2018高考数学解题技巧极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧
解答题模板3：极坐标与参数方程
1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化
极坐标与直角坐标的互相转化
（2）
{参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3)
{利用参数方程求值域参数方程的几何意义
2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定
点00(,)x y 的数量；
圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨
=+⎩为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22
221x
y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ
=⎧⎨=⎩为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ
=⎧⎨=⎩为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2
2()2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数 极坐标与直角坐标互化公式：
若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，
则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。

解题方法及步骤
（1）、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）
例1、方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=--t t t t y x 2
222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
解析：注意到2t t 与2t
-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=⋅≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.
（2）、极坐标与直角坐标的互化
利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为),(y x ，它的极坐标为),(θρ，则⎩⎨⎧==θ
ρθρsin cos y x 或
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=x y y x θρtan 2
22；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.
例2、极坐标方程52sin 42=⋅θ
ρ表示的曲线是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线的一支
D. 抛物线
分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断. 解析：由21cos 4sin 422cos 522
θ
θρρρρθ-⋅=⋅=-=
，化为直角坐标系方程为25x =，化简得22554
y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D. （3）、参数方程与直角坐标方程互化
例3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ
θsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=． （1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．
解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ
θsin 10cos 102y x 得10)2(22=++y x ，
∴曲线1C 的普通方程为10)2(2
2=++y x ，
∵θθρsin 6cos 2+=，θρθρρsin 6cos 22+=∴，
∵222y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ，
∴y x y x 6222+=+，即10)2(22=++y x ，
∴曲线2C 的直角坐标方程为10)2(22=++y x ； （2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1(， ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=
C ∴两圆相交，设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C
∴222)10()223()2(=+d
， ∴22=d ，∴公共弦长为22 （4）利用参数方程求值域
D A F
E O B C 例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C
：12(112
x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.
解：直线2C 化成普通方程是122--+y x ，设所求的点为()θθsin ,cos 1+P ， 则C 到直线2C 的距离2|
122sin cos 1|-+++=θθd |2)4sin(|++=π
θ， 当2
34ππ
θ=+时，即45πθ=时，d 取最小值1 ，此时，点P 的坐标是)22,221(--. 5）直线参数方程中的参数的几何意义
例5、已知直线l 经过点)1,1(P ，倾斜角6πα=
，
①写出直线l 的参数方程;
②设l 与圆42
2=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积. 解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，即12112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． （2
）把直线12112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ，
得2221(1)(1)4,1)202
t t t ++=+-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．。