极坐标与参数方程高考真题

极坐标与参数方程高考真题1、（2018北京理10）在极坐标系中，直线cos sin a ρθρθ+=（0a >）与圆2cos ρθ=相切，则_______a =．【解析】直线0x y a +-=，圆22(1)1x y -+=，1d ==得1a = 2、（2018江苏21C ）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则π6OAB ∠=．连结OB OB ，因为OA OA 为直径，从而π2OBA ∠=，所以π4cos 6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为3、（2018新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．学#科网 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k=时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k=时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 4、（2018新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．5、（2018新课标Ⅲ理22）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为与交于两点当且仅当，解得或，即或． 综上，的取值范围是．O e 221xy +=2απ=l O e 2απ≠tan k α=l y kx =l O e 1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3π（2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足． 于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 6、（2018天津理12）已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为_______.【解析】直线方程为20x y +-=，圆22(1)1x y -+=，2d =，||AB == ∴11||22S AB d =⋅= 7、（2017新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．解：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-．l cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A t Bt 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t α=P (,)xy cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P 2,2222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =．当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-． 综上，8a =或16a =-．8、（2017新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．解：（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθOP OM = 由16OM OP =g 得2C 的极坐标方程()cos =4＞0ρθρ因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B Bραρ,由题设知cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积ππρααα⎛⎫⎛⎫=∠=-=--≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g g 1sin 4cos sin 2sin 22233B S OA AOB当=-12πα时，S取得最大值 所以△OAB面积的最大值为9、（2017新课标Ⅲ理22）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径． 解：（1）消去参数t 得l 1的普通方程()12l :y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()212l :y x k=+ 设P （x,y ）,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠． 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠ （2）C 的极坐标方程为()()22240＜＜2cos sin ,rqq q p q p-=≠联立()()2224+cos sin cos sinr q q r q q ⎧-=⎪⎨⎪⎩得()=2+cos sin cos sin q q q q -．故13tanq =-，从而2291=，=1010cos sin q q 代入()222-=4cos sin rq q 得2=5r，所以交点M．10、（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________． 【答案】111、（2017江苏21C ）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82tty ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C的参数方程为2x 2s ,y ⎧=⎪⎨⎪=⎩s 为参数）。

设p 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值解：直线l 的普通方程为280x y -+=． 因为点P 在曲线C上，设2(2,)P s ，从而点P 到直线l的的距离22d ==，当s =min d =因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l的距离取到最小值5． 12、（2017天津理11）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________．【答案】2【解析】直线为，圆为，因为，所以有两个交点． 13、（2015安徽理12）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是_____．答案：6分析：由题意2sin ρρθ=，转化为直角坐标方程为228x y y +=，即22(4)16x y +-=；直线()3R πθρ=∈转化为直角坐标方程为y =，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆到直线距离的最大值4246D d r =+==+=．14、（2015北京理11）在极坐标系中，点(2,)3π到直线(cos )6ρθθ+=的距离为_____．答案：1 分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程(cos )6ρθθ=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==．15、（2015福建理22）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos 23sin x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin(),()4m m R πθ-=∈．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．答案：（Ⅰ）22(1)(2)9,0x y x y m -++=--=；（Ⅱ）3m =-±210y ++=22(1)1x y +-=314d =<分析：（Ⅰ）消去参数t ，得到圆的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，sin()4m πθ-=，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=． （Ⅱ）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即2=，解得3m =-±．16、（2015广东理14）已知直线l的极坐标方程为2sin()4πρθ-=A的极坐标为7)4A π，则点A 到直线l 的距离为____________．答案：2分析：2sin()4πρθ-=2(sin coscos sin )sin cos 144ππρθθρθρθ-=∴-=，即l 的直角坐标方程为10x y -+=，77)24444ππππ===-=-，∴点A 的直角坐标为(2,2)-，从而点A 到直线l2==．17、（2015湖北理16）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB =______．答案：分析：因为(sin 3cos )0ρθθ-=，所以sin 3cos ρθρθ=，所以30y x -=，即3y x =；由1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t 得224y x -=．联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(),(2222A B --由两点间的距离公式得||AB ==18、（2015湖南理16B ）（Ⅱ）已知直线52:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值；解：(1)2cos ρθ=等价于22cos ρρθ= ①，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入①即得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-= ②．(2)将5212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入②，得2180t ++=， 设这个方程的两个实根分布为12,t t ，则由参数t 的几何意义即知，12||||||18MA MB t t ⋅==． 19、（2015江苏21C ）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径．分析：以极坐标系的极点为平民直角坐标系的原点O ，以极轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，圆C 的极坐标方程为2(cos )4022ρθθ+--=，化简得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=，则圆C 的直角坐标系方程为222240x y x y +++-=，即22(1)(1)6x y +++=，所以圆C．20、（2015陕西理23）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C e的极坐标方程为ρθ=． （Ⅰ）写出C e 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 分析：（Ⅰ）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以22(3x y +=．（Ⅱ）设1(3)2P t +，又C，则||PC ==， 故当0t =时，||PC 取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0)．21、（2015 新课标Ⅰ理23）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-= ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．答案：见解析分析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=． （Ⅱ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ12MN ρρ=-= 因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积o 111sin 4522⨯=． 22、（2015 新课标Ⅱ理23）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=． （Ⅰ）求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求||AB 的最大值． 答案：见解析分析：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立2222200x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)22． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以|||2sin |4|sin()|3AB πααα=-=- ，当56πα=时，||AB 取得最大值，最大值为4． 23、（2015重庆理15）已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______．答案：(2,)π分析：直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos 24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点．为(2,0)-，其极坐标为(2,)π．24、（2015广东文14）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为_______．答案：(2,4)-分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为(2,4)-．25、（2014新课标Ⅰ理23）已知曲线22:149x y C +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值． 答案：见解析分析：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-=（Ⅱ）在曲线C 上任意取一点(2cos ,3sin )P θθ到l的距离为3sin 6d θθ=+- 则()||6sin 30d PA θα︒==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=．当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为5． 26、（2014新课标Ⅱ理23）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0,]2πθ∈．（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．答案：（Ⅰ）1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（Ⅱ）3(,22 分析：（Ⅰ）C 的普通方程为()()221101x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）． （Ⅱ）设()1cos ,sin D t t +，由（Ⅰ）知C 是以()1,0G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．tan 3t t π==． 故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(2．27、（2014广东理14）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为_______． 答案：()1,1分析：1C 即2(sin )cos ρθρθ=，故其直角坐标方程为：2y x =；2C 即11,y C =∴与2C 的交点的直角坐标的纵坐标为：11,y C =∴与2C 的交点的直角坐标为(1,1)．28、（2014湖南理11）在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线 C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)交于 A 、B 两点，且2AB = ，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_______． 答案：()cos sin 1ρθθ-=分析：依题意曲线C 的普通方程为 ()()22211x y -+-=，设直线l 的方程为y x b =+ ，因为弦长2AB = ，所以圆心()2,1 到直线l 的距离0d = ，所以圆心在直线 l 上，故1y x =-，()sin cos 1cos sin 1ρθρθρθθ=-⇔-=．29、（2014湖北理16）已知曲线1C的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为_____．答案：分析：由x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 得223(0,0)x y x y =≥≥，即曲线1C的普通方程是(0)y x x =≥；由2ρ=得24ρ=得224x y +=，即曲线2C 的直角坐标方程是224x y +=．联立22(0)34y x x x y ⎧=≥⎪⎨⎪+=⎩解得1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1C 与2C的交点坐标为． 30、（2014陕西理15C ）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是_________．解：极坐标点(2,)6π对应直角坐标点，直线1sin()sin cos 162πρθρθρθ-=-⋅=，2x -=，点到直线的20x +=距离|1d ==．31、（2014重庆理15）已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02)ρθθρθπ-=≥≤<，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________．分析：由题知，直线l 的一般方程为10x y -+=，由2sin 4cos 0ρθθ-=得()2sin 4cos 0ρθρθ-=，故曲线C 的普通方程为24y x =，由2104x y y x-+=⎧⎨=⎩解得直线l 与曲线C 的公共点的直角坐标为(2,1)，其极径为ρ== 32、（2014福建理22）已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为常数）．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．答案：见解析分析：(1)直线l 的参数方程为24x a ty t =-⎧⎨=-⎩，消去t 可得220x y a --=；圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，两式平方相加可得2216x y +=；(2)圆心(0,0)C ，半径4r =．由点到直线的距离公式可得圆心(0,0)C 到直线l 的距离为d =．∵直线l 到圆C 有公共点，∴4d ≤4≤，解得a -≤≤ 33、（2014辽宁理23）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．(1) 写出C 的参数方程；(2) 设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 答案：见解析分析：(1) 曲线的参数方程C ：cos ,[0,],2sin x tt t y t π=⎧∈⎨=⎩为参数． (2) 设曲线C 上的点(cos ,2sin )P θθ在直线上，则2cos 2sin 20θθ+-=，)14πθ+=，即0θ=，或2π．所以(1,0),(0,2),A B AB 中点1(,1)2．垂直AB 的中垂线方程是111()22y x -=-，即432y x -=，所以，所求直线的极坐标方程是2cos 4sin 30ρθρθ-+=．34、（2014江苏理23）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 答案：见解析分析：直线l的参数方程为1222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化为普通方程为3x y +=，与抛物线24y x =联立，可得21090x x -+=， 所以，交点(1,2)A 、(9,6)B -，所以||AB ==35、（2016新课标Ⅰ理23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =acost ，y =1+asint ，（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ． （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ． 【答案】（I ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=（II ）136、（2016新课标Ⅱ理23）在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程； （Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． xOy C 22(6)25x y ++=x C l cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t l C ,A B ||AB =l 212cos 110ρρθ++=3±考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式．37、（2016新课标Ⅲ23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点P 在上，点Q 在上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．xOy 1C ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C 1C 2C 1C 2213x y +=2C 40x y +-=31(,)2238、（2016北京理11）在极坐标系中，直线cos sin 10p θθ-=与圆2cos p θ-交于A ，B 两点， 则 |AB|=____________________．【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ直线的直角坐标方程为10--=x∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x圆的直角坐标方程为()2211-+=x y圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB39、（2016江苏21C ）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），椭圆C 的参数方程为 （为参数）．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【答案】112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ16740、（2013新课标Ⅰ理23）已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1) 把1C 的参数方程化为极坐标方程；(2) 求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<．答案：(1) 28cos 10sin 160ρρθρθ--+= (2) )4π，(2,)2π．分析：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，即221:810160C x y x y +--+=． 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22+810160x y x y --+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．(2) 2C 的普通方程为2220x y y +-=．由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以1C 与2C交点的极坐标分别为)4π，(2,)2π．41、（2013新课标Ⅱ理23）已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2(02)t ααπ=<<，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．答案：见解析分析：(1)依题意有(2cos ,2sin )P αα，(2cos 2,2sin 2)Q αα， 因此(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．(2)M点到坐标原点的距离2)d απ==<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．42、（2013广东理14）已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为_____．答案：sin()4πρθ+=分析：曲线C 的普通方程为222x y +=，其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=，对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=，即sin()4πρθ+=43、（2013安徽理7）在极坐标系中，圆 2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ． 0()R θρ=∈和cos 2ρθ= B ． ()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ． ()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ． 0()R θρ=∈和cos 1ρθ=答案：B分析：由题意可知，圆2cos ρθ= 可化为普通方程为22(1)1x y -+= ．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为0x = 和2x = ，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()2R πθρ=∈ 和cos 2ρθ=．44、（2013江西理15A ）设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为______． 答案：2cos sin 0ρθθ-=分析：由曲线C 的参数方程为2,x t y t == （t 为参数），得曲线C 的直角坐标系方程为2x y =． 又由极坐标的定义可得()2cos sin ρθρθ=，即化简得曲线C 的极坐标方程为2cos sin 0ρθθ-=．45、（2013陕西理15C ）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆220x y x +-=的参数方程为________．答案：2cos ,R cos sin x y θθθθ⎧=∈⎨=⋅⎩ 分析：圆的方程22211()()22x y ⇒-+=⇒圆的半径12r =22cos cos cos cos ,sin cos sin OP r x OP y OP θθθθθθθ⇒=⋅=⇒=⋅==⋅=⋅所以圆的参数方程为2cos ,R cos sin x y θθθθ⎧=∈⎨=⋅⎩．46、（2013重庆理15）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23,x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)相交于A ，B 两点，则||AB =_____． 答案：16分析：由极坐标方程cos 4ρθ=，化为直角坐标方程可得4x =，而由曲线参数方程消参得32x y =， ∴23464y ==，即8y =±， ∴|||8(8)|16AB =--=．47、（2013湖南理9）在平面直角坐标系xOy 中，若,:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为_______． 答案：348、（2013湖北理16）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参考，)0a b >>．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O 的极坐标方程分别为sin 42m πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)与b ρ=．若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为______ ． 答案：3e =分析：直线l 的方程是x y m +=，作出图形借助直线的斜率可得c =，所以()2222c a c =-，3e =．49、（2013天津理11）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=，圆心为C ，点P 的极坐标为(4,)3π，则CP =_______． 答案：分析：由圆的极坐标方程为4cos ρθ=，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P的直角坐标为(2,，所以CP =50、（2013辽宁理23）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ρθ=，cos(4πρθ-(1)求1C 与2C 交点的极坐标；(2)设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为3312x t ab y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(t R ∈为参数)，求a ，b 的值． 答案：(1)(4,)2π, )4π(2) 1,2a b =-=分析：(1)圆1C 的直角坐标方程为22+(-2)=4x y ，直线2C 的直角坐标方程为+40x y -=．解22(2)4,40x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩得1104x y =⎧⎨=⎩或2222x y =⎧⎨=⎩所以1C 与2C 交点的极坐标为(4,)2π，)4π．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=． 由参数方程可得122b aby x =-+． 所以1,212,2bab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得1,2a b =-=．51、（2013福建理21B ）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆C 的位置关系．答案：见解析 分析：(1)由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a = 所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=， 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．(2)由已知得圆c 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，所以圆心为(1,0)，半径1r =，以为圆心到直线的距离12d =<，所以直线与圆相交． 52、（2012新课标理23）已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π(1)求,,,A B C D 点的直角坐标；(2)设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围．答案：(1)1,1)--；(2)见解析． 分析：(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ， 点,,,A B C D的直角坐标为1,1)--．(2) 设00(,)P x y ；则002cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)2222t PA PB PC PD =+++ 23220sin [32,56]ϕ=+∈．53、（2012江苏21C ）在极坐标中，已知圆C经过点)4P π，圆心为直线sin()3πρθ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 答案：圆C 的极坐标方程为2cos .ρθ=分析：在sin()32πρθ-=-中令0θ=，得 1.ρ= 所以圆C 的圆心坐标为()1,0. 因为圆C经过点)4P π，所以圆C 的半径1PC ==，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为2cos .ρθ=54、（2012湖南理9）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数) 与曲线2sin ,:3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩( θ 为参数，0a >)有一个公共点在X 轴上，则a = ______．答案：32分析：曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与轴交点为(,0),(,0)a a -，由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =．55、（2012福建理21B ）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点,M N的极坐标分别为(2,0),(,)32π，圆C的参数方程22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．答案：(1).y x =(2)直线l 和圆C 相交．分析：(1)由题意知，()2,0,M N ，因为P 是线段MN中点，则P ，因此PO 直角坐标方程为：.y x =． (2)因为直线l 上两点M (2,0)，N ， ∴l30y -=，圆心(2,，半径 2.r=32d r ∴==<故直线l 和圆C 相交． 56、（2012陕西理15C ）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为_____．分析：2cos 1ρθ=是过点1(,0)2且垂直于极轴的直线，2cos ρθ=是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，则弦长==57、（2012辽宁理23）在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示）；(2)求出1C 与2C 的公共弦的参数方程．答案：(1) (2,),(2,)33ππ- ；(2) 1tan x y θ=⎧⎨=⎩ 33ππθ-≤≤ 分析：(1)圆1C 的极坐标方程为2ρ=． 圆2C 的极坐标方程4cos ρθ=． 解得2,4cos ρρθ=⎧⎨=⎩得2,3πρθ==±，故圆1C 与圆2C 交点的坐标为(2,),(2,)33ππ-． (2)由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆1C 与圆2C交点的直角坐标分别为，故圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1x y t=⎧⎨=⎩t ≤≤ （或参数方程写成1x y t =⎧⎨=⎩t ≤ ）．58、（2011新课标理23）在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =u u u r u u u u r，P 点的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求2C 的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．答案：（Ⅰ）4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩；（Ⅱ）21||||AB ρρ=-=分析：（Ⅰ）设(),P x y ，则由条件知(,)22x y M ，由于M 点在1C 上，所以从而2C 的参数方程为2cos ,222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即 4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩ （为α参数）．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=， 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=．所以21||||AB ρρ=-=。