距离d==,圆的半径为1,故圆上的点到直线l距离的最小值为-1.(2)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α+sin α)t+3=0,这个关于t的一元二次方程有解,故Δ=4(cos α+sin α)2-12≥0,则sin2(α+)≥,即sin(α+)≥或sin(α+)≤-.又0≤α<π,故只能sin(α+)≥,即≤α+≤,即≤α≤.故α的范围是[,].·河南六市联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,再将所得到的曲线向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.解:(1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,得(2x-2)2+y2=4,即(x-1)2+=1,再将所得曲线向左平移1个单位,得曲线C1:x2+=1,则曲线C1的参数方程为(θ为参数).设曲线C1上任一点P(cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==≥(其中tan =-0,所以点P到直线l的距离的最小值为.·云南曲靖一中等多校联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+).倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l与曲线C交于M,N两点.(1)写出直线l的参数方程的标准形式,并求曲线C的直角坐标方程;(2)求+的值.解:(1)由倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l的参数方程为: (t为参数)化为(t为参数)曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+),即ρ2=2ρ×(sin θ+cos θ),可得直角坐标方程:x2+y2=2x+2y.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入圆C的方程为:t2-t-1=0,t1+t2=1,t1t2=-1.所以+=+====.。
12-3坐标系与参数方程2019高三一轮复习课件
θ， θ
(θ 为参数，
a>0)的一条准线的交点位于 y 轴上，求实数 a 的值．
解 直线 C1：2x＋y＝9， 椭圆 C2：y92＋ax22＝1(0<a<3)，
准线为 y＝± 9－9 a2，
由 9－9 a2＝9 得 a＝2 2.
基础诊断
考点突破
考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 【例 3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方
又xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
∴12x＋ 23y＝1.
即曲线 C 的直角坐标方程为 x＋ 3y－2＝0.
令
y＝0，则
x＝2；令
x＝0，则
y＝2
3
3 .
∴M(2,0)，N0，2 3 3. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为233，π2.
基础诊断
考点突破
(2)M，N 连线的中点 P 的直角坐标为1， 33， P 的极角为 θ＝6π.
基础诊断
考点突破
2．常用简单曲线的极坐标方程 (1)几个特殊位置的直线的极坐标方程： ①直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π＋θ0； ②直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； ③直线过 Mb，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b. (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程： ①当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； ②当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：ρ＝2acosθ ； ③当圆心位于 Ma，π2，半径为 a：ρ＝2asinθ .
基础诊断
考点突破
解
x＝ t，
基础诊断
考点突破
3．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程
高三理科数学一轮总复习第十七章 坐标系与参数方程
第十七章坐标系与参数方程高考导航2.(如过极点的直线、过极点或圆心参数方程和极坐知识网络17.1 坐标系典例精析题型一 极坐标的有关概念【例1】已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (5，π6)，B (5，π2)，C (－43，π3)，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积. 【解析】在极坐标系中，设极点为O ，由已知得∠AOB ＝π3，∠BOC ＝5π6，∠AOC ＝5π6.又|OA |＝|OB |＝5，|OC |＝43，由余弦定理得|AC |2＝|OA |2＋|OC |2－2|OA |·|OC |·cos ∠AOC ＝52＋(43)2－2×5×43·cos 5π6＝133，所以|AC |＝133.同理，|BC |＝133. 所以|AC |＝|BC |，所以△ABC 为等腰三角形. 又|AB |＝|OA |＝|OB |＝5， 所以AB 边上的高h ＝|AC |2－(12|AB |)2＝1332，所以S △ABC ＝12×1332×5＝6534.【点拨】判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练1】(1)点A (5，π3)在条件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下极坐标为 ，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下极坐标为 ；(2)点P (－12，4π3)与曲线C ：ρ＝cos θ2的位置关系是 .【解析】(1)(5，－5π3)；(－5，10π3).(2)点P 在曲线C 上.题型二 直角坐标与极坐标的互化【例2】⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1和⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.【解析】(1)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长. 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程. 同理，x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程.(2) 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x即⊙O 1，⊙O 2的交点为(0,0)和(2，－2)两点， 故过交点的直线的直角坐标方程为x ＋y ＝0.【点拨】 互化的前提条件：原点对应着极点，x 轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到. 【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d ，求d 的最大值.【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x 2＋y 2＝9， ρ(cos θ＋3sin θ)＝2可化为x ＋3y ＝2. 在x 2＋y 2＝9上任取一点A (3cos α，3sin α)， 则点A 到直线的距离为d ＝|3cos α＋33sin α－2|2＝|6sin(α＋30°)－2|2，它的最大值为4.题型三 极坐标的应用【例3】过原点的一动直线交圆x 2＋(y －1)2＝1于点Q ，在直线OQ 上取一点P ，使P 到直线y ＝2的距离等于|PQ |，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P 的轨迹方程.【解析】以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P 作PR 垂直于直线y ＝2，则有|PQ |＝|PR |.设P (ρ，θ)，Q (ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ.因为|PR |＝|PQ |，所以|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|，所以ρ＝±2或sin θ＝±1，即为点P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4或x ＝0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练3】如图，点A 在直线x ＝5上移动，等腰△OP A 的顶角∠OP A 为120°(O ，P ，A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程.【解析】取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系， 则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5. 设A (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，因为点A 在直线ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.①因为△OP A 为等腰三角形，且∠OP A ＝120°，而|OP |＝ρ，|OA |＝ρ0以及∠POA ＝30°， 所以ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°.②把②代入①，得点P 的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ－30°)＝5.题型四 平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例4】定义变换T ：⎩⎨⎧'=-'=+∙∙∙∙, cos sin , sin cos y y x x y x θθθθ可把平面直角坐标系上的点P (x ，y )变换成点P ′(x ′，y ′).特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P ′与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.(1)若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C 的标准方程，并求出当tan θ＝34时，其两个焦点F 1、F 2经变换公式T 变换后得到的点F 1′和F 2′的坐标；(2)当tan θ＝34时，求(1)中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标.【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆定义知焦距2c ＝22⇒c ＝2，即a 2－b 2＝2.① 又由已知得a 2＋b 2＝4，② 故由①、②可解得a 2＝3，b 2＝1. 即椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，且椭圆C 两个焦点的坐标分别为F 1(－2，0)和F 2(2，0).对于变换T ：⎩⎨⎧'=-'=+∙∙∙∙, cos sin , sin cos y y x x y x θθθθ当tan θ=43时，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=-'=+.5453,5354y y x x y x设F 1′(x 1，y 1)和F 2′(x 2，y 2)分别是由F 1(－2，0)和F 2(2，0)的坐标经变换公式T 变换得到.于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯--⨯=-=⨯+-⨯=,523054)2(53,524053)2(5411y x 即F 1′的坐标为(－425，－325)；又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-⨯==⨯+⨯=,523054253,52405325422y x即F 2′的坐标为(425，325).(2)设P (x ，y )是椭圆C 在变换T 下的不动点，则当tan θ＝34时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+yy x x y x 5453,5354⇒x ＝3y ，由点P (x ，y )∈C ，即P (3y ，y )∈C ，得(3y )23＋y 2＝1⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=,23,21x y 因而椭圆C 的不动点共有两个，分别为(32，12)和(－32，－12).【变式训练4】在直角坐标系中，直线x －2y ＝2经过伸缩变换 后变成直线2x ′－y ′＝4.【解析】⎩⎨⎧='='.4,y y x x总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；反之也成立. 2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.17.2 参数方程典例精析题型一 参数方程与普通方程互化 【例1】 把下列参数方程化成普通方程： (1) ⎩⎨⎧+=-=θθθθ sin cos 2,sin 4 cos y x (θ为参数)；(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--2)e e (,2)e e (tt t t b y a x (t 为参数，a ，b ＞0).【解析】(1),1)94()92(94 cos ,92 sin sin cos 2, sin 4 cos 22=++-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⇒⎩⎨⎧+=-=y x x y y x x y y x θθθθθθ所以5x 2＋4x y ＋17y 2－81＝0. (2)由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--②.e e 2，①e e 2t t tt by ax所以①2－②2得4x 2a 2－4y 2b 2＝4，所以x 2a 2－y 2b2＝1，其中x ＞0.【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.(1)⎩⎨⎧=+=; cos sin , cos sin θθθθy x (2)⎪⎩⎪⎨⎧+==;1,1t t y x (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=;13,13222t t y t t x (4) ⎩⎨⎧-=+= 3. tan 5, sec 46θθy x 【解析】(1)x 2＝2(y ＋12)，－2≤x ≤2，图形为一段抛物线弧.(2)x ＝1，y ≤－2或y ≥2，图形为两条射线.(3)x 2＋y 2－3y ＝0(y ≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3). (4)(x －6)216－(y ＋3)225＝1，图形是双曲线.题型二 根据直线的参数方程求弦长【例2】已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 3,2(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1.(1)求曲线C 的普通方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】(1)由曲线C ：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝1， 化成普通方程为x 2－y 2＝1.①(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23,212(t 为参数).②把②代入①得(2＋t 2)2－(32t )2＝1，整理得t 2－4t －6＝0.设其两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－6.从而弦长为|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝42－4(－6)＝40＝210.方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y ＝3(x －2)， 代入x 2－y 2＝1，得2x 2－12x ＋13＝0.设l 与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝132， 所以|AB |＝1＋3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝262－26＝210.【变式训练2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531,541(t 为参数)，若以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长.【解析】将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531,541(t 为参数)化为普通方程为3x ＋4y ＋1＝0.将方程ρ＝2cos(θ＋π4)化为普通方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.表示圆心为(12，－12)，半径为r ＝22的圆，则圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75. 题型三 参数方程综合运用【例3】(2009海南、宁夏)已知曲线C 1：⎩⎨⎧+=+-=t y t x sin 3, cos 4 (t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧==θθ sin 3,cos 8y x (θ为参数).(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧+-=+=t y t x 2,23(t 为参数)距离的最小值.【解析】(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ).C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|， 从而cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==θθ sin 2,cos 4y x (θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin θ(ρ＞0).(1)化曲线C 1、C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)设曲线C 1与x 轴的一个交点的坐标为P (m,0)(m ＞0)，经过点P 作曲线C 2的切线l ，求切线l 的方程. 【解析】(1)曲线C 1：x 216＋y 24＝1；曲线C 2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝5.曲线C 1为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C 2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆.(2)曲线C 1：x 216＋y 24＝1与x 轴的交点坐标为(－4,0)和(4,0)，因为m ＞0，所以点P 的坐标为(4,0).显然切线l 的斜率存在，设为k ，则切线l 的方程为y ＝k (x －4).由曲线C 2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆得|k ＋2－4k |k 2＋1＝5，解得k ＝3±102，所以切线l 的方程为y ＝3±102(x －4).总结提高1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x ，y 的取值范围而造成错误.2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.。
高考数学(理)一轮复习课件：坐标系与参数方程-2参数方程
π
当α＝ 4 时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝
2 2
，与
C2交点B1的横坐标为x′＝3
10 10 .
π
当α＝－ 4 时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别
与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形． 故四边形A1A2B2B1的面积为 （2x′＋2x）2 （x′－x）＝25.
(2)由(1)知xy＝＝t12＋2t
① ②
由①得t＝x－2 1，代入②得y＝(x－2 1)2，∴(x－1)2－4y＝0.
[答案] (1)1 (2)(x－1)2－4y＝0
[规律总结] 化参数方程为普通方程，关键是消去参
数建立关于x，y的二元方程F(x，y)＝0，常用方法有代入
消元法，加减消元法，恒等式法，方法的选取是由方程
＝0.
由题意可得圆心C(－1，0)，则圆心到直线x＋y＋3＝
0的距离即为圆的半径，故r＝
2＝ 2
2 ，所以圆的方程为
(x＋1)2＋y2＝2.
高考测点典例研习
参数方程与普通方程的互化
例1 [教材改编]已知某曲线C的参数方程为
x＝1＋2t y＝at2
(其中t是参数，a∈R)，点M(5，4)在该曲线
点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝
π 2
时，这
两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝
π 4
时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1.当α
＝－
π 4
时，l与C1
，C2的交点分别为A2，B2求四边形
A1A2B2B1的面积．
[思路点拨] (1)将参数方程化成普通方程； (2)求出A1B1A2B2点的坐标结合图形求四边形的面 积．
一轮复习(4-4参数方程)(1)
中，圆
C
的参数方程为
y
4
sin
(θ为参数)，直线 l 经过点 P(1,2)，倾斜角
. 6
(1)写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程。
(2)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点，求 PA PB 的值。
6.(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系
xoy
中，曲线
C1
的参数方程为
x
y
3 cos sin
x
y
1 t
t cos sin
( t 为参数)， (0, ) 。 2
(1)求曲线 C1 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线。
1
高频考点
坐标系与参数方程
选修
(2)设曲线 C2 与曲线 C1 的交点为 A, B, P 1, 0 ，当
PA
PB
7 时，求 cos 2
的值。
4.已知曲线 C
:
sin2
Ⅱ.若直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则| P 1P 2 || t 1 t 2 |
(t
1
t
2
2)
4t 1
t2
Ⅲ.若直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1PO|•|P2PO|=|t1t2|
另有当 t1t2>0 时，|P1PO|+|P2PO|=|t1+t2|；当 t1t2<0 时，|P1PO|+|P2PO|=|t1-t2|
(2)若 E 为椭圆 D 的下顶点， F 为椭圆 D 上任意一点，求 AE AF 的取值范围。
14．已知曲线 C 的极坐标方程是 4 sin 0 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐
高考数学真题之坐标系与参数方程
坐标系与参数方程2019年1.（2019全国1文22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x tt y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2.（2019全国II 文22）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 3.(2019全国III 文22）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD . （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标.2010-2018年1．(2018北京)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___．2．（2017北京）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0)），则||AP 的最小值为___________．3．（2017天津）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．4．（2016北京）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B两点，则||AB =____．5．（2015广东）已知直线l的极坐标方程为2sin()4πρθ-=Α的极坐标为7)4πA (，则点Α到直线l 的距离为 ． 6．（2015安徽）在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是7．(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 8．(2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 9．(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O e 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O e 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．(2018江苏)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．11．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．12．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．13．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．14．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．15．（2016年全国I ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．（I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．16．（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB ，求l 的斜率．17．（2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．18．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．19．（2015新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N,求2C MN ∆的面积．20．（2015新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C：ρθ=．（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值． 21．（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.22．（2015陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=． （Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．23．（2014新课标Ⅰ）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． (Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．24．（2014新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．25．（2013新课标Ⅰ）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=。
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第二节参数方程
A组基础题组
1.若点P(2,4)在直线l:(t为参数)上,则a的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.-1
2.(2017北京海淀一模,6)已知曲线C:(t为参数),A(-1,0),B(1,0).若曲线C上存在点P,且满足·=0,则实数a的取值范围为( )
A. B.[-1,1] C.[-,] D.[-2,2]
3.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.
4.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为.
5.已知圆C的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos θ=1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为.
6.已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.
7.在直角坐标系xOy中,曲线C1和曲线C2的参数方程分别为(θ为参数)和(t 为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C1与C2的交点的极坐标为.
8.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为ρsin=m,若曲线C与曲线E只有一个公共点,求实数m的取值范围.
B组提升题组
9.已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射
线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
10.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ-2cos θ.
(1)求曲线C的参数方程;
(2)当α=时,求直线l与曲线C交点的极坐标.
答案精解精析
A组基础题组
1.D 点P(2,4)在直线l上,故解得t=1,a=-1,故选D.
2.C 解法一:∵A(-1,0),B(1,0),曲线C上存在点P,且满足·=0,∴点P的轨迹方程是x2+y2=1.曲线C的普通方程为y=x+a,圆心(0,0)到曲线C的距离d=,
由题意得,≤1,即-≤a≤,∴选C.
解法二:曲线C的普通方程为y=x+a,设P(x0,x0+a),则=(x0+1,x0+a),=(x0-1,x0+a),因为曲线C上存在点P,且满足·=0,所以-1++2ax0+a2=0,即2+2ax0+a2-1=0,
只需方程2+2ax0+a2-1=0有实根,所以Δ=4a2-4×2(a2-1)≥0,解得-≤a≤.
3.答案(θ为参数)
解析由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,故曲线C对应
的参数方程可写为(θ为参数).
4.答案 3
解析由直线l的参数方程(t为参数)消去参数t得直线l的一般方程为y=x-a,由椭圆的参数
方程可知其右顶点为(3,0).因为直线l过椭圆的右顶点,所以3-a=0,即a=3.
5.答案(1,1)
解析由极坐标系与直角坐标系互化关系可知直线l的直角坐标方程为x=1.由圆C的参数方程可得其
普通方程为x2+(y-1)2=1,由得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(1,1). 6.答案(,1)
解析曲线C
1为射线y=x(x≥0).曲线C2为圆x 2+y2=4.设P为C
1与C2的交点,如图,作PQ垂直x轴于
点Q.因为tan∠POQ=,所以∠POQ=30°,又因为OP=2,所以C1与C2的交点P的直角坐标为(,1).
7.答案
解析曲线C
1:(θ为参数)的普通方程为x 2+y2=2,曲线C
2:(t为参数)的普通
方程为x=2-y.由得所以曲线C1与C2的交点的直角坐标为(1,1).因为点(1,1)在第一象限内,所以曲线C1与C2的交点的极坐标为.
8.解析由(α为参数)⇒y=1-x2(-≤x≤),即曲线C的普通方程为
y=1-x2(-≤x≤).曲线E的直角坐标方程为x-y+2m=0,由⇒x2+x+2m-1= 0(-≤x≤),因为曲线C与曲线E只有一个公共点,∴Δ=1-4(2m-1)=0⇒m=,此时公共点为,满足题意.设曲线y=1-x2(-≤x≤)的两个端点为A(-,-1)、B(,-1),当直线x-y+2m=0过点A时
可求得m=,当直线x-y+2m=0过点B时可求得m=-,结合图形可知,当-≤m<时,曲线C与曲线E只有一个公共点.
综上所述,m的取值范围是∪.
B组提升题组
9.解析(1)由已知得M点的极角为,且M点的极径等于,故点M的极坐标为.
(2)M点的直角坐标为,A(1,0),故直线AM的参数方程为(t为参数).
10.解析(1)由ρ=2sin θ-2cos θ,
可得ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ.
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,
化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2.
曲线C的参数方程为
(φ为参数).
(2)当α=时,直线l的方程为
化成普通方程为y=x+2.
由解得或
所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为,(2,π).。