高中数学极坐标与参数方程高考题型全归纳题型部分
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。
例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。
例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。
解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。
2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。
为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。
极坐标与参数方程高考题题型归纳
《极坐标与参数方程》高考题一、轨迹问题1、（2010）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），（Ⅰ）当α=3π时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
2、(2011)．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x ay a =⎧⎨=+⎩ (α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u r u u u u r，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.3、 (2013课标全国2卷)选修4—4：坐标系与参数方程 已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．4、(2017课标全国2卷)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．5、(2017课标全国3卷) 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．二、距离问题1、（2012）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。
高考极坐标与参数方程大题题型汇总（附详细答案）
高考极坐标与参数方程大题题型汇总1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sinx y 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是(sin 3cos )33，射线:3OM 与圆C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y，又cos ,sinx y ;所以圆C 的极坐标方程是2cos. ---5分(2)设11(,)为点P 的极坐标，则有1112cos 3解得1113.设22(,)为点Q 的极坐标，则有2222(sin 3cos )333解得2233由于12，所以122PQ，所以线段PQ 的长为 2.2．已知直线l 的参数方程为431x t ayt （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin8．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 所得弦长为3，求实数a 的值．解：（1）∵2222268(36si )n81xyy xy ，∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1xy ；(5分）（2）把直线l 的参数方程431x t ayt （t 为参数）化为普通方程得：34340x y a ，∵直线l 截圆M 所得弦长为3，且圆M 的圆心(0,3)M 到直线l 的距离22|163|3191()5222a da或376a，∴376a或92a．(10分）3．已知曲线C 的参数方程为sin51cos 52yx(为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线c 的极坐标方程（2）若直线l 的极坐标方程为(sin θ+cos θ)=1，求直线l 被曲线c 截得的弦长。
解：(1)∵曲线c 的参数方程为sin51cos 52yx(α为参数)∴曲线c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将sincos yx代入并化简得：=4cos θ+2sin θ即曲线c 的极坐标方程为=4cos θ+2sin θ(2)∵l 的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c 到直线l 的距离为d=22=2∴弦长为225=234．已知曲线C ：2219xy，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()24.（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上任一点，求P 到直线l 的距离的最大值.解：（1）曲线C 的参数方程为3cos sinxy（为参数），直线l 的直角坐标方程为2x y（2）设(3cos,sin)P ，P 到直线l 的距离10cos()23cossin 222d（其中为锐角，且1tan3）当cos()1时，P 到直线l 的距离的最大值max52d 5．设经过点(1,0)P 的直线l 交曲线C ：2cos 3sinxy(为参数)于A 、B 两点．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）当直线l 的倾斜角60时，求||||PA PB 与||||PA PB 的值．解：（1）C ：22143xy．（2）设l ：11232x tyt（t 为参数）联立得：254120tt 212121216||||||45PA PB t t t t t t ，1212||||||5PA PB t t 6．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2，若直线l 过点P ，且倾斜角为6，圆C 以M 为圆心，3为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB．解：（1）直线l 的参数方程为31,212,2x t yt 为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为sin6.（2）把31,212,2x t yt 代入22(3)9xy ，得2(31)70tt ，127t t ，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PAt PBt ,7.PAPB7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是22222x tyt （t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为42cos()4.（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求11PA PB的值.解：（1）由42cos()4，展开化为2242(cos sin )4(cos sin )2，将代入,得22440xyx y ，所以，圆C 的直角坐标方程是22440xyxy.cos sinxy（2）把直线l 的参数方程22222x tyt（t 为参数）代入圆的方程并整理，可得：22240tt.设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121222,40t t t t ，所以2121212()426t t t t t t .∴121212111126642t t PAPBt t t t .8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos10，曲线13cos :2sin x C y（为参数）．（1）求曲线1C 的标准方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．解：（1）曲线1C 的标准方程是：22194xy（2）曲线C 的标准方程是：210xy 设点(3cos ,2sin)M ，由点到直线的距离公式得：3cos 4sin 1015cos()1055d其中34cos,sin550时，min5d ，此时98(,)55M 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122322x t yt（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1yx交于A ，B 两点.（1）求AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为322,4，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l 的参数方程为122322x t yt ，，（t 为参数），代入曲线C 的方程得24100tt ．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t ，1210t t ，所以12||||214AB t t ．（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)，，所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t ，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM ．10．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6，（1）写出直线l 的参数方程。
极坐标参数方程题型归纳7种
极坐标参数方程题型归纳7种标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳一、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2015·广东理，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A的极坐标为A⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A到直线l的距离为________．[立意与点拨]本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．二、参数方程与直角坐标方程的互化【解析】椭圆方程为：14622=+yx，因为1cossin22=+xx，令⎩⎨⎧==ααcos2sin6yx，则有X+2y=αsin6+αcos4=()ϕα++sin166,最大值22，最小值22-三、根据条件求直线和圆的极坐标方程四、求曲线的交点及交点距离4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B 两点，则|AB|＝________．【解析】直线l的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参数方程⎩⎨⎧x＝t－1t，y＝t＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x－y＝0，y2－x2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－22，y＝－322或⎩⎪⎨⎪⎧x＝22，y＝322.所以点A⎝⎛⎭⎪⎫－22，－322，B⎝⎛⎭⎪⎫22，322.所以|AB|＝⎝⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.5.在平面直角坐标xOy 中，已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t ，(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．[解析] 解法1：将l 的方程化为普通方程得l ：x ＋y ＝3，∴y ＝－x ＋3，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得x 2－10x ＋9＝0，∴x 1＝1，x 2＝9. ∴交点A (1,2)，B (9，－6)，故|AB |＝82＋82＝8 2.解法2：将l 的参数方程代入y 2＝4x 中得，(2＋22t )2＝4(1－22t )， 解之得t 1＝0，t 2＝－82，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析](1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．五、利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．【解】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C 1代表的是一条过原点的直线) 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，曲线C 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α.(1)写出直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．[解析] (1)∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，∴ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝12，∴32y －12x ＝12，即l ：x －3y ＋1＝0.(2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cos α，2sin α)， 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|2＋2cos α－23sin α＋1|2＝⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋32≤72. 所以最大距离为72.解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝72.10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解析](1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)直线l 的普通方程为：2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.六、直线参数方程中的参数的几何意义方法一：方法二：根据直线参数方程中t 的几何意义，可知，弦长=|t 1-t 2|.得：053154153154122=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t t t ，方程化简，然后用韦达定理求 弦长=|t 1-t 2|=()212214t t t t -+=.....13.(理)在直角坐标系xOy 中，过点P (32，32)作倾斜角为α的直线l 与曲线C ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点M 、N .(1)写出直线l 的参数方程；(2)求1|PM |＋1|PN |的取值范围．(根据直线参数方程中t 的几何意义,用参数t 表示所求量1|PM |＋1|PN |，然后用t 的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α，(t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α.(t 为参数)代入x 2＋y 2＝1中，消去x ，y 得，t 2＋(3cos α＋3sin α)t ＋2＝0，由Δ＝(3cos α＋3sin α)2－8＝12sin 2(α＋π6)－8>0⇒sin(α＋π6)>63， 1|PM |＋1|PN |＝1－t 1＋1－t 2＝－t 1＋t 2t 1t 2＝3cos α＋3sin α2＝3sin(α＋π6)∈(2，3]．七、求动点坐标、求变量的值14.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析] (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．(此处用参数t 来表示所求距离，然后当作变量为t 的二次函数，求最值)15.(2016全国卷I)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=， 224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C∴210a -=,∴1a =（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）16．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点．(1)求a ； (2)O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．[解析] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆； l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1. (求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)。
极坐标与参数方程高考经典题型归纳总结
1.弦长问题模型11.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为()25622=++y x（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程为t t y t x (sin cos ⎩⎨⎧==αα为参数），l 与C 交于点B A ,， ①若43πα=，求AB ， ①若10=AB ，求l 的斜率。
2.已知直线t ty tx (32⎩⎨⎧=+=为参数）与曲线θθρcos 8sin 2=交于B A ,，求AB2.弦长问题模型2（只对直线过原点才可以）注意：若直线倾斜角为α且过原点，则该直线的直角坐标方程为αtan x y=，其参数方程为⎧==ααsin cos t y t x ，其极坐标方程为)(R ∈=ραθ3.在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .3.参数方程最值问题模型4.已知曲线θθθ(sin 2cos 1:1⎩⎨⎧+=+=y x C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线:2C4πθ=()R ∈ρ（1）写出1C 的极坐标方程，2C 的一个参数方程；（2）设1C 与2C 交于N M ,两点，P 为1C 上一动点，求PMN ∆面积的最大值。
4.利用直线参数方程中t 的几何意义问题模型5.在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为:2,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩直线l 与曲线C 分别交于,M N(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程; (2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值.5.综合问题例题1在平面直角坐标系xoy 中，曲线13:221=+y x C ，以坐标原点为极轴，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线a C 222)4sin(:2+=+πθρ（1）写出1C 的参数方程，2C 的普通方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C ，求PQ 的最小值以及此时P 点坐标。
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳极坐标与参数方程题型和方法归纳题型一：极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。
具体方法如下：1)极坐标方程转直角坐标方程：begin{cases}\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\\\tan\theta=\dfrac{y }{x}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\y=\rho \sin\theta\end{cases}$$其中，$\rho$表示点到原点的距离，$\theta$表示点与$x$轴正半轴的夹角。
2)参数方程转直角坐标方程：begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\RightarrowF(x,y)=0$$其中，$F(x,y)$为$x,y$的函数，$t$为参数。
3)极坐标方程转参数方程：begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\Rightarr ow\begin{cases}r=f(\theta)\\ \theta=g(r)\end{cases}$$题型二：三个常用的参数方程及其应用1)圆的参数方程：begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}$$其中，$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
2)椭圆的参数方程：begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$a,b$为椭圆的长短半轴。
3)过定点倾斜角为$\alpha$的直线$l$的标准参数方程为：dfrac{x-x_0}{\cos\alpha}=\dfrac{y-y_0}{\sin\alpha}=p$$其中，$(x_0,y_0)$为直线$l$上的一点，$p$为直线$l$到原点的距离。
极坐标与参数方程高考高频题型(整理较全)(可编辑修改word版)
极坐标与参数方程高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题） ----- 利用圆心到直线的距离与半径比较用圆心（x ,y ）到直线 Ax+By+C=0 的距离d =，算出 d ，在与半径比较。
0 0题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x ,y ）到直线 Ax+By+C=0 的距离d = 0 0第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式： d max = d + r ， d min = d - r相切、相交： d max = d + rd min = 0题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式l = 2 ，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）弦长公式l = t 1 - t 2 ,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1. 曲线上的点到直线距离的最值问题2. 点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2r 2 - d 2⎩ ⎨ 0②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P(x ，y )，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎧x =x0 +t cos为参数）若A，B 为直线l 上00⎨y =y +t sin(t两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t1＋t2(2)|PM|=|t0|= ；(3)|AB|=|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|2（5）PA +PB =t1+t2=⎧⎪t1-t2= ,当t1t2< 0 ⎪⎩t1+t2 ,当t1t2> 0（注：记住常见的形式，P 是定点，A、B 是直线与曲线的交点，P、A、B 三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为 1 时，t才有几何意义且其几何意义为：|t| 是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于 t 的一元二次方程：at 2+bt +c = 0第三步：韦达定理：t +t =-b, t t =c1 2 a 1 2 a第四步：选择公式代入计算。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
(3)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值及此时P的直角坐标.
7.在坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin =2 .
极坐标系与参数方程
题型一与圆有关的问题
1.已知曲线C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 .（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
2.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈ .(1)求C的参数方程.(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
题型二 根据椭圆参数方程求最值
6.曲线C1的参数方程为 (θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的 倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.
(1)求曲线C2和直线l的普通方程.
9．以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为 ，若直线l的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 ，（ 为参数).
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）设直线l与曲线 交于 两点，求 .
10.在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
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2019极坐标与参数方程高考题型全归纳一.题型部分(一) 极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数方程的转化1. 极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+,tan yxθ=。
2. 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221xy a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=⎧⎨=⎩为参数； 抛物线22y px =的参数方程是22()2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数(二)有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义” (三）距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标Ⅰ）C 的普通方程为2213x y =，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（解说：C 1：相加-平方-化同-利用三角消元：移项sinαy cosα3x ⎩⎨⎧==这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边1y 3x 两道式子相加asin y αcos 3x 两边同时平方sinαy cosα3x 222222=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα（解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，3()2sin()2|32d παα==+-.解说：利用点到直线的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin =+πα即当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,)22.（四）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0=t 1＋t 22；(2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22；(3)|AB |=|t 2－t 1|；(4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t ab t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
例如：已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.(五).极坐标中ρ的几何意义一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离 思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。
例如：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|． 解：（Ⅰ）∵曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C 1的普通方程为x 2+（y ﹣2）2=7． ∵曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，∴把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入（x ﹣1）2+y 2=1，得到曲线C 2的极坐标方程（ρcos θ﹣1）2+（ρsin θ）2=1，化简，得ρ=2cosθ．（Ⅱ）依题意设A（），B（），∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C 2的极坐标方程，得，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．(六).面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题例题：在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．解：（1）由，化简得：，消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），∴|AB|==2，设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），∴P点到直线l的距离为d==，∴d min==2，则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4．附:2019极坐标与参数方程高考题型全归纳二.:精典配套练习(含答案)部分。