2016年初三一模试卷-数学及标准答案

x （千米）y （元）O387142016年门头沟区初三一模考试数 学 试 卷 2016．5一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的点是ABCDA ．点A 与点DB ．点A 与点C C ．点B 与点D D ．点B 与点C 2．2015年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会在北京隆重举行．在此次活动中，共有11个徒步方队，27个装备方队12 000名官兵通过天安门广场接受党和人民的检阅．将数字12 000用科学记数法表示为A ．12×103B ．1.2×104C ．1.2×105D ．0.12×105 3．右图是某几何体的三视图，这个几何体是A ．圆柱B ．三棱柱C ．球D ．圆锥4．有5张形状、大小、质地等均完全相同的卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆，背面也完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是A ．15B ．25C ．35D ．455．某市乘出租车需付车费y （元）与行车里程x （千米）之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过3千米后，每千米的费用是 A ．0.71元 B ．2.3元 C ．1.75元 D ．1.4元y xOM AB C NB B 1D B 2A 1A 2CC 1A水平线30°45°16时间（日）气温（℃）24681012141234567O6．如图，直线m ∥n ，点A 在直线m 上，点B ，C 在直线n 上， AB =BC ，∠1=70︒，CD ⊥AB 于D ，那么∠2等于 A ．20° B ．30° C ．32° D ．25°7．右图是某市 10 月 1 日至 7 日一周内“日平均气温变化 统计图”．在这组数据中，众数和中位数分别是 A ．13，13 B ．14，14 C ．13，14 D ．14，138．如图，⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，半径OD ⊥弦BC 于D ，如果∠BAC =60°，那么OD 的长是A ．2 B C ．1D 9．如图，A ，B ，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB ，BC 表示连接缆车站的钢缆．已知A ，B ，C 所处位置的海拔AA 1，BB 1，CC 1分别为130米，400米，1000米．由点 A 测得点B 的仰角为30°，由点B 测得点C 的仰角为45°， 那么AB 和BC 的总长度是A．1200+B ．800+ C．540+ D ．800+10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点A （4，0），C （0，3）．直线12y x =-由原点开始向上平移，所得的直线12y x b =-+与矩形两边分别交于M 、N 两点，设△OMN 面积为S ， 那么能表示S 与b 函数关系的图象大致是A B C DBCmn A D12二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．12．分解因式：29am a-= ．13．《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年（1524年），全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为．14．在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，2），连接AB．写出一个函数kyx=（k≠0），使它的图象与线段AB有公共点，那么这个函数的表达式为．15．某地中国移动“全球通”与“神州行”收费标准如下表：～70分钟之间，那么他选择较为省钱（填“全球通”或“神州行”）．16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：请回答：（1）小明的作图依据是；（2）他所画的痕迹弧MN是以点为圆心，为半径的弧．OA xy 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27、28题，每小题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：()201122cos453π-⎛⎫+--+︒ ⎪⎝⎭．18．已知x －3y =0，求()2222x yx y x xy y +⋅--+的值．19．解不等式()121123x x +-≤，并把它的解集表示在数轴上，再写出它的最小整数解．20．如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，延长BC 到E ，使得CE =CD ． 求证：BD =DE ．21．“上海迪士尼乐园”将于2016年6月16日开门迎客，小明准备利用暑假从距上海2160千米的某地去“上海迪士尼乐园”参观游览，下图是他在火车站咨询得到的信息：本地前往上海有城城际直达动车的平乘坐城际直达动车际直达动车和特快列车两种乘车方式可供选择！均时速是特快列车的1.6倍！要比乘坐特快列车少用6小时！根据上述信息，求小明乘坐城际直达动车到上海所需的时间．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数2y x=-的图象与一次函数y kx k =-的图象的一个交点为A （－1，n ）． （1）求这个一次函数的表达式；（2）如果P 是x 轴上一点，且满足∠APO =45°，直接写出点P 的坐标．EDC ABPFECDAB23．如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，过E 做EF ⊥AD 于F ，连接BF交AE 于P ，连接PD ．（1）求证：四边形ABEF 是正方形； （2）如果AB =4，AD =7，求tan ∠ADP 的值．24．如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE 为⊙O 的切线． （1）求证：DE ⊥BC ；（2）如果DE =2，tan C =21，求⊙O 的直径．25. 阅读下列材料：2015年秋冬之际，北京持续多天的雾霾让环保成为人们关注的焦点，为了身心健康，人们纷纷来京郊旅游．门头沟地处北京西南部，山青水秀，风景如画，静谧清幽．爨底下、潭柘寺、珍珠湖、百花山、灵山、妙峰山、龙门涧等众多景点受到广大旅游爱好者的青睐．据统计，2015年门头沟游客接待总量为22.1万人次．其中潭柘寺的玉兰花和戒台寺的祈福受到了游客的热捧，两地游客接待量分别达3.8万人次、2.175万人次；爨底下和百花山因其文化底蕴深厚和满园春色也成为游客的重要目的地，游客接待量分别为2.6万人次和1.76万人次；妙峰山樱桃园的游客密集度较高，达1.8万人次．2014年门头沟游客接待总量约为20万人次．其中，潭柘寺游客接待量比2013年增加了25%；百花山游客接待量为2.62万人次，比2013年增加了0.4万人次；妙峰山樱桃园的大樱桃采摘更是受到广大游客的喜爱，接待量为2.2万人次．2013年，潭柘寺、双龙峡、妙峰山樱桃园游客接待量分别为3.2万人次、1.3万人次和1.49万人次．根据以上材料回答下列问题：（1）2014年，潭柘寺的游客接待量为 万人次；（2）选择统计表或统计图，将2013－2015年潭柘寺、百花山和妙峰山樱桃园的游客接待量表示出来；（3）根据以上信息，预估2016年门头沟游客接待总量约为 万人次，你的预估理由是 ．CAEDBacbMNPQ26．阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边 为3和4时，那么斜边的长为5．”． 上述记载表明了：在Rt △ABC 中，如果∠C =90°，BC =a ，AC =b ，AB =c ，那么a ，b ，c 三者之间的数量关系是： ．（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如下图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明． 参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S △ABC 12ab =，2ABDE S c =正方形，MNPQ S =正方形 ．又∵ = ，∴()221=42a b ab c +⨯+，整理得2222=2a ab b ab c +++，∴ ．（3）如图，把矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，如果AB =4，BC =8，求BE 的长．GFH DAxyO27．已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0． （1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整数， 求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设此抛物线在－3≤x ≤12 之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．28．在正方形ABCD 中，连接BD ．（1）如图1，AE ⊥BD 于E ．直接写出∠BAE 的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB 以A 旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB'E'，AB'与BD 交于M ，AE'的延长线与BD 交于N ． ① 依题意补全图1；② 用等式表示线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E 、F 是边BC 、CD 上的点，△CEF 周长是正方形ABCD 周长的一半，AE 、AF 分别与BD 交于M 、N ，写出判断线段BM 、DN 、MN 之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）EDACBNMEDAC BF图1 图229．如图1，P 为∠MON 平分线OC 上一点，以P 为顶点的∠APB 两边分别与射线OM 和ON 交于A 、B 两点，如果∠APB 在绕点P 旋转时始终满足OA ·OB =OP 2，我们就把∠APB 叫做∠MON 的关联角．A BO MNCPA N M O CPBAOM CNP B图1 图2 图3（1）如图2，P 为∠MON 平分线OC 上一点，过P 作PB ⊥ON 于B ，AP ⊥OC 于P ，那么∠APB ∠MON 的关联角（填“是”或“不是”）．（2）① 如图3，如果∠MON =60°，OP =2，∠APB 是∠MON 的关联角，连接AB ，求△AOB 的面积和∠APB 的度数；② 如果∠MON =α°（0°＜α°＜90°），OP =m ，∠APB 是∠MON 的关联角，直接用含有α和m 的代数式表示△AOB 的面积．（3）如图4，点C 是函数2y x（x ＞0）图象上一个动点，过点C 的直线CD 分别交x轴和y 轴于A ，B 两点，且满足BC =2CA ，直接写出∠AOB 的关联角∠APB 的顶点P 的坐标．OxyC图42016年门头沟区初三一模考试数学答案及评分参考 2016.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27、28题，每小题7分，第29题8分）17．（本小题满分5分）解：原式=9112+-+4分=7+.………………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分） 解：原式=()()22x yx y x y +⋅--，……………………………………………………………1分=2x yx y+-．………………………………………………………………………2分 ∵ x －3y =0，∴x =3y ．………………………………………………………………3分∴当x =3y 时，原式=2377322y y y y y y ⨯+==-．…………………………………………5分19．（本小题满分5分） 解：()121123x x +-≤． ()3146x x +-≤，……………………………………………………………………1分3346x x +-≤，………………………………………………………………………2分 3463x x ---≤，9x --≤，……………………………………………………………………………3分 9x ≥．………………………………………………………………………………4分将它的解集表示在数轴上∴ 它的最小整数解为9x =．……………………………………………………………5分 20．（本小题满分5分）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°．…………………………………………………………1分 ∵ BD 平分∠ABC ， ∴∠DBC =12∠ABC =30°．…………… 2分 ∵CE =CD ， ∴∠CDE =∠CED ．又∵∠ACB =60°，∠DCB =∠CDE +∠CED ， ∴∠DEC =12∠ACB =30°．……………………………………………………3分 ∴∠BDC =∠DEC ．………………………………………………………………4分 ∴BD =DE ．…………………………………………………………………………5分EDCAB21．（本小题满分5分）解：设小明乘坐城际直达动车到上海需要x小时．……………………………………1分依题意，得216021601.66x x=⨯+．…………………………………………………………2分解得x=10．………………………………………………………………………………3分经检验：x=10是原方程的解，且满足实际意义．……………………………………4分答：小明乘坐城际直达动车到上海需要10小时．……………………………………5分22．（本小题满分5分）解：（1）∵点A（－1，n）在反比例函数2yx=-的图象上，∴n=2．………………………………………………………………………1分∴点A的坐标为（－1，2）．……………………………………………2分∵点A在一次函数y kx k=-的图象上，∴2k k=--．∴1k=-．∴一次函数的表达式为1y x=-+．………………………………………3分（2）点P的坐标为（－3，0）或（1，0）．……………………………………5分23．（本小题满分5分）（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠F AB =∠ABE =90°，AF∥BE．又∵EF⊥AD，∴∠F AB =∠ABE =∠AFE=90°．∴四边形ABEF是矩形． (1)分又∵AE平分∠BAD，AF∥BE，∴∠F AE =∠BAE =∠AEB ． ∴AB =BE ．∴四边形ABEF 是正方形． (2)分（2）解：如图，过点P 作PH ⊥AD 于H ．∵四边形ABEF 是正方形， ∴ BP =PF ，BA ⊥AD ，∠P AF =45°． ∴ AB ∥PH ． 又∵AB =4，∴AH =PH =2．…………………………………………………………………3分 又∵AD =7，∴DH =AD －AH =7－2=5．……………………………………………………4分 在Rt △PHD 中，∠PHD =90°． ∴tan ∠ADP =25PH HD ．………………………………………………………5分24．（本小题满分5分） （1）证明：连接OD ．∵DE 为⊙O 的切线， ∴DE⊥O D ，…………………………………………………………………1分∵AO =OB ，D 是AC 的中点， ∴OD ∥BC ．∴DE ⊥BC ．…………………………………………………………………2分（2）解：连接DB ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°，HPFECDAB∴DB ⊥AC ，∴∠CDB =90°． ∵D 为AC 中点，∴AB =BC ，在Rt △DEC 中，∠DEC =90°，∵DE =2，tan C =21， ∴4tan DEEC C==，……………………………………………………………3分 由勾股定理得：DC=在Rt △DCB 中，∠BDC =90°，∴BD =DC ·tan C，…………………………4分 由勾股定理得：BC =5， ∴AB =BC =5，∴⊙O 的直径为5．………………………………………………………………5分25．（本小题满分5分）解：（1）4；………………………………………………………………………………1分（2）略；………………………………………………………………………………3分 （3）略．………………………………………………………………………………5分26．（本小题满分5分）解：（1）222a b c +=；…………………………………………………………………1分（2）略；…………………………………………………………………………3分 （3）∵矩形ABCD 折叠点C 与点A 重合，∴AE =CE ．设AE =x ，则BE =8－x ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得AB 2+BE 2=AE 2， 即42+(8－x )2=x 2， 解得x =5．∴BE =8－5=3．………………………………………………………………5分GFHDA27．（本小题满分7分）（1）证明：∵ △= (3m +1)2－4×m ×3， =(3m －1)2. ……………………………………………………………1分∵ (3m －1)2≥0， ∴ △≥0，∴ 原方程有两个实数根．………………………………………………2分（2）解：令y =0，那么 mx 2+(3m +1)x +3=0.解得 13x =-，21x m=-. …………………………………………………3分 ∵抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数， ∴m =1.∴抛物线的表达式为243y x x =++.…………………………………………4分 （3）解：∵当x =0时，y =3，∴C （0，3）.∵当y =0时，x 1=－3，x 2=－1. 又∵点A 在点B 左侧， ∴A （－3，0），B （－1，0）.∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D （1，0）. 设直线CD 的表达式为y =kx +b .∴03k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得33.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的表达式为y =－3x +3. …………………………………………5分 又∵当12x =-时，211543224y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴A （－3，0），E （12-，54）， ∴平移后，点A ，E 的对应点分别为A'（－3+n ，0），E'（12n -+，54）.E'321FNMB'EDACB当直线y =－3x +3过点A'（－3+n ，0）时， ∴－3(－3+n )+3=0， ∴n =4.当直线y =－3x +3过点E'（12n -+，54）时， ∴153324n ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭， ∴n =1312. ∴n 的取值范围是1312≤n ≤4. ………………………………………………7分28．（本小题满分7分）解：（1）∠BAE =45°．…………………………………………………………………1分（2） ① 依题意补全图形（如图1）；………………………………………2分② BM 、DN 和MN 之间的数量关系是BM 2+ND 2=MN 2．………………3分 证明：如图1，将△AND 绕点A 顺时针旋转90°，得△AFB ．∴∠ADB =∠FBA ，∠1=∠3，DN =BF ，AF =AN ． ∵正方形ABCD ，AE ⊥BD ， ∴∠ADB =∠ABD =45°． ∴∠FBM =∠FBA +∠ABD=∠ADB +∠ABD =90°． ∴由勾股定理得FB 2+BM 2=FM 2． ∵旋转△ABE 得到△AB'E'， ∴∠E'AB'=45°，∴∠2+∠3=90°－45°=45°， 又∵∠1=∠3， ∴∠2+∠1=45°． 即∠F AM =45°．图1NMDAF∴∠F AM =∠E'AB'=45°．又∵AM=AM，AF=AN，∴△AFM≌△ANM．∴FM=MN．又∵FB2+BM2=FM2，∴DN2+BM2=MN2．………………………………………………5分（3）判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路如下：a．如图2，将△ADF绕点A瞬时针旋转90°得△ABG，推出DF=GB；b．由△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，得EF=DF+BE；c．由DF=GB和EF=DF+BE推出EF=GE，进而得△AEG≌△AEF；d．由△AEG≌△AEF推出∠EAF=∠EAG=45°；e．与②同理，可证MN2=BM2+DN2．………………………………………7分29．（本小题满分8分）解：（1）是．……………………………………………………………………………1分（2）①如图，过点A作AH⊥OB于点H．∵∠APB是∠MON的关联角，OP=2，∴OA·OB=OP2=4．在Rt△AOH中，∠AOH=90°，∴sinAH AOHOA∠=，∴sinAH OA AOH=⋅∠．∴S△AOB111sin sin60222OB AH OB OA AOH OB OA=⋅⋅=⋅⋅∠=⋅⋅︒，2211sin60222OP=⋅⋅︒=⨯=3分∵∠APB是∠MON的关联角，∴OA·OB=OP2，即OA OPOP OB=．HAO MCNPB图2∵点P 为∠MON 的平分线上一点， ∴ ∠AOP =∠BOP =160302⨯︒=︒．∴△AOP ∽△POB ． ∴∠OAP =∠OPB ．∴∠APB =∠OPB +∠OPA =∠OAP +∠OPA =180°－30°=150°．……5分 ② S △AOB 21sin 2m α=⋅⋅．……………………………………………………6分（3）P 点的坐标为⎝⎭，⎝⎭．…………………………………8分 说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。